18连续数问题
[全]小学奥数18个解题方法解析(含例题)
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[全]小学奥数18个解题方法解析（含例题）解题方法1--分类分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数、数个数的问题中，分类的方法是很常用的。
例1：可分为这样几类：（1）以A为左端点的线段共4条，分别是：AB，AC，AD，AE；（2）以B为左端点的线段共3条，分别是：BC，BD，BE；（3）以C为左端点的线段共2条，分别是：CD，CE；（4）以D为左端点的线段有1条，即DE。
一共有线段4+3+2+1=10（条）。
还可以把图中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。
（1）只含1条基本线段的，共4条：AB，BC，CD，DE；（2）含有2条基本线段的，共3条：AC，BD，CE；（3）含有3条基本线段的，共2条：AD，BE；（4）含有4条基本线段的，有1条，即AE。
例2：有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。
如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形？提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。
设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：①a、b只能取1～11的自然数；②三角形任意两边之和大于第三边。
1、11 ；一种2、11 ；2、10；二种3、11；3、10；3、9 ；三种4、11；4、10；4、9；4、8 ；四种5、11；5、10；5、9；5、8；5、7 ；五种6、11；6、10；6、9；6、8；6、7；6、6；六种7、11；7、10；7、9；7、8；7、7；五种8、11；8、10；8、9；8、8；四种9、11；9、10；9、9；三种10、11；10、10；二种11、11；一种总计：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种解题方法2--化大为小找规律对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。
经典奥数数阵图问题例题
1．把1至6分别填入图18-1的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．[分析与解]记横行的中间一个数为a，则有1+2+3+…+6+a＝21+a＝2倍对应和，所以a 可以填奇数，即1，3，5，对应和为11，12，13，下面给出几种填法：其中的每个图形的横行左右可调换位置，每个竖列的后三个数字位置任意排列．2．把l0至20这11个数分别填入图18-2．的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．[分析与解]设中间圆圈内的数为a，有a被加了5次，而其他位置圆圈内的数字在计算5次和是都只被加了1次，所以有5个和＝(10+11+…+19+20)+4a＝165+4a，因为5个和，165都是5的倍数，所以4a也应该是5的倍数，则a应是5的倍数，所以a可取10，15，20．当a为10时，有5个和＝165+4×10＝205，所以每条线段上的和为205÷5＝41，如下左图；当a＝15时，有5个和＝165+4×15＝225，所以每条线段上的和为225÷5＝45，如下中图；当a＝20时，有5个和＝165+4×20＝245，所以每条线段上的和为245÷5＝49，如下右图．3．请分别将l，2，4，6这4个数填在图18-3的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．[分析与解]在计算3个圆圈内的数字和时，已经填出的3个数字各计算了2次，中间的数字计算了3次，另外3个位置只计算了1次，中间的数字较另外3个位置多计算了2次．设中间那个数为a，有2a+2×(5+7+3)+(1+2+4+6)＝15+15+15，即2a+43＝45，有a＝1．于是得到下图：4．在图18-4的7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数．那么标有*的圆内填的数是多少?[分析与解]我们知道在计算图中所有线段两端数字的和时，每个圆圈内的数字都被加了2次，于是有这7个连续自然数和的2倍为10+6+9+12+8+11+14＝70，即这7个连续自然数的和为35，则中间数为35÷7＝5，于是这7个数为2，3，4，5，6，7，8．能得到14的只有6+8，如果*填8那么和为14的线段另一端为6，则和为11的线段另一端为5，和为8的另一端为3，则和为12的线段另一端无法填出；所以，*只能填6，可以如上分析得到填完的下图：5．图18-5的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填入圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．[分析与解]当六条线上的数分别相加时，数6只加了1次，其余各数分别加了两次．又已知每条对角线上各数之和都等于23，所以这九个连续自然数之和应是(6×23+6)÷2＝72．于是九个数的中间数是72÷9＝8，由此可知这九个连续自然数是4，5，6，7，8，9，10，11，12．其中显然只有11+12＝23，故x＝11，y＝12和x=12，y＝11．首先考虑x＝11，y＝12的情况．注意7若不与x或y在一条线上，则23－7＝16，只能表示成10+6，而过7的线段却有两条，所以必须f＝7，于是c ＝4，d＝5，再由a+b＝23－6＝17，可知a、b均不为10，e＝10，a＝8，b ＝9，于是得到下图：当x＝12，y＝11时，同理可得：6．将1，2，3，…，9，10这10个数分别填入图18-6中的圆圈内，使得每条线段两端的数相乘的积，除以13都余2．问这5个商数的和是多少?[分析与解]在2～90中被13除余2的数有2，15，28，41，54，67，80．其中可以被分解成1～10中两数乘积的有：2＝1×2，15＝3×5，28＝4×7，54＝6×9，80＝8×10，正好1～10中每个数字出现了一次，因此可得如下的结果，当然将下图对称变换，旋转变换得到的图形仍然符合题意．有2×1÷13＝0……2；3×5÷13＝1……2；4×7÷13＝2……2；6×9÷13＝4……2；8×10÷13＝6……2．这些商的和为0+1+2+4+6＝13．7．在图18-7的中间圆圈内填一个数，计算每一线段两端的两数之差(大减小)，然后算出这3个差数之和．那么这个差数之和的最小值是多少?[分析与解]中间数只要在19与65之间，19和65与它的差数(大数减小数)之和都是65－19＝46，所以中间的数填48，三个差数之和最小．那么差数之和为65－48+48－48+48－19＝65－19＝46．8．请在图18-8中的7个小圆圈内各填入一个自然数，使得图中给出的每个数都是相邻两个圆圈中所填数的差(大数减小数)，并且所填的7个数之和是1997．[分析与解]设1左边圈内的数为a，则从a开始顺时针依次对给出的七个差做加法或减法运算，最后结果仍等于a，也就是说，加上的数的和应等于减去的和．又1+2+3+4+5+6+7+8＝28，于是给出的七个数应当分成和为14的两组．经分析可知仅有4种不同的分法：①7+6+1＝2+3+4+5，②7+5+2＝1+3+4+6，③7+4+3＝1+2+5+6，④7+4+2+1=3+5+6．其中①又可以分为两种情况：☆加上2、3、4、5，减去7、6、1，这时七个数的总和时7a+32，★加上7、6、1，减去2、3、4、5，这时七个数的总和时7a－32．同样②③④也都分两种情况．②的第一种情况就是加上1、3、4、6，减去7、5、2，七个数的和时7a+16．因为1994＝7×285+2，所以①的两种情况都无法使总和为1994，这是因为32－2与32+2都不是7的倍数，而②的第一种情况满足，此时a＝283(1994＝7×283+16)，具体填法如下：9．图18-9是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，J，h，i 处分别填入整数l至9．如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？[分析与解]设每个圆内的数字之和为k，则五个圆圈内的数字之和时5k，它等于1~9的和即45，再加上两两重叠处的四个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是1+2+3+4＝10，最大是6+7+8+9＝30，所以，有5k在(45+10＝)55～75(＝45+30)之间的，那么k在11～15之间．验证，当k＝11，13，14时对应有如下填法，当时当k＝12，15时无解．所以，这个相等的和最大是14，最小为11．评注：这道题，同学往往只是计算到k在11～15之间，然后说最大为15，最小为11，但是没有进一步去验证是否存在这样的填法，导致错误，所以同学们以后在自己认为已经解决问题时，不妨验证一下，对于有些问题，不妨深究深究．[分析与解]10个连续自然数中，9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．图中三个2×2的正方形中四数之和相等，所以2+3+…+11再加上两个重复的数，和倍3整除．因为2+3+…+11＝65，要使和数最小，两个重复数的和应最小，这两个数可以取2与5，或3与4．这和数是24．和数为24是可能的，如下两图：[分析与解]图中十个数点和为45，除去中心圆圈中的数后是3的倍数，因此中心圆圈只可能为0，3，6，9．当中心为0时，每个阴影三角形三顶点和为15．考虑包括中心圆圈的三个阴影三角形中，除0以外另两个数和为15．