理解有理指数幂的含义了解实数指数幂的意义掌握
4 函数与基本初等函数(三).
第五节指数与指数函数（一）高考目标考纲解读1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．考向预测1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同时考查分类整合思想和数形结合思想．2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数交汇命题．（二）课前自主预习知识梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N＋)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做，其中n>1且n∈N＋.式子n a叫做，这里n叫做，a叫做．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正负两个n次方根可以合写为±na(a>0)．③(na)n＝ .④当n为奇数时，na n＝；当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a a≥0－a a<0.⑤负数没有偶次方根．⑥零的任何次方根都是零．2．有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是m na ＝ na m (a >0，m ，n ∈N ＋，n >1)．②正数的负分数指数幂是m na＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N ＋，n >1)．③0的正分数指数幂是 ,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质①a r a s ＝ (a>0，r ，s ∈Q)．②(a r )s＝ (a>0，r ，s ∈Q)． ③(ab)r ＝ (a>0，b>0，r ∈Q)．3．指数函数的图像与性质定义域 值域 过定点性质 当x >0时， ；x <0时， .当x >0时， ； x <0时， .（三）基础自测1．若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是( ) A ．1 B.14 C.22 D.23[答案] D[解析] a ＝2－3，b ＝2＋3，∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝1(3－3)2＋1(3＋3)2＝(3＋3)2＋(3－3)262＝2462＝2436＝23. 2．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1 [答案] C[解析] 由y ＝(a 2－3a ＋3)·ax为指数函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a >0且a ≠1，即a ＝2.3．(2011·东营模拟)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1]B ．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2[答案] D[解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2≥0，得函数定义域为[－1,2]，所以t ＝－x 2＋x ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递减．根据“同增异减”的原则，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2，x <2，2－x，x ≥2，则f (－3)＝__________.[答案] 18.[解析] f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18.5．(2009·江苏文)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________ [答案] m <n[解析] 本题主要考查指数函数的图像和性质． ∵a ＝5－12，∴0<a <1， 函数f (x )＝a x在x ∈R 上是单调递减的．又f (m )>f (n )， ∴m <n .7．若函数f (x )＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上是减函数，求a 的取值范围．[解析] ∵0<a 2－1<1，∴1<a 2<2， ∴－2<a <－1或1<a < 2.即a 的取值范围是(－2，－1)∪(1，2)．（四）典型例题1.命题方向：幂式的化简与求值。
指数与指数函数-高考全攻略
考点07指数与指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10,11,23的指数函数的图象.（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.一、指数与指数幂的运算 1．根式（1）n 次方根的概念与性质（2）根式的概念与性质【注】速记口诀：正数开方要分清，根指奇偶大不同， 根指为奇根一个，根指为偶双胞生． 负数只有奇次根，算术方根零或正， 正数若求偶次根，符号相反值相同． 负数开方要慎重，根指为奇才可行， 根指为偶无意义，零取方根仍为零．2．实数指数幂 （1）分数指数幂①我们规定正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)m na a m n n =>∈>N 且. 于是，在条件*0,,,1a m n n >∈>N 且下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定*1(0,,,m nm naa m n a-=>∈N 且1)n >.③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数,r s ，均有下面的运算性质： ①(0,,)rsr sa a aa r s +=>∈Q ；②()(0,,)r s rsa a a r s =>∈Q ； ③()(0,0,)rr rab a b a b r =>>∈Q . （3）无理数指数幂对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂是一个确定的实数. 一般地，无理数指数幂(0,)a a αα>是无理数是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 二、指数函数的图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【注】指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x ； (3)系数：a x 的系数是1.2．指数函数(0,1)x y a a a =>≠且的图象与性质【注】速记口诀：指数增减要看清，抓住底数不放松； 反正底数大于0，不等于1已表明； 底数若是大于1，图象从下往上增； 底数0到1之间，图象从上往下减； 无论函数增和减，图象都过(0,1)点．3．有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()x f y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()x f y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论．求形如()x y f a =的函数的值域，要先求出x u a =的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．学科*网(2)判断复合函数()xy f a =的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数u y a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()x f y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()xf y a =在[m ，n ]上是减函数． (3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．考向一指数与指数幂的运算指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.典例1 化简并求值：（1（2）413322338(14a a b a b-÷-+ 【答案】（1）2312；（2）a ． 