极限存在准则
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式首先，我们来介绍极限保号公式。
设函数f(x)在点a的一些邻域内有定义，如果存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M，则称M为f(x)在点a处的一个保号常数。
现在我们来证明极限保号公式：假设f(x)在其中一点a的一些邻域内有定义，并且存在常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有，f(x)，≤M。
如果limx→af(x)=L存在，那么L也满足，L，≤M。
证明：由于limx→a f(x)=L存在，那么对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<ε。
现在我们取ε=M，那么存在δ>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)-L，<M。
这说明，对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，=，f(x)-L+L，≤，f(x)-L，+，L，<M+，L。
我们再取任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ，那么有，f(x)，≤M+，L，但是我们已经知道，在点a的一些邻域内存在保号常数M>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，都有，f(x)，≤M。
所以有，L，≤M。
这就是极限保号公式的证明。
接下来我们来介绍夹逼准则。
设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内有定义，并且对于任意的x∈(a-h,a+h)（h>0），都有g(x)≤f(x)≤h(x)。
如果limx→a g(x)=limx→a h(x)=L存在，那么limx→a f(x)=L也存在。
证明：对于任意的ε>0，由于limx→a g(x)=L存在，那么存在δ1>0，使得对于任意的x∈(a-h,a+h)，如果0<，x-a，<δ1，那么有，g(x)-L，<ε。
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
当
时,
当
时,
lim
n
xn
a
令N max N1 , N2,
则n当 N
时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即xn a ,
l故im
n
xn
a
.
2
例1. 证明
证: 利用夹逼准则 由.
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
n2
n2
且
lim
n
n
n2 2
lim
n
1
1
n2
1
lim n
n
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
1
3
准则1’ 函数极限存在的夹逼准则
当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
a
lim
n
xn
b
(m)
b ( 证明略 ) 5
例2. 设
证明数列
极限存在 . (P49)
证: 利用二项式公式(P270 ), 有
xn (1 1n)n
1
n 1!
1 n
n(n1) 2!
1 n2
n(n1)(n2) 3!
1 n3
n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
x x0
2
极限存在准则 两个重要极限
y 2.594 2.705 2.7169 2.71815 2.71827 …
x -10 -100 -1000 -10000
y 2.88 2.732 2.720
2.7183
y
1
1 x
x
的值无限接近于一个常数
-100000 … 2.71828 …
e 2.718281828459045
xn
a xn
a
xn1 xn
1(1 2
a xn2
)
1 2
(1
a) a
1
∴数列单调递减有下界，
故极限存在，
设
lim
n
xn
A
则由递推公式有 A 1 ( A a ) 2A
A a
x1 0,
xn 0, 故
lim
n
xn
a
三、 两个重要极限
证: 当
x(0,
则
a 2a
lim
n
xn
lim
n
2 xn1
a2 2 a
a2 a 2 0
a2
备用题
1.设
xn1
1 2 ( xn
a xn
)(
n
1
,
2
,
) , 且 x1 0 ,
a0, 求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
解：
1
a
xn1 2 ( xn xn )
令z=1/x, 则x→∞时， z→0，
由此可得:
1
1
lim(1 z)z lim(1 x)x = e
第六节极限存在准则
一、准则I 第一重要极限 二、准则II 第二重要极限 *三、柯西极限存在准则
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、准则I 第一重要极限
准则I 如果数列 { xn }、{ yn } 及 { zn } 满足下列条件
(1) 从某项起，即 n0 N，当 n > n0 时，有
1.
lim lim 例2 求求
xx00
1 cosx x 22
.