而0～9中这样的数组只有(6，9)，(7，8)两组，因此中心为0时没有正确填图；当中心为9时，同理可知也不存在正确的填图；当中心为3时，阴影三角形三顶点和为14，含3的三个阴影三角形中另两个数和为11，这样的数组只有(2，9)，(4，7)，(5，6)．简单尝试可知中心为3时也没有正确的填图；当中心填6时，经尝试有如下的结果：13．如图18-13，大三角形被分成了9个小三角形．试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等．问这5个数的和最大可能是多少?[分析与解]1~9和为45．设3个只属于一条边的数和为3k，则每条边上五个数字和为(45×2－3k)÷30＝30－k．3k最小时，取3k＝1+2+3＝6，一条边上的和为30－6÷3＝28；3k最大时，取3k＝9+8+7＝24，一条边上的和为30－24÷3＝22．因此这个和最大为28，最小为22．以和为28为例，此时三边中间的小三角形内的数为1，2，3，有上方两个三角形和+1+左边两个三角形和＝28；左边两个三角形和+3+右边两个三角形和＝28；右边两个三角形和+2+上方两个三角形和＝28；于是有2倍(上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和)+1+3+2＝28+28+28，即上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和＝39．可得上方两个三角形和为14，左边两个三角形和为13，右边两个三角形和为12．下面我们给出一种填法：每边和为22时，同理可得，我们给出一种填法：14．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分别填入图l8-14的8个空格中，使四边正好组成加、减、乘、除4个正确的等式．[分析与解]除式只有4种可能：8÷4＝2，6÷3＝2，8÷2＝4和6÷2＝3，其中后两种情况乘法式子将无法满足，前两种情况对应着如下两种填法：15．图18-15包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?[分析与解]如下图所示，设最左边的四个数为a，b，c，d，则第一组数算式计算结果为a+b，c+d，a+c，b+d．而最右边圆圈内数为，a+b+c+d，也就是四个数的和，因此我们可以重新理解题目为找到四个自然数，使它们两两相加的四个和与它们自身全不相等，求它们和的最小值．最小的四个数(1，2，3，4)易知不符合题意，同样(1，2，3，5)也不成立，当这四个数为(1，2，3，6)时有正确填图如下，因此最右边的数最小为12．。
数字推理八大解题方法
数字推理八大解题方法【真题精析】例，5，8，11，14，( )A．15 B．16 C．17 D．18[答案]C[解析]数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先采用逐差法。
差值数列是常数列。
如图所示，因此，选C。
【真题精析】例1、(2006·国考A类)102，96，108，84，132，( )A．36 B．64 C．70 D．72[答案]A[解析]数列特征明显不单调，但相邻两项差值的绝对值呈递增趋势，尝试采用逐差法。
差值数列是公比为-2的等比数列。
如图所示，因此，选A。
【真题精析】例1.(2009·江西)160，80，40，20，( )A． B．1 C．10 D．5[答案]C[解析]数列特征明显单调且倍数关系明显，优先采用逐商法。
商值数列是常数列。
如图所示，因此，选C【真题精析】例1、2，5，13，35，97，( )A．214 B．275 C．312 D．336[答案]B[解析]数列特征明显单调且倍数关系明显，优先采用逐商法。
商值数列是数值为2的常数列，余数数列是J2-I：h为3的等比数列。
如图所示，因此，选B。
【真题精析】例1、(2009·福建)7，21，14，21，63，( )，63A．35 B．42 C．40 D．56[答案]B[解析]数列特征明显单调且倍数关系明显，优先采用逐商法。
商值数列是以为周期的周期数列。
如图所示，因此，选B。
【真题精析】例1． 8，8，12，24，60，( )A．90 B．120 C．180 D．240[答案]C[解析]逐商法，做商后商值数列是公差为的等差数列。
【真题精析】例1. -3，3，0，3，3，( )A．6 B．7 C．8 D．9[答案]A[解析]数列特征：(1)单调关系不明显；(2)倍数关系不明显；(3)数字差别幅度不大。
优先采用加和法。
【真题精析】例1、(2008·湖北B类)2，3，5，10，20，( )A．30 B．35 C 40 D．45[答案]C[解析]数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差后得到结果选项中不存在；则考虑数列特征：(1)倍数关系不明显；(2)数字差别幅度不大，采用加和法。
高考数学之函数专项重点突破-专题18 函数中的新定义问题(解析版)
专题18函数中的新定义问题一、单选题1．x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，十八世纪，函数[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[][]4.8 3.5--=（）A ．0B ．1C ．7D ．8【解析】由题意可知[][]4.8 3.5--=4－(－4)＝8.故选：D.2．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数[]2,1,2y x x =∈与函数[]2,2,1y x x =∈--即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A ．y x=B ．3y x =-C ．1y x=D ．1y x =+【解析】对于选项AD ，函数都为单调递增的，故不满足，因此AD 都错；对于选项C ，1y x=在区间(),0-∞和()0,∞+上都是单调递减的，且在两个区间上y 的取值一正一负，故不满足，因此C 错；对于选项B ，函数3y x =-，[]2,3x ∈和函数3y x =-，[]3,4x ∈即为“同族函数”，故满足，因此B 正确.故选：B.3．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ，满足()1,=0,M x Mf x x M ∈⎧⎨∉⎩（M 是R 的非空子集），在R 上有两个非空真子集A ，B ，且A B =∅ ，则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为（）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．{}1C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当()R x A B ∈⋃ð时，()0A B f x ⋃=，()0A f x =，()0B f x =，()1F x ∴=同理得：当x B ∈时，()1F x =；当x A ∈时，()1F x =；故()()R 1,1,1,x A F x x B x A B ⎧∈⎪=∈⎨⎪∈⋃⎩ð，即值域为{1}．故选：B4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x 存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()2x f x x =+B ．2()3f x x x =-+C ．221,1()2,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．1()2=+f x x x【解析】对于A ，由()f x x =，得2x x x +=，即20x =，方程无解，所以A 不符合题意，对于B ，由()f x x =，得23x x x -+=，即230x +=，方程无解，所以B 不符合题意，对于C ，由()f x x =，得当1x ≤时，221x x -=，即2210x x --=，解得1x =或12x =-，所以此函数为“不动点函数”，所以C 正确，对于D ，由()f x x =，得12x x x+=，即210x +=，方程无解，所以D 不符合题意，，故选：C5．四参数方程的拟合函数表达式为()01ba d y d x x c -=+>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如1y x -=），还可以是一条S 形曲线，当4a =，1b =-，1c =，1d =时，该拟合函数图象是（）A ．类似递增的双曲线B ．类似递增的对数曲线C ．类似递减的指数曲线D ．是一条S 形曲线【解析】依题意可得拟合函数为1311y x -=++，()0x >，即()31333 114111x x y x x x +--=+==++++，()0x >，由3y x-=()1x >向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到3 41y x -=++，()0x >，因为3y x-=在()1,+∞上单调递增，所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；故选：A6．在函数()f x 区间D 上的导函数为()f x '，()f x '在区间D 上的导函数为()g x .若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()f x 在区间D 上为“凸函数”.已知实数m 为常数，()4323126x mx f x x =--，若对满足1m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，则b a -的最大值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】由题设，32()632x mx f x x '=--，则2()6g x x mx =--，∴对任意||1m ≤，在(,)a b 上有2()60g x x mx =--<恒成立，令2()60h m mx x =-+-<在11m -≤≤上恒成立，∴22(1)60(1)60h x x h x x ⎧-=+-<⎨=--<⎩，可得22x -<<，∴2,2a b ≥-≤，故b a -的最大值为4.