【解析】（112=； （2）原式313131312313131231312)2(2)()8(aba ab b a a b a a ⨯-⨯++-=111333113333(8)()(2)aa b a b ++-=-a =．1．已知13x x -+=,求下列各式的值：（1）1122xx -+；（2）3322xx -+.考向二与指数函数有关的图象问题指数函数y =a x(a ＞0，且a ≠1)的图象变换如下：【注】可概括为：函数y =f (x )沿x 轴、y 轴的变换为“上加下减，左加右减”．典例2函数y =a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是【答案】C【解析】当x =1时，y =a 1－a =0，所以y =a x －a 的图象必过定点(1,0)，结合选项可知选C.2．函数||xxa y x =(0＜a ＜1)的图象的大致形状是考向三指数函数单调性的应用1．比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 2．解指数方程或不等式简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．典例3设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论.3．设 1.20.80.4614,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>典例4设函数11()7,0()22,0xx x f x x -⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是A ．(,1)-∞B ．(3,)-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-+∞【答案】C【解析】当0a <时，不等式()1f a <可化为1()712a -<，即1()82a<，解得30a -<<；学科/网当0a ≥时，不等式()1f a <可化为121a -<，所以01a ≤<．故a 的取值范围是(3,1)-，故选C ．【名师点睛】利用指数函数的单调性，分别讨论当0a <及0a ≥时，a 的取值范围，最后综合即可得出结果．4．已知函数y =A ，值域是B ，则AB =A ．[0，＋∞)B ．(,1)-∞C ．[1，＋∞)D ．(－∞，0)考向四指数型函数的性质及其应用1．指数型函数中参数的取值或范围问题应利用指数函数的单调性进行合理转化求解，同时要特别注意底数a 的取值范围，并当底数不确定时进行分类讨论． 2．指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.典例5函数()2e 1e x xf x +=的图象A ．关于原点对称B ．关于直线y =x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】D5．若函数f (x )=3x ＋3－x 与g (x )=3x －3－x 的定义域均为R ，则A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数典例6 2221()2xx y -+=的值域是A ．1(,)2-∞B ．(0,)+∞C ．1(0,]2D ．[4,)+∞【答案】C6．已知a ＞0，且a ≠1，若函数f (x )=2a x －4在区间[−1,2]上的最大值为10，则a =________.1．化简625625++-=A ．BC ．D2．如图中的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数的图象，已知对应函数的底数a ，43，310，15，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4，a 依次为A ．4315，310B 43，310，15C ．310，1543D ．15，310，433．已知函数f (x )的定义域是(1,2)，则函数f (2x )的定义域是 A ．(0,1) B ．(2,4) C ．(12，1)D ．(1,2)4．已知a =0.80.7，b =0.80.9，c =1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b5．设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩错误！未找到引用源。
高考数学一轮总复习课件：指数函数
(2)(2021·西安质检)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则 不等式f(x－2)>0的解集为_{_x_|x_>_4_或_x_<_0_}____．
【解析】 ∵f(x)为偶函数， 当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4. ∴f(x)＝22x－－x－4，4，x≥x<00，， 当f(x－2)>0时，有x2－ x－22－≥40>，0 或x2－ －x＋22<－0，4>0， 解得x>4或x<0. ∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
授人以渔
题型一 指数式的计算(自主学习)
例1 计算： (1)－338－23＋(0.002)－12－10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0； (2)2 3×3 1.5×6 12； (3)（a14ba123）b243a－ab132 b13(a>0，b>0)．
【解析】
(1)原式＝(－1)－
2 3
×
3 38
根式的运算性质 (1)当 n 为奇数时，有n an＝__a___； 当 n 为偶数时，有n an＝_|_a|___. (2)负数的偶次方根_无__意_义__． (3)零的任何次方根__都__等_于__零__．
指数函数的概念、图象和性质 (1)形如___y_＝_a_x__ (a>0 且 a≠1)的函数叫做指数函数． (2)定义域为 R，值域为__(_0_，_＋__∞_)___． (3)当 0<a<1 时，y＝ax 在定义域内是__减_函__数__；当 a>1 时，y ＝ax 在定义域内是_增__函__数_ (单调性)；y＝ax 的图象恒过定点_(0_，__1_) ． (4)当 0<a<1 时，若 x>0，则 ax∈__(0_，__1)__； 若 x<0，则 ax∈_(_1，__＋__∞_) _； 当 a>1 时，若 x>0，则 ax∈__(1_，__＋_∞_)__； 若 x<0，则 ax∈__(_0，__1_) __．
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第5节：指数与指数函数(学生版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5节指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.1.根式的概念及性质(1)概念：式子na 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数.(2)性质：(na )n ＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈R .4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫作指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，12.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究.3.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂a mn 可以理解为mn 个a 相乘.()(3)函数y ＝2x －1是指数函数.()(4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).()2.(易错题)若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________.3.(易错题)函数y ＝21x －1的值域是________.4.函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________.5.(2021·贵阳一中月考)3213－76＋814×42－－2323________.6.已知a 35－13，b 35－14，c ＝3234，则a ，b ，c 的大小关系是________.考点一指数幂的运算1.计算：823－－780＋4（3－π）4＋[(－2)6]12＝________.2.