2020年人教高考理科数学一轮复习精品练习36 一元二次不等式及其解法 Word版含解析

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高考数学一轮复习配餐作业36 一元二次不等式及其解法(含解析)理

配餐作业(三十六) 一元二次不等式及其解法(时间：40分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析当x ≤0时，x ＋2≥x 2，即x 2－x －2≤0 －1≤x ≤2，∴－1≤x ≤0。

当x >0时，－x ＋2≥x 2，即x 2＋x －2≤0 得－2≤x ≤1，∴0<x ≤1。

综上，不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}。

故选A 。

答案 A2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 解析 ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3。

又∵2x 2－7x ＋6>0， ∴(x －2)(2x －3)>0， ∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)。

故选B 。

答案 B3．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2) B ．(a 2＋2,3a ) C ．(3,4)D ．(3,6)解析由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )·(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1,2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2,3a )。

故选B 。

答案 B4．(2017·辽宁模拟)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题36 基本不等式(解析版)

考点36 基本不等式1．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试理）若x ，y ，z 是正数，且3412x y z ==，(),1x yn n z+∈+，n N ∈，则n 的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B 【解析】令3412x y z k ===，得3log x k =，4log y k =，12log z k =，则111x y z +=，得1x y xy z +=，所以()22x y x y x y z xy y x++==++，注意到432y x x =>，即2y x >，且y x <，所以112y x >>，设y t x =，则1924,2x y t z t +⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.所以4n =.故选B.2．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上的两个动点，以AB 为直径的圆C 经过抛物线的焦点F ，且面积为2π，若过圆心C 作该抛物线准线l 的垂线CD ，垂足为D ，则||CD 的最大值为（）A ．2 BC D ．12【答案】A 【解析】根据题意，222AB ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴AB =设||||AF a BF b ==，，过点A 作AQ l ⊥于Q ，过点B 作BP l ⊥于P ，由抛物线定义，得AF AQ BF BP ==，，在梯形ABPQ 中， ∴2CD AQ BP a b =+=+，由勾股定理得，228a b =+，∵2222282244a b a b ab CD ab ++++⎛⎫==== ⎪⎝⎭2222424ab a b +++=…，所以2CD ≤（当且仅当a b =时，等号成立）.3．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=，又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤；因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B4．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（）A ．（4，+∞）B ．[3)++∞C ．[6，+∞）D ．(4,3+【答案】B 【解析】∵函数f （x ）＝|ln （x ﹣1）|，f （a ）＝f （b ），且x ＞1，不妨设a b <，则12a b <<<. ∴﹣ln （a ﹣1）＝ln （b ﹣1），∴11a -＝b ﹣1，∴b ＝11a -+1，∴a+2b ＝a+222133311a a a +=-+++=+--…，当且仅当a 取等号，∴a+2b的取值范围是[3)++∞ 故选：B ．5．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为 A．3+B．3 C．2+ D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立，所以11m n+的最小值为3+ A.6．（天津市南开区2019届高三下学期模拟考试理）已知x ，y均为正实数，且272x y xy +=，则x+3y的最小值为_____________ 【答案】2; 【解析】 x ，y 均为正实数,22172x y xy y x +=+=+,)12113233)7722y xx y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭17 2.72≥+==时等号成立.故答案为：2.7．（天津市河北区2019届高三一模数学理）若lg lg 0a b +=，则21a b+的最小值是_____________. 【答案】【解析】∵lga+lgb ＝lgab ＝0， ∴ab ＝1，且a ＞0，b ＞0，则21a b +≥=当且仅当21a b =且ab ＝1时即a =b 2=取得最小值故答案为8．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】5【解析】因为cos24ABC ∠=，所以221cos 2cos121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u rBD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯，整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，35c a +≤=，当且仅当a =，15c =时等号成立，故填5. 9．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.【解析】()()2222211122x ty t y x y x y xy y ++-+++=≥++()01t <<12=，即15t =时()2212x y x y +++=10．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为()2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：111．（内蒙古2019届高三高考一模试卷数学理）设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为______．【答案】256【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时, 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12, 即4612a b +=,即236a b +=, 而2323236a b a b a b +⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭1313252666b a a b ⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭．故答案为：256． 12．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试理）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==，由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 13．（山东省威海市2019届高三二模考试理）直三棱柱111ABC A B C -中，190,2BC A A A ︒∠==，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________．【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设,AB c BC a ==，则AC =分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心，连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心．连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1，即1()1132O ABC acV -=⨯⨯=， ∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得22222212()()11224O O AC a c R +=+=+=+， ∴222244(1)4(1)1644a c acS R ππππ+==+≥+=球表，当且仅当a c =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π．故答案为：16π．14．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二数学（理）在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,则V ABC 面积最大值为_________. 【答案】3 【解析】在V ABC 中,角A 的平分线交BC 于点D ,22BD CD ==,如下图所示：则1CD =，由三角形内角平分线定理可知：2AB BDAC CD==，设,2AC x BAC α=∠=，则2,0,2AB x πα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：2223422cos 2x x x x α=+-⋅⋅⋅，即22954cos 2x x α=-，可得2954cos 2x α=-，V ABC 面积为219sin 22sin 2sin 2254cos 2S x x x αααα=⋅⋅⋅==-22222tan 918tan 181tan 311tan 19tan 9tan 54tan 1tan S αααααααα⋅+⇒====-++-⋅+…,当且仅当31tan =α时，等号成立，故V ABC 面积最大值为3.15．（江西省新八校2019届高三第二次联考）在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则tan tan tanC A B ++的最小值是_______．【答案】12 【解析】由正弦定理可得：sin 3sin sin C B A =得：()sin sin cos cos sin 3sin sin A B A B A B B A +=+=sin cos cos sin 3sin sin cos cos cos cos A B A B B AA B A B+∴=，即tan tan 3tan tan A B A B +=又()tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B C A B C A B A B ++==-+22tan tan 3tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A B A B+-=-=-- 令tan tan A B t =，得：()()()22231613333tan tan tan 3161111t t t t A B C t t t t t -+-+-++====-++----ABC ∆为锐角三角形 ()tan tan tan tan 01tan tan A BC A B A B+∴-=+=<-得：tan tan 1A B >，即1t > 10t ∴->()3tan tan tan 3166121A B C t t ∴++=-++≥=- 当且仅当()3311t t -=-，即tan tan 2t A B ==时取等号 ()min tan tan tan 12A B C ∴++=本题正确结果：1216．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）若正数,a b 满足3ab a b ++=，则+a b 的最小值为__________．【答案】2 【解析】因为,a b 2a b+≤成立. 所以()24a b ab +≤所以()()234a b ab a b a b =++++≤+即：()()21240b a a b +-+≥+ 解得：2a b +≥或6a b +≤-（舍去）当3a bab a b =⎧⎨++=⎩时，等号成立，即：1a b ==时，等号成立.所以+a b 的最小值为217．（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等理)2019届高三第二次调研联考）在菱形中，为边的中点，，则菱形面积的最大值是______．【答案】12 【解析】以对角线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，在菱形ABCD 中，设，，，则，，，，又E 为CD 边的中点，则，，，，由基本不等式有，，，当且仅当时取“”，即，菱形ABCD 的面积为，即菱形面积的最大值为12．故答案为：12．18．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试）已知正实数满足，则的最小值为_______．【答案】【解析】∵正实数满足，∴（2a+b），当且仅当时取等号．∴的最小值为故答案为．19．（山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测理）如图，在中，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为______．【答案】【解析】因为的面积为，所以,因此，因为，所以因此，当且仅当时取等号即，的最小值为.20．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）已知函数()f x x a x b =++-. （1）当1a =，1b =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）若0a >，0b >，()f x 的最小值为2，求12a b+的最小值.【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）32+ 【解析】（1）当1a =，1b =时，()114f x x x =++-≤，得124x x ≤-⎧⎨-≤⎩或1124x -<<⎧⎨≤⎩或124x x ≥⎧⎨≤⎩，解得：22x -≤≤，∴不等式()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤.（2）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+， ∴2a b +=，∴()121121213332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=⨯++=++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当2a =，4b =-.∴12a b +的最小值为3221．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试理）已知函数()211f x x x =--+．（1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析. 【解析】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩，故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤，综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．22．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．【答案】(1) ()1,3- (2)见证明【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解，综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-；（2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=， ∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥， ∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．23．（宁夏石嘴山市第三中学2019届高三四模考试数学理）选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x mm x >⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++=由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥24．（吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试理）已知()()0f x x a a =->．（1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =--的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪->⎪⎪⎛⎫=-+-=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =--+， ()()22224x x x x --+≤--+=，4k∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以当343n m m n =，即2n =1m =时，123m n +最小值为2。