故选：A7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为[]y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦，已知函数()11xxe f x e -=+，令函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则()g x 的值域为（）A ．()1,1-B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【解析】因为11xe +>，所以2021xe <<+，所以12()1(1,1)11x x xe f x e e -==-∈-++，则()[()]g x f x =的值域{}0,1-．故选：C ．8．已知函数()y f x =，若在定义域内存在实数x ，使得()()f x kf x -=-，其中k 为整数，则称函数()y f x =为定义域上的“k 阶局部奇函数”，若()()2log f x x m =+是[]1,1-上的“1阶局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎣D ．⎡-⎣【解析】由题意，函数()()[]2log ,,11f x x m x =+-∈，满足0x m +>，解得1m >，因为函数()()2log f x x m =+是[]1,1-上的“1阶局部奇函数”，即关于x 的方程()()f x f x -=-在[]1,1-上有解，即()()22log log 0x m x m -+++=在[]1,1-上有解，可得[]221,1,1m x x -=∈-，所以221m x =+在[]1,1x ∈-有解，又由21[1,2]x +∈，因为1m >，所以212m <≤，解得1m <≤实数m 的取值范围是(.故选：B.9．如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点33,42M π⎛⎫⎪⎝⎭，其对应的方程为12||2|sin |2x y x ωπ⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭（0x ≥，其中[]x 为不超过x 的最大整数，13ω<<）．若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为43π，则点N 的纵坐标为（）A ．13±B．C ．12±D．【解析】由曲线过33,42M π⎛⎫ ⎪⎝⎭知，3231342sin 224ππωπ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭，即3sin 14πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3(Z)42k k ππωπ=+∈，解得42(Z)33k k ω=+∈，又13ω<<，则2ω=，若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为43π，即43x π=，代入曲线方程得到42143||2sin 223y πππ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=-⨯=⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭，则y =N的纵坐标为．故选：D 10．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[]a b D ⊆，，使()f x 在[]a b ，上的值域为22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2xf x t =+（其中0t ≥）为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（）A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()01，C ．102⎛⎤⎥⎝⎦，D ．14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【解析】由已知可得，()f x 在[]a b ，上是增函数；22log (2)2,log (2)2a b a t b t ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩即222222aabb t t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，a ∴，b 是方程2220x x t -+=的两个根，设22xm ==0m >，此时方程为20m m t -+=即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；2(1)400t t ⎧-->∴⎨>⎩，解得：104t <<，∴满足条件t 的范围是104⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故选：A二、多选题11．具有性质：()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（）A ．()22x f x x =-B ．()1f x x x=-C ．()1f x x x=+D ．(),01,0,1,1,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩【解析】对于A 选项，x ＝0在定义域内，不满足“倒负”变换；对于B 选项，()111f x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足“倒负”变换；对于C 选项，()155,2222f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()122f f ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭，不满足“倒负”变换；对于D 选项，当01x <<时，11x>，此时()111f x f x x x⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭；当x ＝1时，11x=，此时()()101f f ==-；当1x >时，101x<<，此时()11f f x x x⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()f x 满足“倒负”变换．故选：BD.12．对于函数()y f x =，若()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点：若()11f f x x ⎡⎤=⎣⎦，则称1x 是()f x 的稳定点，则下列函数有稳定点的是（）A ．()1f x x-=-B ．()21f x x =+C ．()31,02112x x f x x ⎧<<⎪⎪=≤<D ．()2121,12x f x x x <<=⎨⎪≤<⎪⎩【解析】A ：函数1()f x x=-的定义域为{}0x x ≠，假设存在稳定点1x ，则111()f x x =-，1111[()](f f x f x x =-=，所以对{}0x x x ∀∈≠，均有[()]f f x x =，故A 有稳定点；B ：函数2()1f x x =+的定义域为R ，假设存在稳定点1x ，则211()1f x x =+，2421111[()](1)22f f x f x x x =+=++，而4211122x x x ++=在R 上无解，故B 无稳定点；C ：()3102112x x f x x ⎧<<⎪⎪=≤<，，，当12x =时，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故31122f f f ⎫⎡⎤⎛⎫===⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎭，故C 有稳定点；D：212()112x f x x x <<=⎨⎪≤<⎪⎩，，当12x =时，2111(()224f ==，而11(0,42∈，故111[()]()242f f f ===，故D 有稳定点.故选：ACD.13．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.()f x 是定义在R上的函数，对于x ∈R ，令1()(123)n n x f x n -== ，，，，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0<j <k 时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点.若122()12(1)2x x f x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，，下列各值是()f x 周期为2的周期点的有（）A ．0B ．13C ．23D ．1【解析】A ：00x =时，()100x f ==，周期为1，周期为2也正确，故A 正确；B ：013x =时，1231222233333n x f x f x x ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，所以13不是()f x 的周期点.故B 错误；C ：023x =时，1223n x x x ==== ，周期为1，周期为2也正确.