特殊的四边形测试题

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四边形测试题及答案

四边形测试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是四边形的性质？A. 四边形的内角和为360度B. 四边形的对角线互相平分C. 四边形的对边相等D. 四边形的对角互补答案：C2. 一个平行四边形的对角线长度分别为10厘米和8厘米，其面积是多少平方厘米？A. 40B. 30C. 20D. 50答案：C3. 菱形的对角线互相垂直，那么它的面积可以通过以下哪个公式计算？A. 面积 = 对角线长度的平方B. 面积 = 对角线长度的乘积 / 2C. 面积 = 对角线长度的和 / 2D. 面积 = 对角线长度的差 / 2答案：B二、填空题1. 矩形的四个角都是_________角。

答案：直角2. 梯形中，不平行的一对边称为_________。

答案：腰3. 平行四边形的对角线互相_______。

答案：平分三、简答题1. 请简述四边形的分类及其特点。

答案：四边形可以分为平行四边形、矩形、菱形、梯形等。

平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分；矩形是所有内角都是直角的平行四边形；菱形是四边相等且对角线互相垂直的平行四边形；梯形是只有一对边平行的四边形。

2. 什么是等腰梯形？它有哪些特性？答案：等腰梯形是两腰相等的梯形。

它的主要特性包括：两腰相等，底角相等，对角线相等。

四、计算题1. 已知一个梯形的上底为6厘米，下底为10厘米，高为4厘米，请计算它的面积。

答案：梯形面积 = （上底 + 下底）× 高/ 2 = (6 + 10) × 4 / 2 = 32平方厘米2. 给定一个矩形，长为15厘米，宽为10厘米，求它的周长和面积。

答案：周长= 2 × (长 + 宽) = 2 × (15 + 10) = 50厘米面积 = 长× 宽= 15 × 10 = 150平方厘米五、证明题1. 证明：平行四边形的对角线互相平分。

答案：设平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点E。

(必考题)初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试(含答案解析)(4)

