EM8-拉压计算

ε
ε（%）
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2013年8月22日星期四
2
两类工程材料
塑性材料 脆性材料
>5% <5%
强度指标

s 或 0.2
b
E、 、
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刚度与塑性
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3
上节重点
拉压变形 胡克定律
轴向变形 绝对变形 ⊿l = l1－l 胡克定律：当σ ≤ σp 横向变形
例题
简易起重机构如图6.1-4，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P
，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为[]。
L x A h B
分析：
V ABD LBD ;
P C
ABD N BD / ; LBD h / sin 。

D
图6.1-4
解： BD杆内力N( )： 取AC为研究对象，如图
y
EA B
E3A3
D
EA
C
N1
A
N3 N
α α
2
3
α α
x A
解： (1) 平衡
∑X= 0 ∑Y= 0
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P
受力图 N1=N2 N1cosα+N2cosα+N3－P= 0 （1） （2）
P
结构图
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EA
E3A3
D 3

EA
C
(2) 变形
B
A
E
△l3 A/
L x
X
A
mA 0 , (NBDsin ) (hctg ) Px
A
Y
A
B
xL

N
B
P
C
BD杆面积F：
N BD
PL hcos
A NBD /
③ 求VBD 的最小值：
V ; [ ] sin2
45o时, Vmin
解：（1）求绳索所受轴力N 用截面法将绳索截开，取研究对象。
画出计算简图，由对称性知两侧轴力相等。
列平衡方程：
Y 0
P 2 N cos 45 0
绳索的轴力： N
P 10 7.07k N 2 2 cos45
（2）求绳索横截面上应力 截面面积：
3.14 402 A 1256mm 2 4 4
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( )
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17
例题
B
2. 各杆变形计算
C
1 α α
A ⊿l ⊿l
2
由对称性，A点位移至A′点， 仍位于对称面上， 两 杆变形量相等，设为⊿l . 由胡克定律
fA P
A′
F N 2 cos
Nl l EA
Pl 2EA cos
问题： ⊿l 与 fA 是什么关系？


E
Nl l EA
EA—拉压刚度
' 常数
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4
上节重点 许用应力


o
n
了解极限应力

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s 或 0.2 b
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5
应力的定义为
FN A
工程力学中数值前面正负号的含义 与假定方向的关系 表示拉压（伸缩） 逆时针或者顺时针
2.计算〔 P 〕
由
0.732 P N1 A1 A1
N1 = 0.732 P

N2 = 0.518 P
得P ≤ 由
A1 〔〕
= 200×115 0.732 0.732
= 31.4 kN
N2 0.518P = ≤ 〔σ〕 A2 A2 A2〔 〕 150×115 = = 33.3 kN 得P≤ 0.518 0.518
0.5N2 N1 0.5N2 l
P
l = l1 = l2 （绝对值）
变形图
l
PEA1 N1= ———— EA1+ EA2
内力按刚度比分配
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PEA2 N2= ———— EA1+ EA2
（均受压）
变形假设与受力假设应一致
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例 图中三杆铰接于A点，其中1，2两杆的长度、 横截面面积、材料弹性模量完全相同，即l1= l2= l, A1=A2= A，E1=E2=E，3杆的横截面面积为A3，弹性模量为E3。求 在铅垂荷载P作用下各杆的轴力。
△l1= △l2= △l3cos
F
（3）
A
A/
(3)物理
N1l △l1= —— EA N2l △l2 = —— EA
变形图
△l3=
N3l cosα
E3A3
（4）
补充方程
N1=N2=N3 EA cos2 E3A3
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（5）
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(4) 内力
N1=N2 N1cosα+N2cosα+N3－P= 0 N1=N2=N3 EA cos2 E3A3 （1） （2） （5） P E3A3 2cos + EAcos2
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A’
变形图
（4）补充方程
N3 l —— EA
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N1l + ———— = EAcos2
(5)
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∑X= 0
∑Y= 0
N1=N2
N3－ N1cosα － N2cosα= 0
（1）
（2）
N3 l N1l —— + ———— = EAcos2 EA
（5）
？
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(1) Deformations
l = l t+ lN = 0 (1)
t
t+t
lt lN
(2) Physics
lt= l t
Nl △lN= —— EA (2) t
N
变形图
(3) Stress
N = EA t
N /A = - E t (3)
B C D
仅用静力平衡方程不能求解全部未 知量 原因：未知量数目多于有效平衡 方程数目
A
F
解法：
静力平衡方程 建立几何方程 建立物理方程 补充 方程
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静力平衡（端 板）： SX=0
N1+ N2 - P=0 (1)
P
P
0.5N2 N1 0.5N2
P
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y
N1

N3 N
B
2

3
D
C

x A A A'
受力图
(1) 平衡
∑X= 0 ∑Y= 0
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结构图 N1=N2 N3－ N1cos － N2cos = 0 （1） （2）
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（2）变形
+ —— = cos (3) α
A
α
（3）物理
N1l1 △l1= —— EA N3 l △l3= —— EA (4)
d 2
（3）校核强度 代入强度条件： 5.63MPa 10 MPa
N 7.07 103 5.63N / mm 2 5.63MPa 代入应力计算公式： A 1256
满足强度条件，故绳索安全。
例题
y
A
45° ① 30° ②
B N1
30°45°
N2
C
C
p
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温度应力 Stress involving temperature
t
lt= l t
t+t
lt
t = t
Statically determinate t+t
Statically indeterminate
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P
已知： A1 = 200 mm2, A2= 150 mm2, 〔〕=115 MPa x 求：许可荷载〔P〕 解：1. 内力计算
取节点 C
∑X = 0, N2sin45°－N1sin30° = 0 ∑Y = 0, N1cos30°＋N2cos45°－P = 0
解出
N1 = 0.732 P , N2 = 0.518 P
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6
第6章拉压杆计算
强度计算 刚度计算 超静定计算
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两种强度失效形式
(1) 屈 服 yield (2) 断 裂
Brittle fracture
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8
强度条件:
最大工作应力小于等于许用应力
2PL [ ]
刚度问题
B C
1 αα 2
A
N1
α α N2
A
y
已知：1，2 两杆相同， EA, l , P , 均已知 求： A 点位移 解：
x P
1. 内力计算
P
取节点A
N1 = N2 = N
∑X = 0,
∑Y = 0, 2N cos－P = 0
P N1 N 2 N 2 cos