故C 正确；D ：01x =时，()()1201000x f x f x ====≠，，1∴不是()f x 周期为2的周期点，故D 错误.故选：AC.14．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有（）A ．对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个B ．函数()3f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．若函数()y f x =是“优美函数”，则函数()y f x =的图象一定是中心对称图形D ．函数32cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可以同时是无数个圆的“优美函数”【解析】对于A ，过圆心的任一直线都可以满足要求，故A 错误；对于B ，函数3()f x x =为奇函数，关于原点对称，可以是单位圆的“优美函数”，故B 正确；对于C ，函数y =f (x )的图象是中心对称图形，函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对称函数，如图，故C 错误；对于D ，函数32cos 2sin 2y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭关于原点对称，是圆222,02x y k k +=<≤，的“优美函数”，满足无数个，故D 正确.故选：BD.15．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1，=D x x 为有理数，()0D x x =，为无理数），关于函数()D x ，下列说法正确的是（）．A ．()D x 既不是奇函数，也不是偶函数B ．x ∀∈R ，()()1D D x =C ．()D x 是周期函数D ．,x y ∃∈R ，使得()()()D D y y D x x +=+【解析】因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对x ∀∈R ，()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，故A 错误；当x 为有理数时，()1D x =，当x 为无理数时，()0D x =，当x 为有理数时，()()()11D D x D ==，当x 为无理数时，()()()01D D x D ==，所以()()1D D x =恒成立，B 正确；若x 是有理数，T 是有理数，则x T +是有理数；若x 是无理数，T 是有理数，则x T +是无理数，所以任取一个不为0的有理数T ，()()D x T D x +=恒成立，即()D x 是周期函数，故C 正确；若x ，y 为无理数，则x y +也为无理数，所以()()()0x y x D D D y =+=+，故D 正确．故选：BCD16．函数()f x 满足条件：①对定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有()[()()]0a b f a f b -->；②对定义域内任意两个实数1x ，2x 都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，则称为G 函数，下列函数为G 函数的是（）A ．()21f x x =-B ．()f x =C ．2()43f x x x =-+-，1x <D ．3()f x x =，0x >【解析】a ，b 恒有()[a b f -（a ）f -（b ）]0>，所以()f x 是增函数，因为对定义域内任意两个实数1x ，2x 都有1212()()()22x x f x f x f ++ 成立，所以()f x 为上凸函数，对于A ，函数()21f x x =-是增函数，且1212()()()22x x f x f x f ++=成立，所以函数为G 函数，故选项A 正确；对于B ，函数()f x =G 函数，故选项B 正确；对于C ，函数2()43f x x x =-+-，1x <是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为G 函数，故选项C 正确；对于D ，函数3()f x x =，0x >是增函数，但是函数的图象是下凹函数，所以函数不是G 函数，故选项D 错误．故选：ABC ．17．已知函数()122,42,x x af x x x a x a -⎧<=⎨-++≥⎩，如果函数()f x 满足对任意()1,x a ∈-∞，都存在()2,x a ∈+∞，使得()()21f x f x =，称实数a 为函数()f x 的包容数，下列数中可以为函数()f x 的包容数的是（）A ．12-B ．1C ．4D ．8【解析】记()1f x 的值域为A ，()2f x 的值域为B ，由题意可知：A B ⊆；对于A ，当12a =-时，312224x --<=；2413x x -+-≤；则4A ⎛⎫=-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，(],3B =-∞，满足A B ⊆，A 正确；对于B ，当1a =时，10221x -<=，2426x x -++≤；则(),1A =-∞，(],6B =-∞，满足A B ⊆，B 正确；对于C ，当4a =时，13228x -<=，2488x x -++≤；则(),8A =-∞，(],8B =-∞，满足A B ⊆，C 正确；对于D ，当8a =时，1722128x -<=；241616x x -++≤-；则(),128A =-∞，(],16B =-∞-，不满足A B ⊆，D 错误.故选：ABC.18．若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互质.对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()32ϕ=，()76ϕ=，()96ϕ=，则下列说法正确的是（）A ．()()510ϕϕ=B ．()211nϕ-=C ．数列(){}3nϕ为等比数列D ．()()222n n ϕϕ+>，*n N ∈【解析】因为()()5104ϕϕ==，故A 正确；因为当4n =时，()151ϕ≠，故B 不正确；因为与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，32n -，31n -，共有()1131323n n ---⋅=⋅个，所以()1323n n ϕ-=⋅.则数列(){}3nϕ为等比数列，故C 正确；因为()()462ϕϕ==，故D 不正确；故选：AC 三、填空题19．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立（或()F x kx b ≤+和()G x kx b ≥+恒成立），则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()()2x x x f =-∈R ，()()10g x x x=>，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线3y x b =-+，则实数b 的取值范围是______．【解析】因为函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线3y x b =-+，所以当23x x b -≤-+时，可得230x x b -+-≤对任意的x ∈R 恒成立，则23b x x ≥-+，即239(24b x ≥--+，所以94b ≥；当13x b x ≥-+时，对0x >恒成立，即13(0)b x x x≤+>恒成立，又当0x >时，13x x +≥13x x =即x =b ≤综上所述，实数b的取值范围是94b ≤≤.20．如果函数()y f x =在其定义域上有且仅有两个不同的数0x ，满足()()0000f x f x x x '=-，那么就称函数()y f x =为“单值函数”，则下列四个函数：①()322f x x x =+；②()e xf x x =；③()ln 010x x x f x x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，；④()()sin 1f x x x =+.其中为“单值函数”的是______．(写出所有符合题意的函数的序号)【解析】①()()322234f x x x f x x x ='=++，，()()2221234202102f x f x x x x x x x x x x x x =-⇒+=+-⇒+=⇒+=⇒=-'，方程只有一个解，故该函数不为“单值函数”；②()()e e e x x xf x x f x x ==+'，，()()e e e e 10x x x x f x f x x x x x x=-⇒-⇒='=+⇒=，∵x ≠0，故方程无解，该函数不是“单值函数”；③()ln 010x x x f x x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，，当0x >时，()ln 1f x x ='+，()()ln ln 110f x f x x x x x x x=-⇒=-⇒='+>；当0x <时，()211f x x '=-，()()32221121120f x f x x x x x x x x x x'=-⇒+=--⇒=-⇒=-⇒=<，故f (x )在其定义域上有且仅有两个不同的数0x ，满足()()0000f x f x x x '=-，故该函数为“单值函数”；④()()()sin 1sin 1cos f x x x f x x x x '=+=++，，()()sin 1sin 1cos cos 1f x f x x x x x x x x x=-⇒+=++-⇒='20x k k k π⇒=≠∈Z ，，，方程有无数个解，故该函数不是“单值函数”﹒故选：③．21．