一、选择题1．如图，矩形ABCD 被两条对角线分成4个小三角形OAB ∆、OAD ∆、OBC ∆和OCD ∆，若这4个小三角形的周长之和为68，对角线10AC =，则矩形ABCD 的周长是（）A ．14B ．18C ．21D ．282．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠，//AD BC ，90C ∠=︒，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（）．A ．18B ．20C ．22D ．243．下列命题中，正确的是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．平行四边形的对角线平分且相等D ．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形4．如图，在菱形ABCD 中，已知3AD =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，求AE 的长是（）A ．12+B ．6C ．231-D ．13+ 5．已知菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，则菱形ABCD 的周长为（）A．30B．20C．15D．126．如图，在正方形ABCD的边AB上取一点E，连接CE，将BCE沿CE翻折，点B恰好与对角线AC上的点F重合，连接DF，若1BE=，则CDF的面积是（）A．3214+B．628+C．324+D．327．下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形8．下列四个命题中真命题是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．2 B．2.4 C．2.6 D．310．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D的坐标是（）A．（2，10）B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）11．如图，四边形ABCD是菱形，DH⊥AB于点H，若AC=8cm，BD=6cm，则DH=（）A ．53cmB ．25cmC ．245cmD ．485cm 12．如图，AC ，BD 是四边形ABCD 对角线，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点，连接EM ，MF ，NE ，要使四边形EMFN 为正方形，则需要添加的条件是（）A ．,AB CD AB CD =⊥B ．,AB CD AD BC == C ．,AB CD AC BD =⊥ D ．,//AB CD AD BC =二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形1111D C B A （记为第1个正方形）的顶点1A 与原点重合，点1B 在y 轴上，点1D 在x 轴上，点1C 在第一象限内，以1C 为顶点作等边122C A B ，使得点2A 落在x 轴上，22A B x ⊥轴，再以22A B 为边向右侧作正方形2222A B C D （记为第2个正方形），点2D 在x 轴上，以2C 为顶点作等边233C A B ，使得点3A 落在x 轴上，33A B x ⊥轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为_________．14．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC 分别交AB 、CD 于E 、F ，连接PB ，PD ．若2AE =，8PF =．则图中阴形部分的面积为_________．15．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE AC ⊥于点E ，DF 平分ADC ∠，交EB 的延长线于点F ，3BC =，6CD =，则BE BF =_________．16．菱形ABCD 周长为52cm ，它的一条对角线长为10cm ，则另一条对角线长为__________cm ．17．如图，CD 是ABC 的边AB 上的中线，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90︒后，点A 的对应点E 恰好落在AC 边上，若2AD =，5BC =，则AC 的长为_________．18．将边长为2的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45︒到FECG 的位置（如图），EF 与AD 相交于点H ，则HD 的长为___________．（结果保留根号）19．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的点，且60CFE ∠=︒．将四边形BCFE 沿EF 翻折，得到B C FE ''，点C '恰好落在AD 边上，B C ''交AB 于点G ，则GE 的长是_______．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是____．三、解答题21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是直线BC上一点（不与点B，C 重合），连接CD，DE．（1）如图1．①若∠CDE=90°，求证：∠A=∠E．②若BD平分∠CDE，且∠E=24°，求∠A的度数．（2）设∠A=α(α＞45°)，∠DEC=β，若CD=CE，求β关于α的函数关系式，并说明理由．22．已知矩形ABCD中，点F在AD边上，四边形EDCF是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不必写画法）．△中DC边上的中线BG；（1）在图1画出BCD（2）在图2中画出线段AF 的垂直平分线．23．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA ＝10，OC ＝6．（1）用直尺和圆规在AB 上取一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴的B′点上，求B′点的坐标；（2）求折痕CM 所在直线的表达式．24．（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，求CBD ∠的度数；（2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，若115CBD ∠=︒，求A BE ∠'的度数；（3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，若CBD α∠=，求A BE '∠'的度数（用含α的式子表示）25．如图，在△ABC 中，点D 是BC 边的中点，点E 是AD 的中点，过A 点作AF ∥BC ，且交CE 的延长线于点F ，联结BF ．（1）求证：四边形AFBD 是平行四边形；（2）当AB ＝AC 时，求证：四边形AFBD 是矩形；（3）（填空）在（2）中再增加条件．则四边形AFBD 是正方形．26．如图，▱ABCD 的对角线AC 恰好平分∠DAB ，点H 、点F 分别在AD 、BC 上．点E 、点G 分别在BA 、DC 的延长线上，且AE ＝AH ＝CG ＝CF ．（1）求证：四边形EFGH 为平行四边形；（2）写出∆HEA 和四边形EFGH 的面积之间的数量关系，并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】四个小三角形的周长是两条对角线长的2倍与矩形周长的和，由此可求矩形周长．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD ，四个小三角形的周长=2AC+2BD+AD+DC+BC+BA ，即40+矩形周长=68，所以矩形周长为28．故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质和矩形的周长，抓住矩形的对角线相等和四个小三角形的周长=4倍的对角线长+矩形的周长是解决本题的关键．2．C解析：C【分析】过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E ，根据角平分线和平行线性质，推导得5AD AB ==；通过判定四边形AECD 为矩形，得5EC AD ==，4AE CD ==；再根据勾股定理计算，得BE ，从而得到四边形ABCD 的周长．【详解】如图，过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠∵//AD BC∴ADB CBD ∠=∠∴ABD ADB ∠=∠∴5AD AB ==∵AE BC ⊥，90C ∠=︒∴//AE DC∴四边形AECD 为矩形∴5EC AD ==，4AE CD ==又∵AE BC ⊥，即90AEB =︒∠ ∴3BE ==∴四边形ABCD 的周长22AB BE EC CD AD =++++=故选：C ．【点睛】本题考查了平行线、角平分线、等腰三角形、矩形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、矩形、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解． 3．D解析：D【分析】根据矩形、菱形的判定和平行四边形的性质判断即可．【详解】解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；C 、平行四边形的对角线平分，原命题是假命题，不符合题意；D 、顺次连结菱形各边中点所得的四边形是矩形，是真命题，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．D解析：D【分析】首先作FH ⊥AB ，垂足为H ，由四边形ABCD 是菱形，可得AD ＝AB ＝3，即可求得AF 的长，又由∠DAB ＝60°，即可求得AH 与FH 的长，然后由∠EFG ＝15°，证得△FHE 是等腰直角三角形，继而求得答案．【详解】解：如图，作FH ⊥AB ，垂足为H ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ＝3，∵DF ＝1，∴AF ＝AD−FD ＝2，∵∠DAB ＝60°，∴∠AFH ＝30°，∴AH ＝1，FH 3∵FG BC ⊥，∴FG AD ⊥，又∵∠EFG ＝15°，∴∠EFH ＝∠AFG−∠AFH−∠EFG ＝90°−30°−15°＝45°，∴△FHE 是等腰直角三角形，∴HE ＝FH 3∴AE ＝AH ＋HE ＝13，故选：D ．【点睛】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．5．B解析：B【分析】由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，4AO =，3BO =，然后利用勾股定理求出AB=5，即可求出周长．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，118422AO AC ==⨯=，116322BO BD ==⨯=；在直角△ABO 中，由勾股定理，得 22435AB ,∴菱形的周长为：4520⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握菱形的性质进行解题．6．A解析：A【分析】由折叠可得1EF BE ==，90CFE ABC ∠=∠=︒，且 45FAE ∠=︒，可得1AF =， 2AE =，即可求对角线BD 的长，则可求 CDF 的面积．【详解】如图连结BD 交AC 于点O ，∵ABCD 为正方形，∴90ABC ∠=︒，AB=BC ，AC BD ⊥， DO BO =，45BAC ∠=︒，∵BCE 沿CE 翻折， ∴1BE EF ==，BC CF =， 90EFC ∠=︒， ∵45BAC ∠=︒，90EFC ∠=︒， ∴45EAF AEF ∠=∠=︒， ∴1AF EF ==，∴2AE =∴21AB BC CF ===， ∴222BD AB == ∴222OD +=， ∴12CDF SCF DO =⨯⨯， ∴()(2122432321444CDF S ++===+．故选：A ．【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题．7．D解析：D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】矩形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；菱形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；正方形是中心对称图形，也是轴对称，该选项不符合题意；平行四边形中心对称图形，但不一定是轴对称，该选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．8．C解析：C【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可．【详解】A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题；B、对角线垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题；C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题；D、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题；故选：C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理．9．B解析：B【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．【详解】解：连接AP，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，∴∠BAC=90°，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP．∵M是EF的中点，∴AM=12AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样AM也最短，∴S△ABC=12BC•AP＝12AB•AC，∴12×10AP＝12×6×8，∴AP最短时，AP=245，∴当AM最短时，AM=12AP=125=2.4．故选：B．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．10．C解析：C【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，①若顺时针旋转，则点D在x轴上，O D＝2，所以，D（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D（2，10），综上所述，点D的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．11．C解析：C【分析】根据菱形性质在Rt△ABO中利用勾股定理求出AB=5，再根据菱形的面积可得AB×DH=12×6×8=24，即可求DH长．【详解】由已知可得菱形的面积为12×6×8=24． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠AOB=90°，AO=4cm ，BO=3cm ．∴AB=5cm ．所以AB×DH=24，即5DH=24，解得DH=245cm ．故选C ．【点睛】主要考查了菱形的性质，解决菱形的面积问题一般运用“对角线乘积的一半”和“底×高”这两个公式． 12．A解析：A【分析】证出EN 、NF 、FM 、ME 分别是ABD △、BCD 、ABC 、ACD △的中位线，得出////EN AB FM ，////ME CD NF ，12EN AB FM ==，12ME CD NF ==，证出四边形EMFN 为平行四边形，当AB CD =时，EN FM ME NF ===，得出平行四边形EMFN 是菱形；当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，则90MEN ∠=︒，即可得出菱形EMFN 是正方形．【详解】解：点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，点M ，N 分别是AC ，BD 的中点，EN ∴、NF 、FM 、ME 分别是ABD △、BCD 、ABC 、ACD △的中位线， ∴////EN AB FM ，////ME CD NF ，12EN AB FM ==，12ME CD NF ==， ∴四边形EMFN 为平行四边形，当AB CD =时，EN FM ME NF ===，∴平行四边形EMFN 是菱形；当AB CD ⊥时，EN ME ⊥，则90MEN ∠=︒，∴菱形EMFN 是正方形；故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据等边三角形的性质求出第23个正方形的边长发现规律即可求解【详解】依题意可得：第一个正方形的边长为1∴C1D1=1∠C1D1A2=90°∵是等边三角形是正方形∴∠B2A2C1=60°∠B2解析：20202【分析】根据等边三角形的性质求出第2，3个正方形的边长，发现规律即可求解．【详解】依题意可得：第一个正方形的边长为1，∴C 1D 1=1,∠C 1D 1A 2=90°，∵122C A B 是等边三角形，2222A B C D 是正方形，∴∠B 2A 2C 1=60°，∠B 2A 2D 2=90°，∴∠C 1A 2D 1=30°，∴A 2B 2=A 2C 1=2C 1D 1=2，∴正方形2222A B C D 的边长为2=21，同理可得：正方形3333A B C D 的边长=2A 2B 2=4=22，…∴正方形n n n n A B C D 的边长=2n-1，其中n 为正整数，∴第2021个正方形的边长为20202，故答案为：20202．【点睛】此题主要考查图形与坐标规律变化、等边三角形与正方形的性质，解题的关键是根据题意发现边长的变化规律．