空间中线面及面面的位置关系
空间线、面位置关系梳理
须 证
F D
垂 直 于 平
，
是 每年必 考 的知识 点
．
平 移法
是求 异 面
内的两 条 相 交 直线
，
F C
与
E 0
的等 地 位 的
，
直线所 成 的角 的主要 方法
。
”
不 易证 明 E 0 上 F C
故考虑证 明
C D 上 () M
，
上 CD
E O
J_F M
．
ji么
。
∥
为证
一
E o 上 CD
，
须 证
．
，D F
所
c
以 A E
1
∥平 面
B
D F
同理
2
B
。
E
，
∥平 面
E
= = =
D F
．
本 例是 用 平 行 四 边 形 的性 质
A B
．
，
在 图形
又 A E n B
E
，
所 以平 面 A
：
，
E
∥平 面
， B
c
。
D F
．
中向几 何体外平 移
解 法
(
横 向转 化 )
因 为
A E 上 E F
。E
l _E F
，
．
要 特
— 平 面 A L
．
所 以 么
3 0
。
D A B
一
么 D A C
一
别 注 意判 定定 理 与性 质定 理 成 立 的条 件
一
么
D A M
一
9 0
又 么 A B D
空间点、线、面的位置关系
【证明】 (1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1 中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即 D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设A1，C，C1三点确定的平面为α，平 面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
2．异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平 行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否 定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用 到． (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经 过点B的直线是异面直线．
思考题2 (1)【多选题】如图所示，是正方体的平面 展开图，
间直角坐标系，则A(a，0，0)，C1(0，a， 3 a)，C(0，a，0)，
D1(0，0， 3a)， A→C1＝(－a，a， 3a)，C→D1＝(0，－a， 3a)， 设异面直线AC1与CD1所成角为θ， 则cosθ＝|AA→→CC11|··C|C→→DD11|＝ 52a·a2 2a＝ 55.
∴异面直线AC1与CD1所成角的余弦值为
思考题1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是AB和AA1的中点，求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1. ∴E，C，D1，F四点共面．
在这个正方体中，有以下四个命题，正确的结论是( CD ) A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线 C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直
高中数学空间中的线面关系
空间中的线面关系知识框架空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（一） 知识内容线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称 这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直． 2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．αl直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．例题精讲板块三：线线垂直与线面垂直n mA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略．3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证． 由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．（三）典例分析：【例1】 直线和平面所成的角为α，则（ ）A ．090α︒<<︒B ．090α︒︒≤≤C ．090α︒<︒≤D ．090α︒<︒≤【例2】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．【例3】 室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【例4】 （2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面AB CDE F A 1B 1C 1D 1【例5】 （2008辽宁卷11）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ） A ．不存在 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条【例6】 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【例7】 在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例8】 如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【解析】OH DCBAD'C'B'A'【例9】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【解析】 FEBDCAP【例10】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ． 【解析】 P OA 1D 1C 1B 1D CB A【例11】 （2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠． ⑴ 证明1C C BD ⊥； ⑵ 当1CDCD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例12】 已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠=．求证：1CC ⊥BDOABCD A 1B 1C 1D 1【例13】 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．（1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）若45PDA ∠=，求证：MN ⊥面PCD ．QPD BCAMN【例14】 如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．【例15】 下列说法正确的有__________．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面． ⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例16】 （2009安徽，理15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_____ （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；②由顶点A 做四面体的高，其垂足是BCD ∆三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高线所在的直线异面；④分别做三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例17】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P Q ，分别是棱1AA ，1CC 的中点，则过点B P Q ，，的截面（ ） A ．邻边不等的平行四边形 B ．菱形但不是正方形C ．邻边不等的矩形D ．正方形【例18】 如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面ABCD 满足条件时，有11AC B D ⊥（写出你认为正确的一种条件即可．）ABCD 是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形D 1C 1B 1A 1A DCB【例19】 如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例20】 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥?【例21】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心；⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【例22】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有_________个．【例23】 如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论．ABC DO【例24】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【例25】 如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，D 为AC 中点，连结SD ，BD ．