若函数()f x 的定义域为D ，且满足如下两个条件：①()f x 在D 内是单调递增函数；②存在[],m n D ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[]2,2m n 那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1x a f x a t a a =->≠是“希望函数”，则实数t 的取值范围为___________.【解析】∵函数()()()log 0,1xa f x a t a a =->≠是“希望函数”，∴()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()2f x x =有两个解，∴m ，n 是方程()20x x a a t +=-的两个不等的实根，设x y a =，则0y >，∴方程等价为20y y t -+=的有两个不等的正实根，即1212140010t y y t y y =-⎧⎪=⎨⎪+=⎩ ＞＞＞，∴140t t ⎧<⎪⎨⎪>⎩，解得104t <<，故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．若函数()f x 在区间A 上，对,,a b c A ∀∈，()f a ，()f b ，()f c 为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为____【解析】1()ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，令()0f x '>，得1e x >，令()0f x '<，得10ex <<，所以()f x 在211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,e e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以min 1()()e f x f =11ln e e m =+1em =-，因为222111((e)ln eln e e e e f f m m -=+--22e 0e =--<，所以max ()(e)e f x f m ==+，所以()f x 在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,e e m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，因为函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”，所以11e e e m m m -+->+，解得2e em >+.四、解答题23．函数()f x 的定义域为()0,∞+，且存在唯一常数0k >，使得对于任意的x 总有()()1f kx f x k=+，成立．(1)若()10f =，求()1f k f k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)求证：函数()ln g x x =符合题设条件．【解析】(1)因为()()1f kx f x k=+，所以()()11f k f k =+，又()10f =，所以()1f k k =，又()1111f f k f k k k⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=+，所以11f k k ⎪⎝⎭=-⎛⎫，所以()1110f k f k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-+=(2)因为()ln g x x =的定义域为()0,∞+，假设存在常数00k >满足()()001g k x g x k =+，即()001ln ln k x x k =+，所以001ln k k =，设()1ln h x x x =-，显然()h x 在()0,∞+上单调递增，又()11ln1101h =-=-<，()11e ln e 10e eh =-=->，所以存在唯一的常数()01,e k ∈使得()0001ln 0h k k k =-=，即存在唯一的常数()01,e k ∈使得函数()ln g x x =符合题设条件；24．已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意的01x D ∈，都恰好存在n 个不同的实数122,,,n x x x D ∈ ，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,N i n n =⋅⋅⋅∈），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.(1)判断下面两组函数中，()g x 是否为()f x 的“n 重覆盖函数”，并说明理由；①()()cos 04g x x x π=<<，()()11f x x x =-<<，“4重覆盖函数”；②()()22g x x x =-≤≤，()()1sin f x x x R =+∈，“2重覆盖函数”；(2)若()1sin x g x xπ-=，()0,x ∈+∞为()1f x x =，(),x s t ∈()0s t <<的“9重覆盖函数”，求t s -的最大值.【解析】(1)①：当11x -<<时，()11f x -<<，根据余弦函数的图象可知，()g x 是()f x 的“4重覆盖函数”；②：由1sin 1x -≤≤可知：()02f x ≤≤，函数()()22g x x x =-≤≤的图象如下图所示：当3π2x =时，3π3π1sin 022f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，当()00g x x x ==⇒=，所以()g x 不是()f x 的“2重覆盖函数”；(2)因为(),x s t ∈，所以()1f x t s<<，因为0sin 1x π≤≤，所以当()0,x ∈+∞时，()0g x ≥，当1(0,]2x ∈时，()1sin 1sin πx x g x x xπ--==，函数1sin πy x =-和函数1y x=都是单调递减函数，故该函数单调递减，当1(,1]2x ∈时，()1sin 1sin πx x g x x xπ--==，函数1sin πy x =-是单调递增函数，函数1y x=是单调递减函数，而函数1sin πy x =-递增的速度快于函数1y x=递减的速度，所以函数单调递增，而函数1sin πy x =-的最小正周期为：12π12π⨯=，因此函数()1sin xg x xπ-=，()0,x ∈+∞的图象如下图所示：因此要想()1sin x g x xπ-=，()0,x ∈+∞为()1f x x =，(),x s t ∈()0s t <<的“9重覆盖函数”，只需()()111444*********g s s s s t s t t g t t⎧⎧≥≥⎪⎪≥-≤-⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⇒-≤⎨⎨⎨⎨≤≤⎩⎩⎪⎪≤≤⎪⎪⎩⎩，所以t s -的最大值1.25．已知O 为坐标原点，R a b ∈、，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),a M b O =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数.已知函数()ππ2sin 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)求()g x 的伴随向量ON，并求ON .(2)关于x 的方程()0g x t -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不相等实数解，求实数t 的取值范围.(3)将函数()g x 图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把整个图象向左平移23π个单位长度得到函数()h x 的图象，已知()33A -，，()311B ，，在函数()h x 的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥，若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由.【解析】(1)因为()ππ2sin 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππcos sin sin 2cos 66x x x=⋅+⋅-cos x x =，所以ON =，2ON == .(2)因为关于x 的方程()0g x t -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不相等实数解，所以()y g x =的图象与直线y t =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不同的交点，π()2sin()6g x x =+(π02x ≤≤)的图象如图：2t ≤<.(3)依题意可得12ππ()2sin 236h x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12cos 2x =，||10AB ==，AB 的中点为(0,7)，假设在函数()h x 的图象上是否存在一点00(,)P x y ，使得AP BP ⊥，则点P 在以AB 为直径的圆上，该圆的圆心为(0,7)，半径为5，所以2200(0)(7)25x y -+-=，即22001(2cos 7)252x x +-=，所以201(2cos 7)252x -≤，所以0152cos 752x -≤-≤，所以011cos 62x ≤≤，又011cos 12x -≤≤，所以01cos 12x =，所以220(217)25x +⨯-=，所以00x =，所以012cos 22x =，所以(0,2)P .