y
y tan0 x
解
第六节 极限存在准则 两个重x要极限
于112是l例 例解 解 例llxixiximm由m034040 s1复令ai求 求求nr2xc2合xcsxt222oxillln=sxxii函xxixxmmma0000数第r12sasssclllir六 iiinxinsint的ncximmimx7s3节73n000ixxx极xn2sxx.极.iss，tn限.ii限xnnt2x则22运 存s2xi2xn在1x算23.例准解 例x=法则s55i则n两求求个t得，x重代llsyx当xiii要nmm表sy极2i第nxxx相限3ys六sxii2nn同节012x2xx时的.极.xco限2，表ssi存nx有达2在x t式准则0
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那么 lim f (x) 存在，且等 A . x x0 ( x)
准则I及准则I'称为夹逼准则.
y y 1
y sin x x
1 y cos x
O
x
第六节 极限存在准则 两个重要极限
第一重要极第六限节 极限存在准则 两个重要极限
lim x0
lim yn a n
>0, N1, 当 n > N1 时, 有 | yn – a | < ,
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
极限存在准则两个重要极限
一、 极限存在准则
定理20
(单调有界准则)单调有界数 列必有极限.
设数列{xn}单调增加，且 xn≤M.从图2-9可以看出，因为数 列单调增加又不能大于M，故该 数列某项以后的所有项必然集中 在某数a(a≤M)的附近，即对ε>0， 必然存在正整数N与数a，使当 n>N时，恒有xn－a<ε，从而数 列{xn}的极限存在.
N=max{N1,N2}，则当n>N
yn－a<ε，zn－a<ε,
a－ε<yn<a+ε，a－ε<zn<a+ε, 从而，当n>N a－ε<yn≤xn≤zn<a+ε, 即xn－a<ε，所以limn→∞ xn=a.
一、 极限存在准则
注
利用定理18求极限，关键是构造出极限相同且易求 的两个数列yn与zn.
【例29】
二、 两个重要极限
数学中常常会对一些重要且有典型 意义的问题进行研究并加以总结，以期 通过对该问题的解决带动一类相关问题 的解决，下面介绍的重要极限就体现了 这样的一种思路，利用它们并通过函数 的恒等变形与极限的运算法则就可以使 得两类常用极限的计算问题得到解决.
二、 两个重要极限
1.
证在图2-10所示的单位圆中,设 ∠AOB=x,先假设0<x< ,点A处的 切线与OB的延长线相交于点D，又 BC⊥OA
谢谢聆听
【例35】
三、 柯西极限存在准则
定理21
(柯西极限存在准则)数列{xn}收敛的充分必要条件是：对于任意 给定的正数ε，存在正整数N，使得当m>N，n>N
xm－xn<ε. 证必要性.设limn→∞ xn=a，则对于ε>0，由数列极限的定义，v 正整数N，当n>N
1.6.极限存在准则
一、极限存在准则
二、两个重要极限
1
本节将给出两个在后面求导数时经常要用到的重 要的极限公式：
lim
x 0
sin x x
1
lim (1
x
1 x
) e
x
为此先介绍判定极限存在的准则.
2
一、极限存在准则
1. 两边夹准则
准则Ⅰ 如果数列 { xn }, { yn }及{ zn } 满足下列条件:
n n
2
n 1
2
,
又 lim
n n n
2
n
lim
n
1,
lim
n n 1
2
n
lim
1 1 1 n
2
n
由两边夹定理得
1 n n
2
lim (
n
1 n 1
2
1 n 2
2
) 1.
7
注
利用两边夹准则是求极限的一个重要手段,
将复杂的函数 f (x)做适当的放大和缩小化简, 找出有共同极限值又容易求极限的函数 g(x) 和h(x)即可.
( )2 2
13
例
lim n sin
n
2 n
sin lim 2
n
2 n
2
2 n
例
求 lim3.
