线性规划约束矩阵的灵敏度分析
MATLAB的线性规划问题的敏感性分析
MATLAB的线性规划问题的敏感性分析一．问题的提出在现在的日常生活中，我们常会遇到这样的问题，在不同的约束条件下找出最优点值或算出最佳的数值，以提高总产量或经济效益。
那么我们就需要假设一个模型出来，作为基本模型求解。
并找出其内在的规律以方便我们的生产生活的需要。
若约束条件改变，那么总产值是否也会有很大变化呢？让我们一起来研究。
二．具体案例如下：以某农场A，B ,C 等级耕地的面积分别为1002hm，计hm,3002hm,和2002划种植水稻，大豆和玉米，要求三种农作物最低收获量分别为190000kg,130000kg和350000kg。
农场kg kg kg,。
那么，（1）如何制定种植计划才能使总产量最大？（2）如何制定种植计划才能使总产值最大？表一：不同等级种植不同农作物的单产量（单位：2kg）/hm三．问题假设x，表示不同的农作物在根据题意，可以建立线性规划模型，假设决策变量为ij第j等级耕地上种植的面积。
hm）表2 作物计划种植面积（单位：2四．模型建立与分析1.模型：min z=cX S.t. AX b ≤命令：x=linprog(c,A,b) 2.模型：min z=cX S.t. AX b ≤ Aeq.X=beq命令：x=linprog(c,A,b,Aeq,beq)注意：若没有不等式：AX b ≤存在，则令A=[],b=[].3. [x,fval]=linprog(.....)左端fval 返回解X 处的目标函数值。
4.思路分析：找出约束条件——列出目标函数——作出可行域——求出最优解——敏感性分析——回答实际问题。
5.约束方程如下:耕地面积的约束：⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++≤++200300100332313322212312111x x x x x x x x x最低收获量的约束：⎪⎩⎪⎨⎧-≤----≤----≤---3500001000012000140001300006000680080001900009000950011000333231232221131211x x x x x x x x x并且注意：0≥ij x)3,2,13,2,1i ==j ；（ 则（1）追求总产量最大时，目标函数为：3332312322211312111000012000140006000680080009000950011000max x x x x x x x x x Z ---------=（2）追求总产值最大的目标函数为：)10001200014000(08.0)600068008000(5.1)900095001000(2.1max 333231232221131211x x x x x x x x x Z ++⨯-++⨯-++⨯-=可化简为333231232221131211800096001120090001020012000108001140013200max x x x x x x x x x Z ---------=五．模型建立与求解：1.对（1）求解，追求总产量最大时，MATLAB 程序如下：f=[-11000 -9500 -9000 -8000 -6800 -6000 -14000 -12000 -10000];A=[1 0 0 1 0 0 1 0 0 ;0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1;-11000 0 0 -9500 0 0 -9000 0 0; 0 -8000 0 0 -6800 0 0 -6000 0; 0 0 -14000 0 0 -12000 0 0-10000];b=[100 300 200 -190000 -130000 -350000];lb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0];[xopt fxopt]=linprog(f,A,b,[],[],lb,[])Optimization terminated successfully.xopt =fxopt =-7000000键入S=-Z得到原问题的目标函数最大值为S=70000002.运行后敏感性分析后的MATLAB程序如下：从a=0开始，以步长01∆a对下列模型求解；=.0a=0;while(1.1-a)>1c=[-11000 -9500 -9000 -8000 -6800 -6000 -14000 -12000 -10000];A=[1 0 0 1 0 0 1 0 0 ;0 1 0 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1 0 0 1;-11000 0 0 -9500 0 0 -9000 0 0; 0 -8000 0 0 -6800 0 0 -6000 0; 0 0 -14000 0 0 -12000 0 0 -10000];b=[100+a ;300+a; 200+a ;-190000+a ;-130000+a;-350000+a];Aeq=[]; beq=[];vlb=[0,0,0,0,0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.'),hold ona=a+0.01;endxlabel('a'),ylabel('Q')gridOptimization terminated successfully.a =0 x = 0 0 0 0 0 0 100 300 200Q =7000000分析整理后结果对比如下：a =0 x = 0 0 0 0 0 0 100 300 200 Q = 7000000x =0 0 0 0 0 0 Q =7000360x =0 0 0 0 0 0 Q =7000720x =0 0 0 0 0 0 Q =7.0011e+006x =0 0 0 0 0 0 Q =7.0014e+006x = 0 0 0 0 0 0 Q =7.0018e+006x =0 0 0 0 0 0 100.06 Q =7.0022e+006x = 0 0 0 0 0 0 Q =7.0025e+006x =0 0 0 0 0 0 100.08 Q =7002880x =0 0 0 0 0 0 Q =7.0032e+006如果不好观测，还可以将a细分为0001∆a，程序基本不变，只需改变a.0=的步长即可，则运行后图像如下：观察图像后，最优值随a的参加变化不明显，但总在6.88e+6到6.9e+6与7e+6到7.02e+6两个区间内缓慢增长。
第4章线性规划灵敏度分析
-2 x1 1
0
σj
0
0
-4 0 0 B-1b
x3 x4 x5 -1/5 -2/5 1/5 2/5 7/5 -1/5 -2/5 11/5 -9/5 -8/5 -1/5 -28/5
从表中看到 c3= -4, σ3= -9/5 可得到Δc3 ≤-σ3 = 9/5 时，即 c’3≤-4 + 9/5 = -11/5 时原最优解不变。
（1）参数在什么范围内变化时，原最优解或最优基不变—— 数据的稳定区间；
（2）当参数超出（1）的变化范围时，最优解或最优基有何变 化——如何求出新的最优解和最优基。
当模型的参数发生变化后，可以不必对线性规划问题重新 求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取得的最优结果 的基础上进行分析或求解，既可减少计算量，又可事先知道参 数的变化范围，及时对原决策作出调整和修正。
xk为换入变量
对 所 有 aik>0 计 算 θi=bi/aik 令θl=min{θi} 第l个基变量为换出变
量，alk为主元素
令 bl/alk→bl; alj/alk→ajl 对主元素列(第k列)令1→alk; 0→其它 元素表中其它行列元素 令 aij-ali/alk·aik→aij
bi-bl/alk·aik→bi бj- alj/alk· бk → бj
4
3+Δc2 x2 0 1
1/2
-1/8
0
2
σj
0 0 -3/2-Δc2 /2 -1/8+ Δc2 /8 0 14+2Δc2
17
Ci
2 3+Δc2
0
0
0
B-1b
CB XB x1 x2
x3
x4
用excel进行线性规划的灵敏度分析
求解线性规划问题
01
点击“规划求解”对话框中的“求解”按钮，Excel将开始求 解线性规划问题。
02
Excel将显示求解结果，包括最优解、目标函数的值、可变单 元格的值等。
03
可以根据需要调整参数或约束条件，重新进行求解，以获得 更优的解或更全面的灵敏度分析。
03 灵敏度分析
灵敏度分析的定义
01
灵敏度分析是评估线性规划模型中参数变化对最优解
的影响程度的过程。
02
它有助于理解模型的最优解对各个参数的敏感程度，
从而更好地理解模型的行为。
03
通过灵敏度分析，可以确定哪些参数对模型的影响最
大，从而在实际情况中更好地调整这些参数。
灵敏度分析的步骤
2. 运行模型
案例二：运输问题优化
约束条件
车辆载重、运输时间、运输路线等。
目标函数
最小化运输成本，同时满足各分区的需求。
灵敏度分析
分析需求量、运输成本、运输时间等参数变 化对最优解的影响。
案例三：资源分配问题优化
01
目标函数
最大化资源利用效率，同时满足 生产需求。
约束条件
02
03
灵敏度分析
资源总量、生产能力、产品质量 等。
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分析资源价格、生产能力、产品 质量等参数变化对最优解的影响。
05 结论与展望
线性规划与灵敏度分析的意义
线性规划是一种数学优化技术，用于 在有限资源约束下实现特定目标。灵 敏度分析是线性规划的一个重要组成 部分，用于评估模型参数变化对最优 解的影响。
灵敏度分析(第三章线性规划4)
初始单纯形表 x1 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
12 12
b2 20
0
0
x4 x5 f
1 1 5
0
最优单纯形表 x1 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 3 bi 424-b
2
5 x1 8 x2
f
1 0 0
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
利润 （元/kg）
在实例1中，假设产品C 的资源消耗量由 试分析最优解的变化情况。
1 2
2 变为 1
，
x4 x5 f
x1 1 1 5
•设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b 0
•b的变化不会影响检验数 •b的变化量b可能导致原最优解变为非基可行解 设b’=b+ b 为保证最优基不变，必须满足XB=B-1b’ 0
1. 分析b1=16和b2=20时，最优基和最优解的变化
初始单纯形表 x1 x4 x5 f 1 1 5 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
5 x1 8 x2
f
1 0 0
保持b1=12,分析b2在什么范围内 变化时，最优基不变?