综上所述：在函数()h x 的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥，且(0,2)P .26．若函数()f x 和()g x 的图象均连续不断，()f x 和()g x 均在任意的区间上不恒为0，()f x 的定义域为1I ，()g x 的定义域为2I ，存在非空区间()12A I I ⊆⋂，满足：x A ∀∈，均有()()0f x g x ≤，则称区间A 为()f x 和()g x 的“Ω区间”(1)写出()2sin f x x =和()sin cos g x x x =+在[0,]π上的一个“Ω区间”，并说明理由；(2)若()21e 2ln cos2ex x f x x x -=+-，且()f x 在区间(0,1]上单调递增，(0,)+∞是()f x 和()g x 的“Ω区间”，证明：()g x 在区间(0,)+∞上存在零点.【解析】(1)()2sin f x x = ，()sin cos g x x x =+，令()()0f x g x ≤则()2sin sin cos 0x x x +≤，因为[0,]x π∈，所以sin 0x ≥，sin cos 0x x ∴+≤04x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈ ，所以5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令544x πππ≤+≤，解得34x ππ≤≤，3,4x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，∴()2sin f x x =和()sin cos g x x x =+在[0,]π上的一个“Ω区间”为3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（答案为3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的非空子集都可）(2)()0,∞+ 是()f x 和()g x 的“Ω区间”，()0,x ∞∀∈+ 均有()()0f xg x ≤()f x 在区间(0,1]上单调递增，而()11cos20f =->，则()10g ≤又220222212ln11112e cos21cos 0ee e e e ef ⎛⎫=+-=-+-< ⎪⎝⎭，则210e g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()g x ∴在21e ,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有零点，()g x ∴在区间(0,)+∞上存在零点.27．对于函数()f x ，若在其定义域内存在实数0x ，t ，使得()()()00f x t f x f t +=+成立，称()f x 是“t 跃点”函数，并称0x 是函数()f x 的“t 跃点”．(1)若函数()sin =-f x x m ，x ∈R 是“π2跃点”函数，求实数m 的取值范围；(2)若函数()()sin =+f x x m ，x ∈R ，求证：“sin 0=m ”是“对任意t ∈R ，()f x 为‘t 跃点’函数”的充要条件；(3)是否同时存在实数m 和正整数n 使得函数()cos 2h x x m =-在[]0,πn 上有2021个“π4跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m 和n 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知得存在实数0x ，使得00ππsin sin sin 22x m x m m ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，∴000πsin cos 1sin 1112m x x x ⎛⎫⎡⎤=-+-+∈+ ⎪⎣⎦⎝⎭，∴实数m 的取值范围是11⎡⎤⎣⎦.(2)由题意得“对任意t ∈R ，()()sin =+f x x m 为‘t 跃点’函数”等价于：对是任意实数t ，关于x 的方程()()()sin sin sin x t m x m t m ++=+++都有解，则对于0t =时有解，即()()()sin sin sin x m x m m +=++,∴sin 0=m ；反之，当sin 0=m 时，()πm k k =∈Z ,()()()sin sin sin x t m x m t m ++=+++等价于()()()sin sin sin x t x t +=+0x =是此方程的解，故此方程对于任意实数t 都有实数解.综上所述，“sin 0=m ”是“对任意t ∈R ，()f x 为‘t 跃点’函数”的充要条件；(3)由已知得，()ππππcos 2cos 2cos 04422h x h x h x m x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+--+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得π24m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π；根据函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,πn 上的图象可知：①当()(m ∈⋃时，在[]0,πn 有2n 个“π4跃点”，故不可能有2021个“π4跃点”；②当1m =时，在[]0,πn 有21n +个“π4跃点”，此时2120211010n n +=⇒=；③当m =m =[]0,πn 上有n 个“π4跃点”，故2021n =；综上：11010m n =⎧⎨=⎩或2021m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2021m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩.28．对于函数()()y f x x D =∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”.(1)判断函数2()f x x =是否为“T 同比不减函数”？并说明理由；(2)若函数()sin f x kx x =+是“π2同比不减函数”，求实数k 的取值范围；(3)是否存在正常数T ，使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”？若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)依题意0T >，函数2()f x x =不是“T 同比不减函数”，理由如下：()2f x x =，()()()()22222f x T f x x T x xT T T x T +-=+-=+=+不恒大于零，所以()()f x T f x +≥不恒成立，所以函数2()f x x =不是“T 同比不减函数”.(2)函数()sin f x kx x =+是“π2同比不减函数”，()π2f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，πππsin sin 222k x x k x ⎛⎫⎛⎫+++≥⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ4sin cos ,π22x k x x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥-≥π4x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以ππ2k ≥=.所以k的取值范围是π⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.(3)存在，理由如下：2,1()11,112,1x x f x x x x x x x x +≤-⎧⎪=+--+=--<<⎨⎪-≥⎩，画出()f x 的图象如下图所示，()f x T +的图象是由()f x 的图象向左平移T 个单位所得，由图可知，当4T ≥时，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，所以存在正常数T ，使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，且4T ≥.29．若函数()y f x =自变量的取值区间为[a ,b ]时，函数值的取值区间恰为22[,]b a，就称区间[a ,b ]为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当,()0x ∈+∞时，()3g x x =-+．(1)求()g x 的解析式；(2)求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”；(3)若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，求函数()y h x =的值域【解析】(1)因为()g x 为R 上的奇函数，则(0)0g =，设(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，()()(3)3g x g x x x =--=-+=--；3,0()0,03,0x x g x x x x --<⎧⎪∴==⎨⎪-+>⎩(2)设0a b <<，由()g x 在(0,)+∞上递单调递减，可得2()32()3g b b bg a a a ⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩，即,a b 是方程23x x =-+的两个不等正根．∵0a b <<∴12a b =⎧⎨=⎩∴()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[1,2]．