信号与系统S域分析
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无
穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j
s称为复频率。
f
(t)
1
2j
F (s)e st ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为
t
所以其收敛域为s 平
面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换
1、阶跃函数
L
u(t)
0
estd t
即 u(t ) 1
est
s 0
( 0)
1 s
2、指数函数
s
L eat eatestd t
f
(t)
1
2
F
(
)e
j
t
d
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可
积，即 其中 e t称为收敛因子
F f (t)e t
F1( )
f
(t )e t e j t dt
Lt 1 s2
L t2
2 s3
L tn
n! s n1
4、冲激函数 (t)
连续时间信号与系统的S域分析课件
VS
频谱分析
在信号处理中，频谱分析是了解信号特性 的重要手段。通过s域分析，可以将时域 信号转换为频域信号，实现对信号的频谱 分析，了解信号的频率成分和功率分布等 特性。
THANKS.
系统的实现与仿真
控制系统硬件实现
根据系统设计要求，选择合适的硬件设备，如 传感器、执行器、控制器等，搭建控制系统。
控制系统软件实现
编写控制算法程序，实现控制系统的软件部分。
系统仿真
通过仿真软件对控制系统进行模拟实验，验证系统设计的正确性和有效性。
s域分析的用
05
在通信系统中的应用
信号传输
在通信系统中，信号经常需要经过长距离传输。在传输过程中，信号会受到各种 噪声和干扰的影响，导致信号质量下降。通过s域分析，可以对信号进行滤波、 均衡等处理，提高信号的抗干扰能力，保证信号的传输质量。
调制解调
在通信系统中，调制解调是实现信号传输的关键技术。通过s域分析，可以对信 号进行调制和解调，将低频信号转换为高频信号，或者将高频信号转换为低频信 号，实现信号的传输和接收。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，系统的稳定性是非常重要的。通过s域分析，可以对系统的极点和零点进行分析，判断系统的稳 定性，以及系统对外部干扰的抑制能力。
稳定性分类
根据系统对输入信号的响应速度 和超调量，可以将系统的稳定性 分为渐近稳定、指数稳定和超调 稳定等类型。
系的s域
04
系统的状态空间表示
状态空间模型
描述系统的动态行为，包括状态方程和输出 方程。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入之间的关系。
状态方程
描述系统内部状态变量的变化规律。
信号与系统第5章-S域分析
，求系统的零状态响应
yzs (t )
某连续时间系统的S域框图如图所示：
1 F(s) +
P267 5.21 (b)题
- -
S-1 3 2
S-1
S-1
4
+
+
Y(s)
（1）求系统函数H(S)。（5分） （2）求系统的单位冲击响应h(t)。（5分） （3）写出该系统的微分方程。（3分） （4）写出该系统的频率响应函数H(jω)的表达式。（2分）
某连续时间系统的S域框图如图所示：
2 3 F(s) +
P267 5.21 (a)题
- -
S-1 5 6
S-1
4
- + -
Y(s)
（1）求系统函数H(S)。 （2）求系统的单位冲击响应h(t)。 （3）写出该系统的微分方程。 （4）写出该系统的频率响应函数H(jω)的表达式。 （5）若系统输入信号 f (t ) et (t )
第5章 连续系统的S域分析
1. 拉普拉斯变换概念
因果信号拉普拉斯变换的收敛域为复平面的 (左、右)半平面。
4t 5t f ( t ) ( e e ) (t ) ,做拉普拉斯变换的收敛域（ ） 信号
（A）Re[s] >4
3t 5t
（B） Re[s]>5
（C）Re[s]<-4
（D）Re[s]<-5
[2e 3e ] (t ) 的拉普拉斯变换为（ ）
（A） 2 3 s3 s5
2 3 2 2 3 （B） s 3 s 5 （C） （D） s3 s5
3 s3 s5
2. 拉普拉斯变换性质
f(t)的单边拉普拉斯变换计为F(S), 的单边拉普拉斯变换为( ) （A）SF(S)-3 （B）SF(S) （C）
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
信号与系统教案第5章连续系统的s域分析
04
连续系统的s域响应分析
初始状态下的s域响应
01
初始状态下的s域响应是指系统 在输入信号和初始状态共同作 用下的输出信号。
02
在s域中，系统的初始状态可以 表示为s的函数，即系统的初始 值。
03
通过求解线性常微分方程或传 递函数，可以得到系统在初始 状态下的s域响应。
零输入响应和零状态响应
零输入响应是指系统在没有输入信号作用下的自由响应，由系统的内部动 态特性决定。
通过分析极点和零点，可以预测系统在不同输入信号 下的行为，从而对系统进行优化和控制。
05
连续系统的s域设计方法
系统函数的合成与分解
线性时不变系统函数的合成
通过组合简单系统函数，构建复杂系统函数。
系统函数的分解
将复杂系统函数分解为简单系统函数的组合， 便于理解和分析。
传递函数表示法
利用传递函数表示系统函数，便于分析系统 的性能和稳定性。
硬件实现
根据系统函数的数学表达式，选择合适的硬件 平台实现系统函数。
软件实现
利用编程语言或仿真软件实现系统函数，并进 行仿真验证。
实验验证
通过实验测试，验证系统函数的正确性和性能指标的符合程度。
THANK YOU
感谢聆听
02
连续系统的s域分析基础
s域的基本概念
80%
s域
复平面上的一个区域，用于描述 线性时不变系统的传递函数。
100%
传递函数
描述系统输入与输出之间关系的 复数函数。
80%
系统函数
描述系统对不同频率输入信号的 响应。
s域分析的优点
方便数学处理
s域中的传递函数可以进行代 数运算和微积分，便于分析和 设计系统。
信号与系统第五章连续系统的s域分析V4.
结论：
1、对于双边拉普拉斯变换而言，F(s)和收敛域 一起，可以唯一地确定f(t)。即：
2、不同的信号可以有相同的F(s)，但他们的收敛
域不同；不同信号如果有相同的收敛域，则他们的
F(s) 必然不同！
三、单边拉普拉斯变换
通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时
刻为0。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为:
s 1
f
(1) (0 )
f
(n) (t)
(
t )n
f
(x)dx
1 sn
F(s)
n m1
1 s nm1
f
(m) (0 )
例: t2(t) ←→?
t
0 (x) d x t (t)
t 0
2
(x) d x
t x (x) d x t 2 (t)
0
2
t 2 (t) 2
s3
教材第225页例5.2-8。
8 e 2 s 2s 2
(1 e2s 2s e2s )
2 e2s s2
(1 e2s
2s e2s )
三 时移性质（Time Shifting）:
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 ,
则f(t-t0)(t-t0) ←→ e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合：则：
1 1
s2 s 1
,
ROC : 1
X 2 (s)
1 , s 1
ROC : 1
而 x1(t) x2(t) t 1 ROC为整个S平面
注：当 R与1 无R2交集时，表明 不X (存s)在。
二 尺度变换（Time Scaling）
逆变换S域分析.ppt
k1k e p1t
£-1
[ E(s)] D(s)
关键如何求 k11 ~ k1k
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
i)求 k11
(s
p1 ) k
F (s)
A(s) D(s)
k11
k12 (s
p1 )
k1k (s
p1)k 1
E(s) D(s)
k11 (s p1)k
k12 (s p1)k1
...
k1k s p1
E(s) D(s)
因为：£1[
(k 1)! (s p1)k
]
t
k
1e
p1t
故：f
(t)
k11 t e k 1 p1t (k 1)!
k12 t e k 2 p1t (k 2)!
...
信号与系统—signals and systems
[例5]： 求解 i(t)
S
LC
＋
＋
E e(t) i(t)
－ －
E 2V , L 1 R 3, C 1/ 2
解：L
di dt
Ri
1 C
idt
Eu(t)
L d 2i R di 1 i E (t)
dt2 dt C R
信号与系统—signals and systems
2．利用 S 域电路模型求解
①元件的 S 域模型
i)电阻：
IR (s) R ＋ VR (s) －
第一章 信号与系统汇总
• 解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若 其是周周期期之 信比 号T，1/其T2周为期有为理T数1和，T则2的其最和小信公号倍x(数t)+。y(t)仍然
• （1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为
2. 连续信号和离散信号
根据信号定义域的特点可分为连续时间信号和离散 时间信号。
• 在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称 为连续时间信号，简称连续信号。
• 这里的“连续”指函数的定义域—时间是连续的， 但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。
• 时间和幅值都为连续的信号称为模拟信号。
离散时间信号
第一章 信号与系统 第二章 连续系统的时域分析 第三章 离散系统的时域分析 第四章 连续系统的频域分析 第五章 连续系统的s域分析 第六章 离散系统的z域分析 第七章 系统函数 第八章 系统的状态变量分析
第一章 信号与系统
本章主要内容
• 1.1 绪言 • 一、信号的概念 • 二、系统的概念 • 1.2 信号的描述与分类 • 一、信号的描述 • 二、信号的分类 • 1.3 信号的基本运算 • 一、加法和乘法 • 二、时间变换
区分。
•3. 信号
• 信号是信息的载体。通过信号传递信息。 • 信号我们并不陌生，如铃声—声信号，表
示该上课了； • 十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；
• 电视机天线接受的电视信息—电信号； • 广告牌上的文字、图象信号等等。 • 为了有效地传播和利用信息，常常需要将
信息转换成便于传输和处理的信号。
• ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs • cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为
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第五章 连续系统的s 域分析
一、单项选择题
X5.1（浙江大学2002年考研题）)()cos(0t t εω的拉氏变换为 。
（A ）[])()(200ωωδωωδπ
-++ （B ）[])()(00ωωδωωδπ-++
（C ）202ω+s s （D ）20
20ωω+s X5.2（北京邮电大学2004年考研题）信号⎰-=
t d t h t f 0)()(τττ的拉氏变换为 。
（A ）
)(1s H s （B ）)(12s H s （C ）)(13s H s （D ）)(14s H s
X5.3（北京邮电大学2003年考研题）信号)()(2t e t f t ε=的拉氏变换及收敛域为 。
（A ）2]Re[,21)(->+=
s s s F （B ）2]Re[,2
1)(-<-=s s s F （C ）2]Re[,21)(>-=s s s F （D ）2]Re[,21)(<+=s s s F X5.4（北京邮电大学2003年考研题）已知某信号的拉氏变换α
α+=+-s e s F T
s )()(，则该信号的时间函数为
（A ）)()(T t e
T t ---εα （B ）)(T t e t --εα （C ）)(αεα--t e t （D ）)()(T t e t ---εαα
X5.5（西安电子科技大学2005年考研题）单边拉普拉斯变换4
)(2+=-s se s F s
的原函数是 。
（A ）)1()2sin(-t t ε （B ）)1()1(2sin --t t ε
（C ）)1()1(2cos --t t ε （D ）)1()2cos(-t t ε
X5.6（西安电子科技大学2001年考研题）单边拉普拉斯变换s e s
s s F 2212)(-+=的原函
数是 。
（A ）)(t t ε （B ）)2(-t t ε （C ）)()2(t t ε- （D ）)2()2(--t t ε
X5.7（东南大学2000年考研题）若线性时不变因果系统的H (j ω)，可由其系统函数H (s )将其中的s 换成j ω来求取，则要求该系统函数H (s )的收敛域应为 。
（A ）σ>某一正数 （B ）σ >某一负数
（C ）σ<某一正数 （D ）σ<某一负数
X5.8（北京航空航天大学2000年考研题）已知一个LTI 系统初始无储能，当输入)()(1t t f ε=时，则输出为)()(2)(21t t e t y t δε+=-；当输入)(3)(t e t f t ε-=时，系统的零状态响应)(t y 为 。
（A ）())(1292t e e t t ε--+- （B ）())(12932t e e t t ε--+-
（C ）())(86)(2t e e t t t εδ--+-+ （D ）()
)(129)(32t e e t t t εδ--+-+ X5.9（北京交通大学2004年考研题）以下为4个因果信号的拉氏变换，其中 不存在傅里叶变换。
（A ）
s 1 （B ）1 （C ）21+s （D ）21-s
答案：
X5.1[C] X5.2[B] X5.3[C] X5.4[B] X5.5[C]
X5.6[B] X5.7[B] X5.8[D] X5.9[D]。