⑴求证：SD ⊥面ABC ；⑵若直角边BA BC =，求证：BD ⊥面SAC ．SABD【例26】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC的中点，11AB ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1【例27】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平面11A C D ；⑵1//EF BD ．FE ABCDA 1B 1C 1D 1【例28】 已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+ ②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例29】 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例30】 已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CDABCDE【例31】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．A 1D 1CA【例32】 （07全国2文7）已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） ABC．2D【例33】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（ ） ABCD ABCDE【例34】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．【例35】 （2008福建卷6）如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D所成角的正弦值为（ ） A．3B ．5C ．5D ．5DCBAA 1D 1B 1C 1【例36】 如图，已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点．求证：平面EBD ⊥平面SACE DCBAS【例37】 正方体1111ABCD A B C D -中，作截面1BDC ，求二面角1B DC C --的正切值的大小．O A 1D 1C 1B 1D CBA【例38】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中．求平面1A BD 和平面1C BD 相交所组成的二面角11A BD C --的余弦值．OA 1D 1C 1B 1DCBA【例39】 在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例40】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP【例41】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是AB 的中点．⑴求二面角1A BC A --的大小； ⑵求二面角1B AC P --的大小． PF E A 1D 1C 1B 1DCBA【例42】 已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：//AC 平面EFG ，//BD 平面EFG ．【解析】 GFEBA【例43】 （2006年湖南高考题·理3）过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（ ）． A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条【例44】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例45】 已知正方体1111-ABCD A B C D ，求证：平面11//AB D 平面1C BD ．ABCDA 1B 1C 1D 1【例46】 判断下面命题的正误：⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行． ⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑷过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．【例47】 如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP 于F ，求证：四边形BCEF 是梯形．PFE DCBA【例48】 设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、1111A B C D 的中心，如图，⑴证明：//PQ 平面11AA B B ；⑵求线段PQ 的长．AB CDA 1B 1C 1D 1PQ【例49】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ， 求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【例50】 已知：四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90A ∠=，且AB CD ∥，12AB CD =，点F 为线段PC 的中点．EFDCBAP⑴求证：BF ∥平面PAD ； ⑵求证：BF CD ⊥．（一） 知识内容线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线． 3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵；⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相板块二：空间中的平行关系交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒． 图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB 与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=．于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行． 要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． 3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒． 图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面． 3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．（二）主要方法：由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．（三）典例分析：【例1】 （2005湖北，理10）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ∆的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（ ） A ．K B ．H C ．G D ．B 'A'B【例2】 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点． 求证：1A C //平面1AB D ．EABCA 1B 1C 1D【例3】 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点． 求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【例4】 如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ．CBADEFP【例5】 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面， ,E F 分别是PB 和AC 的中点，求证：①EF ∥平面PAD ；②EF AB ⊥I H G FE DCBA P【例6】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例7】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDEFEDCBAO【例8】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是11111111,,,A B A D B C C D 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【例9】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例10】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDE【解析】FEDCBAO【例11】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．N MF EAB 1C 1D 1DCBA 1⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．【例12】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．N MFEAB 1C 1D 1DC B A 1【例13】 已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，⑴若,,,E F G H 都分别是所在边的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形； ⑵若//EH FG ，求证：//EH BD ．