14．16【分析】作PM ⊥AD 于M 交BC 于N 由矩形的性质可证明S △PEB ＝S △PFD 解答即可【详解】解：作PM ⊥AD 于M 交BC 于N 则有四边形AEPM 四边形DFPM 四边形CFPN 四边形BEPN 都是矩形∴S △解析：16【分析】作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，由矩形的性质可证明S △PEB ＝S △PFD 解答即可．【详解】解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴S △ADC ＝S △ABC ，S △AMP ＝S △AEP ，S △PBE ＝S △PBN ，S △PFD ＝S △PDM ，S △PFC ＝S △PCN ， ∴S △DFP ＝S △PBE ＝12×2×8＝8， ∴S 阴＝8+8＝16，故答案为：16．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S △PEB ＝S △PFD ． 15．【分析】由矩形的性质可得结合角平分线的定义可求得可证明结合矩形的性质可得根据三角形的面积公式得到于是得到结论【详解】解：四边形为矩形设与相交于点平分又又故答案为：【点睛】本题主要考查矩形的性质掌握矩解析：25【分析】由矩形的性质可得2COB CDO ∠=∠，EBO BDF F ∠=∠+∠，结合角平分线的定义可求得F BDF ∠=∠，可证明BF BD =，结合矩形的性质可得AC BF =，根据三角形的面积公式得到BE ，于是得到结论．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，设DF 与AC 相交于点M ，AC BD ∴=，90ADC ∠=︒，OA OD =，6AB CD ==，3AD BC ==， DF 平分ADC ∠，ADG AGD ∴∠=∠，又CDB CAB ∠=∠，CMF CAB DGA ∠=∠+∠，CMF ADG CDB ∴∠=∠+∠，又90BDF ADG CDB ∠+∠+∠=︒，90BDF CMF ∴∠+∠=︒，90CMF F ∠+∠=︒，BDF F ∴∠=∠，BF BD ∴=，AC BF ∴=，6AB CD ==，3AD BC ==，BF AC ∴== 1122ABC S AC BE AB BC ∆==，BE ∴==∴25BE BF ==，故答案为：25．【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的四个角都是直角、对角线互相平分且相等是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．16．24【分析】根据菱形的性质先求菱形的边长利用勾股定理求另一条对角线的长度【详解】如图菱形ABCD中BD=10∴AC⊥BD∵菱形的周长为52BD=10∴AB=52÷4=13BO=5∴AO=∴AC=则这解析：24【分析】根据菱形的性质，先求菱形的边长，利用勾股定理求另一条对角线的长度．【详解】如图，菱形ABCD中，BD=10，∴AC⊥BD，∵菱形的周长为52，BD=10，∴AB=52÷4=13，BO=5，∴2213512∴AC=24．则这个菱形的另一条对角线长为24cm．故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分、菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．17．3【分析】连接BE由旋转的性质可得AD=DE∠ADE=90°可求∠A=45°AE=AD=2AD=DE=BD可证∠AEB=90°由勾股定理可求EC的长即可求解【详解】解：如图连接BE∵CD是△ABC的解析：3【分析】连接BE，由旋转的性质可得AD=DE，∠ADE=90°，可求∠A=45°，AE=2AD=2，AD=DE=BD，可证∠AEB=90°，由勾股定理可求EC的长，即可求解．【详解】解：如图，连接BE，∵CD是△ABC的边AB上的中线，∴AD=BD，∵将线段AD绕点D顺时针旋转90°，∴AD=DE，∠ADE=90°，∴∠A=45°，2AD=2，AD=DE=BD，∴∠AEB=90°，∴∠A=∠ABE=45°，∴AE=BE=2，∴22541-=-=，EC BC BE∴AC=AE+EC=3，故答案是：3．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，求出EC的长是本题的关键．18．【分析】先根据正方形的性质得到CD=2∠CDA=90°再利用旋转的性质得CF=2根据正方形的性质得∠CFE=45°则可判断△DFH为等腰直角三角形从而计算CF-CD即可【详解】解：∵四边形ABCD为解析：22【分析】先根据正方形的性质得到CD=2，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得2，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD即可．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴CD=2，∠CDA=90°，∵边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴2，∠CFE=45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF-CD=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．19．【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°AB＝AD＝3由折叠的性质得出FC′＝FC∠C′FE＝∠CFE＝60°∠FC′B′＝∠C＝90°B′E＝BE∠B′＝∠B＝90°求出∠DC′F解析：8-【分析】由正方形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得出FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B＝90°，求出∠DC′F＝30°，得出FC′＝FC＝2DF，求出DF＝2，，则C′A＝，AG＝6，设EB＝x，则GE＝2x，得出方程，解方程即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝3，由折叠的性质得：FC′＝FC，∠C′FE＝∠CFE＝60°，∠FC′B′＝∠C＝90°，B′E＝BE，∠B′＝∠B ＝90°，∴∠DFC′＝180°-60°-60°=60°，∴∠DC′F＝30°，∴FC′＝FC＝2DF，∵DF＋CF＝CD＝6，∴DF＋2DF＝6，解得：DF＝2，∴∴C′A＝∵∠AC′G=180°-30°-90°=60°，∠AGC′=90°-60°=30°，∴-6，设EB＝E′B=x，∵∠B′GE＝∠AGC′＝30°，∴GE＝2x，则＋3x＝6，解得：x＝∴GE＝故答案是：【点睛】本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键． 20．【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OCAC=BD 由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB 可证△OAB 是等边三角形可得∠ABD=60°由直角三角形的性质可求解【详解】解：∵四边形ABCD 是矩解析：【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC ，AC=BD ，由线段垂直平分线的性质可得OA=AB=OB ，可证△OAB 是等边三角形，可得∠ABD=60°，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB=OD ，OA=OC ，AC=BD ，∴OA=OB ，∵BE=EO ，AE ⊥BD ，∴AB=AO ，∴OA=AB=OB ，即△OAB 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∴∠ADE=90°-∠ABD=30°，∴故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题21．（1）①见解析；②22°；（2）1=45+2βα︒ 或1=452βα︒- 【分析】（1）①根据斜边中线的性质，可得∠A =∠ACD ，根据同角的余角相等可证；②设∠EDB =∠CDB =x ，则∠DCB =∠DBC =24°+x ，列方程即可求；（2）分点E 在线段BC 上和在BC 延长线上两种情况，通过等腰三角形建立两个角的联系即可．【详解】解:（1）①∵D 是AB 的中点，90ACB ∠=∴DA=DC ，DB=DC,∴∠A =∠ACD ，∠DCB =∠DBC ，∠ACD+∠DCE=90°又∠EDC=90°，∠E+∠DCE=90°，∴∠E=∠ACD，∴∠A=∠E.②由BD平分∠CDE，设∠EDB=∠CDB=x，则∠DCB=∠DBC=24°+x，在△DBC中，24°+x+24°+x+x=180°，解得，x=44°，∵∠A=∠ACD，∴∠A=22°；（2）∵CD=CE，∴∠CDE=∠DEC，情况1：如图1所示，当点E在线段BC上时，图1∠A=∠ACD=α，∠CDE=∠DEC=β，则∠DCE=90°-α在△DEC中，2β+90°-α=180°，所以1=45+2βα︒.情况2：如图2所示，当点E在BC延长线上时，图2∠A=∠ACD=α，∠CDE=∠DEC=β，则∠DCB=90°-α=2β所以1=452βα︒-.综上所述：1=45+2βα︒或1=452βα︒-．【点睛】本题考查了斜边中线的性质，等腰三角形的性质等，解题关键是通过设未知数或参数，建立角之间的联系．22．（1）见解析（2）见解析【分析】（1）（1）延长EF交BC于H，连结DH，交CF于N，连结AH，FB交于M，过M、N作直线交DC于G,连结BG即可；（2）连接AH，BF，相交于M，连接BE并交AD于N，由四边形EDCF是平行四边形，矩形ABCD，可得EF=CD=AB，EF∥CD∥AB，可证△ANB≌△FNE（AAS），可得AN=FN过M、N作直线l即可．【详解】解：（1）如图，延长EF交BC于H，连结DH，交CF于N，连结AH，FB交于M过M、N作直线交DC于G连结BG如图1，线段BG即为所求作；（2）如图，连接AH，BF，相交于M，连接BE并交AD于N，∵四边形EDCF是平行四边形，矩形ABCD∴EF=CD=AB，EF∥CD∥AB∴∠ABN=∠FEN，∠ANB=∠FNE∴△ANB≌△FNE（AAS）∴AN=FN过M、N作直线l如图2，直线l即为所求作．【点睛】本题考查的是利用无刻度的直尺作图，平行四边形的性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，三角形的中线的概念，线段垂直平分线，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）B′的坐标为（8，0）；（2）y＝﹣13x+6【分析】（1）先用圆规，在OA上找到B′，使CB′=CB，然后作∠BCB′的平分线交AB于点M，由折叠的性质得到CB′＝CB＝10，B′M＝BM，在Rt△OCB′中，利用勾股定理易得OB′＝8，即可得到B′点的坐标；（2）设AM＝t，则BM＝B′M＝6−t，而AB′＝OA−OB′＝2，在Rt△AB′M中，利用勾股定理求出t的值，确定M点的坐标，然后利用待定系数法求直线CM的解析式即可；【详解】解：（1）作图如下：∵四边形ABCO为长方形，∴CB＝OA＝10，AB＝OC＝6，∵△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴的点B′上，∴CB′＝CB＝10，B′M＝BM，在Rt△OCB′中，OC＝6，CB′＝10，∴OB′＝8，∴点B′的坐标为（8，0）；（2）设AM＝t，则BM＝B′M＝6﹣t，而AB′＝OA﹣OB′＝2，在Rt△AB′M中，B′M2＝B′A2+AM2，即（6﹣t）2＝22+t2，解得t＝83，∴点M的坐标为（10，83），设直线CM的解析式为y＝kx+b，把C（0，6）和M（10，83）代入得，b＝6，10k+b＝83，解得k＝﹣13，b＝6，∴直线CM的解析式为y＝﹣13x+6．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的待定系数法、图形的翻折、勾股定理的运用，有一定的综合性，但难度不大．24．（1）90°；（2）50°；（3）1802α︒-【分析】（1）由折叠的性质知ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，即可得到1902CBD ABE ∠=∠=︒；（2）由115CBD ∠=︒计算出18011565ABC EBD ∠+∠=︒-︒=︒，根据ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，即可求出答案；（3）由CBD α∠=求出180ABC EBD α∠+∠=︒-，根据ABC A BC ∠=∠'，EBD E BD '∠=∠计算得出180(2302)6ABA EBE αα''∠+∠=︒-⨯=︒-，再计算36021801802A BE αα''∠=︒--︒=︒-得出答案．【详解】（1）由折叠的性质知ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠， ∴12A BC ABA '∠'=∠，12E BD E BE '∠'=∠， ∴1902CBD ABE ∠=∠=︒．（2）∵115CBD ∠=︒∴18011565ABC EBD ∠+∠=︒-︒=︒，∵ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，∴652130ABA EBE ''∠+∠=︒⨯=︒，∴18013050A BE ''∠=︒-︒=︒．（3）∵CBD α∠=∴180ABC EBD α∠+∠=︒-∵ABC A BC ∠=∠'，EBD E BD '∠=∠∴180(2302)6ABA EBE αα''∠+∠=︒-⨯=︒-∴36021801802A BE αα''∠=︒--︒=︒-．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后的对应角相等，角度的和差计算，掌握图形中各角度之间的位置及和差关系是解题的关键．25．（1）见解析（2）见解析（3）∠BAC ＝90°【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案；（3）当△ABC 为等腰直角三角形时，四边形AFBD 是正方形，理由为：由第一问证得的AF ＝BD ，且AF 与BD 平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形AFBD 为平行四边形，若三角形ABC 为等腰直角三角形，D 为斜边BC 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD ＝BD ，且根据三线合一得到AD 与BC 垂直，可得平行四边形的邻边相等且有一个角为直角，即可判定出四边形AFBD 为正方形．【详解】（1）证明：∵点D 是BC 边的中点，点E 是AD 的中点，∴DE 是△BCF 的中位线，∴DE∥BF，∴AD∥BF，∵AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形；（2）证明：（2）∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC．∴∠ADB＝90°．∵四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是矩形；（3）当△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC＝90°时，四边形AFBD是正方形，理由如下：∵四边形AFBD为平行四边形，又∵等腰直角三角形ABC，且D为BC的中点，∴AD＝BD，∠ADB＝90°，∴四边形AFBD为正方形．故答案为：∠BAC＝90°．【点睛】此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各判定定理是解题的关键．26．（1）证明见详解；（2）14EHA EFGHS S四边形，理由见详解．【分析】（1）由题意易得▱ABCD是菱形，进而可证△DHG≌△BFE，则有HG=FE，∠DHG=∠BFE，然后可证HG∥EF，则问题得证；（2）连接HC、AF、HF，AC与HF交于点O，连接EG，由题意易得AC与HF互相平分，HF 与EG互相平分，进而可证EH∥AC，然后根据面积之间的等量关系进行求解即可．【详解】解：（1）如图：∵AC恰好平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD∥BC，AD=BC，∠D=∠B，∴∠DHG=∠1，∠DCA=∠CAB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∴四边形ABCD 是菱形，又∵AE ＝AH ＝CG ＝CF ，∴DH=BF ，DG=BE ，∴△DHG ≌△BFE ，∴HG=FE ，∠DHG=∠BFE ，∴∠1=∠BFE ，∴HG ∥EF ，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）连接HC 、AF 、HF ，AC 与HF 交于点O ，连接EG ，如图所示：由（1）可得：∵AH=CF ，AH ∥CF ，∴四边形AFCH 是平行四边形，∴AC 与HF 互相平分，∵四边形EFGH 是平行四边形，∴HF 与EG 互相平分，∴HF 、AC 、EG 互相平分，相交于点O ，∵AE=AH ，DA=DC ，BE=DC ，∴∠EAH=∠D ，∴∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠DCA ，∴EH ∥AC ， ∴14EHA EHO EFGH S S S ==四边形．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定及平行四边形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定及平行四边形的性质与判定是解题的关键．。