2 B b' 1
1
1 12 1 b2
24 b 2 12 b 2
0
解之得：12≤b2≤24
即:当12≤b2≤24时，最优基不变
3.2 增加新约束条件的分析
产品 资源 原料甲 原料乙 原料丙 利润 （元/kg）
线性规划增减约束条件的灵敏度分析
线性规划增减约束条件的灵敏度分析设线性规划问题min f=CXAX=bX≥0(1)的最优单纯形表为它为实际操作提供最优方案。
由于现实世界是不断发展变化的，体现在约束条件上，增加或减少约束条件则是随时可能发生的。
这将导致最优方案的变化，如不与时俱进，及时做相应调整，必将造成经济损失。
本文在灵敏度分析的基础上，面对增减约束条件的情形，给出新最优方案的获得方法。
1 增加约束条件设增加的一个约束条件为则应在原问题的最优表1中按（2）提供的数据，增加一行，然后用消去法，把这行中基变量的系数消为0，这显然对检验数没有影响，从而可化为仅缺少一个基变量且的问题，故可沿用对偶单纯形法<sup>［1］</sup>或联合算法<sup>［2］</sup>的规则，于新增之行确定主元，实行Gauss消元，便得一正则解，继之用对偶单纯形法迭代求优。
如果增加的约束不止一个，可一并处理。
由于比较简单这里不详述，参见文献［3］。
2 减少约束条件对于减少约束条件的问题，大多的教材<sup>［4］［5］</sup>和其它文献［6］都没有涉及。
事实上它和增加约束一样重要。
减少约束条件还有特殊的经济意义。
对于资源利用问题，它意味着解除对某些资源的限制；而在工厂里又相当于去掉一道工序；这些都为创新增值提供途径或指示方向<sup>［7］</sup>；故值得详细讨论之。
当需要减少一个约束时，并不是将最优表中，与该约束相应的行去掉就可以的，因为此约束的影响已通过Gauss消元施加在其它各行里了。
那么，如不重新求解，应如何利用最优表而达到去掉某些约束的目的呢？设初始单纯形表中含有一个单位矩阵，不妨假定它是由辅助变量（松弛变量，剩余变量或人工变量等）形成，而最优单纯形表为：表2 初始单纯形表中含有单位矩阵的最优表现在要去掉原约束条件AX=b中的一个约束，不妨设为第t个约束，则对上表应采取如下步骤：考虑原第t个约束所加辅助变量这一列，即（n+t）列，若为基变量，则去掉最优表中第t个约束行和（n+t）列即可（此时最优解与最优值均不变）。
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介
灵敏度分析是研究线性规划的参数(非可控输入)发生 变化对最优解的影响程度
线性规划的参数包括：
• 目标函数系数 • 约束条件右侧值 • 约束条件系数矩阵
最优解中包含的信息：
• 目标函数值 • 决策变量值 • 递减成本(reduced cost) • 松弛/剩余变量
4
3.1 灵敏度分析简介
利用Lingo 软件做灵敏度分析
16
17
利用Excel做灵敏度分析
Microsoft Excel 16.0 敏感性报告 工作表: [数据模型与决策第3章例题.xlsx]第三章例题1 报告的建立: 2021/5/29 10:48:56
可变单元格
单元格 $B$15 $C$15
名称 决策变量值 x1 决策变量值 x2
作者
John Loucks
St. Edward’s University
1
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
2
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
6
x1 < 6
2x1 + 3x2 < 19 x1 + x2 < 8
x1, x2 > 0
固定x2的系数7，改变x1 的系数
5
最优解:
Max 14/3x1 + 7x2
4
x1 = 5, x2 = 3
3
Max 7x1 + 7x2
线性规划的灵敏度分析
,
b3
33
5
1
,
5 1
,
15
1
5,5,15
故有 15 b3 5,b3 在[0，20]上变化时最优基不变。
若线性规划模型是一个生产计划模型，当求出cj或bi 的最大允许变化范围时，就可随时根据市场的变化来掌握 生产计划的调整。