[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.3.(2021·沧州七校联考1412·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12(a >0，b >0)＝________.4.已知f (x )＝3x ＋3－x ，f (b )＝4，则f (2b )＝________.考点二指数函数的图像及应用例1(1)已知实数a ，b 满足等式2022a ＝2023b ，下列等式一定不成立的是()A.a ＝b ＝0B.a <b <0C.0<a <bD.0<b <a(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.训练1(1)函数f (x )＝a x －b 的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0(2)如果函数y ＝|3x －1|＋m 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________.考点三解决与指数函数性质有关的问题角度1比较指数式的大小例2(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0角度2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1，函数f(x)4x，x≥0，2a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.(2)若2x2＋114x－2，则函数y＝2x的值域是()A.18，2 B.18，2C.－∞，18 D.[2，＋∞)角度3指数函数性质的综合应用例4(1)不等式4x－2x＋1＋a>0，对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________.(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－12＋12x＋1，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________.训练2(1)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝4x－12x，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是______.(3)函数y ＋1在区间[－3，2]上的值域是________.1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f (－1)＝()A.1B.2C.3D.32.(2021·成都诊断)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是()113.(2022·哈尔滨质检)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是()4.(2020·天津卷)设a ＝30.7，b 0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b5.(2021·衡水中学检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)6.(2020·新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.化简：（a23·b－1）－12·a－12·b136a·b5(a>0，b>0)＝________.8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是____________.9.已知函数f(x)，a≤x<0，x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________.10.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2为奇函数.(1)求b的值；(2)任意t∈R，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.11.已知函数f(x)＝4x＋m2x是奇函数.(1)求实数m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图像有公共点，求实数a的取值范围.12.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是()A.0，12(1，＋∞) B.0，12C.12，1 D.(1，＋∞)13.(2022·邯郸模拟)设f(x)|2x－1|，x≤2，－x＋5，x>2，若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是()A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.。
指数与对数的运算——2021届新课改地区高三高考数学一轮专题复习
第11讲：指数与对数的运算一、课程标准1、理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；3、了解对数的发现历史以及对简化运算的作用二、基础知识回顾1. 有关指数幂的概念(1)n次方根正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是__0__；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是__0__，负数没有偶次方根．(2)方根的性质①当n为奇数时，n a n＝a；②当n为偶数时，n a n＝||a＝,0 -a0.a aa⎧⎨⎩≥，，＜(3)分数指数幂的意义①m n a(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)；②m na-＝1mna(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)．2. 有理数指数幂的运算性质设s，t∈Q，a>0，b>0，则：(1)a s a t＝as＋t；(2)(a s)t＝ast；(3)(ab)t＝a t b t．3. 对数的相关概念(1)对数的定义：如果a b＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫做以a为底数N的对数，记作log a N＝b．(2)常用对数和自然对数：①常用对数：以10为底N的对数，简记为：lg N；②自然对数：以e为底N 的对数，简记为：ln N．(3)指数式与对数式的相互转化：a b＝N⇔log a N＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．4. 对数的基本性质设N＞0，a＞0，a≠1，则：(1)log a a＝1；(2)log a1＝0；(3)log a a N ＝N ；(4)a log aN ＝N ．5. 对数运算的法则设M ＞0，N ＞0，a ＞0，a≠1，b ＞0，b≠1，则： (1)log a (MN)＝ log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝ n log a M ． 6. 对数的换底公式设N ＞0，a ＞0，a≠1，b ＞0，b≠1，则log b N ＝log a Nlog a b .三、自主热身、归纳总结1、化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a3b B ．－8a b C ．－6a bD ．－6ab2、(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．53、 若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于（ ）A . 1B . 0或18C . 18 D . log 234、．(多选)已知a ＋a －1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( ) A ．a 2＋a －2＝7 B ．a 3＋a －3＝18 C ．a 12＋a －12＝± 5D ．a a ＋1a a ＝255、log 225·log 3(22)·log 59＝________．6、 已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，则xy 的值为 ．7、计算：log 5[412log 210－(33)23－7log 72]＝________．8、化简 [(0.06415)－2.5]23－3338－π0；四、例题选讲考点一 指数幂的运算例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0(2)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)(3)1253[(0.064) 2.5]--3338－π0；(4)121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪⎭变式1、．计算下列各式的值： （Ⅰ）；（Ⅰ）．变式2、已知1122x x -+＝3，求22332223x x x x--+-+-的值．方法总结(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点二 对数的运算 例2 化简下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg (0.01)－1； (2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25；(3)计算(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)； （4）2log 32－log 3329＋log 38－3log 55；变式1、(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 35；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)．变式2、(1)①若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝ ；②化简2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝__ _．方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如：(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考点三 指数是与对数式的综合例3 (1)已知a ，b ，c 均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c ；(2)若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．变式1、设2a＝5b＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________.方法总结： 这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注：1. 根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法．2. 不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式，先将底数统一，再利用同底的对数的运算法则进行计算和化简，求得结果．五、优化提升与真题演练1、设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 322、已知奇函数f （x ）满足f （x ）＝f （x +4），当x ∈（0，1）时，f （x ）＝4x ，则f （log 4184）＝（ ） A ．B ．C ．D ．3、(多选)已知实数a ，b 满足等式18a ＝19b ，下列选项有可能成立的是( ) A ．0＜b ＜a B ．a ＜b ＜0 C ．0＜a ＜bD ．b ＜a ＜04、化简：（a 23·b －1）－12·a －12·b136a ·b 5(a >0，b >0)＝________．5、计算 3（1＋2）3＋ 4（1－2）4＝________．6、.（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________．7、若2x ＝3y ＝5z ，且x ，y ，z 都是正数，则2x ，3y ，5z 从小到大依次为 ．8、 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；5 6a 13·b－2·⎝⎛⎭⎪⎫－3a－12b－1÷⎝⎛⎭⎪⎫4a23·b－312.(2)第11讲：指数与对数的运算一、课程标准1、理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；3、了解对数的发现历史以及对简化运算的作用二、基础知识回顾1. 有关指数幂的概念(1)n次方根正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是__0__；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是__0__，负数没有偶次方根．(2)方根的性质①当n为奇数时，n a n＝a；②当n为偶数时，n a n＝||a＝,0 -a0.a aa⎧⎨⎩≥，，＜(3)分数指数幂的意义①m n a(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)；②m na-＝1mna(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)．2. 有理数指数幂的运算性质设s，t∈Q，a>0，b>0，则：(1)a s a t＝as＋t；(2)(a s)t＝ast；(3)(ab)t＝a t b t．3. 对数的相关概念(1)对数的定义：如果a b＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫做以a为底数N的对数，记作log a N＝b．(2)常用对数和自然对数：①常用对数：以10为底N的对数，简记为：lg N；②自然对数：以e为底N 的对数，简记为：ln N．(3)指数式与对数式的相互转化：a b＝N⇔log a N＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．4. 对数的基本性质设N＞0，a＞0，a≠1，则：(1)log a a＝1；(2)log a1＝0；(3)log a a N ＝N ；(4)a log aN ＝N ．5. 对数运算的法则设M ＞0，N ＞0，a ＞0，a≠1，b ＞0，b≠1，则： (1)log a (MN)＝ log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝ n log a M ． 6. 对数的换底公式设N ＞0，a ＞0，a≠1，b ＞0，b≠1，则log b N ＝log a Nlog a b .三、自主热身、归纳总结1、化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a3b B ．－8a b C ．－6a b D ．－6ab【答案】C【解析】原式＝－6a 23－⎝⎛⎭⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6ab . 2、(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B【解析】 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3.3、 若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于（ ）A . 1B . 0或18C . 18 D . log 23【答案】D .【解析】由lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x ＋5)成等差数列，知lg 2＋lg (2x ＋5)＝2lg (2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，即(2x )2－9＝0，即2x ＝3，∴x ＝log 23.故选D .4、．(多选)已知a ＋a －1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )A ．a 2＋a －2＝7B ．a 3＋a －3＝18C ．a 12＋a －12＝± 5 D ．a a ＋1a a ＝25【答案】ABD【解析】在选项A 中，因为a ＋a －1＝3，所以a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝9－2＝7，故A 正确；在选项B 中，因为a ＋a －1＝3，所以a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－1＋a －2)＝(a ＋a －1)·[(a ＋a －1)2－3]＝3×6＝18，故B 正确；在选项C 中，因为a ＋a －1＝3，所以(a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝5，且a ＞0，所以a 12＋a －12＝5，故C 错误；在选项D 中，因为a 3＋a －3＝18，且a ＞0，所以⎝⎛⎭⎫a a ＋1a a 2＝a 3＋a －3＋2＝20，所以a a ＋1a a ＝25，故D 正确．