第一章特殊的平行四边形复习测试 2021-2022学年北师大版九年级数学上册(word含答案)

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形复习测试一．选择题1．对角线互相垂直平分的四边形是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．任意四边形2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°3．下列关于∠ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB∠BC，则∠ABCD是菱形B．若AC＝BD，则∠ABCD是矩形C．若AC平分∠BAD，则∠ABCD是正方形D．若AC∠BD，则∠ABCD是正方形4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB＝BE B．CE∠DE C．∠ADB＝90°D．BE∠DC5．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD C．AD＝AE D．AE＝CE 6．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（）A．2B．C．6D．87．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为（）A．75°B．60°C．55°D．45°8．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则∠ABC的周长是（）A．14B．16C．18D．209．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD 一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形10．如图，在正方形ABCD中，∠ABE和∠CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD ＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（）A．7B．8C．7D．711．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．6B．12C．18D．2412．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∠BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（）A．60°B．45°C．30°D．22.5°二．填空题13．如图，在Rt∠ABC中，E是斜边AB的中点，若AC＝8，BC＝6，则CE＝．14．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．15．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD 上移动，则PE+PC的最小值是．16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF ＝20°，则∠AED等于度．17．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF交于点O．则EG2+FH2=．18．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝___ ．三．解答题19．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．20．如图，将∠ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：∠ABD∠∠BEC；（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．21．已知：如图，在∠ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：∠ABE∠∠CDF；（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；（2）过点D作DE∠AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求∠BDE 的周长．23．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将∠ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到∠ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2＝BE2+DF2．24．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）∠当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；∠当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）25．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE．【感知】如图∠，过点A作AF∠BE交BC于点F．易证∠ABF∠∠BCE．（不需要证明）【探究】如图∠，取BE的中点M，过点M作FG∠BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE＝FG．（2）连接CM，若CM＝1，则FG的长为．【应用】如图∠，取BE的中点M，连接CM．过点C作CG∠BE交AD于点G，连接EG、MG．若CM＝3，则四边形GMCE的面积为．北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形复习测试答案提示一．选择题1．对角线互相垂直平分的四边形是（）选：B．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．任意四边形2．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）选：D．A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°3．下列关于∠ABCD的叙述，正确的是（）选：B．A．若AB∠BC，则∠ABCD是菱形B．若AC＝BD，则∠ABCD是矩形C．若AC平分∠BAD，则∠ABCD是正方形D．若AC∠BD，则∠ABCD是正方形4．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）选：D．A．AB＝BE B．CE∠DE C．∠ADB＝90°D．BE∠DC5．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）选：D．A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CDC．AD＝AE D．AE＝CE6．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为（）选：A．A．2B．C．6D．87．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF为（）选：A．A．75°B．60°C．55°D．45°8．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则∠ABC的周长是（）选：C．A．14B．16C．18D．209．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD 一定是（）选：D．A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形10．如图，在正方形ABCD中，∠ABE和∠CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD ＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（）选：C．A．7B．8C．7D．7解：如图所示：∠四边形ABCD是正方形，∠∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠∠BAE+∠DAG＝90°，在∠ABE和∠CDF中，，∠∠ABE∠∠CDF（SSS），∠∠ABE＝∠CDF，∠∠AEB＝∠CFD＝90°，∠∠ABE+∠BAE＝90°，∠∠ABE＝∠DAG＝∠CDF，同理：∠ABE＝∠DAG＝∠CDF＝∠BCH，∠∠DAG+∠ADG＝∠CDF+∠ADG＝90°，即∠DGA＝90°，同理：∠CHB＝90°，在∠ABE和∠ADG中，，∠∠ABE∠∠ADG（AAS），∠AE＝DG，BE＝AG，同理：AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12，∠EG＝GF＝FH＝EF＝12﹣5＝7，∠∠GEH＝180°﹣90°＝90°，∠四边形EGFH是正方形，∠EF＝EG＝7；11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形ABCD的周长是（）选：D．A．6B．12C．18D．2412．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∠BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（）选：D．A．60°B．45°C．30°D．22.5°二．填空题13．如图，在Rt∠ABC中，E是斜边AB的中点，若AC＝8，BC＝6，则CE＝5．14．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB＝DC，使四边形DBCE是矩形．15．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD 上移动，则PE+PC的最小值是．16．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF ＝20°，则∠AED等于65度．17．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF交于点O．则EG2+FH2=．答案36解析连接EF，FG，GH，HE，∠点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，AC=3，∠EF∠AC∠GH，EF=GH=12BD=3，EH∠BD∠FG，EH=FG=12∠EF=FG=GH=EH，∠四边形EFGH是菱形．∠EG∠FH，OE=OG，OH=OF．∠EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=36．18．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝__2n＋1__．三．解答题19．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF．求证：AE＝AF．证明：如图，连接AC，∠四边形ABCD是菱形，∠∠BCA＝∠DCA，∠CE＝CF，AC＝AC，∠∠ECA∠∠FCA（SAS），∠AE＝AF．20．如图，将∠ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：∠ABD∠∠BEC；（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∠CD，则BE∠CD．又∠AB＝BE，∠BE＝DC，∠四边形BECD为平行四边形，∠BD＝EC．∠在∠ABD与∠BEC中，，∠∠ABD∠∠BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．∠四边形ABCD为平行四边形，∠∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．又∠∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∠∠OCD＝∠ODC，∠OC＝OD，∠OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∠平行四边形BECD为矩形．21．已知：如图，在∠ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE＝CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：∠ABE∠∠CDF；（2）连接DG，若DG＝BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．（1）证明：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AB＝CD，∠BAE＝∠DCF，在∠ABE和∠CDF中，，∠∠ABE∠∠CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC，AD＝BC，∠AE＝CF，∠DE＝BF，∠四边形BEDF是平行四边形，∠OB＝OD，∠DG＝BG，∠EF∠BD，∠四边形BEDF是菱形．22．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．（1）请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；（2）过点D作DE∠AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求∠BDE 的周长．解：（1）∠四边形ABCD是菱形，∠AD∠BC，AO＝OC，∠，∠OM＝ON．（2）∠四边形ABCD是菱形，∠AC∠BD，AD＝BC＝AB＝6，∠BO＝＝2，∠，∠DE∠AC，AD∠CE，∠四边形ACED是平行四边形，∠DE＝AC＝8，∠∠BDE的周长是：BD+DE+BE＝BD+AC+（BC+CE）＝4+8+（6+6）＝20即∠BDE的周长是20．23．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将∠ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到∠ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2＝BE2+DF2．证明：（1）∠将∠ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到∠ABQ，∠QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∠∠EAF＝45°，∠∠DAF+∠BAE＝45°，∠∠QAE＝45°，∠∠QAE＝∠F AE，在∠AQE和∠AFE中，∠∠AQE∠∠AFE（SAS），∠∠AEQ＝∠AEF，∠EA是∠QED的平分线；（2）由（1）得∠AQE∠∠AFE，∠QE＝EF，由旋转的性质，得∠ABQ＝∠ADF，∠ADF+∠ABD＝90°，则∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt∠QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∠QB＝DF，∠EF2＝BE2+DF2．24．如图，平行四边形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）∠当AE＝ 3.5cm时，四边形CEDF是矩形；∠当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）（1）证明：∠四边形ABCD是平行四边形，∠CF∠ED，∠∠FCG＝∠EDG，∠G是CD的中点，∠CG＝DG，在∠FCG和∠EDG中，，∠∠FCG∠∠EDG（ASA）∠FG＝EG，∠CG＝DG，∠四边形CEDF是平行四边形；（2）∠解：当AE＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM∠BC于M，∠∠B＝60°，AB＝3，∠BM＝1.5，∠四边形ABCD是平行四边形，∠∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5，∠AE＝3.5，∠DE＝1.5＝BM，在∠MBA和∠EDC中，，∠∠MBA∠∠EDC（SAS），∠∠CED＝∠AMB＝90°，∠四边形CEDF是平行四边形，∠四边形CEDF是矩形，故答案为：3.5；∠当AE＝2时，四边形CEDF是菱形，理由是：∠AD＝5，AE＝2，∠DE＝3，∠CD＝3，∠CDE＝60°，∠∠CDE是等边三角形，∠CE＝DE，∠四边形CEDF是平行四边形，∠四边形CEDF是菱形，故答案为：2．25．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连接BE．【感知】如图∠，过点A作AF∠BE交BC于点F．易证∠ABF∠∠BCE．（不需要证明）【探究】如图∠，取BE的中点M，过点M作FG∠BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE＝FG．（2）连接CM，若CM＝1，则FG的长为2．【应用】如图∠，取BE的中点M，连接CM．过点C作CG∠BE交AD于点G，连接EG、MG．若CM＝3，则四边形GMCE的面积为9．解：感知：∠四边形ABCD是正方形，∠AB＝BC，∠BCE＝∠ABC＝90°，∠∠ABE+∠CBE＝90°，∠AF∠BE，∠∠ABE+∠BAF＝90°，∠∠BAF＝∠CBE，在∠ABF和∠BCE中，，∠∠ABF∠∠BCE（ASA）；探究：（1）如图∠，过点G作GP∠BC于P，∠四边形ABCD是正方形，∠AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∠四边形ABPG是矩形，∠PG＝AB，∠PG＝BC，同感知的方法得，∠PGF＝∠CBE，在∠PGF和∠CBE中，，∠∠PGF∠∠CBE（ASA），∠BE＝FG，（2）由（1）知，FG＝BE，连接CM，∠∠BCE＝90°，点M是BE的中点，∠BE＝2CM＝2，∠FG＝2，故答案为：2．应用：同探究（2）得，BE＝2ME＝2CM＝6，∠ME＝3，同探究（1）得，CG＝BE＝6，∠BE∠CG，∠S四边形CEGM＝CG×ME＝×6×3＝9，故答案为9．。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试（4）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，则对角线BD的长是（）A．1BC．2D．2．正方形面积为36，则对角线的长为（）A．6B．C．9D．3．如图，在矩形ABCD中，对角线BD＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为（）B．2cm C．D．4cmA4．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为（）A．5 cm B．10 cm C．14 cm D．20 cm5．下列命题中，真命题是（）．A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A ．AC ＝BD ，AB∠CD ，AB ＝CDB ．AD∠BC ，∠A ＝∠C C ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC∠BD D ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC7．若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD 一定是( )A ．菱形B ．对角线互相垂直的四边形C ．矩形D ．对角线相等的四边形8．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A ．15B ．14C ．13D ．3109．图，在∠ABC 中，AB ＝AC ，四边形ADEF 为菱形，O 为AE ，DF 的交点，S △ABC ＝，则S 菱形ADEF ＝（）A ．4B ．C ．D ．10．如图，四边形ABCD 中，90BAD C ∠=∠=︒，AB AD =，AH BC ⊥于H ，若线段AH =ABCD 的面积是（）．A ．3B ．4C ．D ．6二、填空题11．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm ，则∠1=_______°12．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，BD ，相交于点O ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE ＝_____．13．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（8，2），点D 的坐标为（0，2），则点C 的坐标为_____________．14．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∠BD ，垂足为点E ，CE ＝5，EO ＝2DE ，则DE 的长为________．15．如图，四边形ABCD 是菱形，24,10,AC BD DH AB ==⊥ 于点H ，则线段BH 的长为_________．16．将五个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、A 3、A 4分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分的面积的和为______．17．图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点（不与B ，D 重合），PE∥CD 交BC 于点E ，PF ∥BC 交CD 于点F ，连接AP ，EF ．