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2020-2021年新高三数学一轮复习训练：一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法1 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，则∁R A 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案 A解析由题意可得，∁R A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，表示为区间形式即(1,2)．故选A.2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．解原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解得1<x <1a. 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 3 已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.解析设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ).又f (0)＝0.于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎨⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎨⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).答案 (－3，0)∪(3，＋∞)4 解下列不等式：(1)0<x 2－x －2≤4；(2)12x 2－ax >a 2(a ∈R ).解 (1)原不等式等价于⎩⎨⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，可得⎩⎨⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3}.(2)∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.当a >0时，－a 4<a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3；当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，－a 4>a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4.一元二次方程与一元二次不等式1.关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析关于x 的不等式ax －b <0即ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1，3).答案 C2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1).答案 D3.若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则( )A.a ＋b －c 的最小值为2B.a －b ＋c 的最小值为－4C.a ＋b －c 的最大值为4D.a －b ＋c 的最大值为6解析由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.答案 A一元二次不等式恒成立问题1.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0 B.－2 C.－52 D.－3解析由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数.∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52.答案 C2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎨⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2). 答案 A3.设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎨⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2]4.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x .若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.解因为函数f (x )是偶函数，故函数图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎨⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.考点四一元二次不等式的应用1.甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解 (1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，解得x ≥3或x ≤－15，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3，10].(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y max ＝457 500元.即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.规律方法求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.2.已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台解析由题设，产量x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本，即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，解之得x ≥150或x ≤－200(舍去).故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.故选C.答案 C3.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.1．(2020·武汉调研)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,2)B ．(－1,0)C ．(－3,2)D ．(－1,3)2．(2020·黄冈调研)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( )A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >14．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]5．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( )A ．(13，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13)6．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－1,3]D ．[－2,4]7．(多选)下列四个解不等式，正确的有( )A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是{x |x >2或x <1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为－18．(多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( )A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66 D ．若不等式的解集为∅，则k ≥669．(2020·北京市顺义区模拟)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是________．10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．11．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( )A.12B.13C.14D.2212.已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________． 13．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．14．若集合A ＝{x ∈Z |x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0}中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________．15．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．16．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．17．(2020·南京六校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1.若对任意的a ∈(0,3)，存在x 0∈[0,4]，使得t ≤|f (x 0)|成立，求实数t 的取值范围．1.不等式x 2＋2x －3<0的解集为( )A ．{x |x <－3或x >1}B ．{x |x <－1或x >3}C ．{x |－1<x <3}D ．{x |－3<x <1}2.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2] 3.不等式1－x 2＋x≥0的解集为( ) A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)4.设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( )A.1B.－14C.4D.－125.已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.6. y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________.7.已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．8.已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．9.解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )．拓展练1.答案 B解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}，∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2.答案 C解析关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，∴a >0，且－b a＝1， ∴关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0， ∴不等式的解集为{x |1<x <2}．故选C.3.答案 A解析 ∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，又∵m >14，∴Δ＝1－4m <0， ∴“m >14”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A. 4.答案 B解析原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.5.答案 B解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.6.答案 C解析因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1，所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C.7.答案 BCD解析对于A ，∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12， ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－12.故A 错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝21a，∴a ＝3.故C 正确；对于D ，依题意q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．8.答案 ACD解析对于A ，∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，∴k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.故A 正确；对于B ，∵不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，x ≠1k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.故B 错误；对于C ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66.故C 正确；对于D ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.故D 正确． 9.答案 (－2，－1)(答案不唯一) 解析不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是(－2，－1)．10.答案 ⎝⎛⎭⎫－12，32 解析由题意，可知不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，又由(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 11.答案 C解析由题意知a <0，a 0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意；③当b ＝0时，由题意知x ∈(a,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立，所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0，所以0<b －a ≤14. 综上所述，b －a 的最大值为14. 12.答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧ －12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5. 故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.13.答案 (1,5]解析设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4 时，f (x )>0 对x ∈R 恒成立，符合题意；当a ＝1时，f (－1)＝0，不符合题意；当a ＝4时，f (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2>0对x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)恒成立，符合题意；当Δ>0 时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围是(1,5]．14.答案 ⎝⎛⎦⎤12，23解析 f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0，即x 2－2x ＋1<a (x ＋1)－1，分别令y 1＝x 2－2x ＋1，y 2＝a (x ＋1)－1，易知y 2过定点(－1，－1)，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若集合A ＝{x ∈Z |f (x )<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，2a －1>0，3a －1≤1，解得12<a ≤23.15.解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．16.解 (1)根据题意，得200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y max ＝457 500.故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．17.解 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1的对称轴为x ＝a ，且a ∈(0,3)，∴函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1在[0，a ]上是减函数，在[a,4]上是增函数；∴函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1在[0,4]上的最小值为f (a )＝－(a －1)2∈(－4,0]，|f (a )|＝(a －1)2，①当2≤a <3时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1(x ∈[0,4])在x ＝0时取得最大值，且最大值为2a －1，由于此时2≤a <3，则3≤2a －1<5，易知当2≤a <3时，(a －1)2<2a －1，所以|f (x )|max ＝max{|f (a )|，|f (0)|}＝|f (0)|＝2a －1∈[3,5)．∴t ≤3.②当0<a <2时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1(x ∈[0,4])在x ＝4时取得最大值，且最大值为42－8a ＋2a －1＝15－6a ，由于此时0<a <2，所以3<15－6a <15，且15－6a >(a －1)2，|f (x )|max ＝max{|f (a )|，|f (4)|}＝|f (4)|＝15－6a ∈(3,15)，∴t ≤3.综上， t 的取值范围是(－∞，3]．模拟练1.答案 D解析由x 2＋2x －3<0得(x ＋3)(x －1)<0，解得－3<x <1.故选D.2.答案 C解析因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2].3.答案 B解析原不等式化为⎩⎨⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎨⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1. 4.答案 B解析因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1和2，所以－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝1a ，所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14.5.答案 [－4，0]解析若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立，若a ≠0，则由题意，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0].6.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 7.解设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－－(m ＋1)2×2>0，f (0)>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2－8m >0，m >－1，m >0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <3－22或m >3＋22，m >0⇒0<m <3－22或m >3＋22，即m 的取值范围为(0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．8.解由(m ＋2)·f (1)<0 ，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0 ⇒－2<m <－12，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 9.解原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3. 当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a 4，＋∞.。