3
解
sin 3 ( x a )
x a
例
lim
sin
3 3
x
x 0
3x
sin x 1 lim 3 x0 3 x 3 1
(1
1
极限的存在准则
极限的存在准则极限，是指事物所能达到的最大或最小程度。
在各个领域中，人们常常谈论到极限，无论是运动员在竞技场上创造的极限成绩，还是科学家在实验室中突破的极限技术。
然而，极限的存在并非凭空想象，而是有一定准则的。
一、极限是相对的首先，我们要认识到极限是相对的。
事物的极限是与其环境、条件以及个体能力息息相关的。
比如对于一个长跑运动员来说，他的极限成绩会受到气候、海拔、饮食等多种因素的影响。
同样地，一个科学家的实验极限也会受到设备、资金、时间等因素的限制。
二、极限具有挑战性极限存在的准则之一是挑战性。
人们往往试图突破极限，以进一步的进步和创新。
正如一句名言所说：“没有挑战，就没有进步。
”运动员会不断努力超越自己的极限，创造更好的成绩；科学家会探索新的领域，寻求突破。
挑战极限的过程不仅有助于个人的成长，也使整个人类社会迈向新的高度。
三、极限需要合理规划在追求极限的过程中，合理规划是必不可少的。
无论是运动员还是科学家，都需要在追求极限的同时保护好自己的身体或心理健康。
对于运动员来说，合理的训练计划和适度的休息是突破极限的关键；对于科学家来说，保持调适的心态和平衡的工作与生活也是必需的。
四、极限有时需要克制尽管我们追求突破极限，但在某些情况下，克制也是必要的。
世界上有许多事物是不能无限制地发展或探索的。
比如，资源的有限性限制了经济的持续增长；道德和法律的约束限制了人们的行为。
因此，极限存在的准则之一就是在适当的时候进行克制，以保持事物的平衡和可持续发展。
五、极限需要不断突破最后，极限存在的准则还包括不断突破。
无论是个人的极限，还是整个社会的极限，只有不断地挑战和超越，才能不断取得新的成就和突破。
正如科学家爱因斯坦所说：“船只总是安全停泊在港口，但它们并不是为此而造。
”只有努力去创造、去突破，我们才能看到更广阔的世界和更大的潜能。
总结起来，极限的存在准则是相对性、挑战性、规划性、克制性和突破性。
理解和遵循这些准则，可以帮助我们更好地把握极限的本质和意义，从而在追求极限的道路上获得更大的成功和进步。
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故
x
x lim (1 1 ) e x
1 z
说明: 此极限也可写为 lim (1 z ) e
z 0
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(1 ) e
1 x x
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例9. 求
解: 令 t x , 则
t t lim (1 1 ) t
lim
1
t
n
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例1. 证明
证: 利用夹逼准则 . 由
2 1 1 1 n n 2 2 2 2 n π n 2π n nπ n π
且
1 n2 lim 1 lim 2 π n 1 2 n n π n 1 1 1 lim n 2 2 2 1 n n π n 2 π n nπ
n 1 (1 n1 ) 1
n n
n lim lim (1 n1 ) 1
n
1 n1 1
e
n 1 1)n 1） lim (1 1 ) lim [( 1 （ 1 ] e n n n n
x
x lim (1 1 ) e x
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第六节 极限存在准则及 两个重要极限
一、极限存在 准则
第一章
二、 两个重要极限
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一、极限存在 准则
准则 1. （夹逼准则） 如果数列{xn },{ yn },{zn }满足下列条件:
1) yn xn zn， (n 1,2,3, ) 2)lim yn a,lim zn a,
准则III（ 柯西审敛原理） 数列{xn }收敛 0, N ,当n N , m N时, xn xm <
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1 a 例3.设 xn 1 ( xn ) ( n 1 , 2 , ) , 且 x1 0 , 2 xn a 0 , 求 lim xn . 利用极限存在准则
大 大
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ) ( n 1)! n1 n1 n1
正
比较可知
又
xn xn1 ( n 1, 2 , )
n xn (1 1 ) 11 n
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又
n 1 xn (1 n )
11
11
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xn 1 1 1 (1 1 ) 1 (1 1 ) (1 2 ) 3! n 2! n n
1 (1 1 ) (1 2 ) (1 n1) n ! n n n 1 (1 1 ) 1 (1 1 )(1 2 ) xn1 1 1 2 ! n1 3! n1 n1
的图形
sin x x
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例5. 求
tan x sin x 1 解: lim lim x 0 x x 0 x cos x sin x 1 lim 1 lim x 0 x x 0 cos x
例6. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
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2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 )
n
lim xn a ( M )
a
n
lim xn b ( m )
b
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例2. 设
极限存在 . 证: 利用二项式公式 , 有
n xn (1 1 ) n
证明数列
n1 1 1! n
n
n
A a
a
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例4. 设
证明下述数列有极限 .