给出下列结论：∠PD EC ；∠四边形PECF 的周长为8；∠∠APD 一定是等腰三角形；∠AP ＝EF ．其中正确结论的序号为________．三、解答题18．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O BE AC CF BD ⊥⊥，，，垂足分别为.E F ，求证：BE CF ＝．19．如图，在77⨯的正方形网格中，网格线的交点称为格点，B 在格点上，每一个小正方形的边长为1．（1）以AB 为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝5，AC＝6，DE∠BC的延长线于点E，求OE的长．21．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．(1)求证：四边形AEBO是矩形；(2)若CD＝3，求EO的长．22．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．(1)在AC上找一点P，使∠BPE的周长最小（作图说明）；(2)求出∠BPE周长的最小值．23．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.=；（1）求证：AF HG∠=∠；（2）求证：FAE GHC24．如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN∠BC，设MN 交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．（3）若AC 边上存在点O，使四边形AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论．25．有一张矩形纸片ABCD，其中AB＝10，AD＝6，现将矩形纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形纸片的边的交点），再将纸片还原．(1)若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图∠）．∠当点P与点A重合时，∠DEF＝________°，当点E与点A重合时，∠DEF＝________°，当点F与点C重合时，AP＝________；∠若点P为AB的中点，求AE的长；(2)若点P落在矩形ABCD的外部（如图∠），点F与点C重合，点E在AD上，BA与FP交于点M，当AM＝DE时，请求出AE的长；(3)若点E为动点，点F为DC的中点，直接写出AP的最小值．参考答案：1．C【分析】利用菱形的性质以及等边三角形的判定方法得出∠DAB 是等边三角形，进而得出BD 的长，【详解】解：∠菱形ABCD 的边长为2，∠AD =AB =2，又∠∠DAB =60°，∠∠DAB 是等边三角形，∠AD =BD =AB =2，则对角线BD 的长是2．故选C ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出∠DAB 是等边三角形是解题关键．2．B【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可．【详解】设对角线长是x ．则有12x 2=36，解得：x故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解．3．D【分析】根据矩形的性质求出4AO BO cm ==，再根据等边三角形的判定可得AOB 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可得．【详解】∠120AOD ∠=︒∠18060AOB AOD ∠=︒-∠=︒∠四边形ABCD 是矩形，8BD cm = ∠118,4,422AC BD cm AO AC cm BO BD cm ======∠4AO BO cm ==∠AOB 是等边三角形∠4AB AO cm ==故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟记矩形的性质是解题关键．4．D【分析】根据菱形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∠菱形的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AO =OC ，BO =OD ，AC ∠BD ，AB =BC =CD =AD ，∠AC =6cm ，BD =8cm ，∠在Rt∠AOB 中，AO =3cm ，BO =4cm ，∠AOB =90°，由勾股定理得：AB ，∠菱形的周长为4×5=20cm ，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解答的关键．5．C【详解】解：A 、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C 、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误．故选C ．6．C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A ，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B ，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C ，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．7．D【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∠FG，EF=FG，EF=12BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．【详解】解：∠E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，∠EH=12AC，EH∠AC，FG=12AC，FG∠AC，EF=12BD，∠EH∠FG，EF=FG，∠四边形EFGH是平行四边形，假设AC=BD，∠EH=12AC，EF=12BD，则EF=EH，∠平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，故选：D．【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．8．B【分析】根据矩形的性质，得△EBO∠∠FDO，再由△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的12得出结论．【详解】解：∠四边形为矩形，∠OB＝OD＝OA＝OC，在△EBO与△FDO中，∠∠EOB＝∠DOF，OB ＝OD ，∠EBO ＝∠FDO ，∠∠EBO ∠∠FDO （ASA ），∠阴影部分的面积＝S △AEO ＋S △EBO ＝S △AOB ，∠∠AOB 与△ABC 同底且△AOB 的高是△ABC 高的12， ∠S △AOB ＝12S △ABC ＝14S 矩形ABCD ．故选B【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质9．C【分析】根据菱形的性质，结合AB =AC ，得出DF 为∠ABC 的中位线，DF∥BC ，12DF BC =，从而得出AE 为∠ABC 的高，得出BC AE ⨯=的面积．【详解】解：∠四边形ADEF 为菱形，∠EF∥AB ，DE∥AC ，AF =EF =DE =AD ，AE ∠DF ，∠CEF B ∠=∠，DEB C ∠=∠，AC AB =，B C ∴∠=∠，CEF B C DEB ===∴∠∠∠∠，∠CF =EF ，DE =DB ，CF AF ∴=，AD DB =，∠DF∥BC ，12DF BC =， 90AOD ∠=︒，90AEB AOD ==︒∴∠∠，AE BC ∴⊥，ABC S =∵12BC AE ⨯=∴即BC AE ⨯=1111=2224ADEF S DF AE BC AE ⨯=⨯⨯=⨯菱形∴C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF 为∠ABC 的中位线，是解题的关键．10．D【详解】试题解析：过A 点作CD 的垂线,交CD 的延长线于F 点,如图，则四边形AECF 是矩形90,90DAE BAE DAE DAF ∠+∠=∠+∠=，BAE DAF ∴∠=∠，在∠ABE 和∠DAF 中，{AB ADBAE DAF AEB AFD =∠=∠∠=∠，则(AAS)ABE DAF ≌，,AE AF ∴=又∠四边形AECF 是矩形.∠四边形AECF 为正方形，而四边形ABCD 的面积是6，故选D.11．120【详解】由题意可得AB 与菱形的两邻边组成等边三角形，从而不难求得∠1的度数．解：由题意可得AB 与菱形的两邻边组成等边三角形，则∠1=120°．故答案为120．此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．12【分析】由正方形对角线相交于点O ，则DO CO ⊥，12DO BD ==，过点E 作EF CD ⊥于F ，设EO EF DF x ===，则DE =，列出方程x =解出x ，最后得出答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF CD ⊥于F ，∠正方形ABCD 的边长为1，∠AC =BDDO CO ⊥，∠OA =OC =OB =OD =2， ∠CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，∠EO =EF ，∠在正方形ABCD 中，∠ADB =∠CDB =45°，∠EF =DF ，设EO EF DF x ===，则DE =，∠OD =OE +DE =x =∠解得x =∠DE =OD -OE 1=，1．【点睛】本题主要考查了正方形的性质与角平分线的性质，解题的关键是根据角平线的性质作出辅助线．13．（4，4）【详解】解：连接AC 、BD 交于点E ，如图所示：∠四边形ABCD 是菱形，∠AC ∠BD ，AE =CE =12AC ，BE =DE =12BD ，∠点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∠OD=2，BD=8，∠AE=OD=2，DE=4，∠AC=4，∠点C的坐标为：（4，4）故答案为：（4，4）【点睛】本题考查菱形的性质；坐标与图形性质．14【分析】由矩形的性质得到∠ADC=90°，BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，求得OC=OD，设DE=x，OE=2x，得到OD=OC=3x，根据勾股定理即可得到答案．【详解】解：∠四边形ABCD是矩形，∠∠ADC=90°，BD=AC，OD=12BD，OC=12AC，∠OC=OD，∠EO=2DE，∠设DE=x，OE=2x，∠OD=OC=3x，∠CE∠BD，∠∠DEC=∠OEC=90°，在Rt△OCE中，∠OE2+CE2=OC2，∠（2x）2+52=（3x）2，解得：x，∠DE【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．15．50 13【详解】试题分析：∠四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，∠AO=12，OD=5，AC∠BD，=13，∠DH∠AB，∠AO×BD=DH×AB，∠12×10=13×DH，∠DH=12013，5013=．考点：1.菱形的性质；2.勾股定理.16．4【分析】连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF∠∠NAE，进而可得四边形AENF的面积等于∠NAP的面积，同理可得答案．【详解】如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，∠∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∠∠PAF=∠NAE，∠∠PAF∠∠NAE，∠四边形AENF的面积等于∠NAP的面积，而∠NAP 的面积是正方形的面积的14，而正方形的面积为4， ∠四边形AENF 的面积为1cm 2，四块阴影面积的和为4cm 2．故答案为4．【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：∠定点-旋转中心；∠旋转方向；∠旋转角度．17．∠∠∠【分析】∠证明PF EC =，PDF ∆是等腰直角三角形，即可说明PD =；∠先证明四边形PECF 为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC ，则四边形PECF 的周长为8；∠根据P 的任意性可以判断APD ∆不一定是等腰三角形；∠四边形PECF 为矩形，通过正方形的轴对称性，证明AP EF =．【详解】解：∠PE BC ⊥，PF CD ⊥，90PEC PFC ∴∠=∠=︒，又90C ∠=︒，∴四边形PECF 是矩形，EC PF ∴=．四边形ABCD 是正方形，45PDF ∴∠=︒，PDF ∴∆是等腰直角三角形，PD ∴==，故∠正确；∠PE BC ⊥，PF CD ⊥，90BCD ∠=︒，∴四边形PECF 为矩形，∴四边形PECF 的周长222228CE PE CE BE BC =+=+==，故∠正确； ∠点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，45ADP ∠=︒，∴当45PAD ∠=︒或67.5︒或90︒时，APD ∆是等腰三角形，除此之外，APD ∆不是等腰三角形，故∠错误．∠四边形PECF为矩形，∠=∠，∴=，PFE ECPPC EF正方形为轴对称图形，∴=，AP PC∴=，AP EF故∠正确；故答案为∠∠∠．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．18．证明见解析【分析】要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【详解】证明：∠四边形ABCD为矩形，∠AC=BD，则BO=CO．∠BE∠AC于E，CF∠BD于F，∠∠BEO=∠CFO=90°．又∠∠BOE=∠COF，∠∠BOE∠∠COF．∠BE=CF．19．（1）答案不唯一，见解析；（2）6或8或10（答案不唯一）【分析】（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；（2）利用菱形面积公式求解．【详解】解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求（2）图1中AC =2，BD =6∠图1中菱形面积12662=⨯⨯=．图2中，AC22442，BD =∠图2中菱形面积182=⨯=．图3中，AC BD =∠图3菱形面积1102=⨯=．【点睛】本题考查菱形的性质，掌握菱形的概念准确作图是关键．20．4【分析】由菱形的性质得出AC BD ⊥，OB OD =，112OA OC AC ===，在Rt AOD ∆中，由勾股定理得：4OD =，得出28BD OD ==，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．【详解】解：∠四边形ABCD 是菱形，∠AD ＝AB ＝5，AC ∠BD ，AO ＝12AC ＝12×6＝3，OB ＝OD ．在Rt∠AOD 中，由勾股定理得OD ＝4OD ==，∠BD ＝2OD ＝8．∠DE ∠BC ，∠∠DEB ＝90°．又∠OD ＝OB ，∠OE ＝12BD ＝12×8＝4．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．21．(1)见解析；(2)3【分析】（1）先根据平行四边形的判定证明四边形AEBO 是平行四边形，再利用菱形的对角线互相垂直和矩形的判定证明即可；（2）利用矩形的性质求解即可．(1)证明：∠BE∠AC，AE∠BD，∠四边形AEBO是平行四边形．∠四边形ABCD是菱形，∠AC∠BD，即∠AOB＝90°．∠四边形AEBO是矩形．(2)解：∠四边形AEBO是矩形，∠EO＝AB，在菱形ABCD中，AB＝CD，∠EO＝CD＝3．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键．22．(1)见解析(2)12【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，∠BPE的周长最小．理由：证明∠AB P′∠∠AD P′，即可求解；（2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解．（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，∠BPE的周长最小．理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，∠AP′=AP′，∠∠ABP′∠∠ADP′，∠BP′=DP′，∠BP+PE= DP′+ P′E≥DE，即当点P位于PP′时，∠BPE的周长PB+EP+BE最小；（2）解：由（1）得：B P ′=DP ′，∠P ′B ＋P ′E ＝DE ．∠BE ＝2，AE ＝3BE ，∠AE ＝6．∠AD ＝AB ＝8．∠DE10．∠PB ＋PE 的最小值是10．∠∠BPE 周长的最小值为10＋BE ＝10＋2＝12．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．23．（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）根据题意可先证明四边形AHCE 为平行四边形，再根据正方形的性质得到∠AH FG =，//AH FG ，故可证明四边形AHGF 是平行四边形，即可求解；（2）根据四边形AHGF 是平行四边形，得180FAH AHG ∠+∠=︒，根据四边形ABCD 是矩形，可得 DAH AHB ∠=∠，再根据平角的性质及等量替换即可证明.【详解】（1）证明：∠四边形ABCD 是矩形，且E 、H 分别为AD 、BC 的中点， ∠AE HC =，//AE HC ，∠四边形AHCE 为平行四边形，∠AH EC =，//AH EC ，又∠四边形ECGF 为正方形，∠EC FG =，//EC FG ，∠AH FG =，//AH FG ，∠四边形AHGF 是平行四边形，∠AH FG =；（2）证明：∠四边形AHGF 是平行四边形，∠180FAH AHG ∠+∠=︒，∠四边形ABCD 是矩形，∠//AD BC ，∠DAH AHB ∠=∠，又∠180AHB AHG GHC ∠+∠+∠=︒，∠FAD GHC ∠=∠；【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知特殊平行四边形的性质定理.24．（1）见解析；（2）当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．见解析；（3）△ABC 是直角三角形，理由见解析．【分析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4,进而得出答案；(2)根据AO =CO ,EO =FO 可得四边形AECF 平行四边形，再证明∠ECF =90°利用矩形的判定得出即可；(3)利用正方形的性质得出AC ∠EN ，再利用平行线的性质得出∠BCA =90°，即可得出答案；【详解】证明：（1）∠MN 交∠ACB 的平分线于点 E ，交∠ACB 的外角平分线于点 F ， ∠∠2＝∠5，∠4＝∠6，∠MN ∠BC ，∠∠1＝∠5，∠3＝∠6，∠∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠EO ＝CO ，FO ＝CO ，∠OE ＝OF ；（2）当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．证明：当 O 为 AC 的中点时，AO ＝CO ，∠EO ＝FO ，∠四边形 AECF 是平行四边形，∠CE 是∠ACB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，∠∠ECF ＝12（∠ACB +∠ACD ）=90°，∠平行四边形 AECF 是矩形．（3）∠ABC 是直角三角形，理由：∠四边形AECF 是正方形，∠AC∠EN，故∠AOM＝90°，∠MN∠BC，∠∠BCA＝∠AOM，∠∠BCA＝90°，∠∠ABC 是直角三角形．【点睛】此题考查了正方形的判断和矩形的判定，需要知道平行线的特征和角平分线的性质才能解答此题．25．(1)∠ 90，45，2；∠11 12(2)1275【分析】（1）∠分别画出三种情况下的图形即可得到解答；∠连接EP，设AE＝x，可以得到关于x的方程，从而得到AE的值；（2）连接EM，设AE＝y，根据题意可以得到关于y的方程，解方程即可得到问题解答；（3）画出图形后根据题意可以得到解答．（1）∠如图1所示，点P与点A重合，由题意可知，PD∠EF，所以∠DEF＝90°，如图2所示，点E与点A重合，由题意可知，ED=EP，PD∠EF，所以∠DEF＝45°，如图3所示，点F与点C重合，连结CP，由题意可知，CP=DF=10，BC=6，∠在RT∠CPB中，PB=8，∠AP=AB-PB=2，故答案为90；45；2；∠如图4所示，连接EP，∠点P为AB的中点，∠AP＝BP＝5，由折叠知DE＝EP，设AE＝x，则DE＝EP＝6－x，在Rt∠AEP中，AE2＋AP2＝EP2，即x2＋52＝（6－x）2，解得x＝1112，即AE＝1112．（2）如图5所示，连接EM，设AE＝y，由折叠知PE＝DE，∠CDE＝∠EPM＝90°，CD＝CP＝AB＝10，∠AM＝DE，∠AM＝PE．在Rt∠AEM和Rt∠PME中，,, AM PE EM ME=⎧⎨=⎩∠Rt∠AEM∠Rt∠PME（HL），∠AE＝PM＝y，∠CM＝10－y，BM＝AB－AM＝AB－DE＝10－（6－y）＝4＋y．在Rt∠BCM中，BM2＋BC2＝CM2，∠（4＋y）2＋62＝（10－y）2，解得y＝127．∠AE＝127．（3）如图6所示，连结AF，在Rt ADF中，∠D=90°，AD＝6，DF=CF=5，∠AF∠PF=DF=5，∠5AP AF PF≥-=，∠AP5．【点睛】本题考查矩形的的折叠问题和最短距离问题，正确分类并画出图形是解题的关键．。

