2015届高三理科数学压轴题强化训练(函数与导数专题1：函数与导数性质的综合运用)(教师版)
高考数学压轴大题规范练(2)——函数与导数.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作专题分层训练(三十三) 压轴大题规范练(2)——函数与导数1．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图象上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)， F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2.∵a >0，由F ′(x )>0⇒x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增函数． 由F ′(x )<0⇒x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减函数． 综上，F (x )的单调递减区间为(0，a )， 单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，得k ＝F ′(x )＝x －a x 2≤12(0<x 0≤3)恒成立⇒a ≥－12x 20＋x 0(0<x 0≤3)恒成立．∵当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，即实数a 的最小值为12.2．(2015·重庆卷)设函数f (x )＝3x 2＋axe x (a ∈R )．(1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围． 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝(6x ＋a )e x －(3x 2＋ax )e x (e x )2＝－3x 2＋(6－a )x ＋a e x， 因为f (x )在x ＝0处取得极值， 所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ， 故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e (x －1)， 化简得3x －e y ＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋ae x ， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 故f (x )为减函数；当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 故f (x )为增函数；当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数， 知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3， 解得a ≥－92，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞.3．已知f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ≠0，求函数f (x )的单调区间；(3)若不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 3＋x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x －1，∴k ＝f ′(1)＝4，又f (1)＝3，∴切点坐标为(1,3)， ∴所求切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝(x ＋a )(3x －a )， 由f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a3. ①当a >0时，由f ′(x )<0，得－a <x <a3. 由f ′(x )>0，得x <－a 或x >a3， 此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为(－∞，－a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞. ②当a <0时，由f ′(x )<0，得a3<x <－a . 由f ′(x )>0，得x <a3或x >－a ，此时f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，－a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和(－a ，＋∞)．综上，当a >0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a 3，单调递增区间为(－∞，－a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞. 当a <0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a 3，－a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()－a ，＋∞. (3)依题意x ∈(0，＋∞)，不等式2x ln x ≤f ′(x )＋a 2＋1恒成立，等价于2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1在(0，＋∞)上恒成立，可得a ≥ln x －32x －12x 在(0，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝ln x －3x 2－12x ，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2. 令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－13(舍)， 当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0. 当x 变化时，h ′(x )与h (x )变化情况如下表x (0,1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － h (x )单调递增－2单调递减∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝－2， ∴a ≥－2，即a 的取值范围是[－2，＋∞)． 4．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，f ′(x )>0.若m <0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e－1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1.① 设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g ′(t )＝e t －1. 当t <0时，g ′(t )<0；当t >0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． 又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0， 故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1,1]，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m >1时，由g (t )的单调性，g (m )>0，即e m －m >e －1，不符题意； 当m <－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m >e －1，不符题意． 综上，m 的取值范围是[－1,1]．5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x . (1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)， 则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即⎩⎨⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0.解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． (2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0， 从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0， 故h (x )在(1，＋∞)上无零点． 