H GFE D CBA【例14】 已知,,,E F G M 分别是四面体的棱,,,AD CD BD BC 的中点，G FEDCB AMN求证：//AM 面EFG ．【例15】 平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，,,,A B a C D b ∈∈，若AC 与α平面交于点M ，BD 与α平面交于点N ．求证：AM BNMC ND=． ABCDαabMN【例16】 如图，正方体1AC 中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：//MN 平面11AA B B ．D 1C 1B 1M B NFECDA 1A【例17】 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：//PQ 平面ACD ．【例18】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例19】 如图，B 为ACD ∆所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD ∆的重心，⑴求证：平面MNG ∥平面ACD ； ⑵求:MNG ADC S S ∆∆GFDC BAMNPH【例20】 已知平面//αβ，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：//EF α，//EF β．【解析】βBGDFEαCA【例21】 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．βD QB EαPC AF【例22】 已知长方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是','AA CC 的中点．求证：平面//BDF 平面''B D E ．AA'BB'CC'DD'E F【例23】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【例24】 正方体1111ABCD A B C D -中，E 、G 分别是BC 、11C D 的中点，如下图．求证：//EG 平面11BB D D ．D 1C 1B 1A 1GEDCBA【例25】 （2008新课标海南宁夏）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．⑴在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； ⑵按照给出的尺寸，求该多面体的体积；⑶在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．侧视图正视图D'C'B'GFE DCBA【解析】⑴如图俯视图正视图侧视图。
空间中点线面的位置关系
空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。
（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。
这时我们就说或。
作用：判断直线在平面内。
2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。
也可以简单地说成：的三点确定一个平面。
过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。
3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。
这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。
2经过两条直线，有且只有个平面。
3经过两条直线，有且只有个平面。
（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。
共面的两条直线的位置关系有和两种。
异面直线：既又的直线叫异面直线。
判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。
（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。
直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。
平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。
基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。
例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。
例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）： 平行于同一直线的两条直线 。
教案(空间中点、线、面的位置关系)
空间中点、线、面的位置关系教案3.点与平面空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.位置关系符号表示图形表示点A在平面α内α∈A点A不是平面α内的点α∉A4.直线与平面（1）直线l在平面α内（或平面α过直线l）：直线l上的所有点都在平面α内，记作α⊂l.（2）直线l在平面α外：直线l上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l . ①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α .①直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l .5. 平面与平面位置关系符号表示图形表示 平面βα与相交 l =βα平面βα与平行 βα//三、直线与平面垂直1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l 与平面α相交于点A ，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有ml⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α⊥l.其中点A称为垂足.2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.例 2 在正方体1111D C B A ABCD -中，（1）与直线1AA 异面的棱有 条； （2）与直线B A 1相交的棱有 条；（3）直线B A 1与直线C B 1的位置关系是 ； （4）直线B A 1与直线C D 1的位置关系是 .【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条； (2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条；(3)异面，通过找到衬托平面来判断； (4)平行.例 3 已知1111D C B A ABCD -是长方体，且2,3,41===AA AD AB .（1）求点A 到平面11B BCC 的距离； （2）求直线AB 到平面1111D C B A 的距不在平面内，这与直线上无数个点都不在平面上不同.两条直线的平行依赖于在同一平面内没有公共点，所以仅由直线与平面平行不可得到.在正方体内，判断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.。
空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算
空间几何与向量运算点线面的位置关系与运算空间几何与向量运算是数学中的重要分支，研究点、线、面在空间中的位置关系以及进行相应的运算操作。
在实际应用中，空间几何与向量运算广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将详细讨论点、线、面在空间中的位置关系和对应的运算方式。
一、点在空间中的位置关系在空间几何中，点是空间的最基本元素，它没有长度、宽度和高度。
点与点之间的位置关系可以通过坐标系来描述。
常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的坐标系，用三个坐标轴x、y、z相互垂直组成，固定在空间中的三个直线上。
点在直角坐标系中的位置可以用三个坐标(x, y, z)来表示，其中x表示点在x轴上的投影位置，y表示点在y轴上的投影位置，z表示点在z轴上的投影位置。
2. 柱坐标系和球坐标系柱坐标系和球坐标系是常用的极坐标系。
在柱坐标系中，点的位置由径向距离、极角和高度来确定，记作(r, θ, z)，其中r表示点到极坐标原点的距离，θ表示点到正极轴的角度，z表示点在z轴上的投影位置。
在球坐标系中，点的位置由球半径、极角和方位角来确定，记作(r, θ, φ)，其中r表示点到球心的距离，θ表示点到正半轴的角度，φ表示点到正极面的角度。
二、线在空间中的位置关系与运算线是由无数个点连接而成的集合，线在空间中的位置关系有直线、平行线、相交线等。
对于线的运算操作，主要包括长度、夹角、平移、旋转等。
1. 长度线的长度是线段两个端点之间的距离，可以通过计算两个点的坐标来求得。
对于直线则无法直接求得长度。
2. 夹角两条线之间的夹角是指这两条线在空间中交汇处的夹角。
可以通过计算两条线的方向向量来求得夹角。
3. 平移平移是指将一条线段按照指定的平移向量进行移动，其位置和形状保持不变。
平移操作可以通过向直线的每个点添加平移向量得到。
4. 旋转旋转是指将一条线段按照指定的旋转角度和旋转轴进行旋转，其位置和形状保持不变。
空间点、直线、平面之间的位置关系-高考复习课件
①D，B，F，E 四点共面； ②若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线； ③DE，BF，CC1 三线交于一点.