5、log 225·log 3(22)·log 59＝________． 【答案】6【解析】法一：log 225·log 3(22)·log 59＝log 252·log 3232·log 532＝6log 25·log 32·log 53＝6. 法二：log 225·log 3(22)·log 59＝lg 25lg 2·lg （22）lg 3·lg 9lg 5＝lg 52lg 2·lg 232lg 3·lg 32lg 5＝6. 6、 已知2lg x －y2＝lg x ＋lg y ，则xy 的值为 ．【答案】1＋ 2.【解析】 利用对数的性质消去对数符号，得到关于x ，y 的方程再求解．由已知得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＝lg (xy)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＝xy ， 即x 2－6xy ＋y 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫x y 2－6⎝⎛⎭⎫x y ＋1＝0，。
分数指数幂与指数函数(答案)
分数指数幂与指数函数本节主要学习分数指数幂与指数函数．1．理解有理数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 在初中我们学习了正整数指数幂的意义：一个数a 的n 次幂表示n 个a 相乘的积．正整数指数幂有五条运算性质：（1）a m a n ＝a m ＋n ；（2）a m ÷a n ＝a m －n （a ≠0，m ＞n ）；（3）（a m ）n ＝a mn ；（4）（ab ）n＝a n b n；（5）（ba ）n ＝n nb a 若（b ≠0）．注意：a 0＝1（a ≠0）、a －n ＝na 1（n 为正整数，a ≠0）. 2．分数指数幂的引进是受根式的性质的启发．从根式的基本性质mp np a ＝m n a （a ≥0，m 、n 、p ∈N*）， 我们知道a ≥0时，6a ＝a 3＝26a ，123a ＝a 4＝312a ．于是我们规定：（1）nma ＝n m a （a ≥0，m 、n ∈N*）； （2）nma－＝nm a1（a ＞0，m 、n ∈N*，n ＞1）；（3）零的正分数次幂是零，零的负分数次幂没有意义．这样一来，我们就将指数幂的概念扩大到有理数指数幂了，有理数幂的运算性质归纳为： （1）a r a s ＝a r ＋s ；（2）（a r ）s ＝a rs ；（3）（ab ）r ＝a r b r ，式中a ＞0，b ＞0，r 、s 为有理数．3．理解指数函数的概念和意义．在指数函数的定义中限定了底数a ＞0且a ≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性．（1）若a ＝0，当x ＞0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 没有意义； （2）若a ＜0，如y ＝（－2）x 对于x ＝21、43等都是没有意义的； （3）若a ＝1，则函数为y ＝1x ＝1是一个常数函数，它的性质没有研究的必要，且不具有单调性．4．能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，体会指数函数是一类重要的函数模型．5．在方法上，要体现“形”与“数”的结合，要重视指数函数的实际背景，会利用指数函数的有界性解题． 合作讨论【问题1】下列各式中正确的是（ ）A ．n n a ＝a （n ∈N*）B ．（n a ）n ＝a （n ∈N*）C ．npmpa＝n ma（n ，m ，p ∈N*） D ．nma－＝mna1（m ，n ∈N*，a ＞0）思考：对于根式n m a 在什么条件下有意义？【问题2】在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y ＝2x ；②y ＝5x ；③y ＝（51）x ；④y ＝（21）x．观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？例题精析【例1】化简下列各式： （1）41)0081.0(－－［3×（87）0］－1·［81－0.25＋31)833(－］21－－10×31027.0；（2）323323134248aab b b a a ＋＋－÷（1－23ab）×3ab ．【例2】设y l ＝a 3x －1，y 2＝42－＋x x a（a ＞0，a ≠1），确定x 为何值时有（1）y 1＝y 2；（2）y 1＞y 2．【例3】比较下列各数的大小：①52)2(－；②21)23(－；③52)23(－－；④3)31(－；⑤54)32(－．【例4】对于函数y ＝122)31(－－x x ，（1）求函数的定义域，值域；（2）确定函数的单调区间．【例5】求下列函数的定义域，值域： （1）y ＝112－x ； （2）y ＝125－x ； （3）y ＝22)21(x x －；（4）y ＝x9＋2×x3－1．【例6】若函数y ＝1212·－－－x x aa 为奇函数，（1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）求函数的值域；（4）讨论函数的单调性．【例7】已知函数y ＝x （131－x＋21）．（1）求定义域；（2）讨论奇偶性； （3）证明它在定义域上恒大于0．【例8】如果函数y ＝122－＋xx a a （a ＞0且a ≠1）在［－1，1］上有最大值14，试求a 的值．【例9】牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝21（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝ht)21(（T 0－T a ）．现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？变式训练： 1．等式224＋－x x ＝2244＋－x x 成立的充要条件是（ ）A ．x ≠－2B ．x ≥2或x ＜－2C ．x ≥2D ．x ＜－2 2．若x2＝7，y2＝6，则yx －4等于（ ）A ．4936 B ．67 C ．1214 D ．3649 3．若41a ＞32a ，则a 的范围是（ ） A ．a ＞1 B ．0＜a ＜1 C ．41＜a ＜32 D ．a ＞324．若x)53(＞x)75(，则x 的范围是（ ）A ．0＜x ＜1B ．x ＞1C ．x ＜－1D ．x ＜0 5．下列函数是指数函数的是（ ）A ．y ＝x)3(－ B ．y ＝x3－ C ．y ＝123＋x D ．y ＝x－26．下列函数值域是（0，＋ ）的是（ ） A ．y ＝x 2 B ．y ＝122＋x C ．y ＝121＋xD ．y ＝122－x 7．若a ＝1)32(－＋，b ＝1)32(－－，则（a ＋1）－2＋（b ＋1）－2的值是（ ）A ．1B ．41 C ．22； D ．328．若函数y ＝xa ＋m －1的图象在第一，三，四象限，则（ ）A ．a ＞1且m ＞1B ．a ＞l 且m ＜0C ．0＜a ＜1且m ＞0D ．0＜a ＜1且m ＜1 9．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（ ）A ．5B ．9C ．6D ．810．若0＜a ＜1，b ＜－2，则函数y ＝xa ＋b 的图象一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．函数y ＝xa 与y ＝ax －a 的图象大致是下图中的（ ）12．在下列等式中，函数f （x ）＝x2不满足的是（ ） A ．f （x ＋1）＝2f （x ） B ．f （xy ）＝f （x ）＋f （y ） C ．f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ） D ．f （－x ）＝)(1x f13．若a 2x＝8，则xx xx aa a a －－＋＋33___________． 14．化简215658)·(b a ÷（354a ）÷53b ＝___________．15．若函数y ＝（a 2－3a ＋3）a x 是指数函数，则a 的值是___________． 16．函数f （x ）的定义域为［1，4］，则函数f （x－2）的定义域为___________．17．若f （x ）＝x x 2121＋－，f －1（53）则___________．18．若函数y ＝xa ＋b 的图象经过点（1，3），它的反函数的图象经过点（2，0），则函数y ＝xa ＋b 的值域是___________．19．（1）函数y ＝332＋－xx a （以a ＞0且a ≠1），当x ∈［1，3］时有最小值为8，则a 的值为___________； （2）函数y ＝xx a 22－（a ＞1）的定义域___________，单调增区间___________，值域___________．20．（1）已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|x |的实根个数为___________． （2）关于x 的方程x)21(＝a－11有正根，则a 的取值范围是___________． 21．解下列关于x 的方程： （1）81×x23＝2)91(＋x ；（2）222＋x ＋3×x2－1＝0．22．设f （x ）是定义域为x ∈R 且x ≠0上的奇函数，则当x ＞0时，f （x ）＝xx21－．（1）写出x ＜0时f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x ）＜－3x ．23．已知函数f （x ）＝11＋－x x a a （a ＞1）。