灵敏度分析方法还可以分析工艺系数aij的变化对最优解 的影响，对增加约束、变量或减少约束、变量等情形的分 析，下面以一个例子来说明这些分析方法。
（8）增加新约束 5x1 x2 2x3 10
§2.4 灵敏度分析
Ch2 Dual Problem
Sensitivity Analysis
2023年2月1日星期三 Page 19 of 34
【解】加入松弛变量x4、x5、x6，用单纯形法计算，最优表如2－7所 示。
表2－7
Cj
2 -1
4
0
0
0
b
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
4 x3 0 5/7
1
1/7 3/7
0
2
2 x1 1 2/7
0 －1/7 4/7
0
1
0 x6 0 －2
0
0
－1
1
1
λj
0 －31/7 0 －2/7 －20/7 0
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2023年2月1日星期三 Page 20 of 34
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
cj
－2 1
－4
0
【精品】LINGO软件灵敏度分析
【精品】LINGO软件灵敏度分析LINGO是一种非常实用的数学建模软件，可用于线性规划、非线性规划、整数规划、混合整数规划、二次规划、非线性二次规划、全局优化、动态规划等方面。
在LINGO中，灵敏度分析可以帮助用户更好地理解线性规划问题的解，并探究约束、变量、最优值等因素的变化对于优化结果的影响。
下面将详细介绍LINGO软件的灵敏度分析功能。
一、约束灵敏度分析在LINGO中，可以通过在“呼出”窗口中选择“求解”菜单，再选中“灵敏度分析”，来进行约束灵敏度分析。
当我们需要对某一约束条件进行灵敏度分析时，可以在“PSens”一栏中选中要进行分析的约束条件，并选择需要分析的灵敏度类型：1. 左侧界（Lower Bound）灵敏度分析：在该约束条件的左侧界上下浮动，观察最优解随着左侧界的变化而产生的变化情况。
进行变量灵敏度分析时，LINGO会输出一个名为“Variable Sensitivity”的窗口，其中包含了与所选中变量相关的数据，如灵敏度系数、上/下限边界、最小可行解等。
另外，该窗口还提供了一个“Graph”选项卡，可以展示出灵敏度分析的图表，帮助用户更直观地理解灵敏度的变化情况。
在LINGO中，最优解灵敏度分析可以探究最优解随着目标函数系数的变化而产生的变化情况。
用户可以在“呼出”窗口中选择“求解”菜单，再选中“灵敏度分析”，然后在“Objective Sensitivity”选项卡中选中需要进行分析的目标函数变量。
总之，LINGO软件的灵敏度分析功能可以在优化过程中帮助用户更好地了解问题的解，探究约束、变量、目标函数系数等因素对应问题的影响，帮助用户优化模型，从而达到更好的优化效果。
第3章线性规划的灵敏度分析
又获得了10个小时的切割与印染时间，我 们可以扩展问题的可行域，如图3-3所示。可 行域变大了，现在我们考虑是否有新的解会使
目标函数值更大。运用图解法可以看出，极点 S=527.5，D=270.5是最优解点。新的目标函数 值为10×527.5 + 9×270.5=7711.75美元，比原 来利润增加了7711.75 – 7688.00=43.75美元。 因此，利润的增加率为43.75/10=4.375美元/小 时。
在式（3-2）中，我们计算出只要满足 下列条件，极点③仍然是最优点
如果CS升高到13美元，同时使CD降低到8美 元，新的目标函数斜率将变成
由于这个值要小于下限，因此当前的解 S=540,D=252不再是最优的。把CS=13，CD =8代入，可得出极点②是新的最优解。
观察最优范围，我们得出结论，无论是
（3-2） 为了计算标准袋利润最优的范围，我们 假设高级袋的利润CD＝9，代入式（3-2）， 我们得到： 从左边的不等式，我们得到
因此
从右边的不等式，我们得到
因此， 综合标准袋利润CS的极限，标准袋利润最优 范围为：
6.3≤CS≤13.5