当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0， 故x ＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0， 故x ＝1不是h (x )的零点． 当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0.所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数．①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点； 当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点．②若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，1上单调递增，故在(0,1)中，当x ＝ －a3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝2a 3－a 3＋14.a ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0,1)上无零点； b ．若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点；c ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0,1)上有一个零点．综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点．。
2015届山东省高考压轴卷数学(理)Word版含解析
2015山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数,则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则()U C A B =（ ）A ．φB ． {1，2，3，4}C ． {2，3，4}D ． {0，11，2，3，4}3.已知全集集合2{|log (1)A x x =-},{|2}xB y y ==,则()U C A B = ( )A ．0-∞（，）B ．0,1]（C ．(,1)-∞D ．(1,2) 4.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是5.曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与轴、轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6.设随机变量服从正态分布,若,则的值为( ) A ． B ．C ．D ．7.取值范围是（）8.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、n的值而定9.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A． B． C． D．10.已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．12.如图，在中，是边上一点，，则的长为13.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y2，则的最小值为▲．14.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.15.设函数的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数．设，为在R上的一个延拓函数，且g(x)是奇函数．给出以下命题：①当时，②函数g(x)有5个零点；③ 的解集为；④函数的极大值为1，极小值为-1;⑤ ，都有.其中正确的命题是________．（填上所有正确的命题序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．17.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（1）求证：;（II）求二面角的余弦值.18.(本题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)19.（本小题满分10分）已知是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，记是数列的前n项和，证明：。
函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)
函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)题型与方法（选择、填空题）一、函数与导数1、抽象函数与性质主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）对策与方法：赋值法、特例法、数形结合例1：已知定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{2}{3}-4x$；当$x>1$时，$f(x)=af(x-1)$，$a\in R$，$a$为常数。
下列有关函数$f(x)$的描述：①当$a=2$时，$f(\frac{3}{2})=4$；②当$a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的值域为$[-2,2]$；③当$a>\frac{1}{2}$时，不等式$f(x)\leq 2a$恒成立；④当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的图像与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$。
其中描述正确的个数有（。
）【答案】C分析：根据题意，当$x>1$时，$f(x)$的值由$f(x-1)$决定，因此可以考虑特例法。
当$a=2$时，$f(x)$的值域为$[0,4]$，因此①正确。
当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此不等式$f(x)\leq 2a$恒成立，③正确。
当$-\frac{1}{2}<a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$与直线$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-\frac{1+(-1)^n}{2}$，④正确。
因此，答案为$\boxed{\textbf{(C) }2}$。
2015届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数
2015届高三理科数学小综合专题练习——函数与导数资料提供：东莞中学苏传忠老师一 选择题1.原命题为“若12,z z 互为共轭复数，则12z z =”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ）A 真，假，真B 假，假，真C 真，真，假D 假，假，假2.已知命题 :p 对任意x R ∈，总有20x >； :"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件 则下列命题为真命题的是（ ）A p q ∧B p q ⌝∧⌝C p q ⌝∧D p q ∧⌝3.已知0b >，5log ,lg ,510d b a b c ===，则下列等式一定成立的是（ ）A d ac =B a cd =C c ad =D d a c =+7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）A ()12f x x = B ()3f x x = C ()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ()3x f x =8.函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）A ()0,+∞B (),0-∞C ()2,+∞D (),2-∞-二 填空题1.已知命题p ：0x ">，总有()11x x e +>，则p ⌝为 .2.定积分10(2)x x e dx +=⎰ .3.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，()242,10,01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f =_ _.4.已知函数()23f x x x =+，x R Î.若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________.5.已知)()lnf x x =，则()1ln 3ln 3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ . 三 解答题1.已知函数()1x a f x a x+-=-. ⑴ 当函数()f x 的定义域为1,12a a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； ⑵ 设函数()()()2g x x x a f x =+-，求函数()g x 的最小值.2.