第2节组合学初步
人教版数学二年级上册(2013年新编)第八单元_第02课时_简单的组合(教学设计)
人教版数学二年级上册（2013年新编）第八单元第02课时简单的组合（教学设计）一、教学目标1.知识与能力：–能够认识和解读简单的组合问题。
–能够运用简单的组合方法解决问题。
2.过程与方法：–通过实际情境引入，激发学生学习兴趣。
–采用示例演练，引导学生学习思路。
–组织小组合作，培养学生合作意识和团队精神。
3.情感态度与价值观：–培养学生敢于探索和实践的学习态度。
–培养学生积极主动解决问题的能力。
二、教学重点简单的组合问题的解决方法。
三、教学难点引导学生灵活运用组合方法解决问题。
四、教学准备1.课件：包括简单的组合问题示例。
2.实物道具：用于实际情境引入。
3.小组合作材料：让学生在小组中共同解决问题。
五、教学过程第一步：导入（5分钟）1.利用实物道具引入简单的组合问题，激发学生兴趣。
2.提出一个简单的组合问题，让学生思考可能的解决方法。
第二步：示范与讲解（15分钟）1.通过课件示例演练简单的组合问题解决方法。
2.讲解组合方法的基本原理和步骤。
第三步：小组合作（20分钟）1.将学生分成小组，让他们共同解决几个组合问题。
2.引导学生讨论和协作，培养团队精神。
第四步：总结（10分钟）1.收集学生解决问题的方法和答案。
2.总结组合方法的应用场景和意义。
六、教学反思本节课通过实际情境引入和小组合作的方式，有效激发了学生的学习兴趣和合作意识。
在今后的教学中，可以进一步丰富教学方法，提高学生的动手能力和创新思维。
以上是本节课的教学设计，希望能够帮助学生更好地掌握简单的组合方法解决问题的技巧。
大学组合学教案
课时：2课时教学目标：1. 让学生了解组合学的概念、起源和发展。
2. 掌握组合学的基本理论和方法。
3. 培养学生运用组合学解决实际问题的能力。
教学重点：1. 组合学的概念和起源。
2. 组合学的基本理论和方法。
3. 组合学在实际问题中的应用。
教学难点：1. 组合学理论的理解和应用。
2. 复杂组合问题的解决。
教学过程：第一课时一、导入1. 向学生介绍组合学的概念，引导学生思考组合学在实际生活中的应用。
2. 引出课题《大学组合学》。
二、教学内容1. 组合学的概念：介绍组合学的定义、研究对象和特点。
2. 组合学的起源和发展：讲述组合学的起源、发展历程以及重要人物。
三、教学方法1. 讲授法：讲解组合学的基本概念和理论。
2. 案例分析法：通过实际案例，引导学生分析组合学在生活中的应用。
四、课堂练习1. 学生独立完成课后习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
第二课时一、复习导入1. 复习上节课所学内容，提问学生组合学的概念、起源和发展。
2. 引出本节课教学内容。
二、教学内容1. 组合学的基本理论：介绍排列、组合、图论等基本概念和性质。
2. 组合学的基本方法：讲解递推关系、生成函数、图论算法等常用方法。
三、教学方法1. 讲授法：讲解组合学的基本理论和方法。
2. 互动式教学：通过提问、讨论等方式，引导学生深入理解组合学知识。
四、课堂练习1. 学生独立完成课后习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
五、总结与拓展1. 总结本节课所学内容，强调组合学在实际问题中的应用。
2. 引导学生思考组合学在其他学科中的应用，如计算机科学、数学等。
教学评价：1. 学生对组合学概念、起源和发展有了一定的了解。
2. 学生掌握了组合学的基本理论和方法。
3. 学生能够运用组合学解决实际问题。
教学反思：1. 在教学过程中，注重理论联系实际，提高学生的应用能力。
2. 针对学生的不同层次，采取分层教学，确保每个学生都能掌握组合学知识。
02奇妙的组合
这些问题变化一下，可以产生一些其它的难题：
(1)规则同前，只是当你移动一对记号时，如果是不同颜色的，在移动前交换它们的位置。也就是黑红对在移动前变为红黑对，8个记号移动5次可以完成，10个记号移动5次也可以完成。我们还不知道一般的解决方法，或许你能找到。
(2)规则和原题一样，只是一种颜色的记号有n个，另一种颜色的记号有n+1个，并且只有颜色不同的一对才能移动。可以证明：无论n为何值，都需移动n2次，且这是最小的移动次数。
另一方面，许多最初很难证明其不可能性的组合问题，在具有了巧妙的想法后却很容易证明。在“恼人的花砖”问题中，我们看到简单的奇偶检验马上导致了用其它方式很难证明的组合的不可能性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
关于小球的第二个问题把组合思想和不同数学体系的应用结合了起来。我们知道，可以依赖组合的规则，用数学做各个位置的记号，实际上，所有的推理，无论是数学的还是逻辑的，都能用一串组合符号来进行，不管这是不是合适的说法。
组合分析通常要找到根据某种规则进行分组的全部组合，如所谓“穷举问题”在苏珊上学路径中的应用，在这个问题上，组合的元素是沿模型边缘的曲线路径，由于几何图形被引入，我们称其为组合几何。
每个数学分支都有其组合问题，你将在本书各节中找到它们。有组合数学，组合拓扑，组合逻辑，组合集合理论——甚至组合语言，这将在语词游戏一章看到。组合学在概率理论方面尤为重要，在找到概率公式以前列举所有可能的组合是非常必要的。有一个著名的概率问题集叫作“机会与机遇”，题目中“机会”这个词指的就是组合因素。
噢!关键在于最“坏”情形的长。有人可能想通过给这11个球标上字母来解决这个问题，然后检查所有可能排列，看看在出现三个同样球的排列中哪个是最长的。但是这种解决办法需列出ll!=3931680O种排列，即使同样颜色的球不用字母区分，也要列出2310种排列。
人教版二年级数学上册第7单元第2课时《简单的组合》教案
人教版二年级数学上册第7单元第2课时《简单的组合》教案一、教学目标1.理解什么是组合。
2.能够通过列举方法求出简单的组合。
3.能够解决生活中简单的组合问题。
4.培养学生的逻辑思维和观察力。
二、教学重点1.理解组合的概念。
2.掌握列举方法求简单的组合。
三、教学难点1.理解组合的概念对学生可能有一定挑战。
四、教学准备1.教材：人教版二年级数学上册。
2.教具：贝壳、小球、图示卡片等。
五、教学过程1. 导入教师出示一个小盒子，里面装有不同颜色的小球和贝壳，让学生观察并回答：如果任意拿出两个物品，你们认为会有多少种组合方式？2. 学习1.引导学生讨论什么是组合，并给出组合的定义。
2.通过具体例子，讲解如何用列举方法求出简单的组合。
3.让学生自己实践，通过不同的图示卡片组合问题，锻炼他们的组合能力。
3. 拓展1.让学生自己设计一个简单的组合问题，并邀请同学尝试解答。
2.老师根据学生设计的问题，引导同学互相交流和讨论解法，拓展学生的思维。
4. 实践设计一些生活中简单的组合问题，让学生进行实际操作，并分享解题思路和答案。
六、课堂总结通过本节课的学习，学生应该掌握了什么是组合，能够通过列举方法求出简单的组合，并且能够解决生活中一些简单的组合问题。