2020版高考数学一轮复习课时作业36《一元二次不等式及其解法》(含解析)

课时作业36 一元二次不等式及其解法一、选择题1.设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( D )A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}.2.不等式1－x2＋x ≥1的解集为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎝⎛⎦⎥⎤－2，－12C.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D.(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析：1－x 2＋x≥1⇔1－x 2＋x－1≥0⇔1－x －2－x 2＋x≥0⇔－2x －12＋x≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎨⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B.3.使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( C ) A.x ≥0B.x <0或x >2C.x ∈{－1,3,5}D.x ≤－12或x ≥3解析：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥3或x ≤－12，由题意，选项中x 的范围应该是上述解集的真子集，只有C 满足.故选C.4.关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1,3)C.(－1,3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0即ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3).5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( C )A.(－1,0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )>0恒成立，即b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2.6.(2019·安徽阜阳质检)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( B )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1,22－1)D.(－22－1,22－1)解析：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .∵3x＋23x ≥22，当且仅当3x＝23x ，即x ＝12log 32时，等号成立，∴k ＋1<22，即k <22－1，故选B.二、填空题7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，则不等式f (x )>3的解集为{x |x >1}.解析：由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎨⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}.8.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a .解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .9.已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为(－2,3).解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3).10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为(－∞，4).解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时，由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时，由－x 2－3x <4解得x <0，所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4).三、解答题11.已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5). (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围.解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)， ∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立， ∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ， ∴10＋t ≤0，即t ≤－10. ∴t 的取值范围为(－∞，－10].12.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立.当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎨⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1].(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－12，32.13.若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是[1,4].解析：容易判断k ＝0或k <0时，均不符合题意，所以k >0.所以原不等式即为kx －k 2＋4k (x －4)<0，等价于⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0，依题意应有4≤k 2＋4k ≤5且k >0，所以1≤k ≤4.14.(2019·江西八校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围.解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x＝x ＋1x －4. 因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立. 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”. 不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可.所以⎩⎨⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15.关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( D )A.(4,5)B.(－3，－2)∪(4,5)C.(4,5]D.[－3，－2)∪(4,5]解析：∵关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0，∴不等式可化为(x －1)(x －a )<0.①当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a ≤5； ②当a <1时，得a <x <1，则－3≤a <－2；③当a ＝1时，(x －1)(x －1)<0，无解.综上可得，a 的取值范围是[－3，－2)∪(4,5].故选D.16.(2019·山东潍坊质检)若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是(－∞，－1].解析：原不等式可化为x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12，故x 2＋12x ≥12在区间(－∞，λ]上恒成立，即x 2＋12x －12≥0在区间(－∞，λ]上恒成立，画出二次函数y ＝x 2＋12x －12的图象如图所示，由图可知λ≤－1.。