在最初Par公司的问题中，标准袋的利润 是10美元。最优解是540个标准袋和252个高级 袋。标准袋利润CS的最优范围告诉Par公司的 管理者：在其他系数不变的情况下，只要标准 袋的利润在6.3美元与13.5美元之间，540个标 准袋和252个高级袋总是最优产量。然而值得 注意的是，即使产量不变，总的利润也可能由 于每一个标准袋利润的变化而变化。
灵敏度分析还可以用来分析模型中的系
数哪个更能左右最优解。比如，管理层认为 高级袋的利润9美元只是一个估计量。如果 通过灵敏度分析得到，当高级袋的利润在 6.67美元与14.29美元之间变化时，模型的最 优解都是540个标准袋和252个高级袋，那么 管理层就必须思考每个高级袋获利9美元这 个估计量的可信程度有多大了。管理层希望 知道如果高级袋的利润下降，最优产量会怎 样变化。
线性规划灵敏度分析
淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号20071101008指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈 红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容,而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。
关键词 单纯形法，灵敏度分析,最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ，Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’， the var iety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis 。
This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table 。
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增 加一 个 变 量 ＋＋ 实 际 问题 中反 映为 增 加 在
一
种 新 的产品 ， 际上 是求 它的取值 范 围 ， 实 使 ＋
表 ｌ 四种 产 品 的 利 润 、 现 有 原 料 数 及 消 耗 原 料
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ，ｗｅ ｓｕ ｙ ｔ ｅ ｓ ｎ ｉ ｖ ｔ ｆ ｌｎ ａ ｒ ｇ ａ ｍｉ ｇ ｂ ｏ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ ｔ ｄ ｈ ｅ ｓ ｔ ｉ ｏ ｉ ｅ ｒｐ ｏ ｒ ｍ ｉ ｙ ｎ ｙ ｃ ｍｂｉ ｉ ｇ ａ ａｙ ｉ ｌ ｏ ｉ ｍ ｔ ｎ ｎ ｎ ｌ ｓ ｓ ａ ｇ ｒｔ ｈ ｗｉ ｈ ｓ ｍｅ ｅ ａ ｌ ｓ ｆ ｏ ｔ ｅ ａ ｐ ｃ ｆ ｃ ａ ｇ ｎ ｅ ｔａ ｎ ｍａ ｒｘ ｏ ｘ ｍｐ ｅ ｒ ｍ ｈ ｓ ｅ ｔｏ ｈ ｎ ｉ ｇ ｒ ｓｒ ｉ ｔｉ ，ｗｈ ｃ ｓ ｉ ｃ ｅ ｓｎ ｒ ｄ ｃ ｅ ｓ ｎ ａ ｉ ｂ ｅ ａ ｄ ａ ｉ ｈ ｉ ｎ ｒ ａ ｉ ｇ ｏ ｅ ｒ ａ ｉ ｇ ａ ｖ ｒａ ｌ ｎ ｒ ｓｒ ｉ ｏ ｄ ｔｏ ．Ｗ ｅ ａ ｓ ｉ ｃ ｓ ｔ ｍｐ ｃ ｓ ｏ ｈ ｐ ｉ ａ ｅ ｉｉ ｎ ｆ ｒ ｔ ｉ ｃ ａ ｇ ｎ ｐ ｌ ａ ｉ ｎ ｉ ｈ ｅ ｔａ ｎ ｃ ｎ ｉ ｎ ｉ ｌｏ ｄ ｓ ｕ ｓ ｉｓ ｉ ａ ｔ ｎ ｔ ｅ ｏ ｔ ｍ ｌ ｄ ｃ ｓｏ ｏ ｈ ｓ ｈ ｎ ｅ ａ ｄ ａ ｐ ｉ ｔｏ ｎ ｔ ｅ ｃ ｅ ｏ ｏ ｃ ｆｅ ｄ ｃ ｎ ｍｉ ｉ ｌ ．
的 ，特 定数 学模 型 的最 优解 一般是 针对 这一 特定模 型的 。除找 到最优 解之外 ，管 理层 还希望 知道 各种假 设