高中数学总复习 指数运算与指数函数
1 3
15
a6b6
211
9a 3 2 6
115
b2 3 6
＝－9a(a>0，b>
0)，所以B正确；
1 11
对于 C， 3 9＝ 93 =96 =33＝3 3，所以 C 正确；
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错
误.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 4 －44＝－4.( × ) (2)2a·2b＝2ab.( × ) (3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称.( √ ) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )
自主诊断
2.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
原式＝
81 16
1
2－2×
64 27
2 3
－2＋342
1
2
＝
3 2
4
2
－2×
3 4
3
3－2＋196
＝94－2×196－2＋196＝94－98－2＋196＝－156.
(2)2 3×33 1.5×6 12.
1
原式＝2
1
32
3
3 2
3
(22
3)
1 6
11
1 11
6 2 3 3 32 3 6
43
a3 4
25
高中数学复习教案：指数与指数函数
第五节 指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,3,10,12,13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式n 次方根概念 如果x n ＝a ,那么x 叫作a 的n 次方根,其中n ＞1,n ∈N *表示 当n 是奇数时,a 的n 次方根x ＝na当n 是偶数时,正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根0的任何次方根都是0,记作n0＝0根式概念 式子n a 叫作根式,其中n 叫作根指数,a 叫作被开方数性质 (na )n ＝a当n 为奇数时,na n ＝a当n 为偶数时,na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0－a ，a ＜02.(1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0,r ,s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0,r ,s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a ＞0,b ＞0,r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域 R 值域(0,＋∞) 性质(0,1) 过定点当x ＞0时,y ＞1； x ＜0时,0＜y ＜1当x ＞0时,0＜y ＜1； x ＜0时,y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数[常用结论]指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y ＝a x ,(2)y ＝b x ,(3)y ＝c x ,(4)y ＝d x 的图象,底数a ,b ,c ,d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内,指数函数y ＝a x (a ＞0,且a ≠1)的图象越高,底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)4(－4)4＝－4.( ) (2)(－1) 24＝(－1) 12＝－1. ( ) (3)函数y ＝2x－1是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0且a ≠1),则m ＜n . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9 B [原式＝(26) 12－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0,且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12,则f (－1)等于( )A.22 B. 2 C.14D ．4B [由题意知12＝a 2,所以a ＝22,所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x,所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0,且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [令y ＝a x －a ＝0,得x ＝1,即函数图象必过定点(1,0),符合条件的只有选项C.] 5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数,则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知0＜2－a ＜1, 解得1＜a ＜2.]指数幂的化简与求值1．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33,故选D.]2．若a ＞0,b ＞0,则化简＝________.ab －1 [原式＝＝＝ab －1.]3．化简－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.－16 [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫82723＋50012－105－2＋3＋59 ＝49＋105－10(5＋2)＋3＋59 ＝－16.]4．若x 12＋x -12＝3,则＝________.25[由x 12＋x -12＝3得x ＋x －1＋2＝9. 所以x ＋x －1＝7.同理由x ＋x －1＝7可得x 2＋x －2＝47.x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)(x ＋x －1－1)＝3×6＝18. 所以[规律方法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号；底数是小数,先化成分数；底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解题. 易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.指数函数的图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是( )A．a＞1,b＜0B．a＞1,b＞0C．0＜a＜1,b＞0D．0＜a＜1,b＜0(2)已知函数f(x)＝3＋a2x－4的图象恒过定点P,则点P的坐标是________．(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝k只有一个公共点,则实数k的取值范围为________．(1)D(2)(2,4)(3){0}∪[1,＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减,所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的,所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2,且f(2)＝4,则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时,直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．][规律方法]指数函数图象应用的4个技巧(1)画指数函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点：(1,a),(0,1),.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断所给的图象是否过这些点,若不满足则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.(1)函数y＝xa x|x|(a＞1)的图象大致是()A B C D(2)函数f(x)＝2|x－1|的图象是()A B C D(3)已知a ＞0,且a ≠1,若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点,则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)B (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [(1)y ＝⎩⎨⎧a x ，x ＞0，－a x ，x ＜0，又a ＞1,故选B.(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象可由y ＝2|x |的图象向右平移1个单位得到,故选B. (3)①当0＜a ＜1时,如图①,所以0＜3a ＜2,即0＜a ＜23； ②当a ＞1时,如图②,而y ＝3a ＞1不符合要求．图① 图②所以0＜a ＜23.]指数函数的性质及应用►考法1 比较指数式的大小【例2】 已知a ＝343,b ＝925,c ＝12113,则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [因为a ＝343＝923＞925＝b ,c ＝12113＝1123＞923＝a ,所以c ＞a ＞b .故选A.] ►考法2 解简单的指数方程或不等式 【例3】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－3)B ．(1,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)(2)已知实数a ≠1,函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1),则a 的值为________．(1)C (2)12 [(1)当a ＜0时,不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7＜1,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜8,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3,因为0＜12＜1,所以a ＞－3,此时－3＜a ＜0；当a ≥0时,不等式f (a )＜1可化为a ＜1,所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.(2)当a ＜1时,41－a ＝21,解得a ＝12；当a ＞1时,代入不成立．故a 的值为12.]►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0,a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0],则a ＋b ＝________.(2)已知0≤x ≤2,则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．(1)－32 (2)52[(1)当a ＞1时,函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数,由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0＜a ＜1时,函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数,由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ,由0≤x ≤2得1≤t ≤4,又y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12, ∴当t ＝1时,y 有最大值,最大值为52.] ►考法4 复合函数的单调性、值域或最值【例5】 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间是________,值域是________．(－∞,1] ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [令u ＝－x 2＋2x ＋1,则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上是减函数,则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的单调递减区间为(－∞,1]．因为u ≤2,则f (x )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14,即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.] [规律方法]应用指数函数性质综合的常考题型及求解策略常考题型 求解策略比较幂值的大小 (1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致(1)(2019·信阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-12,b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14,c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34,则a ,b ,c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0,＋∞) B ．(1,＋∞) C ．[1,＋∞) D ．(－∞,＋∞)(3)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞,3)上单调递增,则a 的取值范围为________．(4)函数y ＝2－x 2＋2x的值域为________．(1)D (2)B (3)[6,＋∞) (4)(0,2] [(1)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14,则⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14,即a ＞b ＞c ,故选D. (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1, 令t ＝2x ,则t ＞0,∴y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1,故选B.(3)由题意知,函数u＝－x2＋ax＋1在区间(－∞,3)上单调递增,则a2≥3,即a≥6.(4)－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1,则0＜y≤2.即函数y＝2－x2＋2x的值域为(0,2]．]。
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2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).
(1)讨论函数f(x)＝( ) 的单调性，并 求值域. (2)已知2 ≤( )x－2，求函数y＝2x－2－x的值域. [思路点拨]
答案：D
()
2.化简[(－2)6] －(－1)0的结果为
A.－9
B.7
C.－10
D.9
()
解析：[(－2)6] －(－1)0＝(26) －1＝8－1＝7. 答案：B
3.函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)对于任意的实数x，y都有 ( )
A.f(xy)＝f(x)f(y)
B.f(xy)＝f(x)＋f(y)
(2)∵2 ＋x≤2－2(x－2)，
∴x2＋x≤4－2x，
即x2＋3x－4≤0，得－4≤x≤1.
C.f(x＋y)＝f(x)f(y)
D.f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
解析：∵f(x)·f(y)＝ax·ay＝ax＋y＝f(x＋y).
答案：C
4.已知a ＝ (a>0)，则log a＝
.
解析：a ＝ ＝
，∴a ＝ ，
∴a＝
，log a＝log
＝3.
答案：3
5.函数y＝( )1－x的值域是
.
解析：函数的定义域为R，令u＝1－x∈R， ∴y＝( )u＞0. 答案：(0，＋∞)
dx的图象，如何确定底数a，b，c，d与1之间的大小关系. 提示：在图中作出直线x＝1，与它们图象交点的纵坐标 即为它们各自底数的值，即c＞d＞1＞a＞b，所以无论在 y轴的右侧还是左侧，底数按逆时针方向依次变大.
1.若x4＝16，则x的值为 A.4 C.2
B.±4 D.±2
解析：x4＝16⇒＝x2＝4⇒x＝±2.
分母又有负指数幂.
已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，且a＜b，求
(1)
÷
；
(2)
；
(3)(a－b)÷(a －b )－(a＋b)÷(a ＋b ).
[思路点拨]
[课堂笔记] ∵a，b是方程的两根， 解9x2－82x＋9＝0， 解得x1＝ ，x2＝9，且a＜b，故a＝ (1)原式＝ ＝ ∵a＝ ，∴原式＝3.
[课堂笔记] ∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x， y＝( )u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数， u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(1，＋∞)上是增函数， y＝( )u在其定义域内是减函数， ∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数. f(x)在(1，＋∞)上是减函数. ∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1,0＜ ＜1， 0＜( ) ≤( )－1＝3. ∴函数f(x)的值域为(0,3].
y＝ax
a＞1
图 象
0＜a＜1
定义域 值域
R (0，＋∞)
y＝ax
性 质
a＞1
0＜a＜1 (1)过定点 (0,1)
(2)当x＞0时，y＞1 ； (2)当x＞0时，0＜y＜1 ；
x＜0时，0＜y＜1
x＜0时，y＞1
(3)在(－∞，＋∞)上是 增函数
(3)在(－∞，＋∞)上是 减函数
[思考探究2] 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝
1.根式 (1)根式的概念.
根式的概念
符号表示
备注
如果 xn＝a ，那么x 叫做a的n次方根
n＞1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次 方根是一个 正数 ，负数 的n次方根是一个 负数
零的n次方根是零
根式的概念
符号表示
备注
当n为偶数时，正数的 n次方根有 两个 ，它 们互为 相反数
负数没有偶次方根
指数幂的化简与求值的原则及结果要求 1.化简原则 (1)化负指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数； (4)注意运算的先后顺序.
2.结果要求 （1）若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； （2）若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指
数幂表示； （3）结果不能同时含有根号合分数指数幂，也不能既有
(2)两个重要公式.
①
②
.
2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念
①零指数幂：a0＝1 (a≠0)；
②负整数指数幂：a－p＝ (a≠0，p∈N*)；
③正分数指数幂：a ＝
(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；
④负分数指数幂：a ＝ ＝ (a＞0，m、
n∈N*，且n＞1). ⑤0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 无意义 .
[课堂笔记] (1)由已知可得
其图象由两部分组成： 一部分是：y＝( )x(x≥0) y＝( )x＋1(x≥－1)； 另一部分是：y＝3x(x＜0) y＝3x＋1(x＜－1).
图象如图所示：
(2)由图象知函数在(－∞，－1]上是增函数，在(－1，＋∞) 上是减函数.
(3)由图象可知当x＝－1时，函数y＝( )|x＋1|取最大值1， 无最小值.
[思考探究1] 分数指数幂与根式有何关系？
提示：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数 幂进行根式的运算. (2)有理数指数幂的性质
①aras＝ ar＋s (a＞0，r、s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r、s∈Q)；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
若将本例中的函数改为y＝( )|x－1|，答案又如何？
解：(1)图象如图. (2)函数在(－∞，1]上是增函数， 在(1，＋∞)上是减函数. (3)当x＝1时函数y＝( )|x－1|有最大值1，无最小值
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性、值域，可
，b＝9.
原式 ∴2(ab) ＝2.从而原式＝2.
画指数函数y＝ax的图象，应抓住三个关键点(1，a)， (0,1)，(－1， )，熟记指数函数y＝10x，y＝2x，y＝( )x， y＝( )x在同一坐标系中图象的相对位置，由此掌握指数函 数图象的位置与底数大小的关系.
已知函数y＝( )|x＋1|. (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值. [思路点拨]