2020年数学新高考一轮复习(理) 一元二次不等式及其解法

第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．(2019·温州模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．∅解析：选A 由题意知，A ＝{x |1＜x ＜2}，故A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________．答案：∅3．不等式ax 2＋abx ＋b ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＝________，b ＝________. 解析：由题意知2,3是ax 2＋abx ＋b ＝0的两根，则⎩⎨⎧2＋3＝－aba＝－b ，2×3＝ba ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，a ＝－56. 答案：－56－51．对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ＜0时，ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． [小题纠偏]1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x ＜1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x －1≠0，解得1＜x ≤3.2．若不等式mx 2＋2mx ＋1＞0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1＞0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝4m 2－4m ＜0.得0＜m ＜1. 由①②知0≤m ＜1. 答案：[0,1)考点一一元二次不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x ＞0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x ＞0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x ＞0.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥－12. 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x ＞5. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x ＞5 3．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)x ＋5(x －1)2≥2. 解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x ＋5≥2(x －1)2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，2x 2－5x －3≤0，解得－12≤x ＜1或1＜x ≤3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ＜1或1＜x ≤3. [谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤考点二含参数的一元二次不等式的解法(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0，即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．若不等式ax 2＋5x －2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ＜2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集．解：(1)由题意知a ＜0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3＞0，即2x 2＋5x －3＜0，解得－3＜x ＜12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－3，12. 考点三一元二次不等式恒成立问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数的范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数的范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围为________．解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.所以b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．若不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＞0在|a |≤1时恒成立，则x 的取值范围是________．解析：将原不等式整理成关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9＞0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )＞0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12＞0，x 2－5x ＋6＞0，解得x ＜2或x ＞4. 故x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法[演练冲关]1．(2018·台州模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江名校联考)已知集合A ＝{y |y ＝x ＋1}，B ＝{x |x 2－x －6＞0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．[1,2]B ．[1,3]C ．[1,2)D ．[1,3)解析：选B 由题意知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故∁R B ＝[－2,3]，A ∩∁R B ＝[1,3]．2．(2018·台州模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.3．(2018·镇海中学月考)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________．解析：令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其图象如下图所示，再画出f (－x )的图象即可，所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}．答案：{x |－3＜x ＜－2}4．(2018·金华十校联考)若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为___________．解析：原不等式化为(x 2－1)m －(2x －1)＜0. 令f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)(－2≤m ≤2)．则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)＜0，f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)＜0. 解得－1＋72＜x ＜1＋32，故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋325．(2018·湖州五校联考)已知实数x ，y 满足x 2＋2y 2＋12≤x (2y ＋1)，则x ＝________，y＝________，2x ＋log 2y ＝________.解析：法一：由已知得2x 2＋4y 2－4xy －2x ＋1≤0，即(x －1)2＋(x －2y )2≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x －2y ＝0，解得x ＝1，y ＝12，2x ＋log 2y ＝2＋log 212＝2－1＝1.法二：由已知得，关于x 的不等式x 2－(2y ＋1)x ＋2y 2＋12≤0(*)有解，所以Δ＝[－(2y＋1)]2－4⎝⎛⎭⎫2y 2＋12≥0，即Δ＝－(2y －1)2≥0，所以2y －1＝0，即y ＝12，此时不等式(*)可化为x 2－2x ＋1≤0，即(x －1)2≤0，所以x ＝1,2x ＋log 2y ＝2＋log 212＝2－1＝1.答案：1121 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.2．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解集是( ) A ．(－∞，－a )∪(5a ，＋∞) B ．(－∞，5a )∪(－a ，＋∞) C ．(5a ，－a ) D ．(a ，－5a )解析：选B 由x 2－4ax －5a 2＞0，得(x －5a )(x ＋a )＞0， ∵a ＜0，∴x ＜5a 或x ＞－a .3．(2018·丽水五校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析：选C 因为f (－4)＝f (0)，所以当x ≤0时，f (x )的对称轴为x ＝－2，又f (－2)＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0，(x ＋2)2，x ≤0，不等式f (x )≤1的解为[－3，－1]∪(0，＋∞)，故选C. 4．(2018·宁波四校联考)设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)，若f (m )＜0，则f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：选A 设f (x )＝x 2－x ＋a ＝0的两个根为α，β，由f (m )＜0，则α＜m ＜β，由于二次函数f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，且f (0)＝a ＞0，则|α－β|＜1，f (m －1)＞0，故选A.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4＞0，即a 2＞16. ∴a ＞4或a ＜－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 8．(2018·萧山月考)不等式x 2＋ax ＋b ＞0(a ，b ∈R )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－12a ，x ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋b ＞0(a ，b ∈R )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－12a ，x ∈R ，所以x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2＝0，那么不等式x 2＋ax ＋b ＜c ，即⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2＜c ，所以c ≥0，所以－c －12a ＜x ＜c －12a，又m ＜x ＜m ＋6，c －12a－⎝⎛⎭⎫－c －12a ＝m ＋6－m ，即2c ＝6，所以c ＝9.答案：99．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)f (x )＞b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 10．关于x 的不等式⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．解：由x 2－x －2＞0可得x ＜－1或x ＞2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0，的整数解为x ＝－2，又∵方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 和－52. ①若－k ＜－52，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}；②若－52＜－k ，则应有－2＜－k ≤3.∴－3≤k ＜2. 综上，所求k 的取值范围为[－3,2)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )＜g (4)＝－2，∴a ＜－2.2．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切实数x 都成立，证明你的结论．解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝72. 令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋32，解得x ＝－1. 由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤32，由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥32， ∴f (－1)＝32.∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝52且b ＝1. ∴f (x )＝ax 2＋x ＋52－a . 依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋12对一切x ∈R 都成立，即(a －1)x 2＋x ＋2－a ≥0对一切x ∈R 都成立．∴a ≠1且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0.即(2a －3)2≤0，∴(2a －3)2＝0，由a －1＞0得a ＝32.∴f (x )＝ 32x 2＋x ＋1. 证明如下：32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32＝－12x 2－x －12＝－12(x ＋1)2≤0. ∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋32对x ∈R 都成立． 32x 2＋x ＋1－x 2－12＝12x 2＋x ＋12＝12(x ＋1)2≥0， ∴x 2＋12≤32x 2＋x ＋1对x ∈R 都成立．∴存在实数a＝32，b＝1，c＝1，使得不等式x2＋12≤f(x)≤2x2＋2x＋32对一切x∈R都成立．。