条件变 化可 能产生 的结果 ，并通 过分 析变 化 的结 果 ，指导 决策 。如 由于市场 条件 的变化 ，价值 系数 Ｃ 会 发 生变化 ；为 了充分 利用 资源 ，增加 生产项 目，会增 加 变量个 数 ；为提 高产 品质量 ，增 加资源种 类或 生产 工 艺 ，会增 加约 束条件 个数 ，由于生产 工艺 的改进 ，单 耗（ 约束 条件 系数或 叫技术 系数 ） ， ａ 会发 生变 化［ ］ 。 ， 等 由此 可 见 ，线性 规 划 中的约束 矩阵对 规划 结果 有着 重要 的影 响 ，因此 ，运用 线性 规划方 法要 分析约 束 矩 阵的灵 敏度 。本 文通 过增加 或减 少变量 个数 、约 束条件 个 数 ，分 析线性 规 划 的灵 敏度 ，研究 当参 数发 生 变 化或 波动 时 ，问题最 优解 的变化 ；或这 些参 数在 什 么变化 范 围内波 动时 ，最优解 不变 ，从 而为线 性规 划
２ １ 年 ４月 Ｏ１
Ａｐ ． ０１ ｒ２ １
线性规划 约束矩 阵的灵敏度分析
曾祥 中
（ 盐城 师 范学院 数 学科 学学 院 ，江苏 盐城 ，２ ４ ０ ２ ０ ２）
摘 要 ：从 约 束矩 阵的 改 变，即增 加或 减 少一 个 变量 ，增加 或减 少一 个约 束条件 ，结合 实例 分析 算法 ，研 究其灵敏 度 ，讨论 这种 改 变对最优 决 策带 来的影 响 以及 在 经济领域 里 的应 用。 关键 词 ：运筹 学 ；变量 ；约束条 件 ；灵敏 度 ；最优决 策 中图分 类 号 ：０２ １１ ｌ． 文献 标 志码 ：Ａ 文 章 编号 ：１ ７ — ３ ６２ ｌ ） ２ ０ １一 ４ ６ ４ ３ ２ （０ １０ — １３ Ｏ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｅ ａ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｈ ｖ ｒａ ｌ ； ｅ ｔａ ｎ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｓ ｎ ｉ ｖ ｔ ； ｐ ｉ ａ ｅ ｉ ｉ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ： ｐ ｒ ｔｏ ｓｒ ｓ ａ ｃ ； ａ ｉ ｂ ｅ ｒ ｓｒ ｉ ｏ ｄ ｔ ｎ ； ｅ ｓｔ ｉ ｏ ｔ ｉ ｉ ｙ ｍ ｌ ｃｓｏ ｄ
第 ２ 卷 第 ２期 ８
Ｖ １ ２ Ｎｏ ２ ｂ．８ ．
新 乡学院学报 ： 自然科学版
Ｊ ｕ ａ ｆＸｉ ｘ ａ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ： ｔ ｒ ｌ ｃ ｅ ｃ ｉ ｏ ｏ ｒ ｌ ｎ ｉｎ ｉ ｅ ｓ ｙ Ｎａｕ ａ Ｓ ｉ ｎ ｅＥｄ ｔ ｎ ｎ ｏ ｔ ｉ
０ 引 言
线 性规 划 的应用极 其广 泛 ，大至 国家 的生 产布 局 、物资 调运 ；小 至工 厂或 车 间的生 产安排 ，都 可 以用 线性 规划 来计 算 。鉴 于此 ，许 多学 者对 它进 行 了广泛 、深 入 的研 究【 ３。在 实际 问题 中 ，我们需 要首 先 收 ｌ】 － 集有关 数据 ，建 立线性 规 划模 型 ；然后 ，用 单纯 形表 法求解 。线 性规 划模 型是在 一定 假设 条件下 建立起 来
Ｓ ｎｓｔｖ ｔ ｅ ｉｉ ｉｙ Ａｎａ ｙ ｉ ｏ ｎｅ ｒＰｒ ｇ ａ ｍ ｉ ｎ ｔ ｓｒ ｉ ａ ｒｘ ｌ ｓｓ ｆ Ｌｉ ａ ｏ ｒ ｍ ｎｇ ｏ ｈｅＲｅ ｔ ａ ｎ Ｍ ｔ ｉ
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（ｃ ｏ ｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓＹａ ｃ ｅ ｇＴ ａ ｈ ｒ Ｃ ｌ ｇ ， ａ ｃ ｅ ｇ２ ４ ０ ， ｈｎ ） Ｓ ｈ ｏ ｈ ｍａｉ ， ｎｈ ｎ ｅ ｃ ｅｓ ｏｌ ｅ Ｙ ｎ ｈ ｎ ２ ０ ２ Ｃ ｉａ ｏ Ｍａ ｃ ｅ
Ｔａ ． Ｐｒ ｆ ｓ ｅ ｉｔ ｇ ｎ ｍｂ ｒａ ｄ ｃ ｎ ｕ ｂ １ ｏ ｉ ， ｘ ｓｉ ｕ ｔ ｎ ｅ ｎ ｏ ｓ ｍｐ ｉ ｎ ｔ ｏ
成 为 基 变 量 。 对 此 分 析 如 下 ： １ 计 算 检 验 数 ）