(3)设[a ,b ]为()g x 的一个“和谐区间”，则22a bb a<⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号．当0a b <<时，同理可求()g x 在(,0)-∞内的“和谐区间”为[2,1]--．3,[1,2]()3,[2,1]x x h x x x -+∈⎧∴=⎨--∈--⎩，3,[1,2]()3,[2,1]x x h x x x -+∈⎧∴=⎨--∈--⎩的值域是[2,1][1,2]-- 30．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[],n m 内是单调增函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域是[]2,2m n ，则称[],n m 是该函数的“翻倍区间”．(1)证明：[]1,2是函数()2xf x =的一个“翻倍区间”；(2)判断函数()3g x x =是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由；(3)已知函数()31x h x x a-=+有“翻倍区间”[],m n ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)证明：由函数()2xf x =在[]1,2上单调增函数知，()f x 的值域为[]2,4，故[]1,2是函数()2xf x =的一个“翻倍区间”；(2)假设()g x 存在一个“翻倍区间”[],m n ，由函数()g x 是R 上的单调增函数，有()()332,2,g m m m g n n n ⎧==⎪⎨==⎪⎩解得m =，n =由m n <知所有“翻倍区间”为][[,,⎡⎣；(3)由函数()h x 有“翻倍区间”[],m n 知，()h x 为[],m n 上的单调增函数，而()()33131313x a a x a h x x a x a x a+-----===++++，可得310a --<，解得13a >-，由②知()()312,312,m h m m m an h n n n a -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩可得m ，n 是方程312x x x a -=+的两个根，等价于方程312x x x a-=+在(,)a -∞-上有两个不等实根或者在(,)a -+∞上有两个不等实根，即方程()222310x a x +-+=在(,)a -∞-上有两个不等实根或者在(,)a -+∞上有两个不等实根，则有()()22Δ(23)803242()2310a a a a a a ⎧=-->⎪-⎪<-⎨⎪-+-⨯-+>⎪⎩或()()22Δ(23)803242()2310a a a a a a ⎧=-->⎪-⎪>-⎨⎪-+-⨯-+>⎪⎩，解得1332a -<<32a >+综上，实数a的取值范围为133(,()322-⋃+∞．31．根据人教2019版必修一P 87页的13题介绍：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．题：设函数()39x t f x =+，且()110(1)15f f +=，(其中t 是常数)，函数()243()2x x g x f x x -+=+-．(1)求t 的值，并证明()f x 是中心对称函数;(2)是否存在点A ，使得过点A 的直线若能与函数()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】(1)∵函数()39xt f x =+，且()()110115f f +=，11101215t t ∴+=，∴4t =，所以4()39x f x =+；依题假设存在点(,)P a b 使函数()y f x a b =+-为奇函数，则()()2f a x f a x b ++-=对x R ∀∈恒成立，439a x +∴+4239a x b -+=+，2211931312a x a x b -+--∴+=++，∴22223(33)9(31)(31)2a x x a x a xb ---+--++=++，∴22223(33)9193(33)2a x x a a x xb -----++=+++，22222193(33)199193(33)2a a x x a a a x xb -------⎡⎤++++-⎣⎦∴=+++，2221991193(33)2a a a x x b -----∴+=+++，对x R ∀∈恒成立，2190912a b-⎧-=⎪∴⎨=⎪⎩，22,9a b ∴==，∴对于4()39xf x =+存在22,9a b ==，使函数()y f x a b =+-为奇函数，∴4()39xf x =+是以22,9⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心的中心对称函数.(2)设()2431(2)22x x N x x x x -+==----，所以()()()()111122222202222N x N x x x x x x x x x ⎛⎫++-=+--+---=-+--= ⎪+----⎝⎭即(2)(2)0N x N x ++-=，即()2432x x N x x -+=-关于()2,0对称，又()42(2)9f x f x ++-=，4(2)(2)9g x g x ∴++-=，()g x ∴的对称中心是22,9⎛⎫⎪⎝⎭，依题意，使得过点A 的直线若能与函数()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等，则直线必过()y g x =的对称中心，所以所求为22,9A ⎛⎫⎪⎝⎭；32．定义：如果函数()y f x =在定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b ≤≤），满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =为[],a b 上的“平均值函数”，0x 为它的平均值点．(1)函数2y x =是否为[]0,2上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．(2)若函数211221x x y m ++=-+⋅+是[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．【解析】(1)函数2y x =是[]0,2上的“平均值函数”．令()y f x =，因为()()20402202f f --==-，设0x 是它的平均值点，则有()0022f x x ==，解得01x =，[]10,2∈，故2y x =为[]0,2上的“平均值函数”，1是它的平均值点．(2)令()y f x =，()()()()()211121112212211131511224m m f f m ++-+-+-+⋅+--+⋅+--==---，设0x 是它的平均值点，则()031524f x m =-，即0021131522124x x m m ++-+⋅+=-，整理得0022122426190x x m m ++⋅-⋅+-=．令012x t +=，则[]1,4t ∈，则需方程2246190t mt m -+-=在[]1,4t ∈上有解，令()224619g t t mt m =-+-，[]1,4t ∈，()()2234426191611602m m m ⎛⎫∆=--⨯⨯-=-+> ⎪⎝⎭，①当()0g t =在[]1,4内有一个实根时，()()140g g ⋅≤，即(217)(1013)0m m --≥，解得172m ≥，或1310m ≤；②当()0g t =在[]1,4内有两个不等的实根时，需满足()()414221040m g g -⎧≤-≤⎪⨯⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，可得141721310m m m ⎧⎪≤≤⎪⎪≥⎨⎪⎪≤⎪⎩，无解．综上，实数m 的取值范围是1317,,102⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．。
一年级数学连数与连续练习题及讲解
一年级数学连数与连续练习题及讲解在一年级数学学习中，数的连数与连续是非常基础且重要的概念。
了解和掌握这一概念，对孩子们后续的数学学习将起到积极的影响。
本文将介绍一年级数学中连数与连续的概念，并提供一些练习题及解析，以帮助孩子们更好地理解和掌握。
一、连数的概念连数是指按照一定的顺序依次排列的一组数。
比如：1、2、3、4、5、6、7。
在这个例子中，这些数是按照从小到大的顺序排列的，每个数与前一个数相差1，因此它们构成了一个连数。
连数的特点是每个数与前一个数之间的差都相等。
这个差叫做公差，我们用d表示。
在上面的例子中，d=1。
在进行连数计算时，可以用后一个数减去前一个数，得到两数之差，即为公差。
二、连续的概念连续是指一组数中的任意两个数之间都不存在其他的数，它们之间没有间隔。
比如：2、3、4、5、6、7。
在这个例子中，这些数没有间隔，它们构成了一个连续的数列。
连续的数列可以由前一个数加上公差得到后一个数。
在上面的例子中，前一个数加上公差1便得到了下一个数。
三、练习题及讲解题目1：写出由1开始的前5个连数。
解析：由1开始，依次加上公差1可以得到连数：1、2、3、4、5。
题目2：将下列数按连续的方式排列：5、6、7、8、9。
解析：这些数已经是连续的了，不需要进行任何改变。
题目3：写出一个连续的数列，其中公差为3，以12开始，共有4个数。
解析：由12开始，依次加上公差3可以得到连续的数列：12、15、18、21。
题目4：将下列数改写成连续的数列：20、25、30、35、40。
解析：这些数之间的间隔不相等，不构成连续的数列。
我们可以观察到，每个数都比前一个数大5, 因此，可以将它们改写为连续的数列：20、20+5、20+2*5、20+3*5、20+4*5。
通过对这些练习题的讲解，相信大家对连数与连续的概念有了更加清晰的了解。
记住，在进行连数计算时，需要注意每个数与前一个数之间的差是相等的；而在连续的数列中，每个数可以由前一个数加上公差得到。
六年级上册数学试题奥数系列 第18讲最佳策略问题全国通用含解析
第18讲最佳策略问题知识网络在日常生活中，竞赛或争斗性质的现象随处可见，小到下棋、做游戏，大到体育比赛、军事较量等，人们在竞赛或争斗中总是希望自己或自己的一方能够获取胜利或获得最好的结果，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，即分析对方可能采取的计划，有针对性地制定自己的克敌计划。
哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最后的胜利。
这种现象我们称之为“对策现象”。
重点·难点如何制定最佳策略，要根据具体的“对策现象”来分析。
一般来说，“对策现象”有三个基本要素：（1）局中人，即在一场竞赛或争斗中的加者，他们为了在对策中取得最后的胜利，必须制定观对付对方的行动计划。
局中人并不特指某一个人，而是指参加竞赛的各个阵营。
（2）策略，是指某一个局中人的一个“自始至终贯彻”的可执行方案，在一局对策中，各具局中人可以有一个策略，也可以有多种策略。
（3）得失，在局对策中，肯定会有胜利者和失败者，竞赛的成绩也会有好有差，我们称之为得失。
每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系。
学法指导解决策略问题的关键是怎样寻找胜局如何把握胜局。
这可以结合前面几讲中的“带余除法和同余”、“最大与最小”等来进行分析。
经典例题[例1]有一堆棋子共有2002粒，甲、乙两人玩轮流取棋子的游戏。
甲先取乙后取，并且规定每次取的棋子不能超过7粒，但不能不取。
如果规定取到最后一粒棋子的人为胜者，那么甲应如何制定策略以取胜？思路剖析甲为了能取到最后一粒棋子，必须使得当他取到倒数第二轮时，还有8粒棋子。
因为此时轮到乙来取，乙最少要取1粒，最多只能取7粒，因此无论乙取几粒，甲都可以将剩下的棋子一次取净，从而保证必胜。
可见，“8”是个关键数字，一开始甲取的棋子数，应该保证余下的棋子数是8的倍数。
往后的每一轮，不管乙取多少粒（1至7粒），甲总可以使自己所取的棋子数和乙所取棋子数和为8，从而将主动权控制在自己手中。
奥数-18抽屉原理+答案
请你说明理由。
2. 一个旅行团在北京游玩 5 天，他们想去 6 个景点游玩，导游说你们至少有一天游 玩两个景点，请你说明理由。
二、 解题方法
抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣 的问题，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使 问题得到解决。
1. 公式 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：① 余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里。 ② 余数＞0，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里。
抽屉原理
一、 抽屉原理
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，至少有一个抽 屉里面至少放两个苹果。如果把 n＋1 个物体放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉 中放着 2 个或更多的物体，我们称这种现象为抽屉原理。
抽屉原理可以推广为：如果有 m 个抽屉，有 k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至 少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素。通俗地说，如果元素的个数是抽屉个 数的 k 倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。
6. 四个连续的自然数分别被 3 除后，必有两个余数相同，请说明理由。
2
【例3】 一养鸽户有 10 只鸽笼，每天鸽子回家他都要数一数，并作记录。他发现 每天都会出现 3 只鸽子住同一个鸽笼，请问：他至少养了几只鸽子？
解析：本题需要求“苹果”的数量，需要反用抽屉原理，并结合最“坏”情况。 最坏的情况是每个笼子都有 2 只鸽子，出现 3 只鸽子住同一个鸽笼，是因为比这些 鸽子还至少多 1 只鸽子，所以至少需要养 21 只鸽子。
三年级奥数第18讲简单列举(教师版)
三年级奥数第18讲简单(jiǎndān)列举（教师版）教学目标用列举解决简单(jiǎndān)实际问题,能不重复(chóngfù)、不遗漏的找到符合要求的答案。
发展学生(xué sheng)思维的条理性和严密性。
知识梳理养鸡场的工人(gōng rén),小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿,边拿边数筐里的鸡蛋拿光了,有多少个鸡蛋也就数清了,这种计数的方法就是枚举法。
一般地,根据问题要求,一一列举问题,并加以解决,最终达到解决整个问题的目的。
这种分析问题、解决问题的方法,称之为枚举法。
运用枚举法解决应用题时,必须注意无重复、无遗漏。
为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。
典例分析例1、从小华家到学校有3条路可走,从学校到文峰公园有4条路可走。
从小华家到文峰公园,有几种不同的走法?【解析】为了帮助理解题意,我们可以画出如上示意图。
我们把小华的不同走法一一列举如下：根据列举(lièjǔ)可知,从小(cóngxiǎo)明家经学校到文峰公园,走①路有4种不同(bù tónɡ)走法,走②路有4种不同(bù tónɡ)走法,走③路也有4种不同(bù tónɡ)走法,共有4×3=12种不同走法。
例2、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号,可以组成多少种不同的信号? 【解析】要使信号不同,要求每一种信号颜色的顺序不同,我们可以把这些信号进行列举。
可以看出,红色信号灯排在第一个位置时,有两种不同的信号；绿色信号灯排在第一个位置时,也有两种不同的信号；黄色信号灯排在第一个位置时,也有两种不同的信号,因而共有3个2种不同排列方法,即2×3=6种。
例3、一个长方形的周长是22米,如果它的长和宽都是整米数,那么这个长方形的面积有多少种可能?【解析】由于长方形的周长是22米,可知它的长与宽之和为11米。
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18连续数问题
在数数的过程中得到的一个接一个的自然数叫连续数。
顺次差1 的几个整数叫做连续数。
顺次差2的几个偶数叫做连续偶数。
顺次差2的几个奇数叫做连续奇数。
已知几个连续数的和，求这几个连续数各是多少的应用题。
叫做连续数问题。
连续数的每一个数叫一项。
最前面的项叫首项，最后面的项叫末项，转眼间的项叫中项。
各个项数的和叫总和。
它的计算方法是：
{和–［1+2+3+……+(项数–1)］}÷项数=最小项(首项)
{和+［1+2+3+……+(项数–1)］}÷项数=最大项(末项)
总和÷项数=中间项(中项)
(首项+末项)×项数÷2=总和
1、有三个连续的两位自然数,它们的和的个位数字是1,十位数字是3.那么,这三个连续自然数中最大的一个是多少?
2、给一只猴子吃20个核桃，一天只能给它吃1个，不能连续两天或两天以上给它吃，且间隔的天数彼此不等。
那么，这20个核桃至少要吃多少天？
3、17个连续自然数之和是306，那么紧接在这17个数之后的17个连续自然数之和是多少？
解：1.依据题目条件，这三个数个位之和只有21,故其平均数为7（只有3×7＝21）,个位分别为6,7,8。
由于是三个两位数相加后十位是3,故三个两位数十位上的数字相加后也应是1,并向百位进了位，所以十位上的数字也应是7,因其是三位连续自然数.所以这三个数中最大的一个是78。
2.由于有20个核桃，每天只能吃一个，故要间隔19次，且每次间隔时间都不同，因此每次间隔的天数只能是1至19天，（1+19）×19÷2＝190天，再加上吃20个核桃的天数，所以至少要吃210天。
3.306÷17＝18.这17个连续自然数为：10，11,......18......26。
之后的这17个连续
自然数为：27,28......35......42,43。
其和为：（27+43）×17÷2＝595
连续数问题练习
1、7个连续自然数的和是84，这7个数各是多少？
2、6个连续偶数的和是150，这6个偶数各是多少？
3、有七个连续奇数，第七个数是第二个数的3倍。
求各数。
4、有七张电影票，座号是连续的单号。
其座号的和是49，这些票各是多少号？
题1解：可以先求最大数，也可以先求最小数，还可以先求中间数。
解法一：先求最大数：
（84+1+2+3+4+5+6）÷7＝15
连续的各数是：9、10、11、12、13、14、15。
解法二：（84－1－2－3－4－5－6）÷7＝9
连续的各数是：9、10、11、12、13、14、15
解法三：当连续数的个数是奇数时，一般可以先求中间数。
84÷7＝12
连续的各数是：9、10、11、12、13、14、15
题2解：法一：先求最大数：（150+2+4+6+8+10）÷6＝30
6个连续偶数是：20、22、24、26、28、30。
解法二：先求最小数（150-2-4-6-8-10）＝20
6个连续偶数是：20、22、24、26、28、30。
题3解：第七个数比第二个数大2×（7-2）＝10，第七个数是第二个数的3倍，根据“差倍应用题”的计算方法，就可先求得第二个数。
［2×（7-2）］÷［3-1］＝5
七个连续奇数是：3、5、7、9、11、13、15。
题4解：先求最大号：
（49+2+4+6+8+10+12）÷7＝13
七个连续的单号是：1、3、5、7、9、11、13。