【范文】高考数学(理科)一轮复习一元二次不等式及其解法学案含答案

高考数学（理科）一轮复习一元二次不等式及其解法学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案34 一元二次不等式及其解法导学目标：1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．自主梳理．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式．2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的根有两相异实根x1,2＝－b±b2－4ac2a 有两相等实根x1＝x2＝________没有实根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集a>0{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠____}______a<0{x|x1<x<x2}________自我检测．已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1<a<0，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设函数f＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，则不等式f>f的解集是A．∪B．∪c．∪D．∪3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于A．－3B．1c．－1D．34．已知f＝ax2－x－c>0的解集为，则y＝f的图象是5．当x∈时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围为________________.探究点一一元二次不等式的解法例1 解下列不等式：－x2＋2x－23>0；9x2－6x＋1≥0.变式迁移1 解下列不等式：2x2＋4x＋3<0；－3x2－2x＋8≤0；8x－1≥16x2.探究点二含参数的一元二次不等式的解法例2 已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.变式迁移2 解关于x的不等式ax2－x＋1<0.探究点三一元二次不等式恒成立问题例3 已知f＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f ≥a恒成立，求a的取值范围．变式迁移3 关于x的不等式4x＋mx2－2x＋3<2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．转化与化归思想的应用例已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．【答题模板】解由已知不等式的解集为可得a<0，∵α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴由根与系数的关系可得ba＝－α＋β<0，①ca＝αβ>0.②[4分]∵a<0，∴由②得c<0，[5分]则cx2＋bx＋a<0可化为x2＋bcx＋ac>0.[6分]①÷②，得bc＝－α＋βαβ＝－1α＋1β<0，由②得ac＝1αβ＝1α•1β>0，∴1α、1β为方程x2＋bcx＋ac＝0的两根．[10分]∵0<α<β，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|x<1β或x>1α}．[12分]【突破思维障碍】由ax2＋bx＋c>0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a<0，要求cx2＋bx＋a<0的解集首先需要判断二次项系数c的正负，由方程根与系数关系知ca ＝α•β>0，因a<0，∴c<0，从而知道cx2＋bx＋a<0的解集是x大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替参数c、b、a，需对不等式cx2＋bx＋a<0两边同除c或a，用α、β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是a>0，Δ＝b2－4ac<0；ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是a<0，Δ＝b2－4ac<0.一、选择题．函数y＝的定义域是A．[－2，－1)∪c．[－2，－1)∪∪2．已知集合P＝{x|x＋1x－1>0}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，则x∈Q是x∈P的A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件c．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知集合m＝{x|x2－XXx－XX>0}，N＝{x|x2＋ax ＋b≤0}，若m∪N＝R，m∩N＝A．a＝XX，b＝－XXB．a＝－XX，b＝XXc．a＝XX，b＝XXD．a＝－XX，b＝－XX4．若x2－x＋3<0对任何实数x恒成立，则实数m 的取值范围是A．m>1B．m<－1c．m<－1311D．m>1或m<－13115．已知a1>a2>a3>0，则使得2<1都成立的x的取值范围是A.0，1a1B.0，2a1c.0，1a3D.0，2a3二、填空题6．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x，若不等式⊗<1对任意实数x恒成立，则a的取值范围为________．7．已知函数f＝log2x，x>0，x2，x≤0，则满足f>1的x的取值范围为______________．8．已知函数f的定义域为，f′为f的导函数，函数y＝f′的图象如右图所示，且f＝1，f＝1，则不等式f>1的解集为__________________．三、解答题9．解关于x的不等式x－ax－a2<0．10．若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x|－13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．11．已知函数f＝x2＋ax＋3.当x∈R时，f≥a恒成立，求a的取值范围；当x∈[－2,2]时，f≥a恒成立，求a的取值范围．学案34 一元二次不等式及其解法自主梳理．2 2.－b2a －b2a R ∅ ∅自我检测．c 2.A 3.A 4.D5．＝x2＋mx＋4，根据题意得Δ＝m2－16>0，f1≤0，f2≤0，解得m≤－5.课堂活动区例1 解题导引解一元二次不等式的一般步骤对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0．计算相应的判别式．当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．