证: 显然 xn xn 1 , 即
单调增, 又
(1
) 1
1 (1 a1 )(1 ak )
存在
“拆项相消” 法
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二、 两个重要极限
证: 当 x ( 0 , π ) 时， 2
x x0 x x0
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夹逼准则
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证明： lim yn a,lim zn a,
n n
0, N1 ,当n N1时, yn a N 2 ,当n N 2时, zn a 取N max( N1，N 2 ), 则当n N时， 有 yn a , zn a 同时成立 又yn xn zn， a yn xn zn a xn a 即 lim xn a.
n
1 a a 解： xn 1 (xn ) xn a 2 xn xn 1 a xn 1 1 a (1 2 ) ( 1 ) 1 2 a xn 2 xn
∴数列单调递减有下界， 设 lim xn A 故极限存在，
1 a 则由递推公式有 A ( A ) 2 A x1 0 , xn 0 , 故 lim xn
t 原式 lim t 0 sin t
sin t t
1
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例7. 求
解: 原式 = lim
x 2 sin 2 2
x 0
x
2
1 2 sin 1 lim x 1 2 2 x0 2
x 2
2
例8. 已知圆内接正 n 边形面积为
π An n R 2 sin π cos n n
n n
该准则也可推 广到函数
则{xn }的极限存在,且 lim xn a.
n
函数极限存在的夹逼准则
x x0
当 x U ( x0 , ) 时, g ( x) f ( x) h( x) , 且 lim f ( x) A lim g ( x) lim h( x) A
3 1 2
n 1
3
根据准则 2 可知数列 xn 有极限 . 记此极限为 e , 即
n n lim (1 1 ) e n
e 为无理数 , 其值为
e 2.718281828459045
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准则II：设f ( x)在x0的某个单侧邻域内单调有界，则 f ( x)在x0该单侧邻域内有相应的单侧极限
n ( n1) 1 2! 2 n
n ( n1)( n2) 1 3 3! n
n ( n1)( nn1) 1 n! nn
1 (1 1 ) 1 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 11 2 3! n ! n n 1 (1 1 ) (1 2 ) (1 n1) n ! n n n
x 2
x
lim (1 sin 2 ) x
x
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
e
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当
时, 令 x (t 1) , 则
1 ) (t 1) lim (1 t 1 t
从而有
t ) (t 1) 1) t 1 lim ( t lim ( 1 1 t t t t 1)] e lim [(1 1 ) ( 1 t t t
( x) 1 lim ( 1 ) e, 则 说明 ：若利用 ( x) ( x )
1 ) x lim ( 1 原式 x x
1 e 1
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例10. 求
解: 原式 =
1 ) 2 ]2 lim [(sin 1 cos x x x
π n
R
证明: 证: lim An lim π R 2 π n n
n
算中注意利用
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2. 证 : 当 x 0 时 , 设 n x n 1, 则
n 1 (1 n 1)
x n 1 1 1 (1 x ) (1 n )
O C A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积 即 故有 亦即 显然有
1 sin x 2
1 x
B D
1 tan x 2
(0 x π ) 2 (0 x π ) 2
sin x x tan x
sin x cos x 1 x
注
注
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sin x x