已知函数()()22x x f x R λλ-=+⋅∈⑴ 当1λ=-时，求()f x 的零点的值；⑵ 若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值；⑶ 若不等式()142f x ≤≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，求实数λ的取值范围.3.已知函数()()lg 1f x x =+.⑴ 若()()0lg 22lg 11x x <--+<，求x 的取值范围；⑵ 若()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，求函数()y g x =在区间[]1,2上的值域.4. 设函数()2ln f x x x ax =++，1x =是函数()f x 的极值点. ⑴ 求()f x 的单调递减区间；⑵ 设()()23g x f x x x =-+，求证：当2x ≥时，()()2114g x x <-； ⑶ 在⑵的条件下，求证：对*n N ∈，()()()21213512n k n n g k n n +=+>++∑.5.设函数()ln ,m f x x m R x=+∈. ⑴ 当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值；⑵ 讨论函数()()3x g x f x '=-零点的个数； ⑶ 若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.参考答案一 选择题1.B2.D3.B4.D5.D二 填空题1.00x ∃>，使得()0011x x e + ；2.e ；3.14.01a <<或9a >5.0三 解答题1.解：⑴()()1111a x x a f x a x a x a x --+-===----，()()210f x a x '=>- 所以函数()f x 在区间1,12a a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递增（也可以用定义作差） ()()min max 1()3,(1)22f x f a f x f a =+=-=+=- 所以函数()f x 的值域为[]3,2--.⑵ ()()()2221,111,1x x a x a g x x x a x x a x a ⎧++-≥-⎪=++-=⎨--+<-⎪⎩， 当12a <时，函数在1(,)2-∞-递减，在1(,)2-+∞递增，()min 13()24g x g a =-=-； 当1322a ≤≤时，函数在(,1)a -∞-递减，在(1,)a -+∞递增，()2min (1)(1)g x g a a =-=-； 当32a >时，函数在1(,)2-∞递减，在1(,)2+∞递增，()min 15()24g x g a ==-. 2.解：（1）当1λ=-时，()122x x f x =-，令()1202x x f x =-=，得21,0x x ==； ⑵ ()()f x f x -=，故2222x x x x λλ--+⋅=+⋅，整理得：()()2210x x λ---=上式对于任意实数恒成立，故1λ=；⑶ 12242x x λ-≤+⋅≤，令[]2,1,2x t t =∈ 12t t λ+≥恒成立，即212t t λ≥-+恒成立，得：12λ≥-； 4t t λ+≤恒成立，即24t t λ≤-+恒成立，得：3λ≤故实数λ的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 3.解：（1）22220lg 1,11011x x x x --<<<<++，解得：2133x -<<；(2) 因为函数()g x 是以2为周期的偶函数，在区间[]1,2上的值域等于其在区间[]1,0-上的值域，根据图像的对称性可知与函数()f x 在区间[]0,1上值域相同，值域为[]0,lg2.4.解：解：⑴ ()12f x x a x'=++， ()()21120,3,ln 3f a a f x x x x '=++=∴=-=+-由()21231230x x f x x x x -+'=+-=≤，且0x >得：原函数减区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ⑵ ()22ln 33ln g x x x x x x x =+--+=，构造函数()24ln 1h x x x =-+当2x ≥时，()()222420x h x x x x-'=-=-< 所以函数()24ln 1h x x x =-+在区间[)2,+∞单调递减，故()3max 4ln23ln16ln 0h x e =-=-<，不等式成立；⑶ 由⑵知：当2x ≥时，()21ln 14x x <-， 所以()()2144112ln 11111x x x x x x ⎛⎫>==- ⎪--+-+⎝⎭， 即当2k ≥时，()111211g k k k ⎛⎫>- ⎪-+⎝⎭当2n ≥时： ()()()()21211111113521ln 2ln3ln 121212n k n n g k n n n n n +=+⎛⎫=+++>+--= ⎪+++++⎝⎭∑L 又当1n =时上式也能成立原命题得证.5.解：（1）由题设，当m e =时，()ln e f x x x=+，易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞ 221()e x e f x x x x-'∴=-= ∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上单调递减；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(,)e +∞上单调递增；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2e f e e e=+= ∴()f x 的最小值为2 (2)函数21()()(0)33x m x g x f x x x x '=-=-->，令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+> 设31()(0)3x x x x ϕ=-+≥ 2()1(1)(1)x x x x ϕ'∴=-+=--+ 当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，此时()x ϕ在(0,1)上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在(1,)+∞上单调递减；所以1x =是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是()x ϕ的最大值点，∴()x ϕ的最大值为12(1)133ϕ=-+=，又(0)0ϕ=，结合y=()x ϕ的图像（如图），可知 ① 当23m >时，函数()g x 无零点；②当23m =时，函数()g x 有且仅有一个零点； ③当203m <<时，函数()g x 有两个零点；④0m ≤时，函数()g x 有且只有一个零点； 综上所述，当23m >时，函数()g x 无零点；当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有一个零点；当203m <<时，函数()g x 有两个零点. ② 对任意()()0,1f b f a b ab a->><-恒成立 等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)m h x f x x x x x x=-=+-> ()h x ∴等价于在(0,)+∞上单调递减21()10m h x x x '∴=--≤在(0,)+∞恒成立 2211()(0)24m x x x x ∴≥-+=--+>恒成立 14m ∴≥（对14m =，x =h '（）0仅在12x =时成立），m ∴的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭。
浙江省2015届高考压轴数学(理)试题word 版 含答案