老师对学生的表现进行肯定和激励，鼓励他们在日常生活中多发挥组合的能力。
七、课后作业1.思考：在您的日常生活中，有哪些情景可以应用到组合的思维？2.练习：完成课后练习册上关于组合的题目。
3.发挥想象：设计一个更复杂的组合问题，让家人或同学来解答。
通过本节课的学习，相信学生对组合的概念有了更深的理解，而且在日常生活中也能够灵活运用这种思维方式。
2.组合二-人教版三至四年级教案
组合二-人教版三至四年级教案一、教学目标1.知道组合二的含义；2.掌握数的分解方法；3.能够用分解的方法求出组合数；4.能够在实际问题中应用组合数的概念。
二、教学重难点1.掌握数的分解方法；2.理解组合数的概念。
三、教学过程1. 导入（5分钟）教师可以通过做题或者口头问答的形式，先让学生回想学过的排列和组合的概念，为接下来的学习做铺垫。
2. 讲解（20分钟）1.首先让学生认识组合二的概念，即从n个不同元素中取出r个元素，不考虑顺序的所有可能性。
2.掌握数的分解方法，即如何将一个数字分解成两个数字的和。
教师可以通过数学拼图或其他教具等方式进行展示，让学生们能真正理解。
3. 实践演练（25分钟）1.通过实例的形式，让学生体会数的分解、组合数的计算。
比如：从5个不同元素中取出2个元素，有多少种取法？2.然后让学生自己尝试解决一些类似的题目，巩固计算方法。
4. 拓展应用（25分钟）1.将组合数的概念应用到实际生活中，让学生思考如何用组合数的方法解决某些问题，如从班级里选出一支足球队，有多少种不同的选法。
2.在此基础上，再给学生一些拓展的题目，挑战他们的思维和计算能力。
5. 总结（5分钟）教师对当堂课的教学内容进行总结，并进行引导式提问，帮助学生回忆今天学习的内容，巩固知识点。
四、教学反思1.教育者要善于借助教具，让学生在生动的视觉效果中理解抽象概念。
2.学生在学习过程中，需要不断的练习和运用所学的知识，才能够真正地将知识传承下去。
3.教育需要不断的创新，增加学生的学习兴趣，帮助他们更好地掌握知识。
组合数学课件--第一章第二节 允许重复的组合与不相邻的组合
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置 例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
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一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置， 剩下的是1的位置。
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一、序数法
推论 从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
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一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
人教版美术五年级下册《第2课形体的组合》说课稿1
人教版美术五年级下册《第2课形体的组合》说课稿1一. 教材分析《第2课形体的组合》是人教版美术五年级下册的一课。
本课主要让学生通过观察、分析、实践，了解和掌握形体的组合方法，提高学生的空间想象力和创新能力。
教材以生活中的实物为例，引导学生发现和探索形体的组合方式，培养学生的审美观念和审美能力。
二. 学情分析五年级的学生已经具备了一定的美术基础，对形体的认知也有了一定的了解。
但学生在形体组合方面的实践经验较少，需要通过本课的学习，进一步拓宽视野，提高创新能力。
此外，学生对生活中的实物较为熟悉，但将其运用到美术创作中，还需要教师的引导和启发。
三. 说教学目标1.知识与技能：了解形体的组合方法，能够运用形体组合创作出具有个性的作品。
2.过程与方法：通过观察、分析、实践，提高学生的空间想象力和创新能力。
3.情感、态度和价值观：培养学生对美术的热爱，增强学生的审美观念和审美能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：形体的组合方法及其运用。
2.教学难点：形体组合的创新和个性表达。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用观察、分析、实践、合作等教学方法，引导学生主动探索、发现、创造。
2.教学手段：利用多媒体展示实物图片，为学生提供丰富的视觉资源；采用示范、讲解、辅导等手段，为学生提供及时的帮助和指导。
六. 说教学过程1.导入：以生活中常见的实物为例，引导学生观察和思考形体的组合方式，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：讲解形体的组合方法，如堆叠、穿插、组合等，并通过示例进行演示。
3.实践环节：学生分组进行形体组合创作，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.展示与评价：学生展示自己的作品，相互评价，教师进行总结性评价，给予鼓励和指导。
5.拓展延伸：引导学生将形体组合应用于实际生活中，提高学生的创新能力。
七. 说板书设计板书设计如下：1.课题：形体的组合2.组合方法：堆叠、穿插、组合3.创作要求：创新、个性、美观八. 说教学评价本课采用多元化的评价方式，包括学生自评、互评和教师评价。
中学数学第十一章 第2节 排列与组合
第2节 排列与组合最新考纲 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.知 识 梳 理1.排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.(2)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质[微点提醒]1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立.()(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.()(5)k C k n＝n C k－1.()n－1解析(1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若C x n＝C m n，则x＝m或n－m，故(3)错.答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.(选修2－3P18例3改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()A.12B.24C.64D.81解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A34＝24.