(好题)初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试(答案解析)(1)

一、选择题1．如图，在四边形ABCD 中，BD 平分ABC ∠，//AD BC ，90C ∠=︒，5AB =，4CD =，则四边形ABCD 的周长是（）．A ．18B ．20C ．22D ．242．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝6，BD ＝8，过A 点作AE 垂直BC ，交BC 于点E ，则BE CE 的值为（）A ．512B ．725C ．718D ．5243．如图所示，在菱形ABCD 中，5AC =，120BCD ∠=︒，则菱形ABC 的周长是（）．A ．20B ．15C ．10D ．54．如图，在长方形ABCD 中，AF BD ⊥，垂足为E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ，且DF 平分BDC ∠．下列结论中：①ABD CDB ≅；②ADE BDF S S =△△；③90ABD CDF ∠+∠=︒；④AD DF =．其中正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，在正方形ABCD 中，E F 、分别在CD AD 、边上，且CE DF =，连接BE CF 、相交于G 点．则下列结论：①BE CF =；②BCG DFGE S S ∆=四边形；③2CG BG GE =⋅；④当E 为CD 中点时，连接DG ，则45FGD ∠=︒；正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若25CBF ︒∠=，则AED =∠A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°7．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作OG AC ⊥，交AB 于点G ，连接CG ，若15BOG ∠=，则BCG ∠的度数是（）A ．15B ．15.5C ．20D ．37.58．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，延长CB 至E 使BE=CB ，连续AE ．下列结论①AE=2OE ；②90EAC ∠=︒；③四边形ADBE 为平行四边形；④34AEBO ABCD S S =四边形菱形中，正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折B 叠，使点恰好落在ED 上的点F 处，若5,3CD BC ==，则BE 的长为（）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．210．如图，在正方形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE ，将BCE 沿CE 翻折，点B 恰好与对角线AC 上的点F 重合，连接DF ，若1BE =，则CDF 的面积是（）A ．3214+B ．628+C ．324+D ．32211．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 是AB 的中点，E 是BC 的中点，EF ⊥CD 于点F ，则EF 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．12512．如图，矩形ABCD 的两条对角线的一个交角为60︒，两条对角线的长度之和为24cm ，则这个矩形的一条短边的长为（）A ．6cmB ．12cmC ．24cmD ．48cm二、填空题13．如图，以AB 为边作边长为8的正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABCD 的边上运动，且PQ ＝8，若点P 从点A 出发，沿A →B →C →D 的线路，向D 点运动，点Q 只能在线段AD 上运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所经过的路径的长为_____．14．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AB ＝1，AC ＝8，以AC 为一边作等腰直角△ACD ，使∠CAD ＝90°，连接BD ，则线段BD 的长度为________．15．如图，Rt∆ABC 中，90ABC ∠=︒，30A ∠=︒，点D ，E ，F 分别是线段AC ，AB ，DC 的中点，下列结论：①EFB ∆为等边三角形；②12ACB DFBE S S ∆=四边形； ③3AE DF =；④8AC DG =；其中正确的是_______．16．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，H 为BC 中点，AC ＝6，BD ＝8，则线段OH 的长为_____．17．如图，△ABC 中，13AB AC ==，10BC =，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长是________．18．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在DA 的延长线上，BE BF ⊥交CD 于点F ，连接EF ．DEF ∠的角平分线与BD 交于点H ，连接FH ．过点D 分别作DQ EH ⊥于点Q 、DP FH ⊥于点P ，连接PQ PQ ．若1PQ CF ==，则DF =______．19．如图，平面内直线1234//////l l l l ，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD 四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为________．20．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，且8AC =，10BD =，E 、F 、M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么四边形EFMN 的面积等于______．三、解答题21．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 边上一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ．点F 是DE 的中点，连接CF ．（1）求证：CF AF =；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰直角三角形． 22．（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，求CBD ∠的度数；（2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，若115CBD ∠=︒，求A BE ∠'的度数；（3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，若CBD α∠=，求A BE '∠'的度数（用含α的式子表示）23．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 上的点，且DE BF =，AC EF ⊥．求证：四边形AECF 是菱形．24．有两棵树，一棵高9米，另一棵高4米，两树相距12米. 一只小鸟从一棵树的树梢（最高点）飞到另一棵树的树梢（最高点），问小鸟至少飞行多少米？25．在四边形ABCD 中，AD//BC ．∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝24cm ．BC ＝26cm ．点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．求：从运动开始，使PQ ＝CD ，需要经过的时间是多少？26．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，5AD =，点E 为BC 上一点，将ABE △沿AE 折叠，使点B 落在长方形内点F 处，连接DF ，且3DF =，求AFD ∠的度数和BE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E ，根据角平分线和平行线性质，推导得5AD AB ==；通过判定四边形AECD 为矩形，得5EC AD ==，4AE CD ==；再根据勾股定理计算，得BE ，从而得到四边形ABCD 的周长．【详解】如图，过点A 做AE BC ⊥交BC 于点E∵BD 平分ABC ∠∴ABD CBD ∠=∠∵//AD BC∴ADB CBD ∠=∠∴ABD ADB ∠=∠∴5AD AB ==∵AE BC ⊥，90C ∠=︒∴//AE DC∴四边形AECD 为矩形∴5EC AD ==，4AE CD ==又∵AE BC ⊥，即90AEB =︒∠∴3BE ==∴四边形ABCD 的周长22AB BE EC CD AD =++++=故选：C ．【点睛】本题考查了平行线、角平分线、等腰三角形、矩形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、矩形、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解． 2．C解析：C【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC 的长，再根据面积法即可得到AE 的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE 的长，进而得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CO ＝12AC ＝3，BO ＝12BD ＝4，AO ⊥BO ， ∴BC5，∵S 菱形ABCD ＝12AC•BD ＝BC×AE ， ∴AE ＝16825⨯⨯＝245．在Rt △ABE 中，BE75 ， ∴CE ＝BC ﹣BE ＝5﹣75＝185， ∴775==18185BE CE 的值为718，故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形性质：四条边都相等、对角线互相垂直平分．3．A解析：A【分析】根据题意可得出∠B=60︒，结合菱形的性质可得BA=BC ，判断出△ABC 是等边三角形即可得出菱形的周长．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴//BA CD ，又∵∠BCD=120︒，∴∠B=180︒-∠BCD= 60︒，又∵四边形ABCD 是菱形，∴BA=BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴BA=BC=AC=5，故可得菱形的周长=4AB=20．故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出△ABC 是等边三角形是解答本题的关键，难度一般．4．C解析：C【分析】由长方形的性质可得：,,90,AB CD AD BC BAD BCD ==∠=∠=︒从而可判断①；由面积公式可得,ADF BDC S S =再利用角平分线的性质证明,Rt DFE Rt DFC ≌再利用面积差可判断②；由90ABD DBC ∠+∠=︒，结合90ABD CDF ∠+∠=︒，证明,DBC CDF ∠=∠ 再证明30,DBC EDF CDF ∠=∠=∠=︒ 可得AF 是BD 的垂直平分线，可得,AB AD = 则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，可判断③；由,AF BD ⊥ 结合AD DF =，可证明BD 是AF 的垂直平分线，可得,BA BF = 从而可证明45ABE ADB ∠=∠=︒，可得,AB AD = 则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，可判断④．【详解】解：长方形ABCD ，,,90,AB CD AD BC BAD BCD ∴==∠=∠=︒(),ABD CDB SAS ∴≌ 故①符合题意； 11,,22ADF BDC SAD CD S BC CD == ,ADF BDC S S ∴= ,,ADE ADF DEF BDF BCD DCFS S S S S S =-=- DF 平分BDC ∠，,90,AF BD BCD ⊥∠=︒,FE FC ∴= ,DF DF =(),Rt DFE Rt DFC HL ∴≌,DEF DCF SS ∴= ,ADE BDF S S ∴= 故②符合题意；长方形ABCD ，90ABD DBC ∴∠+∠=︒，若90ABD CDF ∠+∠=︒，,DBC CDF ∴∠=∠,Rt DFE Rt DFC ≌,EDF CDF ∴∠=∠ ,DE DC =30,DBC EDF CDF ∴∠=∠=∠=︒2,BD DC ∴=E ∴是BD 的中点，AF ∴是BD 的垂直平分线，,AB AD ∴=则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，故③不符合题意； ,AF BD ⊥若AD DF =，,AE EF ∴=BD ∴是AF 的垂直平分线，,BA BF ∴=90ABC ∠=°，45BAF BFA ∴∠=∠=︒，45ABE ADB ∴∠=∠=︒，,AB AD ∴=则四边形ABCD 为正方形，与已知互相矛盾，故④不符合题意；故选：.C【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定，角平分线的性质，垂直平分线的定义与判定，等腰三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．5．D解析：D【分析】证明△BCE ≌△CDF 可判断①；利用△BCE ≌△CDF 可得S △BCE =S △CDF ，从而可判断②；证明△BCG ∽△CEG 得CG GE BG CG=，可判断③；过D 作DM ⊥FG 于M ，证明MD=MG 即可判断④，从而可得结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形∴BC=CD ，∠BCE=∠CDF又CE=DF∴△BCE ≌△CDF∴BE CF =，故①正确；②∵△BCE ≌△CDF∴S △BCE =S △CDF ，∴S △BCE -S △CGE =S △CDF -S △CG ， ∴BCG DFGE S S ∆=四边形；③∵△BCE ≌△CDF∴∠CBE=∠FCD∵∠BCG+90GCE ∠=︒，∴∠90BCG CBG +∠=︒∴∠90BGC =︒又∵∠BGC=∠CGE=90°，∠GBC=∠GCE∴△BCG ∽△CEG∴CG GE BG CG=, ∴2CG BG GE =⋅，故③正确；④过D 作DM ⊥FG 于M ，如图所示，设DF=a ，则AD=2a∵CE=DF ∴BE == 利用面积法可得1122BC CE BE CG =∴CG =同理可得，DM =∴FM ==∴ ∴MD=MG∵∠DMG=90° ∴45FGD ∠=︒，故④正确∴正确的结论有4个，故选：D ．【点睛】此题主要考查了运用正方形的有关性质进行讲明和求解，熟练掌握正方形的性质是解答此题的关键．6．C解析：C【分析】先证明△ABE ≌△ADE ，得到∠ADE ＝∠ABE ＝90°﹣25°＝65°，在△ADE 中利用三角形内角和180°可求∠AED 度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，BA ＝DA ，∠BAE ＝∠DAE ＝45°．又AE ＝AE ，∴△ABE ≌△ADE （SAS ）．∴∠ADE ＝∠ABE ＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED ＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选C ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解决正方形中角的问题一般会涉及对角线平分对角成45°．7．A解析：A【分析】根据矩形的性质求出OCB ∠的度数，从而得到GAC ∠的度数，再根据垂直平分线的性质得到GCA GAC ∠=∠，最后求出BCG ∠的度数．【详解】解：∵OG AC ⊥，∴90COG ∠=︒，∵15BOG ∠=︒，∴901575COB COG BOG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，12OC OA AC ==，12OB OD BD ==，//AB DC ，90BCD ∠=︒， ∴OC OB =， ∴1801807552.522COB OCB OBC ︒-∠︒-︒∠=∠===︒， ∴37.5ACD BCD OCB ∠=∠-∠=︒， ∵//AB CD ，∴37.5GAC ACD ∠=∠=︒，∵OG AC ⊥，OA OC =，∴GO 是AC 的垂直平分线，∴AG CG =，∴37.5GCA GAC ∠=∠=︒，∴52.537.515BCG OCB GCA ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理，并结合题目条件进行证明．8．D解析：D【分析】先判定四边形AEBD 是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及菱形的性质，即可得出结论．【详解】解：四边形ABCD 是菱形，AD BC ∴=，//AD BC ，2BD DO =，又BC BE =，AD BE ∴=，∴四边形AEBD 是平行四边形，故③正确，AE BD ∴=，2AE DO ，故①正确；四边形AEBD 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，//AE BD ∴，AC BD ⊥，AE AC ∴⊥，即90CAE ∠=︒，故②正确；四边形AEBD 是平行四边形， 12ABE ABD ABCD S S S 菱形，四边形ABCD 是菱形，14ABO ABCDS S 菱形， 34ABE ABO AEBO ABCDS S S S 四边形菱形，故④正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的判定与性质，熟悉相关性质是解题的关键． 9．B解析：B【分析】求出4DF =，设BE x =，则5AE x =-，根据勾股定理列方程可得BE 的长．【详解】解：设BE x =，则5AE x =-，由折叠得：3CF BC ==，90B CFE ∠=∠=︒，90CFD ∴∠=︒，2222534DF CD CF ∴=--，四边形ABCD 是矩形，3AD BC ∴==，90A ∠=︒，Rt AED ∆中，222AE AD ED +=，222(5)3(4)x x ∴-+=+，1x ∴=，1BE ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质、折叠的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．10．A解析：A【分析】由折叠可得1EF BE ==，90CFE ABC ∠=∠=︒，且 45FAE ∠=︒，可得1AF =， 2AE =，即可求对角线BD 的长，则可求 CDF 的面积．【详解】如图连结BD 交AC 于点O ，∵ABCD 为正方形，∴90ABC ∠=︒，AB=BC ，AC BD ⊥， DO BO =，45BAC ∠=︒，∵BCE 沿CE 翻折， ∴1BE EF ==，BC CF =， 90EFC ∠=︒， ∵45BAC ∠=︒，90EFC ∠=︒， ∴45EAF AEF ∠=∠=︒， ∴1AF EF ==，∴2AE =∴21AB BC CF ===， ∴222BD AB == ∴222OD +=， ∴12CDF SCF DO =⨯⨯， ∴()(2122432321444CDF S ++===+．故选：A ．【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题．