2015浙江省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．合集{0,1,2,3},{2}U U C M ==，则集合M=（ ）A ．{0，1，3}B ．{1，3}C ．{0，3}D ．{2}2．已知复数z 满足(2)(1)i i i z +-=⋅（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．-1+3iB ．-1-3iC ．1+3iD ．1-3i3．已知向量=（3cos α，2）与向量=（3，4sin α）平行，则锐角α等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．三条不重合的直线a ，b ，c 及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）A ． 若a ∥α，a ∥β，则α∥βB ． 若α∩β=a ，α⊥γ，β⊥γ，则a ⊥γC ． 若a ⊂α，b ⊂α，c ⊂β，c ⊥α，c ⊥b ，则α⊥βD ． 若α∩β=a ，c ⊂γ，c ∥α，c ∥β，则a ∥γ5.执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是 （ ） A ．10 B ．17 C ．26 D ．286．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32tan πx x f ,则下列说法错误的是 （ ）A ． 函数f(x)的周期为2πB ． 函数f(x)的值域为RC ． 点（6π，0）是函数f(x)的图象一个对称中心D ．23()()55f f ππ< 7.已知5250125(),a x a a x a x a x -=++++若2012580,a a a a a =++++则= （ ）A ．32B ．1C ．-243D ．1或-2438．已知a 、b 都是非零实数，则等式||||||a b a b +=+的成立的充要条件是 （ ）A ．a b ≥B ．a b ≤C ．1ab≥ D ．1a b≤ 开始 S =1，i =1结束i =i +2i >7输出S 是否S =S +i9．已知函数()log (1)a f x x a =>的图象经过区域6020360x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则a 的取值范围是（ ）A ．(31,3⎤⎦B ．(33,2⎤⎦C ．)33,⎡+∞⎣D ．[)2,+∞10．作一个平面M ，使得四面体四个顶点到该平面的距离之比为1:1:1:2，则这样的平面M 共能作出（ ▲ ）个．A ．4 B. 8 C. 16 D.32二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11.已知双曲线：221916x y -=，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _ 焦点到渐近线的距离为__ _．12.在ABC ∆中，若1,3,AB AC AB AC BC ==+=，则其形状为__ _，BA BC BC=__（①锐角三角形 ②钝角三角形 ③直角三角形，在横线上填上序号）； 13.已知,x y 满足方程210x y --=，当3x >时，则353712x y x y m x y +-+-=+--的最小值为 __ _．14. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________.15．若,,A B C 都是正数，且3A B C ++=，则411A B C +++的最小值为 16．已知0a >且1a ≠，则使方程222log ()log ()a a x ak x a -=-有解时的k 的取值范围为 ．17．已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则n a = ．.22221122 1221正视图侧视图俯视图二、填空题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 18．已知函数f （x ）=1﹣2sin （x+）[sin （x+）﹣cos （x+）]（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期； （Ⅱ）当x ∈[﹣，]，求函数f （x+）的值域．19．（本小题满分14分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 等比数列，满足222112233,,.b a b a b a ===（I ）求数列{}n b 公比q 的值；（II ）若2121a a a =-<且，求数列{}n a 公差的值；20.一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。
高考必做导数压轴题
祝愿各位考生获得成功！◇导数专题目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1）二、交点与根的分布（23）三、不等式证明（31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围（51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用（70）六、导数应用题（84）七、导数结合三角函数（85）书中常用结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1xx<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. （切线）设函数a x x f -=2)(.（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得33±=x . )(x g '的变化情况如下表：所以当33=x 时，)(x g 有最小值932)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='=曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12122x a x x +=，∴12111211222x x a x x a x x x -=-+=-∵a x >1，∴02121<-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x ax x a x x a x x =⋅>+=+=11111212222222 所以a x x >>21.2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
2015届高考数学总复习配套题型精练：压轴题目突破练——函数与导数(共34张PPT)
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9．(2013·重庆)设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．
(1)确定 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
切的直线方程是
(A )
A．3x＋y＋2＝0
B．3x－y＋2＝0
C．x＋3y＋2＝0
D．x－3y－2＝0
解析 设切点的坐标为(x0，x30＋3x02－1)，
则由切线与直线 2x－6y＋1＝0 垂直，
可得切线的斜率为－3，
又 f′(x)＝3x2＋6x，故 3x02＋6x0＝－3， 解得 x0＝－1，于是切点坐标为(－1,1)，
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9．(2013·重庆)设 f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中 a∈R，曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6)．
(1)确定 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
由点(0,6)在切线上可得 6－16a＝8a－6，故 a＝12. (2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6ln x(x>0)， f′(x)＝x－5＋6x＝x－2xx－3.
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3．三次函数 f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，
2015届高考数学总复习配套题型精练：常考题型强化练——函数(共29张PPT)
∴ab＝2b∈(20，
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]＝(1，
2]，故应选 A.
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5．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，
f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点
的个数为
得最小值 b，则函数 g(x)＝1a|x＋b|的图象为
()
解析
由基本不等式得
f(x)
＝
x
＋
1
＋
9 x＋1
－
5≥2 x＋1×x＋9 1－5＝1，当且仅当 x＋1＝x＋9 1，
即 x＝2 时取得最小值 1，故 a＝2，b＝1，
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B.－12，＋∞
C.－12，0∪(0，＋∞)
D.－12，2
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(C )
解析
由已知得l2oxg＋11>20x，＋1≠0，
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∴x>－12， 2x＋1≠1，
即 x>－12且 x≠0，∴选 C.