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证明：①如题图所示. 因为 EF 是△ D1B1C1 的中位线，所以 EF∥
B1D1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，B1D1∥BD，所以 EF∥BD． 所以
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4．异面直线 (1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)判定方法： ①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． ②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
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(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 分别作直 线 a′∥a，b′∥b，我们把直线 a′与 b′所成的角 叫做异面直线 a 与 b 所成的 角(或夹角). 异面直线所成角的范围是 (0°，90°] ．
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解析：延长 FE 与 B1B 的延长线交于点 H，连接 A1H，延长 EF 与 B1C1 的延长线交于 点 N，如图．因为 E，F 分别为棱 BC，CC1 的中点， 所以△ECF≌△EBH，△ECF≌△ NC1F，所以 BH＝CF＝1，C1N＝EC＝1，因为AB1GB1＝HHBB1＝13，所以点 A1，G，H 三点共线， 连接 A1N，设线段 A1N 交线段 D1C1 于点 Q，连接 QF，则过 G，E，F 三点的平面截该正 方体所得截面为五边形 EFQA1G，因为△NC1Q∽△NB1A1，所以AC11BQ1＝NNCB11＝13，所以 D1Q ＝2C1Q，
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③因为 EF∥BD 且 EF<BD， 所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M， 则由 M∈DE，DE⊂平面 D1DCC1， 得 M∈平面 D1DCC1，同理，点 M∈平面 B1BCC1. 又平面 D1DCC1∩平面 B1BCC1＝ CC1，所以 M∈CC1. 所以 DE，BF，CC1 三线交于点 M.
高三数学 空间点线面之间的位置关系
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【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
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P50 探究 方法：观察立方体
若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任意
一条直线都没有交点。
D'
C'
A' D
A
B' C
B
教材第50页练习题
3个平面把空间分成几部分？
（1）4
（2） 6
（3） 6
（4） 7
（5） 8
公理1
▪ 如果一条直线上的＿两＿点＿在一个平面内， 那么这条直线在＿平＿面＿内＿。
平面与平面之间的位置关系
第一、二层的底面α和β 无论怎样延伸都没有公共点；
前、后两面房顶γ和δ则 有一条交线AB．
二层楼房示意图
平面与平面的位置关系
图形
自然语言 符号语言 公共点
平面α平面β平行
α//β 0个
平面α平面β相交
α ∩β=a
无数个（一条交线）
两个平面平行的画法
图1
图2
√
×
对应边平行
公理2
▪ _不_共__线___的三个点确定一个平面。
公理3
▪ 如果有两个不重合的平面有一个_______， 那公么共点他们 有且只有 一条____________的 __经__过_该__点__。 公共直线
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
C
C1
B
B1
A
A1
平行线的传递性
P51 A 2
快速练习
1、下列说法正确的是（ C ）
A、三点确定一个平面 B、四边相等的一定是菱形 C、梯形一定是平面图形 D、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点 2、若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系
是（D ）
A 、 相交 B、 异面 C、 平行 D、异面或相交
3、垂直于同一条直线的两条直线一定（ D ）
观察红色直线和平面的位置关系
D' A'
D A
C' B'
C
B
一、直线与平面的位置关系
a
a
自然 语言
直线a在平面内
直线a与平面相交 直线a与平面平行
几何 语言
a
a∩=A
a//
交点 个数
无数个
1个
0个
a a
a a
直线在平面内 直线在平面外
P49 例4 方法：观察立方体
若直线l上有无数个点不在平面 内，则l / /
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能
D&9; C
A
B
若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任意
一条直线都平没行有。交点。
P49 例4 方法：观察立方体
如果两条平行线中的一条与一个平面平行，
那么另一条也与这个平面平行。
D'
C'
A' D
A
B' C
B
第49页作业 a a
a a
直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交