非负数性质的应用汇总.
第三章 实数 考点3 非负数的性质：算术平方根(原卷版)
第三章实数（原卷板）3、非负数的性质：算术平方根知识点梳理1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．3．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．同步练习一．选择题（共19小题）1．若+|y+3|＝0，则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣2．已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6B．m＜6C．m＞﹣6D．m＜﹣63．若+|b+2|＝0，那么a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．3D．04．若（m﹣1）2+＝0，则m+n的值是（）A．﹣1B．0C．1D．25．若|x+2|+，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．66．已知|x﹣3|+＝0，则（x+y）2的值为（）A．4B．16C．25D．647．已知实数x，y满足，则y的值是（）A．2B．﹣2C．0D．38．已知x，y为实数且|x+1|+＝0，则（）2012的值为（）A．0B．1C．﹣1D．20129．已知，则a+b的值是（）A．1B．﹣1C．3D．﹣310．已知|7+b|+＝0，则a+b为（）A．8B．﹣6C．6D．811．已知△ABC的三边长a、b、c满足+|b﹣1|+（c）2＝0，则△ABC一定是（）三角形．A．锐角B．钝角C．直角D．一般12．已知，则y的值为（）A．1B．﹣2．C．﹣1D．﹣413．若x，y为实数，且，则的值为（）A．1B．2011C．﹣1D．﹣201114．若+（y+2）2＝0，则（x+y）2020等于（）A．﹣1B．1C．32020D．﹣3202015．若|x﹣2|+＝0，则xy的值为（）A．﹣8B．﹣6C．5D．616．已知实数x，y满足，则x﹣y等于（）A．3B．﹣3C．1D．﹣117．如果|x﹣3|+＝0，则＝（）A．2B．C．﹣2D．318．已知+（b+3）2＝0，则（a+b）2020的值为（）A．0B．1C．﹣1D．202019．已知实数x，y满足+|y+2|＝0，则x+y的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4二．填空题（共17小题）20．已知a、b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b＝．21．当x取时，的值最小，最小值是；当x取时，2﹣的值最大，最大值是．22．已知+|x2﹣3y﹣13|＝0，则x+y＝．23．如果与（2x﹣4）2互为相反数，那么2x﹣y的平方根是．24．已知+＝0，则+＝．25．若，则m﹣n的值为．26．如果＝0，那么xy的值为．27．当x取时，代数式2﹣取值最大，并求出这个最大值．28．已知+|3x+2y﹣15|＝0，则的算术平方根为．29．已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于．30．如果+＝0，那么xy的值为．31．已知与（x+y﹣4）2互为相反数，则y﹣x＝．32．若+|b2﹣9|＝0，则ab＝．33．已知，则a b＝．34．若＝3﹣x，则x的取值范围是．35．若a、b为实数，且（a+）2+＝0，则a b的值．36．已知非零实数a，b满足，则a+b等于．三．解答题（共9小题）37．已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．38．已知+|x﹣1|＝0．（1）求x与y的值；（2）求x+y的平方根．39．若+（3x+y﹣1）2＝0，求的平方根．40．已知a、b、c满足．（1）求a、b、c的值；（2）判断以a、b、c为边的三角形的形状．41．已知+|y3+1|＝0，求4x﹣3y的平方根．42．已知x、y满足+|y+1|＝0，求x2﹣4y的平方根．43．已知|a+b﹣3|++（a+2）2＝0，求（a+c）b的值．44．已知（3x﹣1）2+＝0，求18xy的平方根．45．已知实数x，y满足（x﹣4）2+＝0，求﹣xy的平方根．。
初一数学下册知识点《非负数的性质：算术平方根》150题及解析
初一数学下册知识点《非负数的性质：算术平方根》150题及解析副标题一、选择题（本大题共36小题，共108.0分）1.若与互为相反数,则的值为( )A. 3B. 4C. 6D. 9【答案】A【解析】【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，代数式的值，完全平方公式，相反数.根据相反数的定义得到|x2-4x+4|+=0，再根据非负数的性质得x2-4x+4=0，2x-y-3=0，然后利用完全平方公式变形得到（x-2）2=0，求出x，再求出y，最后计算它们的和即可.【解答】解：根据题意得|x2-4x+4|+=0，∴|x2-4x+4|=0，=0，即（x-2）2=0，2x-y-3=0，∴x=2，y=1，∴x+y=3.故选A.2.若|3x-2y-1|+=0，则x，y的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可知：解得：故选：D．根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案．本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．3.若|3-a|+=0，则a+b的值是（）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】B【解析】解：由题意得，3-a=0，2+b=0，解得，a=3，b=-2，a+b=1，故选：B．根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式求出a、b的值，计算即可．本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．4.若＋|2a－b＋1|＝0，则(b－a)2015＝( )A. －1B. 1C. 52015D. －52015【答案】A【解析】解：∵+|2a-b+1|=0，∴，解得：，则（b-a）2015=（-3+2）2015=-1．故选：A．利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出原式的值．此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足，则此等腰三角形的周长为( )A. 7或8B. 6或10C. 6或7D. 7或10【答案】A【解析】【分析】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．【解答】解：∵，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选A．6.已知+|b+3|=0，则P（—a，—b）的坐标为（）A. （2，3）B. （2，—3）C. （—2，3）D. （—2，—3）【答案】C【解析】【分析】本题考查了点的坐标，非负数的性质，正确求出a，b的值是解题的关键.先由+|b+3|=0，根据非负数的性质求出a=2，b=-3，进而求解即可.【解答】解：∵+|b+3|=0，∴a-2=0，b+3=0，∴a=2，b=-3，∴P（-a，-b）的坐标为（-2，3），故C正确.故选C.7.已知实数x，y满足（x-2）2+=0，则点P（x，y）所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查了点的坐标：平面直角坐标系中的点的坐标与实数对一一对应，在第四象限，点的横坐标为正数，纵坐标为负数．也考查了非负数的性质．根据非负数的性质得到x-2=0，y+1=0，则可确定点P（x，y）的坐标为（2，-1），然后根据象限内点的坐标特点即可得到答案.【解答】解：∵（x-2）2+=0，∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴点P（x，y）的坐标为（2，-1），在第四象限.故选D.8.已知x，y为实数，且+（y+2）2=0，则y x的立方根是（）A. B. -8 C. -2 D. ±2【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性和开立方运算以及偶次方的性质，正确得出x，y 的值是解题关键．直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用立方根的定义求出答案．【解答】解：∵+（y+2）2=0，∴x-3=0，y+2=0，解得：x=3，y=-2，则y x=（-2）3=-8，-8的立方根是：-2．故选C．9.若|3-a|+=0，则a+b的值是（）A. -9B. -3C. 3D. 9【答案】B【解析】解：∵|3-a|+=0，∴3=a，b=-6，则a+b=-3．故选B．直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．10.若+（y+2）2=0，则（x+y）2017=（）A. -1B. 1C. 32017D. -32017【答案】A【解析】解：根据题意得x-1=0，y+2=0，解得x=1，y=-2，则原式=（-1）2017=-1．故选：A．根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值，计算即可．本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．11.已知x、y为实数，且+3（y-1）2=0，则x-y的值为（）A. 3B. -3C. -1D. 1【答案】D【解析】解：∵且+3（y-1）2=0，∴x=2，y=1．∴x-y=2-1=1．故选：D．先依据非负数的性质求得x、y的值，再代入计算即可．本题主要考查的是非负数的性质、求得x、y的值是解题的关键．12.已知非零实数满足.则等于（）.A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了算术平方根的性质和根据两个非负数之和等于0，求未知数的值，首先根据算术平方根的被开方数≥0，求出a的范围，进而得出|2a-4|等于原值，代入原式得出+=0．这是两项非负数之和等于0．则可分别求出a和b的值．【解答】解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为，于是a=3，b=-2，从而a+b=1．故选C．13.如果+（5-b）2=0，那么点A（a，b）关于原点对称的点A′的坐标为（）A. （3，5）B. （3，-5）C. （-3，5）D. （5，-3）【答案】B【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据非负数的和等于零，可得a，b的值，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．【解答】解：由题意，得a+3=0，5-b=0，解得a=-3，b=5，即A（-3，5）关于原点对称的点A′的坐标为（3，-5），故选：B．14.已知a、b满足+|2b+1|=0，则+b的值是（）A. B. 1 C. -1 D. 0【答案】D【解析】解：由题意得，a-=0，2b+1=0，解得，a=，b=-，则+b=-=0，故选：D．根据非负数的性质列出算式，求出a、b的值，根据平方根的概念计算即可．本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．15.已知+（b+）2=0，则a2016b2017的值是（）A. 2B. -2C.D. -【答案】D【解析】解：由题意得，a-2=0，b+=0，解得a=2，b=-，所以，a2016b2017=22016（-）2017，=22016（-）2016×（-），=[2×（-）]2016×（-），=-．故选D．根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式，再转化为同指数的幂的运算，然后根据积的乘方的性质进行计算即可得解．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16.若+|x-3y-17|=0，则x，y的值分别为（）A. x=8，y=-3B. x=7，y=7C. x=-8，y=3D. x=-7，y=-7【答案】A【解析】解：由题意得：，解得：，故选：A．根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值．此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.已知，则（a+b）2019的值为 ( )A. -1B. 1C. 0D. 2019【答案】A【解析】【分析】本题考查的是非负数的性质，熟知几个非负数的和为0时，每一项必为0是解答此题的关键．先根据非负数的性质求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可．【解答】解：∵，∴a-2=0，b+3=0，∴a=2，b=-3，∴（a+b）2019= （2-3）2019 = （-1）2019=-1．故选A．18.已知实数a，b满足+|b-2|=0，那么点P（a，b）的坐标为（）A. （-3，2）B. （-3，-2）C. （3，2）D. （3，-2）【答案】A【解析】解：∵+|b-2|=0，∴3+a=0，b-2=0，解得：a=-3，b=2，∴点P（a，b）的坐标为（-3，2），故选：A．根据算术平方根和绝对值具有非负性可得3+a=0，b-2=0，解可得a、b的值，进而可得P的坐标．此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根和绝对值具有非负性．19.下列各式中没有意义的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了算术平方根的双重非负性和立方根的知识.根据算术平方根的性质和立方根的性质逐项判断即可.【解答】解：A.的被开方数-7＜0，没有意义，故本选项正确；B.的被开方数0.01＞0，有意义，故本选项错误；C.的被开方数（-3）2＞0，有意义，故本选项错误；D.是开3次方，被开方数-8＜0，有意义，故本选项错误；故选A.20.若x，y满足（x+2）2+=0，则的平方根是（）A. ±4B. ±2C. 4D. 2【答案】B则=4的平方根是：±2．故选：B．直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．此题主要考查了算术平方根以及偶次方的性质，正确把握相关定义是解题关键．21.已知△ABC的三边为a，b，c，且a，b，c满足（a-6）2+|10-b|+=0，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 以上都有可能【答案】A【解析】解：∵（a-6）2+|10-b|+=0，∴a-6=0，10-b=0，c-8=0，∴a=6，b=10，c=8，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形，故选：A．根据非负数的性质列出算式，求出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值、偶次方的非负性的应用，能灵活运用勾股定理的逆定理进行推理是解此题的关键．22.已知、为实数，且，则的值为（）A. -1B. 1C. -3D. 3【答案】A【解析】【分析】本题考查了代数式求值、偶次幂和二次根式的非负性的知识点，准确确定出x、y的对应关系是解题的关键.根据偶次幂和二次根式的非负性求出x、y，然后代入代数式进行计算即可得解.【解答】解：∵，∴x-1=0，y-2=0，解得：x=1，y=2，把x=1，y=2代入x-y，得：1-2=-1，故选A.23.若+（y+2）2=0，则（y+x）2019等于（）A. -1B. 1C. 32018D. -32018【答案】A∴x=1，y=-2，∴（y+x）2019=-1．故选：A．直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用有理数的乘方运算法则计算即可．此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．24.已知+|b-2|=0，那么（a+b）2009的值为（）A. -1B. 1C. 52009D. -52009【答案】A【解析】【解答】解：根据题意得，3+a=0，b-2=0，解得a=-3，b=2，∴（a+b）2009=（-3+2）2009=-1．故选：A．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可求解．本题考查了算术平方根，绝对值非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是求解的关键．25.已知=0，则x+y的值为（）A. 10B. -10C. -6D. 不能确定【答案】C【解析】解：∵=0，∴x-2=0，y+8=0，解得x=2，y=-8，∴x+y=2-8=-6．故选：C．先根据非负数的性质求出x、y的值，再求出x+y的值即可．本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根具有非负性是解答此题的关键．26.当的值为最小时，的取值为（）A. －1B. 0C.D. 1【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点有：二次根式的非负性，且有最小值，为0；没有最大值．根据二次根式的非负性可知≥0，由此得到4a+1=0为最小值，这样即可得出a的值．【解答】解：取最小值，即4a+1=0．得a=，故选C．27.若，则x，y的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：解得：故选D．28.如果，那么（xy）2019等于（）A. 2019B. －2019C. 1D. －1【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了绝对值和偶次方的非负性的运用和二次根式的运算，解答此题根据数的非负性可得关于x，y的方程，然后解之可得x，y的值，最后将x，y的值代入计算即可. 【解答】解：∵，由数的非负性可得：，解得：x=，y=，∴.故选D.29.若x,y为实数,且满足|x-1|+=0,则的算术平方根为( )A.4 B. 4 C. 2 D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，算术平方根的定义，求代数式的值，关键是先根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求得x，y的值，再代入计算即可解答.【解答】解：因为|x-1|+=0,且|x-1|0,0,所以|x-1|=0,=0,所以x=1,y=15,==4,=2,所以的算术平方根为2.故选C.30.在平面直角坐标系中，点M（a，b）的坐标满足（a-3）2+=0，则点M在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】解：∵（a-3）2+=0，∴a=3，b=2，∴点M（3，2），故点M在第一象限．故选：A．直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出a，b的值，进而确定其所在象限．此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．31.若满足,则的平方根是：A. B. C.4 D. 2【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了算术平方根以及偶次方的性质，正确把握相关定义是解题关键．直接利用偶次方的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．【解答】解：∵，∴x=-2，y=18，则=4的平方根是：±2．故选B．32.若|x﹣2|+＝0，则-xy的值为（）A. ﹣8B. ﹣6C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】本题考查的是非负数的性质，一元一次方程的解法及代数式的求值．题目注重基础，比较简单．已知任何数的绝对值一定是非负数，二次根式的值一定是一个非负数，由于已知的两个非负数的和是0，根据非负数的性质得到这两个非负数一定都是0，从而得到一个关于x、y的方程组，解方程组就可以得到x、y的值，进而求出-xy的值．【解答】解：∵|x-2|≥0，≥0，而，∴x-2=0且y+3=0，∴x=2，y=-3，∴-xy=-2×(-3)=6．故选D．33.若，则点在第象限．A. 四B. 三C. 二D. 一【答案】D【解析】【分析】本题考查了非负数的性质及平面直角坐标系点的坐标特征，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.先根据非负数的性质求出x和y 的值，再根据平面直角坐标系点的坐标特征判断即可.【解答】解：∵，∴，解之得，∴点在第一象限．故选D.34.若x，y满足|x-3|+=0，则的值是（）A. 1B.C.D.【答案】A【解析】解：∵|x-3|+=0，∴x-3=0，x+2y+1=0，解得：∴==1故选：A．根据非负数的性质，非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决问题．此题考查了非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．35.已知+|b+3|=0，则P（-a，-b）的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性的运用，坐标的确定，解答此题可先由数的非负性得到关于a，b的方程，然后解之即可求出a，b的值，从而可得点P的坐标. 【解答】解：∵，∴，解得：，∴点P的坐标为（-2，3），故选C.36.已知，则的值为( )A. 1B. -1C. 2017D. -2017【答案】A【解析】【分析】此题考查了解二元一次方程组，绝对值的非负性及算术平方根的非负性，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出原式的值．【解答】解：∵，∴,解得：,则原式=（1-0）2017=1.故选A.二、填空题（本大题共58小题，共174.0分）37.若实数a、b满足|a+2|，则=______．【答案】1【解析】解：根据题意得：，解得：，则原式==1．故答案是：1．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．38.若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足，第三边c为奇数，则c＝________．【答案】9【解析】【分析】本题主要考查了三角形三边关系以及非负数的性质，解题的关键是求出a和b的值，此题难度不大．先根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出c的值．【解答】解：∵a、b满足+（b-2）2=0，∴a-9＝0，b-2＝0，∴a=9，b=2，∵a、b、c为三角形的三边，∴7＜c＜11，∵第三边c为奇数，∴c=9.故答案为9．39.已知a、b满足（a-1）2+=0，则a+b=______．【答案】-1【解析】解：∵（a-1）2+=0，∴a=1，b=-2，∴a+b=-1．故答案为：-1．直接利用非负数的性质得出a，b的值，进而得出答案．此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．40.已知|2a+1|+=0，则ab= ______ ．【答案】1【解析】【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，2a+1=0，b+2=0，解得a=-，b=-2，所以，ab=（-）×（-2）=1．故答案为1．41.若|x2-16|+=0，则x+y=______．【答案】7或-1【解析】解：∵|x2-16|+=0，∴x2-16=0，y-3=0，解得x=±4，y=3，∴当x=4，y=3时，x+y=4+3=7；或当x=-4，y=3时，x+y=-4+3=-1．故答案为：7或-1．根据非负数的性质和算术平方根的概念求出x、y的值，代入代数式计算即可．本题考查了非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．42.已知+|3x+2y-15|=0，则的算术平方根为______．【答案】【解析】解：由题意得，x+3=0，3x+2y-15=0，解得x=-3，y=12，所以，==3，所以，的算术平方根为．故答案为：．根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答．本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．43.若+（b+2）2=0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为______ ．【答案】（-3，-2）【解析】解：∵+（b+2）2=0，∴a=3，b=-2；∴点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（-3，-2）．先求出a与b的值，再根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；这样就可以求出M的对称点的坐标．本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，也考查了非负数的性质．44.如果与（2x﹣4）2互为相反数，那么2x﹣y的平方根是____．【答案】±1【解析】【分析】此题主要考查了平方根以及算术平方根和偶次方的性质，正确得出x，y的值是解题关键.直接利用算术平方根以及偶次方的性质得出2x-y的值，进而得出答案.【解答】解：∵与互为相反数，∴，∴y-3=0，2x-4=0，解得：y=3，x=2，∴2x-y=1，∴2x-y的平方根是：±1．故答案为±1．45.已知，则b a＋a c＝________．【答案】11【解析】解：根据题意得：a-2=0，b+3=0，c-1=0，解得a=2，b=-3，c=1．则原式=9+2=11．故答案是：11．根据非负数的性质“非负数相加，和为0，这几个非负数的值都为0”求出a、b、c的值，再代入代数式求解．本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们的和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．46.若+|b+1|=0，则a-b=______．【答案】3【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．根据非负数的性质进行计算即可．【解答】解：∵+|b+1|=0，∴a-2=0，b+1=0，∴a=2，b=-1，∴a-b=2+1=3，故答案为3．47.已知（x-y+1）2+=0，则x+y的值为______．【答案】【解析】解：由题意可知：解得：∴x+y=故答案为：根据非负数的性质以及二元一次方程的解法即可求出答案．本题考查学生的计算能力，解题的关键是正确列出方程组，本题属于基础题型．48.若+|2a-b+1|=0，则（b-a）2016=______．【答案】1【解析】解：∵+|2a-b+1|=0，∴，解得：，则原式=1．故答案为：1．根据题意，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与n的值，代入原式计算即可得到结果．此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．49.已知,则x-20172=_____________。
2013版中考总复习数学(人教版 全国通用)基础讲练 第1讲 实数(含答案点拨)
第一单元数与式第1讲实数考纲要求命题趋势1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力.知识梳理一、实数的分类实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧零负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫负无理数无限不循环小数二、实数的有关概念及性质1．数轴(1)规定了______、________、____________的直线叫做数轴；(2)实数与数轴上的点是一一对应的．2．相反数(1)实数a的相反数是____，零的相反数是零；(2)a与b互为相反数⇔a＋b＝____.3．倒数(1)实数a(a≠0)的倒数是____；(2)a与b互为倒数⇔______.4．绝对值(1)数轴上表示数a的点与原点的______，叫做数a的绝对值，记作|a|.(2)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)， (a ＝0)， (a <0).5．平方根、算术平方根、立方根(1)平方根①定义：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根(也叫二次方根)，数a 的平方根记作______．②一个正数有两个平方根，它们互为________；0的平方根是0；负数没有平方根． (2)算术平方根①如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作____．零的算术平方根是零，即0＝0.②算术平方根都是非负数，即a ≥0(a ≥0)．③(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(3)立方根①定义：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 叫做a 的立方根(也叫三次方根)，数a 的立方根记作______．②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同． 6．科学记数法、近似数、有效数字 (1)科学记数法把一个数N 表示成______(1≤a ＜10，n 是整数)的形式叫做科学记数法．当N ≥1时，n 等于原数N 的整数位数减1；当N ＜1时，n 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．(2)近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从______第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．三、非负数的性质 1．常见的三种非负数|a |≥0，a 2≥0，a ≥0(a ≥0)． 2．非负数的性质(1)非负数的最小值是零；(2)任意几个非负数的和仍为非负数；(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0. 四、实数的运算 1．运算律(1)加法交换律：a ＋b ＝______.(2)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝________. (3)乘法交换律：ab ＝____.(4)乘法结合律：(ab )c ＝______.(5)乘法分配律：a (b ＋c )＝__________. 2．运算顺序(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从____至____的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．3．零指数幂和负整数指数幂(1)零指数幂的意义为：a 0＝____(a ≠0)；(2)负整数指数幂的意义为：a －p ＝______(a ≠0，p 为正整数)． 五、实数的大小比较 1．实数的大小关系在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数____．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小． 2．作差比较法(1)a －b ＞0⇔a ＞b ；(2)a －b ＝0⇔a ＝b ；(3)a －b ＜0⇔a ＜b . 3．倒数比较法 若1a ＞1b ，a ＞0，b ＞0，则a ＜b . 4．平方法因为由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，所以我们可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．(提示：本书[知识梳理]栏目答案见第122～123页) 自主测试1．－2的倒数是( )A ．－12B ．.12C ．－2D ．22．－2的绝对值等于( )A ．2B ．－2C ．12D ．－123．下列运算正确的是( )A ．－|－3|＝3B ．⎝⎛⎭⎫13－1＝－3 C ．9＝±3 D ．3－27＝－34．2012年世界水日主题是“水与粮食安全”．若每人每天浪费水0.32 L ，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为( )A ．3.2×107 LB ．3.2×106 LC ．3.2×105 LD ．3.2×104 L5．已知实数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A ．m ＞0B ．n ＜0C ．mn ＜0D ．m －n ＞0 6．计算：|－5|＋16－32.考点一、实数的分类【例1】四个数－5，－0.1，12，3中为无理数的是( )A ．－5B ．－0.1C ．12D ． 3解析：因为－5是整数属于有理数，－0.1是有限小数属于有理数，12是分数属于有理数，3开不尽方是无理数，故选D. 答案：D方法总结 一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．触类旁通1 在实数5，37，2，4中，无理数是( )A ．5B ．37C ． 2D ． 4考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴【例2】(1)－15的倒数是__________；(2)(－3)2的相反数是( )A ．6B ．－6C ．9D ．－9(3)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |＋(b －a )2＝__________.解析：(1)－15的倒数为1－15＝－5；(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D ；(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识． 由图可知，a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |，所以a ＋b ＜0，b －a ＞0，原式＝－a －b ＋b －a ＝－2a . 答案：(1)－5 (2)D (3)－2a方法总结 1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出． 2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.触类旁通2 下列各数中，相反数等于5的数是( ) A ．－5 B ．5C ．－15D ．15考点三、平方根、算术平方根与立方根 【例3】(1)(－2)2的算术平方根是( )A ．2B ．±2C ．－2D ． 2 (2)实数27的立方根是__________．解析：(1)(－2)2的算术平方根，即(－2)2＝|－2|＝2； (2)27的立方根是327＝3. 答案：(1)A (2)3方法总结 1．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根a 具有双重非负性：①被开方数a 是非负数，即a ≥0；②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0.2．(3a )3＝a ，3a 3＝a .触类旁通3 4的平方根是( ) A ．2 B ．±2 C ．16 D ．±16考点四、科学记数法、近似数、有效数字【例4】2012年安徽省有682 000名初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，682 000用科学记数法表示为( )A ．0.69×106B ．6.82×105C ．0.68×106D ．6.8×105解析：用科学记数法表示的数必须满足a ×10n (1≤|a |＜10，n 为整数)的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止.682 000＝6.82×105≈6.8×105.答案：D方法总结 1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a )的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．触类旁通4 某种细胞的直径是5×10－4毫米，这个数是( ) A ．0.05毫米 B ．0.005毫米 C ．0.000 5毫米 D ．0.000 05毫米 考点五、非负数性质的应用【例5】若实数x ，y 满足x －2＋(3－y )2＝0，则代数式xy －x 2的值为__________． 解析：因为x －2≥0，(3－y )2≥0，而x －2＋(3－y )2＝0，所以x －2＝0,3－y ＝0，解得x ＝2，y ＝3，则xy －x 2＝2×3－22＝2.答案：2方法总结 常见的非负数的形式有三种：|a |，a (a ≥0)，a 2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.触类旁通5 若|m －3|＋(n ＋2)2＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．4 考点六、实数的运算【例6】计算：(1)2－1＋3cos 30°＋|－5|－(π－2 011)0.(2)(－1)2 011－⎝⎛⎭⎫12－3＋⎝⎛⎭⎫cos 68°＋5π0＋|33－8sin 60°|. (1)分析：2－1＝12，cos 30°＝32，|－5|＝5，(π－2 011)0＝1.解：原式＝12＋3×32＋5－1＝12＋32＋5－1＝6.(2)分析：⎝⎛⎭⎫12－3＝(2－1)－3＝23＝8，⎝⎛⎭⎫cos 68°＋5π0＝1，sin 60°＝32. 解：原式＝－1－8＋1＋⎪⎪⎪⎪33－8×32＝－8＋ 3.点拨：(1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a －p ＝1ap (a ≠0)．(2)a 0＝1(a ≠0)． 方法总结 提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．考点七、实数的大小比较【例7】比较2.5，－3，7的大小，正确的是( ) A ．－3＜2.5＜7 B ．2.5＜－3＜7 C ．－3＜7＜2.5 D ．7＜2.5＜－3 解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和7的大小即可，由2.52＜(7)2，得2.5＜7，所以－3＜2.5＜7. 答案：A方法总结 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．触类旁通6在－6,0,3,8这四个数中，最小的数是( ) A ．－6 B ．0 C ．3 D ．81．(2012湖北黄石)－13的倒数是( )A ．13B ．3C ．－3D ．－132．(2012江苏南京)下列四个数中，负数是( )A ．|－2|B ．(－2)2C ．－ 2D ．(－2)23．(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )A ．6.011×109B ．60.11×109C ．6.011×1010D ．0.6011×10114．(2012四川南充)计算2－(－3)的结果是( ) A ．5 B ．1 C ．－1 D ．－55．(2012四川乐山)计算：⎪⎪⎪⎪－12＝__________. 6．(2012重庆)计算：4＋(π－2)0－|－5|＋(－1)2 012＋⎝⎛⎭⎫13－2.1．下列各数中，最小的数是( )A ．0B ．1C ．－1D ．－ 2 2．若|a |＝3，则a 的值是( )A ．－3B ．3C ．13D ．±33．下列计算正确的是( )A ．(－8)－8＝0B ．⎝⎛⎭⎫－12×(－2)＝1 C ．－(－1)0＝1 D ．|－2|＝－24．如图，数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1和3，若点A 关于点B 的对称点为C ，则点C 所表示的实数是( )A ．23－1B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．23＋15．(1)实数12的倒数是____．(2)写出一个比－4大的负无理数__________．6．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．7．定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝1a ＋1b，根据这个规则，计算2☆3的值是__________．8．如图，物体从点A 出发，按照A →B (第1步)→C (第2步)→D →A →E →F →G →A →B →…的顺序循环运动，则第2 012步到达点________处．9．计算：|－2|＋(－1)2 012－(π－4)0.参考答案导学必备知识 自主测试1．A 1－2＝－12.2．A3．D A 中－|－3|＝－3，B 中⎝⎛⎭⎫13－1＝3，C 中9＝3.4．C 0.32×100万＝320 000＝3.2×105.5．C 因为从数轴可知：m 小于0，n 大于0，则mn ＜0，m －n ＜0. 6．解：|－5|＋16－32＝5＋4－9＝0. 探究考点方法触类旁通1．C 因为5是整数，37是分数，4＝2是整数．触类旁通2．A 因为5的相反数是－5，－15的相反数是15，15的相反数是－15.触类旁通3．B触类旁通4．C 因为0.05＝5×10－2,0.005＝5×10－3,0.000 5＝5×10－4,0.000 05＝5×10－5，故选C.触类旁通5．B 因为|m －3|≥0，且(n ＋2)2≥0，又因为|m －3|＋(n ＋2)2＝0，所以m －3＝0且n ＋2＝0.所以m ＝3，n ＝－2，所以m ＋2n ＝3＋2×(－2)＝－1.触类旁通6．A 因为根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，解答即可． 品鉴经典考题1．C ∵－3×⎝⎛⎭⎫－13＝1，∴－13的倒数是－3. 2．C A 中，|－2|＝2，是正数，故本选项错误；B 中，(－2)2＝4，是正数，故本选项错误；C 中，－2＜0，是负数，故本选项正确；D 中，(－2)2＝4＝2，是正数，故本选项错误．3．C 因为科学记数法的形式为a ×10n ，用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤a ＜10，n 是比原数的整数位数小1的正整数，所以60 110 000 000＝6.011×1010.4．A 原式＝2＋3＝5.5．12根据负数的绝对值是它的相反数，得⎪⎪⎪⎪－12＝12. 6．解：原式＝2＋1－5＋1＋9＝8. 研习预测试题1．D 因为正数和0都大于负数，2＞1，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以－2最小．2．D 绝对值为3的数有＋3和－3两个，且互为相反数．3．B (－8)－8＝－16，⎝⎛⎭⎫－12×(－2)＝1，－(－1)0＝－1，|－2|＝2. 4．A 因为数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1和3， 所以OA ＝1，OB ＝ 3.所以AB ＝OB －OA ＝3－1. 由题意可知，BC ＝AB ＝3－1.所以OC ＝OB ＋BC ＝3＋(3－1)＝23－1. 5．(1)2 (2)－4＋2(答案不唯一)6．7 因为－3＜0，11＞3,1＜7＜3. 7．56 因为2☆3＝12＋13＝36＋26＝56. 8．A 由题意知，每隔8步物体到达同一点，因为2 012÷8＝251余4，所以第2 012步到达A 点．9．解：原式＝2＋1－1＝2.。
第一章 有理数 考点6 非负数的性质：绝对值(原卷板)
第一章有理数（原卷板）6、非负数的性质：绝对值知识点梳理1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．同步练习一．选择题（共9小题）1．若|a+1|+|b﹣2|+|c+3|＝0，则（a﹣1）（b+2）（c﹣3）的值是（）A．﹣48B．48C．0D．无法确定2．已知|x﹣2|+|y﹣1|＝0，则x﹣y的相反数为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣33．已知|a+2|+|b﹣3|＝0，则a﹣b的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．54．若m是有理数，则|m|﹣m一定是（）A．零B．非负数C．正数D．非正数5．若|x+2|+|y﹣3|＝0，则x+y的值是（）A．1B．﹣1C．5D．﹣56．|a﹣2|+|b+1|＝0，则（a+b）2等于（）A．﹣1B．1C．0D．﹣27．已知2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，则a﹣b的值为（）A．﹣1B．﹣2C．4D．28．已知|x﹣2|+＝0，则点P（x，y）在直角坐标系中（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．若|a﹣2019|与|b﹣2020|互为相反数，则a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．4029D．﹣4029二．填空题（共18小题）10．式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是．11．若|3x﹣2|与|y﹣1|互为相反数，则xy＝．12．已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+b＝．13．若|a﹣4|+|b+5|＝0，则a﹣b＝．14．若|x﹣6|+|y+5|＝0，则x+y＝．15．若|x+2|+|y﹣5|＝0，则x+y＝．16．若|m+3|与|5﹣n|互为相反数，则mn＝．17．若|a﹣2|+|b+3|＝0，那么a+b＝．18．若|x+2|+|y﹣3|＝0，则2x﹣y＝．19．若|m﹣2|+|n+3|＝0，则2n﹣3m＝．20．如果|a﹣1|+|b+2|＝0，那么a+b＝．21．若|x|＝2，则x＝；已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，则3a+2b的值．22．若|x﹣2|+|y+3|＝0，则x﹣y＝．23．若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则b﹣2a＝．24．若|x﹣2|与|y+1|互为相反数，则xy＝．25．|x﹣3|+|y+2|＝0，则x﹣y＝．26．若|a+2|+|b﹣3|＝0，则a﹣b＝．27．已知a，b为有理数，且|a+1|+|2013﹣b|＝0，则a b＝．三．解答题（共9小题）28．如果|x﹣2|+|y+8|＝0，求x﹣y的值．29．若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．30．已知|3x﹣2|+|y﹣4|＝0，求|6x﹣y|的值．31．红武发现：如果|x|+|y|＝0，那么x＝y＝0．他的理由如下：∵|x|≥0，|y|≥0且|x|+|y|＝0，∴|x|＝0，|y|＝0，∴x＝0，y＝0．请根据红武的方法解决下面的问题：已知|m﹣4|+|n|＝0，求m+n的值并说明理由．32．已知|a+3|+|b﹣5|＝0，x，y互为相反数，求3（x+y）﹣a+2b的值．33．若|x﹣1|+|y+2|＝0，求x﹣y的相反数．34．若a、b、c为有理数，且|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0，求（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）的值．35．若|x﹣1|+|y+2|＝0，求（x﹣1）（y+2）的值．36．已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）比较a+与|b+|大小，并说明理由．。
第一章 有理数 考点6 非负数的性质：绝对值(解析板)
第一章有理数（解析板）6、非负数的性质：绝对值知识点梳理1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．同步练习一．选择题（共9小题）1．若|a+1|+|b﹣2|+|c+3|＝0，则（a﹣1）（b+2）（c﹣3）的值是（）A．﹣48B．48C．0D．无法确定【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b，c的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a+1|+|b﹣2|+|c+3|＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3，∴（a﹣1）（b+2）（c﹣3）＝﹣2×4×（﹣6）＝48．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．2．已知|x﹣2|+|y﹣1|＝0，则x﹣y的相反数为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：x﹣2＝0，y﹣1＝0，解得：x＝2，y＝1，则x﹣y＝2﹣1＝1，所以x﹣y的相反数为﹣1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．已知|a+2|+|b﹣3|＝0，则a﹣b的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的差．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣2，b＝3；因此a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：C．【点评】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．4．若m是有理数，则|m|﹣m一定是（）A．零B．非负数C．正数D．非正数【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，可得答案．【解答】解：m是有理数，则|m|﹣m一定是0或正数，故选：B．【点评】本题考查了绝对值，注意非负数的绝对值是它的相反数．5．若|x+2|+|y﹣3|＝0，则x+y的值是（）A．1B．﹣1C．5D．﹣5【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：因为|x+2|+|y﹣3|＝0，所以x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3，所以，x+y＝﹣2+3＝1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．6．|a﹣2|+|b+1|＝0，则（a+b）2等于（）A．﹣1B．1C．0D．﹣2【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a﹣2|+|b+1|＝0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，∴a＝2，b＝﹣1，∴（a+b）2＝（2﹣1）2＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．7．已知2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，则a﹣b的值为（）A．﹣1B．﹣2C．4D．2【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据相反数的定义列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可．【解答】解：因为2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，所以2020|a+1|+2021|b+3|＝0，所以a+1＝0，b+3＝0，解得，a＝﹣1，b＝﹣3，则a﹣b＝﹣1﹣（﹣3）＝2，故选：D．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．8．已知|x﹣2|+＝0，则点P（x，y）在直角坐标系中（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；坐标确定位置．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，从而得到点P的坐标，再根据坐标位置的确定即可解答．【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+3＝0，解得x＝2，y＝﹣3，∴点P的坐标是（2，﹣3），∴点P位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．9．若|a﹣2019|与|b﹣2020|互为相反数，则a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．4029D．﹣4029【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】由非负数的性质可知a＝2019，b＝2020，然后求得a﹣b的值即可．【解答】解：∵|a﹣2019|与|b﹣2020|互为相反数，∴|a﹣2019|+|b﹣2020|＝0．∴a﹣2019＝0，b﹣2020＝0，∴a＝2019，b＝2020．∴a﹣b＝2019﹣2020＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．二．填空题（共18小题）10．式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝3时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是6．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝3时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是：6．故答案为：3，6．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键．11．若|3x﹣2|与|y﹣1|互为相反数，则xy＝．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入所求式子计算即可求出值．【解答】解：∵|3x﹣2|+|y﹣1|＝0，∴x＝，y＝1，所以xy＝，故答案为：【点评】此题考查非负数的性质，关键是利用非负数的性质求出x与y的值．12．已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后相加即可得解．【解答】解：根据题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，所以，a+b＝﹣2+1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．13．若|a﹣4|+|b+5|＝0，则a﹣b＝9．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入所求代数式即可．【解答】解：依题意得：a﹣4＝0，b+5＝0，∴a＝4，b＝﹣5．a﹣b＝4+5＝9．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．14．若|x﹣6|+|y+5|＝0，则x+y＝1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的非负性分别求出x、y，计算得到答案．【解答】解：∵|x﹣6|+|y+5|＝0，∴x﹣6＝0，y+5＝0，解得，x＝6，y＝﹣5，则x+y＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键．15．若|x+2|+|y﹣5|＝0，则x+y＝3．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的非负性可得x+2＝0，y﹣5＝0，再解方程即可．【解答】解：∵|x+2|+|y﹣5|＝0，∴x+2＝0，y﹣5＝0，解得：x＝﹣2，y＝5，∴x+y＝﹣2+5＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．16．若|m+3|与|5﹣n|互为相反数，则mn＝﹣15．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据互为相反数两数之和为0列出等式，利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到m与n的值，即可求出mn的值．【解答】解：∵|m+3|与|5﹣n|互为相反数，即|m+3|+|5﹣n|＝0，∴m+3＝0，5﹣n＝0，解得：m＝﹣3，n＝5，则mn＝﹣15，故答案为：﹣15．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质：绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．若|a﹣2|+|b+3|＝0，那么a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】由非负数的性质可知；a﹣2＝0，b+3＝0，从而可求得a＝2，b＝﹣3，然后利用有理数的加法法则计算即可．【解答】解：∵|a﹣2|+|b+3|＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0．∴a＝2，b＝﹣3．∴a+b＝2+（﹣3）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查的是非负数的性质和有理数的加法，掌握非负数的性质是解题的关键．18．若|x+2|+|y﹣3|＝0，则2x﹣y＝﹣7．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3，所以，2x﹣y＝2×（﹣2）﹣3＝﹣4﹣3＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．19．若|m﹣2|+|n+3|＝0，则2n﹣3m＝﹣12．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质得到算式，求出m、n的值，代入代数式计算即可．【解答】解：由题意得，m﹣2＝0，n+3＝0，解得，m＝2，n＝﹣3，则2n﹣3m＝﹣12，故答案为：﹣12．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．20．如果|a﹣1|+|b+2|＝0，那么a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】先根据绝对值的性质求出a、b的值，进而可得出结论．【解答】解：∵|a﹣1|+|b+2|＝0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，解得a＝1，b＝﹣2，∴a+b＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知任意一个数的绝对值都是非负数是解答此题的关键．21．若|x|＝2，则x＝±2；已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，则3a+2b的值12．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的意义解答；根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵|x|＝2，∴x＝±2；∵|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，∴|a﹣2|+|b﹣3|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3，所以，3a+2b＝3×2+2×3＝6+6＝12．故答案为：±2，12．【点评】本题考查了绝对值的意义，非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．若|x﹣2|+|y+3|＝0，则x﹣y＝5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出x﹣2＝0，y+3＝0，进而得出x，y的值，即可得出答案．【解答】解：∵|x﹣2|+|y+3|＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得：x＝2，y＝﹣3，故x﹣y＝2﹣（﹣3）＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．23．若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则b﹣2a＝4．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后相减即可得解．【解答】解：∵|a+1|与|b﹣2|互为相反数，∴|a+1|+|b﹣2|＝0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，所以b﹣2a＝2﹣2×（﹣1）＝2+2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．24．若|x﹣2|与|y+1|互为相反数，则xy＝﹣2．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据相反数的概念列出等式，根据绝对值的非负性分别求出x、y，计算即可．【解答】解：由题意得，|x﹣2|+|y+1|＝0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得，x＝2，y＝﹣1，则xy＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是非负数的性质、相反数的概念、有理数的乘法，掌握绝对值的非负性是解题的关键．25．|x﹣3|+|y+2|＝0，则x﹣y＝5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入代数式中求解即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，则x﹣y＝3﹣（﹣2）＝5．故答案是：5．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．26．若|a+2|+|b﹣3|＝0，则a﹣b＝﹣5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的差．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣2，b＝3；∴a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了非负数的性质，解答此题的关键是掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．27．已知a，b为有理数，且|a+1|+|2013﹣b|＝0，则a b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据两个绝对值的和为0，可得每个绝对值为0，再根据绝对值，可得a，b的值，可得答案．【解答】解：|a+1|+|2013﹣b|＝0，∴a+1＝0，2013﹣b＝0，a＝﹣1，b＝2013，∴a b＝（﹣1）2013＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，两个绝对值的和为0，可得每个绝对值为0是解题关键．三．解答题（共9小题）28．如果|x﹣2|+|y+8|＝0，求x﹣y的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，y+8＝0，解得x＝2，y＝﹣8，所以，x﹣y＝2﹣（﹣8）＝2+8＝10．即x﹣y的值是10．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．29．若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出三元一次方程组，即可解出x、y、z的值；（2）将（1）中求出的x、y、z的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可．【解答】解：（1）由题意，得，解得．即x＝2，y＝﹣3，z＝5；（2）当x＝2，y＝﹣3，z＝5时，|x|+|y|﹣|z|＝|2|+|﹣3|﹣|5|＝2+3﹣5＝0，即|x|+|y|﹣|z|的值是0．【点评】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．30．已知|3x﹣2|+|y﹣4|＝0，求|6x﹣y|的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，3x﹣2＝0，y﹣4＝0，解得x＝，y＝4，所以，|6x﹣y|＝|6×﹣4|＝|4﹣4|＝0，即|6x﹣y|的值是0．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．31．红武发现：如果|x|+|y|＝0，那么x＝y＝0．他的理由如下：∵|x|≥0，|y|≥0且|x|+|y|＝0，∴|x|＝0，|y|＝0，∴x＝0，y＝0．请根据红武的方法解决下面的问题：已知|m﹣4|+|n|＝0，求m+n的值并说明理由．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值进而得出答案．【解答】解：∵|m﹣4|+|n|＝0，∴|m﹣4|＝0，|n|＝0∴m＝4，n＝0，故m+n＝4．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．32．已知|a+3|+|b﹣5|＝0，x，y互为相反数，求3（x+y）﹣a+2b的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质得出a，b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵|a+3|≥0，|b﹣5|≥0且|a+3|+|b﹣5|＝0，∴|a+3|＝0，|b﹣5|＝0即：a+3＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣3，b＝5又∵x、y互为相反数，∴x+y＝0，∴原式＝3×0﹣（﹣3）+2×5＝13．【点评】本题考查了非负数的性质，掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．33．若|x﹣1|+|y+2|＝0，求x﹣y的相反数．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】先根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入x﹣y中求值，最后根据相反数的定义求出x﹣y的相反数．【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得x＝1，y＝﹣2，∴x﹣y＝1﹣（﹣2）＝3，∴x﹣y的相反数是﹣3．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．34．若a、b、c为有理数，且|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0，求（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据已知等式，利用非负数的性质求出a，b，c的值，即可确定出（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）的值．【解答】解：∵|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0，∴a+1＝0，b+2＝0，c+3＝0，∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）＝﹣2×0×（﹣6）＝0．【点评】此题考查了代数式求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．35．若|x﹣1|+|y+2|＝0，求（x﹣1）（y+2）的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值得出x﹣1＝0，y+2＝0，再代入求值即可．【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴（x﹣1）（y+2）＝0．【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘法，整体思想的应用是本题的关键．36．已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）比较a+与|b+|大小，并说明理由．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）先由|2a+b|与互为相反数，列出等式，再根据绝对值和算术平方根的非负性得出a和b的值，然后计算2a﹣3b的平方根即可；（2）将a和b的值分别代入a+与|b+|，然后用“作差法“比较大小即可．【解答】解：（1）∵|2a+b|与互为相反数，∴|2a+b|+＝0，∴2a+b＝0，3b+12＝0，解得：b＝﹣4，a＝2，∴2a﹣3b＝4+12＝16，∴2a﹣3b的平方根是±4；（2）∵a＝2，b＝﹣4，∴a+＝2+，|b+|＝|﹣4+|＝4﹣，∵2+﹣（4﹣）＝2+﹣4+＝+﹣2＞0，∴2+＞4﹣，∴a+＞|b+|．【点评】本题考查了相反数的意义、绝对值和算术平方根的非负性、求平方根及实数的大小比较等基础知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键。
初中数学重点梳理：非负数
非负数知识定位知道常见的几种非负数，偶次根式，绝对值，二次方程有根的判别系数，常见的题型主要是利用非负数的性质建立方程，不等式，从而求值或证明。
知识梳理非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|≥0在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示设a为实数，则绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数，则|a|＝|b|；若|a|＝|b|，则a＝±b③对任意实数a，则|a|≥a，|a|≥－a④|a·b|＝|a|·|b|，(b≠0)⑤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数，则≥0（n为自然数），当n＝1时，≥0（3）算术平方根是非负数，即≥0，其中a≥0.算术平方根的性质：（a≥0）＝2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；例题精讲◆专题一：利用非负数的性质解题： 【试题来源】【题目】已知实数x 、y 、z 满足，求x ＋y ＋z 的平方根。
【答案】0 【解析】∵，∴.∵|x-y|>=0， ， ，∴解得x ＋y ＋z =0所以求x ＋y ＋z 的平方根为0 【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知()0446222=+-+++y xy x y x ，则的值为______________；【答案】2【解析】（x+y-6）²≥0, 2244y xy x +- ≥0,（x+y-6）²+ 2244y xy x +- =0,两个非负数的和为0,只能都是0.所以x+y-6 =0,x²-4xy+4y²=(x-2y)²=0, 即x+y-6 =0, x-2y =0, 解得x=4,y=2. ∴x-y=2,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】若，的值【答案】【解析】解：因为，所以，从而.所以【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设a 、b 、c 是实数，若，求a 、b 、c 的值【答案】1130===c ,b ,a 【解析】,,,,,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题二：对于 的应用【试题来源】【题目】已知x 、y 是实数，且 ；【答案】81 【解析】根据题意32112+-+-=x x y ，知012≥-x 且021≥-x ，所以21=x ，y=381=y x【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】已知、、适合关系式：y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20152015223 ，求z y x -+3 的平方根。
冰山一角——非负数的性质教学谈
冰山一角——非负数的性质教学谈发表时间：2019-11-27T13:16:22.913Z 来源：《中小学教育》2019年10月2期作者：杨炳兴[导读] 非负数有一条重要的性质：有限个非负数的和为0，则每一个非负数均为0。
对于这条性质，单纯从数的角度看很好理解，但学生很容易遗忘，只能靠机械重复学习去掌握。
非负数性质的题设实际上是一个多元方程，在方程的视角下，非负数的性质与多元方程有唯一解的情形对应起来。
通过这种对应，将非负数的性质纳入到了方程知识体系当中。
教学上，依据学生已有的方程知识基础，通过探究式、随机进入式的教学，能使学生比较容易地理解掌握非杨炳兴岷江东路逸夫学校四川德阳 618000【摘要】非负数有一条重要的性质：有限个非负数的和为0，则每一个非负数均为0。
对于这条性质，单纯从数的角度看很好理解，但学生很容易遗忘，只能靠机械重复学习去掌握。
非负数性质的题设实际上是一个多元方程，在方程的视角下，非负数的性质与多元方程有唯一解的情形对应起来。
通过这种对应，将非负数的性质纳入到了方程知识体系当中。
教学上，依据学生已有的方程知识基础，通过探究式、随机进入式的教学，能使学生比较容易地理解掌握非负数的性质。
【关键词】初中数学；非负数性质；方程的解；随机进入式教学中图分类号：G688.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2019）10-065-02非负数是正数和零的统称。
初中数学重点学习的非负数主要有三类：1.任意实数的绝对值|a|；2.任意实数的平方a2；3.任意非负实数的算木平方根(二次根式) (a≥0）。
非负数常用的性质有两条：1.有限个非负数之和仍是非负数；2.有限个非负数的和为0，则每一个非负数均为0[1]。
对于第一条性质，学生理解与运用的难度都不大，后文将不再探讨。
对于第二条性质，表面看似乎也很好理解与运用，但实际上问题多多，除开学优生不论，一般学生往往到毕业时也只会依葫芦画瓢，远达不到理解掌握的程度。
数学+第08讲 非负数
第八讲非负数所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．1．实数的偶次幂是非负数若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．2．实数的绝对值是非负数若a是实数，则性质绝对值最小的实数是零．`3．一个正实数的算术根是非负数4．非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，a n为非负数，则a1＋a2＋…＋a n≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，a n为非负数，且a1＋a2＋…＋a n=0，则必有a1＝a2＝…＝a n＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．解得a=3，b=-2．代入代数式得解因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2≤0．①-(20x-3)2≥0．②由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．例3 已知x，y为实数，且解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0，且 (b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以例5 已知x，y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．因为x，y为实数，所以(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当时，u有最小值2，此时x=1，y=2．例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0．对于任意实数x，均有(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根．例7 求方程的实数根．分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．解之得经检验，均为原方程的解．说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．例8 已知方程组求实数x1，x2，…，x n的值．解显然，x1=x2=…=x n=0是方程组的解．由已知方程组可知，在x1，x2，…，x n中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=x n=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，x n≠0时，将原方程组化为将上面n个方程相加得又因为x i为实数，所以经检验，原方程组的解为例9 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．解由于a，b为非负整数，所以解得例10 当a，b为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？解因为方程有实数根，所以△≥0，即△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，所以2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，-(a-1)2-(a+2b)2≥0．因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以例11 已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．证由已知得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac ≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例12 对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．解用比差法．(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3．说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．例13 已知a，b，c为实数，设证明：A，B，C中至少有一个值大于零．证由题设有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C 中至少有一个大于零．例14 已知a≥0，b≥0，求证：分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有由不等式的性质知道，只须证明因为a≥0，b≥0，所以又因为所以原不等式成立．例15 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为a，b，c，d都是实数，所以(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有a=b=c=d．故此四边形为菱形．练习八1．求x，y的值：4．若实数x，y，z满足条件5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．。