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2．已知函数 f(x)＝x－4＋x＋9 1，x∈(0,4)，当 x＝a 时，f(x)取
A组 专项基础训练
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2015届高三理科数学压轴题强化训练函数与导数专题（1）----函数与导数性质的综合运用1．（2005广东理）设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==。
（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）试求方程0)(=x f 在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，并证明你的结论。
解：（1）由(2)(2)()(4)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-⎧⎧⇒⇒⎨⎨-=+=-⎩⎩(4)(14)f x f x -=-)10()(+=⇒x f x f ，故函数)(x f y =的周期10=T ，又(3)(1)0f f ==，而(7)0f ≠，(3)(310)(7)0f f f -=-+=≠，所以(3)(3)f f -≠±，故函数)(x f y =是非奇非偶函数。
（2）由（Ⅰ）知，函数)(x f y =的周期10=T ，又(3)(1)0f f ==，(11)(13)(7)(9)0f f f f ==-=-=，故()f x 在[0,10]和[10,0]-上均只有两个解，从而函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解，在[2005,0]-上有400个解，所以函数)(x f y =在[2005,2005]-上有802个解。
2．设函数∈-=-m x e x f m x 其中,)(R ，判断函数)(x f 在区间)2,(m m 内是否存在零点。
解：函数f （x ）在[m ，2m]上连续.,02)(,1,2)(,2)(,2)2(>->'∴>-='-=-=e m g m e m g m e m g m e m f m m m 则令而),1()(+∞∴在m g 上递增，由,0)2(,0)1()(02)1(>>>>-=m f g m g e g 即得又,0)2()(,01)(<⋅∴<-=m f m f m m f根据定理，可判断函数f （x ）在区间（m ，2m ）上存在零点。
3．（2007理20，文21）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。
解法1：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解，0a =时，不符合题意，所以0a ≠,方程()0f x =在[-1，1]上有解⇔(1)(1)0f f -⋅≤或(1)0(1)048(3)01[1,1]af af a a a-≥⎧⎪≥⎪⎪∆=++≥⎨⎪⎪-∈-⎪⎩15a ⇔≤≤或a 或5a ≥⇔a ≤或1a ≥所以实数a 的取值范围是a ≤或1a ≥。
解法2：0a =时，不符合题意，所以0a ≠,又2()223f x ax x a =+-- =0在[-1，1]上有解2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解 212132x a x -⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x-=-[-1，1]上的值域； 设32t x =-，x ∈[-1，1]，则23x t =-，t ∈[1,5],21(3)217(6)22t y t t t--=⋅=+-，设2277(), '()t g t t g t t t-=+=，当t ∈时，'()0g t <，函数g(t)单调递减，当t ∈时，'()g t >0，函数g(t)单调递增，∴y 的取值范围是3,1]，∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解⇔1a∈3,1]1a ⇔≥或a ≤。
4．（综合运用）（2011天津理21）已知函数()()x f x xe x -=∈R ⑴求函数()f x 的单调区间和极值；⑵已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >；⑶如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>。
本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
解：⑴()(1)xf x x e -'=-，令()f x '=0，得1x =.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表∴()f x 在(,1-∞)内是增函数，在(1,+∞)内是减函数；极大值1(1)f e=. ⑵证明：由题意可知g (x )=f (2－x )，∴g (x )=(2－x )2x e -.令F (x )=f (x )－g (x )＝2(2)x x xe x e --+-，则22'()(1)(1)x x F x x e e --=--当1x >时，2x －2>0，从而2210,x e -->0,()0x e F x ->>又所以，从而()F x 在[1，+∞)是增函数。
又F (1)=1101e e x ---=>所以时有，，F (x )>F (1)=0，即f (x )>g (x ).⑶证明：①若12(1)(1)0,x x --= 12()(),f x f x =由⑴及 12121,.x x x x ==≠则与矛盾 ②若12121212(1)(1)0,()(),,.x x f x f x x x x x -->==≠由⑴及得与矛盾 ∴根据①②得1212(1)(1)0,1, 1.x x x x --<<>不妨设由⑵可知，2()f x >2()g x ，且2()g x =2(2)f x -，所以2()f x >2(2)f x -， 从而1()f x >2(2)f x -。
因为21x >，所以221x -<，又由⑴可知函数()f x 在区间（－∞，1）内是增函数，所以1x >22x -，即12x x +>2。
5．（综合运用）（2007福建理 22）已知函数()e x f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e2)()nn F F F n n +*>+∈N ．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．由()e 0xf x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e 2)nn F F F n n +*>+∈N ，．6.（2011广州一模理20） 已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式；(2) 求函数()g x 的单调区间；(3) 研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分 ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. …… 2分 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立， ∴0a >,且∆()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+． …… 4分(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩…… 5分① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； …… 6分 若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． …… 7分② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． …… 8分 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞-⎪⎝⎭； …… 9分 当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫⎪⎝⎭． …… 10分 (3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增， 又()()010,1210g g λ=-<=-->，故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分 ② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥， 此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 12分 （ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 13分综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点．…… 14分 7．（2006广东）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ。