3.1.1两角差的余弦公式
学案4：3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式学习目标（1）了解两角差的余弦公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角差的余弦公式，并会进行化简、求值等应用．学习过程基础预探两角差的余弦公式：cos （α－β）=________________．学习引领两角差的余弦公式对任意的角都成立，是前面学习的诱导公式的一般化．在利用两角差的余弦公式时，运用两角差的三角函数求解问题一般分三步：第一步求某一个三角函数值；第二步确定角所在的范围；第三步得结论求得所求角的值．典例导析题型一：公式的直接应用例1．计算：cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型二：公式的间接应用例2．计算：cos65ºcos35º+cos25ºcos55º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型三：公式的综合应用例3．已知α、β、γ∈（0，2π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值．随堂练习1．计算：cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 2．化简cos （x +y ）cos （x －y ）+sin （x +y ）sin （x －y ）的值为（ ）A ．cos2xB ．cos2yC ．sin2xD ．sin2y3．计算：cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 4．计算：cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=________．5．化简：cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β）=________． 6．若锐角α、β满足cos α=54，cos （α+β）=53，求cos β的值．参考答案学习过程基础预探cos αcos β+sin αsin β典例导析题型一：公式的直接应用例1．C【解析】cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=cos （80º－35º）=cos45º=22，故选C ． 题型二：公式的间接应用例2．D【解析】由于cos25º=sin （90º－25º）=sin65º，cos55º= sin （90º－55º）=sin35º， 则cos65ºcos35º+cos25ºcos55º= cos65ºcos35º+sin65ºsin35º=cos （65º－35º） =cos30º=23，故选D ． 题型三：公式的综合应用例3．解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β，平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1，即sin 2β－2sin αsin β+sin 2α+cos 2α－2cos βcos α+cos 2β=1，亦即2－2（sin αsin β+cos βcos α）=1，∴－2cos （β－α）=－1，∴cos （β－α）=21， ∴β－α=±3π， ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α=3π． 随堂练习1．B【解析】cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=cos （75º－15º）=cos60º=21； 2．B3．D 【解析】cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=cos[（38º－x ）－（8º－x ）]=cos30º=23； 4．21 【解析】cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=cos68ºcos8º+sin68ºsin （90º－8º）=cos68ºcos8º+sin68ºsin8º=cos （68º－8º）=cos60º=21. 5．cos （2βα+） 【解析】cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β） = cos ［（α－2β）－（2α－β）］= cos （2βα+）. 6．解：由于锐角α满足cos α=54，则sin α=α2cos 1-=2)54(1-=53， 又锐角α、β满足cos （α+β）=53，则sin （α+β）=)(cos 12βα+-=2)53(1-=54， 所以cos β=cos ［（α+β）－α］= cos （α+β）cos α+ sin （α+β）sin α=53×54+54×53=2524．。
数学必修四 第3章 3.1.1 两角差的余弦公式
填一填·知识要点、记下疑难点
两角差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β ，其中 α、β 为任意角.
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一
两角差余弦公式的探索
问题 1 有人认为 cos(α－β)＝cos α－cos β，你认为正确吗，试 举两例加以说明．
研一研·问题探究、课堂更高效
→ → 当 α，β 均为任意角时，α－β 和〈OP，OQ〉的关系是： → → α－β＝2kπ±〈OP，OQ〉 ，k∈Z . → → → → → → → → (3)向量OP与OQ的数量积OP· OQ＝|OP||OQ|cos〈OP，OQ〉＝ → → cos(α－β)；另一方面，OP 与 OQ 的数量积用点坐标形式表示： → → OP· OQ＝(cos α，sin α)· (cos β，sin β)＝ cos αcos β＋sin αsin β 从而，对任意角 α，β 均有 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. .
π π 所以－2<α－β<－6， 所以 cos α＝ 1－sin α＝
2 2
8 15 2 1－17 ＝17， 21 20 2 1－ 29 ＝－29，
sin(α－β)＝－ 1－cos α－β＝－
研一研·问题探究、课堂更高效
所以 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
15 21 8 20 155 ＝17×29＋17×－29＝493.
小结 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、
函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最 基本的变换．常见的有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ，α＝2[(β＋α)－(β－α)] 等．
3.1.1两角和(差)的余弦公式
c o s 1 5 c o （ 6 0 4 5 ) s co s 1 5 co（ 4 5 3 0 ) s
你 会 算 co s 1 5 吗 ？
思考：
有 一 座 小 山 坡 O A ,O A 长 为 a， A C O C , 且 AO C = 15 o ,求 坡 脚 线 O C的 长 度 ？
A
a
15
O
o
C
解 ： 在 R t A O C 中 ， O C A O co s 1 5 a co s 1 5
o
o
co s 1 5 co （ 6 0 4 5 ) s co s 6 0 co s 4 5 1 2 2 2
co s co s co s sin sin sin 2 2 2
所 以 有 co s sin 2
例6.已知 cos = 求 cos .
1 17
， )=cos(
47 51
， , 0
2
解 : 由 sin , , , 得 3 2
cos 1 sin
3
2
2 1 3
2
5 3
3 由 cos , , ,得 5 2
sin 1 cos
两角和的余弦公式
C
Hale Waihona Puke 两角和与差的余弦公式co s
3.1.1 两角差的余弦公式
3.1.1 两角差的余弦公式班级： 姓名： 编者：陆祖银 审阅：高一数学备课组 问题引航2、两角差的余弦公式是什么？3、两角差的余弦公式的使用条件是什么？ 自主探究βα,，其终边与单位圆相交于B A ,两点，那么OA = ,OB = .(尝试用βα,的三角函数值表示,的坐标)2、如图，观察与的夹角θ与βα,的关系θ= .3、利用向量夹角计算公式表示θcos = .4、通过坐标运算，大家发现了什么？ .5、两角差的余弦公式：)cos(βα-= .6、简记符号： .7、两角差的余弦公式的使用条件：βα,都是 .互动探究（1）︒15cos ；（2）︒75cos .例题2：已知53sin =α，),2(ππα∈，1312sin -=β，)23,(ππβ∈，求)cos(βα-的值。
当堂检测1.已知βα,均为锐角，且552cos =α，1010cos =β，则βα-的值为多少？2.︒345cos 的值等于（ ） 462.-A 426.-B 462.+C 462.+-D3.)24sin()21sin()24cos()21cos(︒-︒++︒-︒+θθθθ= .4.已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且20παβ<<<，求β的值。
知识拓展1.已知1312)cos(,1312)cos(=+-=-βαβα，且)2,23(),,2(ππβαππβα∈+∈-，求角β的值。
作业课本127页练习第2、3、4题自我评价你对本节课知识掌握的如何（ ）Ａ．非常好 Ｂ．较好 Ｃ．一般 Ｄ．较差 Ｅ．很差。
人教a版必修4学案：3.1.1两角差的余弦公式(含答案)
第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式自主学习知识梳理1.如图所示，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则A 点坐标是________________，B 点坐标是______________，向量OA →＝______________，向量OB →＝______________.OA →·OB →＝______________.另一方面OA →·OB →＝|OA →| ·|OB →|·cos ∠AOB ＝____________.2．两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝________________________________.自主探究灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．对点讲练知识点一 给角求值例1 求下列各式的值．(1)sin 195°＋cos 105°；(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．回顾归纳 (1)公式C (α－β)是三角恒等式，既可以正用，也可以逆用；(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．变式训练1 求下列各式的值．(1)cos π12； (2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)sin(x －40°)．知识点二 给值求值例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2.回顾归纳 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．例如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等． 变式训练2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值．知识点三 给值求角型 例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值．回顾归纳 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．变式训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．1．公式C (α－β)是三角恒等式，既可正用，也可逆用，要注意公式的结构名称、特征、灵活变换角或名称．2．公式C (α－β)中的角α、β为任意角，既可以代表具体的角，也可以代表代数式．可以把α、β视为一个“代号”，将公式标记作：cos(▭－△)＝cos ▭cos △＋sin ▭sin △.课时作业一、选择题1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )A ．cos αB ．cos βC ．cos(2α＋β)D ．sin(2α＋β)2．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝1312π，β＝54π B ．α＝1312π，β＝34π C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π4，β＝π63．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π64．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )A ．－55 B.55 C.11525D. 5 5．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B ．－32 C.34 D ．1二、填空题6．cos 47°cos 77°－sin 47°cos 167°＝________.7．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.三、解答题8．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．9．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式答案知识梳理1．(cos α，sin α) (cos β，sin β) (cos α，sin α) (cos β，sin β) cos αcos β＋sin αsin β cos(α－β)2．cos αcos β＋sin αsin β自主探究解 方法一 15°＝60°－45°cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64. 方法二 15°＝45°－30°，cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 对点讲练例1 解 (1)原式＝cos 105°＋sin 195° ＝cos 105°＋sin(90°＋105°)＝cos 105°＋cos 105° ＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)＝2×(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2×⎝⎛⎫－22×32＋22×12＝2－62. (2)原式＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(45°－α)·cos(15°＋90°＋α)＝cos(α－45°)cos(15°＋α)－sin(45°－α)sin(15°＋α)＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)＝cos[(α－45°)－(15°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.变式训练1 解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π6＝cos π4cos π6＋sin π4sin π6＝2＋64. (2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)·sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(70°－x )·sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋sin(x ＋20°)·sin(x －40°) ＝cos[(x ＋20°)－(x －40°)]＝cos 60°＝12. 例2 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2·sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 变式训练2 解 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12， 所以0<α<π6. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， 所以－π2<α－β<－π6， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. 例3 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17， cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 变式训练3 解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513， α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513. cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫32π，2π， α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π⇒2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. ∴2β＝π，则β＝π2. 课时作业1．B 2.A3．C [sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0)． sin 2α＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010·55＋⎝⎛⎭⎫31010·⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.] 4．B [∵sin(π＋θ)＝－35， ∴sin θ＝35，θ是第二象限角， ∴cos θ＝－45. ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.]5．B [由题意知⎩⎨⎧ sin α＋sin β＝1－32 ①cos α＋cos β＝12② ①2＋②2⇒cos(α－β)＝－32.] 6.327.83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83. 8．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5314. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.9．解 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35. ∵3π2<α＋β<2π， sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝⎛⎭⎫－45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1. ∵π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2.。
3.1.1两角差的余弦公式1
练习1： 3 已知 cos , ( , ), 5 2 求 cos( )的值 4
练习2：
15 已知 sin , 是第二象限角， 17 求 cos( )的值. 3
练习：口答
1 (1)cos75 cos15 sin 75 sin15 2
验证
y
y
终边
A
O
终边 B
P0 (1,0) x
终边
A
O
终边 B
P0 (1,0) x
(1)
(2)
公式 cos( ) cos cos sin sin 称为差角的余弦公式，记作C( - )
思考：该公式有何特点？如何记忆？
1.公式中两边的符号正好相反 2.式子右边同名三角函数相乘再 相加
3 (2) cos57 sin 63 sin 57 sin 27 2
转化： 63 sin(90 27) cos 27 sin
小结：
1. 两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
2. 运用公式时注意角的范围、三角 函数值正负及与特殊角的关系等.
例题讲评
例1 利用差角的余弦公式证明下列 诱导公式：
(1)cos(
2
） sin
(2)cos(2 ） cos
例2:不用计算器，利用差角 余弦公式，求 cos15 的值.
4 例3 已知 sin , ( , ), 5 2 5 cos , 是第三象限角, 13 求 cos( )的值.
作业：
1.必做题：课本P137习题3.1 A组 1,2,3 2.选做题：课本P137习题3.1 A组 4
3.1.1两角差的余弦公式
一、 新课引入
问题1: 问题
cos30°＝cos（90°－ 60°） ° （ ° ° ＝cos90°－ cos60° ° ° 1 ＝0－ — － 2
cos15°＝？ °
cos15°＝cos（45°－ 30°） ° （ ° °
＝ cos45°－ cos30° ° ° 问题2: 问题
?
1、结合图形，明确应该选择 、结合图形， A 哪几个向量，它们是怎样表示的？ 哪几个向量，它们是怎样样利用向量的数量积的 、 β o 概念的计算公式得到探索结果？ 概念的计算公式得到探索结果？ -1 cos(α∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ uuu OA⋅ OB r uuu r ∵ OA = ( cosα,sinα ) OB = ( cosβ ,sinβ) -1
O X
α
2、两个向量的数量积： a ⋅ b = a b cosθ 、两个向量的数量积：
a = ( x1 , y1 )
b = (x2 , y 2 )
a ⋅ b = x1x 2 + y1y 2
23:04:20
我们能否用向量的知识来推导？ 〖探究1〗 cos（α-β）公式我们能否用向量的知识来推导？ 探究 〗 （ ）公式我们能否用向量的知识来推导 y 提示： 提示： 1
33 3 5 4 12 = − ×− + ×− =− 65 5 13 5 13
应用
公式的逆用
cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β) β cos( -β = cosα β sinα cos + sin α )
1 练习： 练习：. cos 1750 cos 550 + sin 1750 sin 550 = − 2 1
3.1.1 两角差的余弦公式
解析：(1)原式＝cos(15° －105° ) ＝cos(－90° )＝cos 90° ＝0； (2)原式＝cos [(α－35° )－(25° ＋α)] 1 ＝cos(－60° )＝cos 60° . ＝ 2 4 3 (3) ∵ sin α＝－ ，180° <α<270° ，∴cos α＝－ ， 5 5 5 12 ∵sin β＝ ，90° <β<180° ，∴cos β＝－ ， 13 13 ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β －3×－12＋－4× 5 ＝16. ＝ 5 13 5 13 65
两角差的余弦公式的简单应用 (1)sin7°cos23°＋sin83 °cos67°的值为( )
1 3 3 B. C. D．－ 2 2 2 π π (2) 3sin ＋cos 的值为( ) 12 12 1 A. B．1 C. 2 D. 3 2 分析：(1)本题考查公式的逆用．如何将式子转化为两 角差的余弦公式的展开式是关键．
已知角的变形在解题中的应用
(1)计算：cos(－15° ); 2cos 10° －sin 20° (2) 的值是( sin 70° 1 A. 2 3 B. 2 C. 3 ) D. 2
分析：(1)本小题是两角差的余弦公式的直接应用， 要善于进行角的变形，使之符合公式特征． (2)本题考查角的变换技巧，有一定难度．
| || |
依据和可能．
练习1：在直角坐标系中始边在x轴正半轴，30°角
的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为________．
练习2：cos(45°－30°)＝________.
3 1 练习 1： ， 2 2
6＋ 练习 2： 4 2
二、角的组合 α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， 1 α＝ [(α＋β)－(β－α)] 2 1 α＝ [(α＋β)＋(α－β)]，2α＝(β＋α)－(β－α)等． 2
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3．1.1 两角差的余弦公式
知识梳理 两角差的余弦公式
【问题导思】
(1)cos 60°－cos 30°＝cos(60°－30°)成立吗？
(2)cos α－cos β＝cos(α－β)成立吗？
(3)单位圆中(如图)，∠AOx ＝α，∠BOx ＝β，那么A ，B 的坐标是什么？OA →与OB →
的夹角是多少？
(4)你能用哪几种方法计算OA →·OB →
的数量积？
(5)根据上面的计算可以得出什么结论？
知识点一 利用两角差的余弦公式求值 例1求值：
(1)sin 460°·sin(－160°)＋cos 560°·cos(－280°)；
(2)sin 285°.
规律方法
1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 2．两角差的余弦公式的结构特点：
(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
变式 求下列各式的值： (1)cos(－165°)； (2)sin 15°sin 105°＋cos 15°cos 105°.
知识点二 给值(式)求值
例2 已知sin(α＋π4)＝45，且π4<α<3π
4，求cos α的值．
规律方法
1．本题求解的关键在于把角α分解成两角α＋π
4与α之差，变角是进行三角变换的常用方法技巧，如α＝(α
＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α＋β)－(α＋β)等．
2．利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式计算．
变式 在本例中，若把α的范围改为：“54π<α<7
4
π”，其他条件不变，又如何求cos α的值？
知识点三 已知三角函数值求角
例3 已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝10
10
，求α－β的值．
规律方法
1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．
2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．
变式 已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π
2
，求β的值．
巩固练习
1．cos 17°等于( )
A ．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3°
B ．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°
C ．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3°
D ．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3° 2．下列关系中一定成立的是
( )
A ．cos(α－β)＝cos α－cos β
B ．cos(α－β)＜cos α＋cos β
C ．cos(π
2
－α)＝sin α
D ．cos(π
2
＋α)＝sin α
3．cos(－40°)cos 20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________. 4．设α∈(0，π2)，若sin α＝45，求2cos(α－π
4
)的值．
知能检测
一、选择题
1． cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是( )
A.
22 B ．－22 C.12 D ．－12
2．下面利用两角差的余弦公式化简，其中错误的是( )
A ．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B ．cos 75°＝cos 45°cos(－30°)＋sin 45°sin(－30°)
C ．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45°
D ．cos(α－π6)＝12cos α＋3
2sin α
3．cos 15°的值为( )
A.
6＋24 B.6－24 C.6＋22 D.6－22
4．已知钝角α、β满足cos α＝－35，cos(α＋β)＝－5
13
，则cos β等于( )
A.3365 B ．－3365 C.5475 D ．－54
75 5．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝3
5
，则cos(α－β)的值为( )
A.925
B.1625
C.12 D ．－1
2
二、填空题 6．已知cos α＝
32，α是锐角，则cos(α－π
4
)＝________. 7．已知sin α＝－13，α∈(π，32π)，cos β＝－45，β∈(π
2，π)，则cos(α－β)＝________.
8．已知cos(α＋30°)＝12
13，30°＜α＜90°，则cos α＝________.
三、解答题
9．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－1
3，求cos(α－β)．
10．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－11
14，α、β均为锐角，求cos β的值．
11．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π
2<α＋β<2π，求β的值．
答案
【问题导思】 (1)不成立．(2)不一定．(3)A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)． OA →与OB →
的夹角是α－β. (4)①OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA →·OB →＝cos αcos β＋sin αsin β. (5) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β.
例1 (1)－12.(2)－6＋24. 变式 (1)－6＋24.(2)0 例2 210. 变式 7210. 例3－π4. 变式π3.
巩固练习1．B 2．C 3．12 4．7
5.
知能检测
一、选择题ADABD 二、填空题6．6＋24 7．82－315 8．123＋5
26
三、解答题
9．【解】 由cos α－cos β＝12，两边平方得(cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β ＝1
4
.①
由sin α－sin β＝－13，两边平方得(sin α－sin β)2＝sin 2 α＋sin 2 β－2sin αsin β＝1
9
.②
①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝13
36.
∵cos αcos β＋sin αsin β＝5972，∴cos(α－β)＝59
72
.
10．【解】 ∵α∈(0，π
2
)，tan α＝4 3，∴sin α＝4 3cos α①
sin 2α＋cos 2α＝1②由①②得sin α＝4 37，cos α＝1
7.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114，∴sin(α＋β)＝5 3
14
.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－1114)×17＋5 314×4 37＝1
2.
∴cos β＝1
2
.
11．【解】 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45，∴sin(α－β)＝3
5
.
∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝4
5
. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×(－45)＋(－35)×35＝－1.
∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π，∴π2<2β<3π2，2β＝π，∴β＝π
2
.。