线代10

基本要求
理解齐次线性方程组的基础解系的概念及系数矩 阵的秩与全体解向量的秩之间的关系,熟悉基础 阵的秩与全体解向量的秩之间的关系, 解系的求法; 解系的求法;理解非齐次线性方程组的通解的构 造. 2
§4.4 线性方程组解的结构 一,复习 1, n个未知数的齐次线性方程组 Ax=0 有非零 , 个未知数的齐次线性方程组 解的充要条件 充要条件是 解的充要条件是R(A)<n. . 2, n个未知数的非齐次线性方程组 2, n个未知数的非齐次线性方程组 Ax=b 有 解的充要条件是系数矩阵A的 解的充要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵 充要条件是系数矩阵 B的秩: 的 有惟一解; 当R(A)=R(B)=n时,方程组有惟一解; 时 方程组有惟一解 有无穷多解. 当R(A)=R(B)=r<n时,方程组有无穷多解. 时 方程组有无穷多解
5 x1 = 2 x3 + x4 3 4 x 2 = 2 x 3 x4 3
x3,x4为自由变量
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x1 + 5 x2 2 x3 + x4 = 0 ⑶ x1 + x2 + 2 x3 + x4 = 0 2 x + 7 x 4 x + x = 0 1 2 3 4
解:对系数矩阵进行行初等变换化为行最简形 : 1 5 2 1 r +r 1 5 2 1 A = 1 1 2 1 ~ 0 6 0 2 2 7 4 1 r 2r 0 3 0 1
x1 + 2 x2 + x3 = 0 + 2 x3 = 0 ⑴ x1 x + 3 x =0 2 1
1 2 1 r r 1 2 1 r + 2r 1 2 1 2 1 3 2 解: = 1 0 2 ~ 0 2 1 ~ 0 2 1 A r3 + r1 1 3 0 0 5 1 0 1 3
n-r个线性无关 个线性无关
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可得
b11 b12 b1,nr b b b r1 r2 r ,nr ξ1 = 1 ,2 = 0 ,, ξnr = 0 ξ 0 1 0 0 0 1
x = c1ξ1 + c2ξ 2 + + cn rξ n r (c1 , c2 ,, cn r ∈ R )
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证明:设系数矩阵 的秩为 不妨设A的前 的秩为r, 证明:设系数矩阵A的秩为 ,不妨设 的前 r个列向量线性无关,于是A的行最简形为 个列向量线性无关,于是 的行最简形为 个列向量线性无关
这时x 称为自由变量 自由变量, 这时 r+1,…,xn称为自由变量,对每一组取定的 xr+1,…,xn,可 "自上而下"求得惟一的一组解 自上而下" x1,…,xr .
x r +1 1 0 0 xr + 2 分别取 0 1 0 = , , , x n 0 0 1
A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 = 0 故ξ1 + ξ2也是 也是Ax=0的解. 的解. , 的解
性质2: 的解, ∈ 性质 :若ξ为Ax=0的解,则 k∈ R,kξ也是 的解 Ax=0的解. 的解. 的解 证明:由于 A(kξ ) = k ( Aξ ) = λ 0 = 0, : 也是Ax=0的解. 的解. 故 kξ 也是 的解
线性代数
第十讲
线性方程组( 线性方程组(续) 向量组的线性相关性) (第四章 向量组的线性相关性)
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主要内容
齐次线性方程组的基础解系的概念, 齐次线性方程组的基础解系的概念,基础解系的 求法; 求法; 齐次线性方程组的解的结构, 齐次线性方程组的解的结构,即齐次线性方程组 的通解表达式; 的通解表达式; 齐次线性方程组的解空间的维数与系数矩阵的秩 的关系; 的关系; 非齐次线性方程组的通解表达式. 非齐次线性方程组的通解表达式.
n-r个线性无关, 个线性无关, 个线性无关 构成基础解系 构成基础解系
此时,线性方程组 此时,线性方程组Ax=0的通解 x 可表示为 的
{x = c1ξ1 + c2ξ2 ++ cnrξnr c1,c2 ,,cnr为任意数}
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三,齐次线性方程组基础解系和通解的求法 通过下列例子,来掌握具体做法. 通过下列例子,来掌握具体做法. 例1:求下列齐次方程组的解,当r<n时,写出 求下列齐次方程组的解, 时 写出通解. .
R ( B ) = R ( β 1 , β 2 , , β l ) ≤ RS = n R ( A )
所以R(A)+R(B)≤n. 所以 .