答案 B3.(选修2－3P26知识改编)计算C37＋C47＋C58＋C69的值为________(用数字作答).解析原式＝C48＋C58＋C69＝C59＋C69＝C610＝C410＝210.答案2104.(2019·福州调研)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.答案 D5.(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答).解析法一可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C12 C24＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C22C14＝4种.根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有12＋4＝16种.法二从6人中任选3人，不同的选法有C36＝20种，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C34＝4种，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16种.答案166.(2018·浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答).解析若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C23A44；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C13C13A33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C25C23A44＋C25C13C13A33＝720＋540＝1 260.答案 1 260考点一排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.解(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种).(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).(5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A66种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A15种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A15种，其余人全排列，只有A55种不同排法，共有A66＋A15A15A55＝3 720.法二(间接法)7名学生全排列，只有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共有A77－2A66＋A55＝3 720(种).规律方法排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练1】(2019·新余二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为()A.120B.240C.360D.480解析第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3×4×5×6＝360种方法.答案 C考点二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种).∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种).∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3种的总数为C335，选取3种假货有C315种，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练2】(1)(一题多解)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A.14B.24C.28D.48(2)(2019·咸阳二模)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种解析 (1)法一 4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C 12·C 34＋C 22·C 24＝2×4＋1×6＝14. 法二 从4男2女中选4人共有C 46种选法，4名都是男生的选法有C 44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C 46－C 44＝15－1＝14.(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C 45＋C 44＋C 25C 24＝66(种).答案 (1)A (2)D考点三 分组、分配问题多维探究角度1 整体均分问题【例3－1】 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.解析 先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法.答案 90角度2 部分均分问题【例3－2】 某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A.80种B.90种C.120种D.150种解析 分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有C 25C 23C 11A 22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种分派方法； 另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有C 35C 12C 11A 22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C35C12C11A22A33＝60种分派方法.所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).答案 D角度3不等分问题【例3－3】A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有()A.24种B.30种C.48种D.60种解析B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有A22＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A33＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.答案 C规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数.2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！.3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.【训练3】(1)(2017·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).解析(1)先把4项工作分为2，1，1共3组，有C24C12C11A22＝6种分法，再将3组对应3个志愿者，有A33＝6种情况，由分步乘法计数原理，故安排方式有6×6＝36种.(2)分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C23C11A24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).答案(1)D(2)60[思维升华]1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.[易错防范]1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合.2.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48种.答案 C的解集为()2.不等式A x8<6×A x－28A.{2，8}B.{2，6}C.{7，12}D.{8}解析8！（8－x）！<6×8！（10－x）！，∴x2－19x＋84<0，解得7<x<12.又x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8，x∈N*，即x＝8.答案 D3.从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有()A.180种B.220种C.240种D.260种解析因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有A14·A35＝240种.答案 C4.(一题多解)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A.18B.24C.30D.36解析法一选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C24C13＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C14C23＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C24C13＋C14C23＝30种.法二从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.答案 C5.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20解析由于lg a－lg b＝lg ab(a＞0，b＞0)，∴lg ab有多少个不同的值，只需看ab不同值的个数.从1，3，5，7，9中任取两个作为ab有A25种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a－lgb的不同值的个数有A25－2＝18.答案 C6.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()A.C27A55B.C27A22C.C27A25D.C27A35解析首先从后排的7人中抽2人，有C27种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A25种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C27A25.答案 C7.(2019·武汉模拟)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有()A.34种B.48种C.96种D.144种解析特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C12种选法，乙、丙相邻，有4种情况，乙、丙可以交换位置，有A22种情况，其余3人站剩余的3个位置，有A33种情况，由分步乘法计数原理知共有4C12A22A33＝96种.答案 C8.(2019·福州二模)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有()A.90种B.180种C.270种D.360种解析根据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有C16＝6种情况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有C15＝5种情况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后安排到剩下的2个展区，有C24C22 A22×A22＝6种情况，则一共有6×5×6＝180种不同的安排方案. 答案 B二、填空题9.已知1C m5－1C m6＝710C m7，则m＝________.解析由组合数公式化简整理得m2－23m＋42＝0解得m＝2或m＝21(舍去).答案 210.从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有________种(用数字作答). 解析特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一人参加，有C14种方案；然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下3科，有A35种方案.故共有C14A35＝4×60＝240种方案.答案24011.在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种(用数字作答).解析将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A22A22A23＝24种不同的展出方案.答案2412.(2019·开封模拟)某班主任准备请2019届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有________种(用数字作答).解析若甲、乙同时参加，有C22C26C12A22A22＝120种，若甲、乙有一人参与，有C12C36A44＝960种，从而总共的发言顺序有1 080种.答案 1 080能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018·保定模拟)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()A.8B.7C.6D.5解析根据题意，分2种情况：①乙和甲一起去A社区，此时将丙丁二人安排到B，C社区即可，有A22＝2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙丁都去B社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7.答案 B14.(2019·广州一模)把8个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则不同的放法种数为()A.35B.70C.165D.1 860解析根据题意，分4种情况讨论：①没有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有C37＝35种放法；②有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有C34＝4种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有C27＝21种分组方法，则有4×21＝84种放法；③有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有C24＝6种选法，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有C17＝7种分组方法，则有6×7＝42种方法；④有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法.故一共有35＋84＋42＋4＝165种放法.答案 C15.(2018·江西八所重点中学模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为________(用数字作答).解析从5人中任选3人有C35种，将3人位置全部进行调整，有C12·C11·C11种.故有N＝C35·C12·C11·C11＝20种调整方案.答案2016.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素有________个(用数字作答).解析因为x i∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以x i中至少两个为0，至多四个为0.①x i(i＝1，2，3，4，5)中4个0，1个为－1或1，A有2C15＝10个元素；②x i中3个0，2个为－1或1，A有C25×2×2＝40个元素；③x i中2个0，3个为－1或1，A有C35×2×2×2＝80个元素；从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素.答案130古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
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如果n+1个物体用n种颜色涂色，那么必然有两个物 体被涂成相同的颜色。
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集合与图论
抽屉原理
1
存放
4个物体
2
3 4 5 3个盒子
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集合与图论
抽屉原理
例1：在13个人中存在两个人，他们的生日在同一个月 份里。
考虑12个盒子，每个盒子对应一个月份，将13 个人放到12个盒子中，则至少有一个盒子包含两个或 两个以上的人，即，这在13个人中存在两个人，他们 的生日在同一个月份里。
广义容斥原理解决的问题:
A1 A2 ...Ai Ai +1 ... An
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集合与图论 抽屉原理：简单形式
抽屉原理
如果n+1个物体被放进n个盒子中，那么至少有一 个盒子包含两只或更多的物体。
其它表述形式： 如果n+1只鸽子被放进n个鸽巢中，那么至少有一个 鸽巢包含两只或更多的鸽子。
m1 + m2 +... + mn n(r - 1) +1 1 = = (r - 1) + > r - 1 n n n
由于这个平均数大于r-1，故而有一个整数mi至少是r。
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集合与图论
抽屉原理
例6：证明每个由n2+1个实数构成的序列a1,a2,…,an2+1 或者含有长度为n+1的递增子序列，或者含有长度为 n+1的递减子序列。
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集合与图论
容斥原理
定理2 容斥原理(或逐步淘汰原理)形式之二 设A1,A2,...,An都是有限集S的子集，则
A
i =1
n
c i
= S - 邋Ai +
i =1
n
1? i j ＃ n
Ai Aj 1 i < j <k n
Ai Aj Ak
+... + (- 1)n A1 A2 ... An
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集合与图论
容斥原理
例2：1,2,3,4,5,6六个数的全排列中不出现135和46的 排列有多少个？
例3：一个人写了十封集和十个信封，然后随机 地将信装入信封，试求每封信都装错了的概率。
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集合与图论
容斥原理
容斥原理解决的问题:
A1 An
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集合与图论
抽屉原理
例2：设有n对已婚夫妇。为保证能够有一对夫妇被 选出，至少要从这2n个人中选出多少人？ 应至少选择n+1个人。 考虑n个盒子，每个盒子对应一对夫妇。如果我们 选择n+1个人并把他们中的每一个人放到他们对偶所 在的那个盒子中去，那么就有同一个盒子含有两个人， 也就是说，我们选择了一对已婚夫妇。
推论2：若取n(m-1)+1个物体放入n个盒子中，则至少 有1个盒子有m个物体。
这个推论相当于q1=q2=…=qn=m时的特殊情况。
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集合与图论
抽屉原理
推论3：若m1,m2,…,mn是n个正整数，而且 m1 + m2 +... + mn >r - 1 n 则m1,m2,…,mn中至少有1个数不小于r。 证明：将该问题与推论2建立联系。取n(r-1)+1个物 体放入n个盒子中，设mi (i=1,2,…,n)是第i个盒子中 的物体个数，于是，这n个数m1,m2,…,mn的平均数为
S
A
B
A∪B
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集合与图论
容斥原理
定理1 容斥原理(或逐步淘汰原理)形式之一 设A1, A2 ,... , An为n个有限集，则
A = 邋A
i i =1 i =1
n
n
i
1? i j ＃ n
Ai Aj +
1 i < j <k n
Ai Aj Ak
- ... + (- 1) n - 1 A1 A2 ... An
如果选择n个人，可以只选择所有丈夫或只选择 所有的妻子。
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集合与图论
抽屉原理
例3：给定m个整数a1, a2, …, am, 存在整数k和l， 0≤k<l≤m， 使得ak+1+ak+2+…+al能够被m整除。 例4：一位国际象棋大师有11周的时间备战一场锦标赛， 他决定每天至少下一盘棋，但是为了使自己不过分疲 劳他还决定在每周不能下棋超过12盘。证明存在连续 若干天，期间这位大师恰好下了21盘棋。 例5：从整数1,2,3,…,200中我们选择101个整数。证明， 在所选择的这些整数之间存在两个这样的整数，其中 一个可以被另一个整除。 整数分解知识：任何一个整数都可以写成2ka的形式， 其中，k≥0，a为奇数。 18/25
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集合与图论
抽屉原理
鸽巢原理的简单形式是其加强形式通过 q1=q2=…=qn=2来实现的。这时， q1+q2+…+qn-n+1=2n-n+1=n+1。
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集合与图论
抽屉原理
推论1. m个物体，n个盒子，则至少有一个盒子里有不 少于[(m-1)/n]+1个物体。 证明：采用反证法，设所有盒子了最多有[(m-1)/n]个 物体，则n个盒子中的物体数最多为n[(m-1)/n] ≤m-1， 与假设矛盾。
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集合与图论
第 2 节 组合学初步
主要内容：
• 基本计数法则 • 容斥原理 • 抽屉原理
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集合与图论
基本计数法则
加法法则：
如果具有性质A的事件有m个，性质B的事件有n 个，则具有性质A或B的事件有m+n个。 （A和B是性质无关的两个事件） 集合描述： 设A，B为两个不相交的有限集，则 A∪B=A+B。
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集合与图论 通俗的语言描述：
基本计数法则
一项任务有p个结果，而不论第一项任务的结 果如何，第二项任务都有q个结果，那么，这两项 任务连续执行就有p×q个结果。 或者 一项任务要经过两个步骤，如果第一个步骤有 p个结果，而不论第一步的结果如何，第二个步骤 都有q个结果，那么，这项任务就有p×q个结果。
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集合与图论
容斥原理
解: 设A为掌握了英语的人数， B为掌握了日语的人数， C为掌握了俄语的人数。 则A=804，B=205，C=190， A∩B=125, A∩C=85, B∩C=57 A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C +A∩B∩C 1000=804+205+190-125-85-57+A∩B∩C A∩B∩C=68 英语、日语、俄语全掌握的有68人。
集合与图论
抽屉原理
抽屉原理：加强形式
令q1,q2,…,qn为n个正整数。如果将q1+q2+…+qn-n+1 个物体放入n个盒子内，那么，或者第一个盒子至少 含有q1个物体，或者第二个盒子至少含有q2个物 体,…,或者第n个盒子至少含有qn个物体。
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集合与图论
抽屉原理
证明：采用反证法，设将q1+q2+…+qn-n+1个物体放入 到n个盒子中，如果对于每个i=1,2,…,n，第i个盒子含 有少于qi个物体，那么所有盒子中的物体总数不超过 (q1-1)+(q2-1)+…+(qn-1)=q1+q2+…+qn-n 这与物体的总数为q1+q2+…+qn-n+1相矛盾，所以或者 第一个盒子至少含有q1个物体，或者第二个盒子至少 含有q2个物体,…,或者第n个盒子至少含有qn个物体。
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集合与图论
容斥原理
例1：在1000名大学毕业生的调查中, 有804人掌握了 英语, 205人掌握了日语, 190人撑握了俄语, 125人既 掌握了英语又掌握了日语, 57人既掌握了日语又掌握 俄语, 85人既掌握英语又掌握俄语。 试求这1000名大学生中，英语、日语、俄语全掌 握的有多少？
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集合与图论
基本计数法则
例1：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数？
（答案：3439）
例2：两位数字有多少两个位互异且非零的两位数？
（答案：72） 例3：确定数3452 117138的正整数因子的个数？ （答案：1080）
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集合与图论
容斥原理
问题： 设A, B, C, D为有限集，则 A∪B=? A∪B∪C=? A∪B∪B∪C=?
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集合与图论
基本计数法则
通俗的语言描述： 如果有p种方法能够从一堆物品中选择一个物 品，而有q种方法也能够从另一堆物品中选择一个 物品，那么从这两堆物品中选择一个物品的方法共 有p+q种。
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集合与图论
基本计数法则
乘法法则：
若具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件有 n个，则具有性质A及B的事件有mn个。 集合描述： 设A，B为有限集，则AB=AB。