解两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0，因为3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－33，x2＝1＋33，所以原不等式的解集是{x|1－33<x<1＋33}．∵不等式9x2－6x＋1≥0，其相应方程9x2－6x＋1＝0，Δ＝2－4×9＝0，∴上述方程有两相等实根x＝13，结合二次函数y＝9x2－6x＋1的图象知，原不等式的解集为R.变式迁移1 解∵不等式2x2＋4x＋3<0可转化为22＋1<0，而22＋1>0，∴2x2＋4x＋3<0的解集为∅.两边都乘以－1，得3x2＋2x－8≥0，因为3>0，且方程3x2＋2x－8＝0的解是x1＝－2，x2＝43，所以原不等式的解集是．原不等式可转化为16x2－8x＋1≤0，即2≤0，∴原不等式的解集为{14}．例2 解题导引含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．解上述不等式不一定为一元二次不等式，当a＝0时为一元一次不等式，当a≠0时为一元二次不等式，故应对a 进行讨论，然后分情况求解．a＝0时，解为x>0.a>0时，Δ＝4－4a2.①当Δ>0，即0<a<1时，方程ax2－2x＋a＝0的两根为1±1－a2a，∴不等式的解集为{x|1－1－a2a<x<1＋1－a2a}．②当Δ＝0，即a＝1时，x∈∅；③当Δ<0，即a>1时，x∈∅.当a<0时，①Δ>0，即－1<a<0时，不等式的解集为{x|x<1＋1－a2a或x>1－1－a2a}．②Δ＝0，即a＝－1时，不等式化为2>0，∴解为x∈R且x≠－1.③Δ<0，即a<－1时，x∈R.综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a<1时，解集为{x|1－1－a2a<x<1＋1－a2a}；当a＝0时，解集为{x|x>0}；当－1<a<0时，解集为{x|x<1＋1－a2a或x>1－1－a2a}；当a＝－1时，解集为{x|x∈R且x≠－1}；当a<－1时，解集为{x|x∈R}．变式迁移2 解①当a＝0时，解得x>1.②当a>0时，原不等式变形为<0，∴a>1时，解得1a<x<1；a＝1时，解得x∈∅；0<a<1时，解得1<x<1a.③当a<0时，原不等式变形为>0，∵1a<1，∴解不等式可得x<1a或x>1.综上所述，当a<0时，不等式解集为∪；当a＝0时，不等式解集为；当0<a<1时，不等式解集为；当a＝1时，不等式解集为∅；当a>1时，不等式解集为．例3 解题导引注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．解方法一f＝2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈时，f在[－1，＋∞)上单调递增，fmin＝f＝2a＋3.要使f≥a恒成立，只需fmin≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；②当a∈[－1，＋∞)时，fmin＝f＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.方法二令g＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4≤0或Δ>0，a<－1，g－1≥0.解得－3≤a≤1.变式迁移3 解∵x2－2x＋3＝2＋2>0，∴不等式4x＋mx2－2x＋3<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0对任意实数x恒成立．∴Δ<0，即64－8<0，整理并解得m<－2.∴实数m的取值范围为．∵x2＋px>4x＋p－3，∴p＋x2－4x＋3>0.令g＝p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g>0，只要有g0>0g4>0.∴x>3或x<－1.∴实数x的取值范围为∪．课后练习区．A [由已知有≥0，∴x2－1>0，x2－1≤1. ∴x>1或x<－1，－2≤x≤2.∴－2≤x<－1或1<x≤2.]2．D [化简得P＝{x<－1，或x>1}，Q＝{x≤－2，或x≥1}，集合P，Q之间不存在包含关系，所以x∈Q是x∈P的既不充分又不必要条件．]3．D [化简得m＝{x|x<－1或x>XX}，由m∪N＝R，m∩N＝2<1，即a2ix2－2aix<0，即aix<0，由于ai>0，这个不等式可以化为xx－2ai<0，即0<x<2ai，若对每个都成立，则2ai应最小，即ai应最大，也即是0<x<2a1.]6．解析由题意知，⊗<1⇔<1⇔x2－x－>0.因上式对x∈R都成立，所以Δ＝1＋4<0，即4a2－4a－3<0.所以－12<a<32.7．∪解析当x>0时，由log2x>1，得x>2；当x≤0时，由x2>1，得x<－1.综上可知，x的取值范围为∪．8．∪解析由导函数图象知当x<0时，f′>0，即f在上为增函数；当x>0时，f′<0，即f在上为减函数，故不等式f>1等价于f>f或f>f，即－2<x2－6≤0或0≤x2－6<3，解得x∈∪．9．解x－ax－a2<0⇔<0，①当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为∅；②当a<0或a>1时，a<a2，此时a<x<a2；③当0<a<1时，a>a2，此时a2<x<a.综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|a<x<a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x<a}；当a＝0或a＝1时，原不等式解集为∅.0．解由ax2＋bx＋c≥0的解集为x|－13≤x≤2，知a<0，又－13×2＝ca<0，则c>0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－ba＝53，即ba＝－53.又∵ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.∴不等式cx2＋bx＋a<0变为－23ax2＋－53ax＋a<0，即2ax2＋5ax－3a>0.又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0，∴所求不等式的解集为x|－3<x<12.1．解∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.当x∈[－2,2]时，设g＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论：①如图，当g的图象恒在x轴上方，满足条件时，有Δ＝a2－4≤0，即－6≤a≤2.②如图，g的图象与x轴有交点，但在x∈[－2，＋∞)时，g≥0，即Δ≥0，x＝－a2<－2，g－2≥0，即a2－43－a≥0，－a2<－2，4－2a＋3－a≥0⇔a≥2或a≤－6，a>4，a≤73，解之，得a∈∅.③如图，g的图象与x轴有交点，但在x∈≥0，即Δ≥0，x＝－a2>2，g2≥0，即a2－43－a≥0，－a2>2，4＋2a ＋3－a≥0⇔a≥2或a≤－6，a<－4，a≥－7 ⇔－7≤a≤－6.综合①②③，得a∈[－7,2]．。

2020高考数学 6.3 一元二次不等式及其解法课后限时作业理(通用版).doc

高考立体设计理数通用版 6.3 一元二次不等式及其解法课后限时作业一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.不等式x 2>x 的解集是 ( )A.(-∞,0)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(-∞,0)∪(1,+∞)解析：由x 2>x 得x(x-1)>0，所以解集为(-∞,0)∪(1,+∞),故选D.答案：D2.关于x 的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集为{x| 1m <x<2},则m 的取值范围是 ( )A.m<0B.0<m<2C.m> 12D.m>04.不等式()251x x +-≥2的解集是 ( )解析：首先x ≠1,在这个条件下，根据不等式的性质，原不等式可以化为x+5≥2(x-1)2，即2x 2-5x-3≤0,即(2x+1)(x-3)≤0,解得-12≤x ≤3，故原不等式的解集是[-12,1）∪(1,3]. 答案：D 5.不等式x 2-|x|-2<0的解集是( )A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-1或x>1}二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7.不等式-x 2+5x+6>0的解集是 .解析：将不等式转化成x 2-5x-6<0,即(x+1)·(x-6)<0 ⇔ -1<x<6.答案：{x|-1<x<6}8.若不等式x 2-ax-b<0的解集为{x|2<x<3},则a+b= .解析：先由方程x 2-ax-b=0的两根为2和3求得a=5,b=-6,所以a+b=-1.答案：-19.a<0时，不等式x 2-2ax-3a 2<0的解集是 .解析：因为x 2-2ax-3a 2=0,所以x 1=3a,x 2=-a.又a<0,所以不等式的解集为{x|3a<x<-a}.答案：{x|3a<x<-a}10.若关于x 的不等式ax 2+2x+2>0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 .解析：当a=0时，不等式2x+2>0解集不为R ，故a=0不满足题意；当a ≠0时，要使原不等式解集为R ，只需20,2420,a a >⎧⎨-⨯<⎩解得a> 12.综上，实数a 的取值范围为（12,+∞）. 答案：（12,+∞）三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11.解下列不等式：（1）19x-3x 2≥6;(2)x+1≥2x.12.解关于x的不等式12x2-ax>a2(a∈R).B组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1.已知不等式x2+ax+4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ( )A.-4≤a≤4B.-4<a<4C.a≥4或a≤-4D.a<-4或a>4解析：x2+ax+4<0的解集不是空集，只需Δ=a2-16>0,所以a<-4或a>4,故选D.答案：D2.已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为{x|-3<x<1},则函数y=f(-x)的图象为( )解析：由题意可知，函数f(x)=ax2+bx+c为二次函数，其图象为开口向下的抛物线，与x轴的交点是(-3,0),(1,0),又y=f(-x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，故只有B符合.答案：B二、填空题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5.设函数f(x)=mx 2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈［1,3］，f(x)<0恒成立，求m 的取值范围.解：(1)要使mx 2-mx-1<0恒成立，若m=0,显然-1<0;若m ≠0,则20,40m m m <⎧⇒⎨∆=+<⎩-4<m<0.所以-4<m ≤0.(2)当m=0时，f(x)=-1<0显然恒成立；当m>0时，f(1)=-1<0.因为f(x)<0在x ∈[1,3]上恒成立，所以f(3)<0.即9m-3m-1<0得m<16,即0<m<16; 当m<0时，若Δ<0,由（1）知显然成立，此时-4<m<0;若Δ≥0,则m ≤-4,由于函数f(x)<0在x ∈［1,3］上恒成立，只要f(1)<0即可，此时f(1)=-1<0显然成立.综上可知,m<16. 6.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x 的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞3)∪3。

2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：36 一元二次不等式及其解法 Word版含解析

课时作业36 一元二次不等式及其解法一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0} ,集合B 为函数y ＝1x －1的定义域 ,那么A ∩B 等于( D )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2} ,由x －1>0得x >1 ,即B ＝{x |x >1} ,所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式1－x2＋x≥1的解集为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2 －12 C ．(－∞ ,－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＋∞D ．(－∞ ,－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＋∞解析：1－x 2＋x≥1⇔1－x 2＋x－1≥0⇔1－x －2－x 2＋x≥0⇔－2x －12＋x≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎨⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0 x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.应选B.3．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( C )A ．x ≥0B ．x <0或x >2C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥3或x ≤－12 ,由题意 ,选项中x 的范围应该是上述解集的真子集 ,只有C 满足．应选C.4．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1 ,＋∞) ,那么关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A ．(－∞ ,－1)∪(3 ,＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞ ,1)∪(3 ,＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0即ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0 ,解得－1<x <3 , ∴所求不等式的解集是(－1 ,3)．5．函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ,b ∈R ) ,对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立 ,假设当x ∈[－1,1]时 ,f (x )>0恒成立 ,那么b 的取值范围是( C )A ．(－1,0)B ．(2 ,＋∞)C ．(－∞ ,－1)∪(2 ,＋∞)D ．不能确定解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称 ,即a2＝1 ,解得a ＝2.又因为f (x )开口向下 ,所以当x ∈[－1,1]时 ,f (x )为增函数 ,所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2 ,f (x )>0恒成立 ,即b 2－b －2>0恒成立 ,解得b <－1或b >2.6．(2021·安徽阜阳质检)f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2 ,当x ∈R 时 ,f (x )恒为正值 ,那么k 的取值范围是( B )A ．(－∞ ,－1)B ．(－∞ ,22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立 , 得k ＋1<3x ＋23x .∵3x ＋23x ≥2 2 ,当且仅当3x ＝23x ,即x ＝12log 32时 ,等号成立 ,∴k ＋1<2 2 ,即k <22－1 ,应选B.二、填空题7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2xx ≥0－x 2＋2xx <0那么不等式f (x )>3的解集为{x |x >1}．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0 x 2＋2x >3或⎩⎨⎧x <0－x 2＋2x >3解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}．8．假设0<a <1 ,那么不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a .解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0 ,由0<a <1得a <1a ,∴a <x <1a .9．关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13 12 ,那么不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为(－2,3)．解析：依题意知 ,⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a－13×12＝ca∴解得a ＝－12 ,c ＝2 ,∴不等式－cx 2＋2x －a >0 , 即为－2x 2＋2x ＋12>0 ,即x 2－x －6<0 , 解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋axx ≥0bx 2－3x x <0为奇函数 ,那么不等式f (x )<4的解集为(－∞ ,4)．解析：假设x >0 ,那么－x <0 ,那么f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数 ,所以f (－x )＝－f (x ) ,即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ,可得a ＝－3 ,b ＝－1 ,所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3xx ≥0－x 2－3x x <0.当x ≥0时 ,由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时 ,由－x 2－3x <4解得x <0 ,所以不等式f (x )<4的解集为(－∞ ,4)．三、解答题11．f (x )＝2x 2＋bx ＋c ,不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)假设对于任意的x ∈[－1,1] ,不等式f (x )＋t ≤2恒成立 ,求t 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ,不等式f (x )<0的解集是(0,5) , ∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根 ,由根与系数的关系知 ,－b 2＝5 ,c2＝0 ,∴b ＝－10 ,c ＝0 ,f (x )＝2x 2－10x .(2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立 , ∴2x 2－10x ＋t －2的最|大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2 ,那么由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数 ,∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t , ∴10＋t ≤0 ,即t ≤－10. ∴t 的取值范围为(－∞ ,－10]．12．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)假设函数f (x )的最|小值为22 ,解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ,∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立 ,当a ＝0时 ,1≥0恒成立．当a ≠0时 ,需满足题意 ,那么需⎩⎨⎧a >0 Δ＝(2a )2－4a ≤0解得0<a ≤1 ,综上可知 ,a 的取值范围是[0,1]．(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a , 由题意及(1)可知0<a ≤1 , ∴当x ＝－1时 ,f (x )min ＝1－a ,由题意得 ,1－a ＝22 ,∴a ＝12 ,∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32 ,∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12 32.13．假设不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0 ,那么实数k 的取值范围是[1,4]．解析：容易判断k ＝0或k <0时 ,均不符合题意 ,所以kkx －k 2＋4k(x －4)<0 ,等价于⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0 ,依题意应有4≤k 2＋4k ≤5且k >0 ,所以1≤k ≤4.14．(2021·江西八校联考)函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ,a ∈R . (1)假设a ＝2 ,试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最|小值；(2)对于任意的x ∈[0,2] ,不等式f (x )≤a 成立 ,试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0 ,所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时 ,即x ＝1时 ,等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时 ,y ＝f (x )x 的最|小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1 ,所以要使得 "∀x ∈[0,2] ,不等式f (x )≤a 成立〞 ,只要 "x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立〞．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1 ,那么只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g (0)≤0 g (2)≤0 即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0 4－4a －1≤0解得a ≥34.那么a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫34 ＋∞.尖子生小题库 - -供重点班学生使用普通班学生慎用15．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中 ,恰有3个整数 ,那么a 的取值范围是( D )A ．(4,5)B ．(－3 ,－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3 ,－2)∪(4,5]解析：∵关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0 ,∴不等式可化为(x －1)(x －a )<0.①当a >1时 ,得1<x <a ,此时解集中的整数为2,3,4 ,那么4<a ≤5； ②当a <1时 ,得a <x <1 , 那么－3≤a <－2；③当a ＝1时 ,(x －1)(x －1)<0 ,无解．综上可得 ,a 的取值范围是[－3 ,－2)∪(4,5]．应选D.16．(2021·山东潍坊质检)假设关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞ ,λ]上恒成立 ,那么实数λ的取值范围是(－∞ ,－1]．解析：原不等式可化为x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n,y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数 ,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12 ,故x 2＋12x ≥12在区间(－∞ ,λ]上恒成立 ,即x 2＋12x －12≥0在区间(－∞ ,λ]上恒成立 ,画出二次函数y ＝x 2＋12x －12的图象如下图 ,由图可知λ≤－1.。

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2020年人教高考理科数学一轮复习精品练习一元二次不等式及其解法一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( D )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．不等式1－x2＋x ≥1的解集为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，－12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析：1－x 2＋x≥1⇔1－x 2＋x－1≥0⇔1－x －2－x 2＋x≥0⇔－2x －12＋x≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎨⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B.3．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( C )A ．x ≥0B ．x <0或x >2C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥3或x ≤－12，由题意，选项中x 的范围应该是上述解集的真子集，只有C 满足．故选C.4．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0即ax 0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1，3)．5．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是( C )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )>0恒成立，即b 2－b －2>0恒成立，解得b <－1或b >2.6．(2019·安徽阜阳质检)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( B )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析：由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .∵3x＋23x ≥22，当且仅当3x＝23x ，即x ＝12log 32时，等号成立，∴k ＋1<22，即k <22－1，故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，则不等式f (x )>3的解集为{x |x >1}．解析：由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎨⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}．8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a .解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .9．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为(－2,3)．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时，由x 2－3x <4解得0≤x <4；当x <0时，由－x 2－3x <4解得x <0，所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)．三、解答题11．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)， ∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立， ∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ， ∴10＋t ≤0，即t ≤－10. ∴t 的取值范围为(－∞，－10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎨⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.13．若不存在整数x 满足不等式(kx －k 2－4)(x －4)<0，则实数k 的取值范围是[1,4]．解析：容易判断k ＝0或k <0时，均不符合题意，所以k >0.所以原不等式即为kx －k 2＋4k (x －4)<0，等价于⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －k 2＋4k (x －4)<0，依题意应有4≤k 2＋4k ≤5且k >0，所以1≤k ≤4.14．(2019·江西八校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x＝x ＋1x －4. 因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”，只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎨⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( D )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：∵关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0，∴不等式可化为(x －1)(x －a )<0.①当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4<a ≤5； ②当a <1时，得a <x <1，则－3≤a <－2；③当a ＝1时，(x －1)(x －1)<0，无解．综上可得，a 的取值范围是[－3，－2)∪(4,5]．故选D. 16．(2019·山东潍坊质检)若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是(－∞，－1]．解析：原不等式可化为x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12，故x 2＋12x ≥12在区间(－∞，λ]上恒成立，即x 2＋12x －12≥0在区间(－∞，λ]上恒成立，画出二次函数y ＝x 2＋12x －12的图象如图所示，由图可知λ≤－1.。