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例4:证明 证明R(ATA)=R(A) . 证明: 同解, 证明:设B=ATA,则Ax=0与Bx=0同解, , 与 同解 于是R(ATA)=R(A) . 于是 说明:⑴ 若x满足 满足Ax=0,则AT(Ax)=ATAx=0. 说明: 满足 , . 满足A ⑵ 若x满足 TAx=0,则xTAT(Ax)=(Ax)TAx=0, 满足 , Ax=0. .
2 1 3 1
1 5 2 1 r r 1 5 2 1 r2 + 2 r3 2 3 ~ 0 0 0 0 ~ 0 3 0 1 0 3 0 1 0 0 0 0
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r2 ×( 1 )
1 5 2 1 r r 1 2 2 0 1 2 ~ 0 3 0 1 ~ 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
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r2 r3
1 2 1 r + 2r 1 2 1 3 2 ~ 0 1 3 ~ 0 1 3 0 2 1 0 0 7
∵ R ( A) = 3 = n = r
∴本方程组只有零解,x1=x2=x3=0. 本方程组只有零解, 零解 .
x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 = 0 ⑵ 2 x1 + x2 2 x3 2 x4 = 0 x 2x 4x 3x = 0 1 2 3 4
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3,基础解系 , 定义:齐次线性方程组的解集中的最大无关组 定义:齐次线性方程组的解集中的最大无关组 称为该齐次线性方程组的基础解系. 称为该齐次线性方程组的基础解系. 基础解系 4,齐次线性方程组的解的构造 , 定理:对于齐次线性方程组 定理:对于齐次线性方程组Ax=0, , ⑴ 当R(A)=n时, Ax=0只有零解; 时 只 ; 必有n⑵ 当R(A)=r<n时, Ax=0必有 -r个线性无关的 时 必有 个线性无关的 解向量(基础解系) 解向量(基础解系),设为ξ1,ξ2 ,,ξnr,此时方程 可表示为基础解系的线性组合: 组的通解可表示为基础解系的线性组合: 组的 可表示为基础解系的线性组合
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五,非齐次线性方程组解的构造 1,设非齐次线性方程组为 , 非齐次线性方程组为
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x ++ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 am 1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = bm
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例3:设Am nBn l=O,证明 ,证明R(A)+R(B)≤n. .
× ×
证明: 证明:记 B = (β 1 , β 2 ,, β l ),则
AB = O Aβ i = 0 (i = 1,, l )
β i 均是Ax = 0的解 (i = 1,, l )
的解集为S, 设Ax=0的解集为 ,则β i ∈ S (i = 1,, l ) 的解集为
解:对系数矩阵进行行初等变换化为行最简形 :
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2 1 2 1 1 2 1 2 r2 2r1 A = 2 1 2 2 ~ 0 3 6 4 r3 r1 1 1 4 3 0 3 6 4 5 1 0 2 3 1 2 2 1 r3 r2 4 r1 2r2 4 ~ 0 1 2 ~ 0 1 2 1 3 3 r2 × 3 0 0 0 0 0 0 0 0 l ∴r = 2, n = 4, 基础解系的个数 = n r = 2
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二,齐次线性方程组解的构造 1,设齐次线性方程组为 , 齐次线性方程组为
a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0 a x + a x + + a x = 0 21 1 22 2 2n n am 1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = 0
⑶
或记为
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四,解空间的维数与系数矩阵的秩的关系 通过前面的叙述, 通过前面的叙述,可归纳得到 定理7: 矩阵A的秩 定理 :设m×n矩阵 的秩 矩阵 的秩R(A)=r,则n元齐次 , 元齐次 线性方程组Ax=0的解集 的秩 S=n-r. 的解集S的秩 线性方程组 的解集 的秩R - . 例2:设n元齐次线性方程组 元齐次线性方程组Ax=0和Bx=0同 元齐次线性方程组 和 同 解,则R(A)=R(B). . 证明:设解集为 , 证明:设解集为S,R(A)=n-RS, R(B)=n-RS, 于是R(A)=R(B). 于是 .
b11 0 0 B= 0 0 b12 b1r b22 b2 r 0 brr 0 0 b1,r +1 b1n b2 ,r +1 b2 n br ,r +1 brn 0 0 0 0
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⑴ 当R(A)=n时, 时
b11 x1 + b12 x2 + + b1n xn = 0 b12 x2 + + b1n xn = 0 bnn xn = 0 只有零解, 故齐次线性方程组Ax=0只有 ,
x1 = x2 = = xn = 0
⑵ 当R(A)=r<n时, 时
b11 x1 + b12 x2 + + b1r xr = b1,r +1 xr +1 b1n xn b12 x2 + + b1r xr = b2 ,r +1 xr +1 b2 n xn brr xr = br ,r +1 xr +1 brn xn 8