11．D解析：D【分析】根据勾股定理得出AB ，进而利用直角三角形的性质得出：BD=DC=AD=5，利用三角形面积公式解答即可．【详解】∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴226810AB =+=，∵D 是AB 的中点，∴BD=DC=AD=5，1116812222BDC BAC SS ==⨯⨯⨯=，连接DE ， ∵E 是BC 的中点， ∴162DEC BDC SS ==， ∵115622DEC S DC EF EF ==⨯⨯= ∴125EF = 故选：D ．【点睛】本题主要考查的是勾股定理，直角三角形斜边上的中线，关键是根据勾股定理解出AB ，进而利用直角三角形的性质解答．12．A解析：A【分析】根据矩形的性质求出OA=OB ，AC=BD ，求出AC 的长，求出OA 和OB 的长，推出等边三角形OAB ，求出AB=OA ，代入求出即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA=OC=12AC ，OD=OB=12BD ，AC=BD ， ∴OA=OB ，∵AC+BD=24，∴AC=BD=12cm ，∴OA=OB=6cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=6cm，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB和求出OA的长．二、填空题13．4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P在AB上Q在AD上时AO＝由圆的定义可以知O的轨迹为E解析：4π+8【分析】根据题意将问题分类讨论，三种情况依次讨论：一个是依据斜边上的中线+圆的定义得到弧的轨迹，一个可以用中垂线来理解【详解】解：（1）当P在AB上，Q在AD上时，AO＝142PQ=，由圆的定义可以知O的轨迹为EF这段14圆弧（2）同理当P在CD上，Q在AD上时，DO＝142PQ=，由圆的定义可以知O的轨迹为EG这段14圆弧（3）Q在AD上，P在BC上，可知PQ∥AB，O的运动轨迹为FG这条线段综上分析：O的运动路径长为：4π+8．故答案：4π+8【点睛】本题考查了轨迹以及正方形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．14．或【分析】AC作为直角边有两种情况需要分情况讨论画出图后进行计算【详解】解：情况一：延长AB 交CD 于E ∠BAC ＝45°∠CAD ＝90°所以AE 是等腰直角△ACD 的高线中线所以CE=DE 因为∠BAC ＝解析：5或13【分析】AC 作为直角边，有两种情况，需要分情况讨论，画出图后进行计算．【详解】解：情况一：延长AB 交CD 于E∠BAC ＝45°，∠CAD ＝90°所以AE 是等腰直角△ACD 的高线，中线所以，AE CD ⊥，CE=DE因为8AC ＝，AE CD ⊥，∠BAC ＝45°所以△ACE 也是等腰直角三角形，根据勾股定理，AE=CE=2所以BE=AE-AB=2-1=1又因为DE=CE=2，AE CD ⊥所以，BD=22145BE DE +=+=情况二：延长直线AB ，分别过C 、D 作垂线，交直线AB 于F 、E ．与情况一类似，可以证出CF=AF=2，BF=AF-AB=2-1=1所以，BE=EF-BF ；因为∠BAC ＝45°，CF AB ⊥所以，∠ACF ＝180°-∠BAC-∠F=45°因为△ACD 是等腰直角三角形，∠CAD ＝90°所以∠ACD ＝45°所以，∠FCD ＝∠ACD+∠ACF=45°+45°=90°又因为,DE AB CF AB ⊥⊥所以四边形DEFC 是矩形所以DE=CF=2，EF=DC ；因为在等腰直角△ACD 中，∠CAD ＝90°，AC所以，根据勾股定理，CD=4所以，BE=EF-BF=DC-BF=4-1=3因此，BD ===【点睛】这道题考察的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质．熟练掌握这些知识点，画出辅助线，是解题的关键．15．①②③④【分析】根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定定理即可判断①；根据三角形的中线等分三角形的面积即可判断②；先推出BF=AE 结合含30°角的直角三角形的性质即可判断③；解析：①②③④【分析】根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，结合等边三角形的判定定理，即可判断①；根据三角形的中线等分三角形的面积，即可判断②；先推出BF=AE ，结合含30°角的直角三角形的性质，即可判断③；根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可判断④．【详解】①在Rt ABC ∆中，D 是AC 中点，∴DB=DC=AD ，∵DB=AD ，∴30A DBA ∠=∠=︒，∴60CDB ∠=︒，∴CDB ∆为等边三角形，∵F 是DC 中点，∴BF 是CBD ∠角平分线，BF 是DC 的垂线，∴30DBF FBC ∠=∠=︒，∴60FBE FBG DBA ∠=∠+∠=︒，∴∠AFB=180°-60°-30°=90°，在Rt AFB ∆中，E 是AB 中点，∴EF=AE=BE ，又∵60FBE ∠=︒∴FBE ∆为等边三角形，故①正确；②E 是AB 中点 ∴12DEB ABD S S ∆∆=F 是DC 中点 ∴12DFB BDC S S ∆∆= ∴()1122DEB DFB ABD BDC ABC DFBF S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四边形，故②正确； ∵30A ∠=︒，90DEA ∠=︒， ∴12BF AB AE ==，又∵30DBF ∠=︒，90BFA ∠=︒， ∴BF =，即AE =，故③正确；④∵90DEA ∠=︒，60FEB =︒∠，∴30DEG ∠=︒，又60∠=︒EDB ，∴2DG=DE ，在Rt DEA ∆中，30A ∠=︒，2DE=ADAC=2AD=4DE=8DG ，故④正确．故答案是：①②③④．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，是解题的关键.16．5【分析】先根据菱形的性质得到AC ⊥BDOB ＝OD ＝BD ＝4OC ＝OA ＝AC ＝3再利用勾股定理计算出BC 然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH 的长【详解】∵四边形ABCD 为菱形AC ＝6BD ＝8∴解析：5【分析】先根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，OB ＝OD ＝12BD ＝4，OC ＝OA ＝12AC ＝3，再利用勾股定理计算出BC ，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH 的长．【详解】∵四边形ABCD 为菱形，AC ＝6，BD ＝8，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ＝12BD ＝4，OC ＝OA ＝12AC ＝3，在Rt △BOC 中，BC 5，∵H 为BC 中点，∴OH ＝12BC ＝2.5．故答案为：2.5．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，菱形的对角线互相垂直且平分；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键．17．18【详解】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BCDC=BC再根据直角三角形的性质可得DE=EC=AC=65然后可得答案【解答】解：∵AB=ACAD平分∠BAC∴AD⊥BCDC=BC∵BC=10解析：18【详解】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，DC=12BC，再根据直角三角形的性质可得DE=EC=12AC=6.5，然后可得答案．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，DC=12BC，∵BC=10，∴DC=5，∵点E为AC的中点，∴DE=EC=12AC=6.5，∴△CDE的周长为：DC+EC+DE=13+5=18，故答案为：18．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．18．1+【分析】延长DQ交EF于M延长DP交EF于N先证∆ABE≌∆CBF∆FPN≌∆FPD∆EQD≌∆EQM设CD=x则DF=x-1EF=BF=列方程求解即可【详解】解：延长DQ交EF于M延长DP交E解析：【分析】延长DQ交EF于M，延长DP交EF于N，先证∆ABE≌∆CBF，∆FPN≌∆FPD，∆EQD≌∆EQM，设CD=x，则DF=x-1，【详解】解：延长DQ交EF于M，延长DP交EF于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BAD=∠BCF=90°，BD平分∠ADC，∵BE ⊥BF ，∴∠EBF=90°，∴∠EBF=∠ABC ，∴∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF ，∴∠ABE=∠CBF ，在∆ABE 和∆CBF 中，BAE BCF AB CBABE CBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆ABE ≌∆CBF ，∴AE=CF ，BE=BF ，∵EQ 平分∠DEF ，OD 平分∠EDF ，EQ 与OD 交于H ，∴FH 平分∠EFD ，∴EP ⊥DP ，∴∠FPN=∠FPD ，在∆FPN 和∆FPD 中，NFP DFP PF PFFPN FPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆FPN ≌∆FPD ，∴PN=PD ，NF=DF ，∵EQ 平分∠DEF ，∴∠DEQ=∠MEQ ，∵EQ ⊥DQ ，∴∠EQD=∠EQM=90°，在∆EQD 和∆EQM 中，DEQ EQ EQ MQEQD EQM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴∆EQD ≌∆EQM ，∴DQ=MQ ，EM=ED ，∴PQ 是∆DMN 的中位线，∴PQ=12MN=1， ∴MN=2，∴EF+MN=EM+FN=DE+DF=AD+AE+CD-CF=2CD ，设CD=x ，则DF=x-1，∴∴22(1)x ++2=2x ，∴2x²+2=4x²-8x+4，∴2x²-8x+2=0，∴x²-4x+1=0，∴(x-2) ²=3，∴1232,32x x =+=-+(舍)，∵CD=2+3，∴DF=1+3，故答案为：1+3【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形的中位线定理，解题的关键是熟练掌握有关性质及正确添加辅助线．19．5【分析】过C 点作直线EF 与平行线垂直与l 交于点E 与l 交于点F 易证△CDE ≌△CBF 得CF=1BF=2根据勾股定理可求BC 得正方形的面积【详解】解：过C 点作EF ⊥l 交l 于E 点交l 于F 点∵l ∥l ∥l ∥解析：5【分析】过C 点作直线EF 与平行线垂直，与l 1交于点E ，与l 4交于点F ．易证△CDE ≌△CBF ，得CF =1，BF =2．根据勾股定理可求BC 2得正方形的面积．【详解】解：过C 点作EF ⊥l 1，交l 1于E 点，交l 4于F 点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED=∠BFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD=90°．∴∠DCE+∠BCF=90°．又∵∠DCE+∠CDE=90°，∴∠CDE=∠BCF．在△CDE和△BCF中，90CED BFCCDE BCFBC CD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF=CE=2．∵CF=1，∴BC2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．20．20【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形EFGH是平行四边形再证明EF⊥EH证得四边形EFGH是矩形即可根据矩形的面积公式计算得出答案【详解】∵点EF分别是边ABBC的中点∴EF∥ACEF=AC解析：20【分析】根据三角形的中位线定理，证明四边形EFGH是平行四边形，再证明EF⊥EH，证得四边形EFGH是矩形，即可根据矩形的面积公式计算得出答案．【详解】∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF∥AC，EF=12AC=4，同理，HG ∥AC ，HG=12AC=4，EH ∥BD ，EH=12BD=5， ∴EF=HG ，EF ∥HG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，∴EF ⊥BD ，∵EH ∥BD ，∴EF ⊥EH ，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH 是矩形，∴四边形EFGH 的面积=4520EF EH ⋅=⨯=,故答案为：20．【点睛】此题考查三角形的中位线性质定理，矩形的判定定理，能证得四边形是矩形是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）△ABC ， △ADE ，△ADF ，△AFE【分析】（1）根据90BAC DAE ∠=∠=︒得到BAD CAE ∠=∠再根据已知条件求证ABD ACE ABD ACE ∠=∠≌，再根据题意得∠ABD=∠ACE=45°，进而得到△DCE 为直角三角形，再由点F 是DE 的中点得到CF=AF ；（2）根据等腰直角三角形的性质和定义结合第一问即可得到结果．【详解】（1）证明：∵90BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC CAD DAE CAD ∠-∠=∠-∠即BAD CAE ∠=∠∵AB AC =，AD AE =∴ABD ACE △≌△，∴ABD ACE ∠=∠∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠∵90BAC ∠=︒∴90ABC ACB ∠+∠=︒，∴45ABC ACB ∠=∠=︒∴45ABD ACE ∠=∠=︒∴90DCE ACB ACE ∠︒=∠+∠=∵点F 是DE 的中点，90DAE DCE ∠=∠=︒ ∴12AF DE =，12CF DE = ∴CF AF =（2）图中所有的等腰直角三角形是：ABC ，ADE ，ADF ，AFE △；【点睛】此题属于三角形旋转类综合性问题，涉及知识点为三角形全等，直角三角形斜边上的中线为斜边的一半．22．（1）90°；（2）50°；（3）1802α︒-【分析】（1）由折叠的性质知ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，即可得到1902CBD ABE ∠=∠=︒；（2）由115CBD ∠=︒计算出18011565ABC EBD ∠+∠=︒-︒=︒，根据ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，即可求出答案；（3）由CBD α∠=求出180ABC EBD α∠+∠=︒-，根据ABC A BC ∠=∠'，EBD E BD '∠=∠计算得出180(2302)6ABA EBE αα''∠+∠=︒-⨯=︒-，再计算36021801802A BE αα''∠=︒--︒=︒-得出答案．【详解】（1）由折叠的性质知ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，∴12A BC ABA '∠'=∠，12E BD E BE '∠'=∠， ∴1902CBD ABE ∠=∠=︒．（2）∵115CBD ∠=︒∴18011565ABC EBD ∠+∠=︒-︒=︒，∵ABC A BC ∠∠'=，EBD E BD '∠=∠，∴652130ABA EBE ''∠+∠=︒⨯=︒，∴18013050A BE ''∠=︒-︒=︒．（3）∵CBD α∠=∴180ABC EBD α∠+∠=︒-∵ABC A BC ∠=∠'，EBD E BD '∠=∠∴180(2302)6ABA EBE αα''∠+∠=︒-⨯=︒-∴36021801802A BE αα''∠=︒--︒=︒-．【点睛】此题考查折叠的性质：折叠前后的对应角相等，角度的和差计算，掌握图形中各角度之间的位置及和差关系是解题的关键．23．见详解【分析】先证明四边形AECF 是平行四边形，再结合AC EF ⊥，即可得到结论成立．【详解】证明：在平行四边形ABCD 中，有AD ∥BC ，AD=BC ，∵DE BF =，∴AD DE BC BF -=-，∴AE CF =，∵AD ∥BC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC EF ⊥，∴四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．24．小鸟至少飞行13米．【分析】先画出图形，再根据矩形的判定与性质、勾股定理可求出AC 的长，然后根据两点之间线段最短可得最短飞行距离等于AC 的长，由此即可得．【详解】画出图形如下所示：由题意得：,,4AB BD CD BD AB ⊥⊥=米，9CD =米，12BD =米，过点A 作AE CD ⊥于点E ，则四边形ABDE 是矩形，12AE BD ∴==米，4DE AB ==米，5CE CD DE ∴=-=米，在Rt ACE △中，222212513AC AE CE +=+=（米），由两点之间线段最短得：小鸟飞行的最短距离等于AC 的长，即为13米，答：小鸟至少飞行13米．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识点，依据题意，正确画出图形是解题关键．25．8s 或283s 【分析】设运动时间为t 秒，则有AP ＝t ，CQ ＝2t ，分PQ//CD 和PQ 与CD 不平行两种情况进行讨论，再根据平行四边形或梯形的性质建立方程即可求解．【详解】解：（1）当PQ//CD 时，∵AD//BC ，∴四边形PDCQ 是平行四边形，∴PD ＝CQ ，而AP ＝t ，CQ ＝2t ，PD ＝AD －AP ＝24－t ，即：2t ＝24－t解得： t ＝8．（2）当PQ 与CD 不平行时，而AD//BC ，PQ ＝CD ，∴四边形PDCQ 是等腰梯形，作PM ⊥BC 于M ，DN ⊥BC 于N ，则四边形ABND 、PMND 均是矩形，∴AD ＝BN ＝24，CN ＝BC －BN ＝2，QM ＝CN ＝2，PD ＝MN ，而CQ ＝QM ＋MN ＋NC ，∴ 2t ＝24－t ＋2＋2，解得： t ＝283．【点睛】此题考查了平行四边形的性质及等腰梯形的判定与性质，属于动点型问题，关键是分类讨论点P 及点Q 位置，然后利用方程思想求解t 的值．26．902AFD BE ∠=︒=，【分析】根据勾股定理的逆定理即可得证；说明点D 、E 、F 三点共线，再根据勾股定理即可求解．【详解】根据折叠可知：AB=AF=4，∵AD=5，DF=3，32+42=52，即FD 2+AF 2=AD 2，根据勾股定理的逆定理，得△ADF 是直角三角形，∴∠AFD=90°，设BE=x ，则EF=x ，∵根据折叠可知：∠AFE=∠B=90°，∵∠AFD=90°，∴∠DFE=180°，∴D 、F 、E 三点在同一条直线上，∴DE=3+x ，CE=5-x ，DC=AB=4，在Rt △DCE 中，根据勾股定理，得DE 2=DC 2+EC 2，即(3+x)2=42+(5-x)2，解得x=2．答：BE 的长为2．【点睛】本题考查了折叠问题、勾股定理及其逆定理、矩形的性质，解决本题的关键是勾股定理及其逆定理的运用．。

北师大版数学九年级上册特殊四边形单元测试题(含答案)

第一章单元测试卷(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1. 下列说法中，正确的是( C )A ．相等的角一定是对顶角B ．四个角都相等的四边形一定是正方形C ．平行四边形的对角线互相平分D ．矩形的对角线一定垂直2. 下列命题中，真命题是(D)A ．两条对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形3. 菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为(C)A ． C ．1 D.3124. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成(C)A ．22.5°角B ．30°角C ．45°角D ．60°角 ,第5题图) ,第6题图) ,第7题图)5. 如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( C )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°6. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别是6 cm ，8 cm ，AE⊥BC 于点E ，则AE 的长是(B)A. cmB. cmC. cm D ． cm48524512537. 如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上的点(与B ，C 两点不重合)，过点D 作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，下列说法正确的是(D)A ．若AD⊥BC，则四边形AEDF 是矩形B ．若BD ＝CD ，则四边形AEDF 是菱形C ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形8. 如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( D )B. C ．1 D.513656,第8题图)　,第9题图) ,第10题图)9. 如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是(D)A. B. C ．1－ D.－1123333210. 如图，点E 为边长为2的正方形ABCD 的对角线上一点，BE ＝BC ，点P 为CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点Q ，PR⊥BE 于R ，则PQ ＋PR 的值为(D)A. B. C. D.2212322二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)11. 已知菱形的周长是20 cm ，一条对角线长为8 cm ，则菱形的另一条对角线长为6cm.12. 矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件AB ＝BC(答案不唯一)，使其成为正方形．(只填一个即可)13. 如图，点E 为正方形ABCD 外一点，AE ＝AD ，∠ADE＝75°，则∠AEB＝30°.,第13题图) ,第15题图)　,第16题图)14. 直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm 和6 cm ，则它的面积是30cm 2.15. 如图，矩形ABCD 的对角线BD 的中点为O ，过点O 作OE⊥BC 于点E ，连接OA ，已知AB ＝5，BC ＝12，则四边形ABEO 的周长为20.16. 矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，则点E 的坐标为__(3，)__．43三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)17. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，∠ADE ＝∠CDF.(1)求证：AE ＝CF ；(2)连接DB 交EF 于点O ，延长OB 至G ，使OG ＝OD ，连接EG ，FG ，判断四边形DEGF 是否是菱形，并说明理由．证明：(1)在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，在△ADE 和△CDF 中，∴△ADE ≌△CDF(ASA)，∴AE ＝CF (2)四边形{∠ADE ＝∠CDF ，AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝90°，)DEGF 是菱形．理由如下：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∵AE ＝CF ，∴AB －AE ＝BC －CF ，即BE ＝BF ，∵△ADE ≌△CDF，∴DE ＝DF ，∴BD 垂直平分EF ，∴EO ＝FO.又∵OG ＝OD ，DE ＝DF ，∴四边形DEGF 是菱形18. 如图，已知菱形ABCD 两条对角线BD 与AC 的长度之比为3∶4，周长为40cm ，求菱形的高及面积．解：∵BD ∶AC ＝3∶4，∴设BD ＝3x ，AC ＝4x ，∴BO ＝，AO ＝2x ，又3x2∵AB2＝BO2＋AO2，∴AB ＝x ，∵菱形的周长是40 cm ，∴AB ＝40÷4＝10(cm)，52即x ＝10，∴x ＝4，∴BD ＝12 cm ，AC ＝16 cm ，∴S 菱形52ABCD ＝BD ·AC ＝×12×16＝96(cm2)，又∵S 菱形ABCD ＝AB ·h ，∴h ＝＝9.6(cm)，菱形的12129610高是9.6 cm ，面积是96 cm219. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点，EF⊥CE，交AB 于点F ，若DE ＝2，矩形的周长为16，且CE ＝EF ，求AE 的长．解：∵EF⊥EC，∴∠1＋∠3＝90°.∵在矩形ABCD 中，∠A＝∠D＝90°，∴∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠2.又∵EF＝EC ，∴△EFA≌△CED(AAS)，∴AE＝CD.设AE ＝x ，则DC ＝x.由矩形的周长为16得2x ＋2＝8，∴x＝3，即AE 的长为3四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)20. 如图，已知平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD 是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD 为正方形．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA＝OC ，OB ＝OD ，∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC ，∴AC＝BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形(2)AB ＝AD(或AC⊥BD 答案不唯一)．理由：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AB＝AD ，∴四边形ABCD 是正方形(或：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD 是正方形)21. 如图，已知BA ＝AE ＝DC ，AD ＝EC ，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；(2)只需添加一个条件，即AD ＝BC(答案不唯一)，可使四边形ABCD 为矩形，请加以证明．解：(1)在△DCA 和△EAC 中，∴△DCA≌△EAC(SSS)　(2)添加{DC ＝EA ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，)AD ＝BC ，可使四边形ABCD 为矩形．理由：∵AB＝DC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，由(1)知△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，∴四边形ABCD 为矩形22. 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 的延长线上，且AF ＝CE ＝AE.(1)求证：四边形ACEF 是平行四边形；(2)当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．解：(1)由题意知∠FDC＝∠DCA＝90°，∴EF∥CA，∴∠AEF＝∠EAC.∵AF＝CE ＝AE ，∴∠F＝∠AEF＝∠EAC＝∠ECA.又∵AE＝EA ，∴△AEC≌△EAF，∴EF＝CA ，∴四边形ACEF 是平行四边形　(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF 是菱形．理由：∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝AB.∵DE 垂直平分12BC ，∴BE＝CE.∵AE＝CE ，∴AE＝BE ＝CE ＝AB ，∴AC＝CE ，由(1)得四边形ACEF 是平行四边形，∴12四边形ACEF 是菱形五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23. 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C′处，折痕为EF.(1)求证：BE ＝BF ；(2)若∠ABE＝20°，求∠BFE 的度数；(3)若AB ＝6，AD ＝8，求AE 的长．解：(1)由题意得∠BEF＝∠DEF.∵四边形ABCD 为矩形，∴DE∥BF，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF (2)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABF＝90°；而∠ABE＝20°，∴∠EBF＝90°－20°＝70°；又∵∠BEF＝∠BFE，∴∠BFE 的度数为55°　(3)由题意知BE ＝DE ；设AE ＝x ，则BE ＝DE ＝8－x ，由勾股定理得(8－x)2＝62＋x 2，解得x ＝，即AE 的长为747424. 如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AC ＝60 cm ，∠A＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s(0＜t≤15)．过点D 作DF⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.(1)求证：AE ＝DF ；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．解：(1)∵∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC ＝4t ，∴DF＝2t ，又∵AE＝2t ，∴AE＝DF (2)能，理由：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形，当AE ＝AD 时，四边形AEFD 为菱形，即60－4t ＝2t ，解得t ＝10，∴当t ＝10秒时，四边形AEFD 为菱形　(3)①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD 为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE ＝t ，又12AD ＝60－4t ，即60－4t ＝t ，解得t ＝12；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD 为矩形，在Rt△AED 中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE ，即60－4t ＝4t ，解得t ＝；③若∠EFD＝90°，则E 与152B 重合，D 与A 重合，此种情况不存在．综上所述，当t ＝ s 或12 s 时，△DEF 为直角三角形15225. 已知正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上的点，连接AE ，BF 相交于点H ，且AE⊥BF.(1)如图1，连接AC 交BF 于点G ，求证：∠AGF＝∠AEB＋45°；(2)如图2，延长BF 到点M ，连接MC ，若∠BMC＝45°，求证：AH ＋BH ＝BM ；(3)如图3，在(2)的条件下，若点H 为BM 的三等分点，连接BD ，DM ，若HE ＝1，求△BDM 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∵AE⊥BF，∴∠AEB＋∠FBC＝90°，∵∠FBC＋∠BFC＝90°∴∠AEB＝∠BFC，∵∠AGF＝∠BFC＋∠ACF，∴∠AGF＝∠AEB＋45°　(2)过C 作CK⊥BM 于K ，∴∠BKC＝∠AHB＝90°，∵∠BMC＝45°，∴CK＝MK ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC ，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABH＝∠BCK，∴△ABH≌△BCK(AAS)，∴BH＝CK ＝MK ，AH ＝BK ，∴BM＝BK ＋MK ＝AH ＋BH (3)由(2)得，BH ＝CK ＝MK ，∵H 为BM 的三等分点，∴BH＝HK ＝KM ，过E 作EN⊥CK 于N ，∴四边形HENK 是矩形，∴HK＝EN ＝BH ，∠BHE＝∠ENC，∴△BHE≌△ENC(ASA)，∴HE＝CN ＝NK ＝1，∴CK＝BH ＝2，∴BM＝6，连接CH ，∵HK＝MK ，CK⊥MH，∠BMC＝45°，∴CH＝CM ，∠MCH＝90°，∴∠BCH＝∠DCM，∴△BHC≌△DMC(SAS)，∴BH＝DM ＝2，∠BHC＝∠DMC＝135°，∴∠DMB＝90°，∴△BDM 的面积为DM·BM ＝612。

(必考题)初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》测试(答案解析)

一、选择题1．如图，矩形ABCD 被两条对角线分成4个小三角形OAB ∆、OAD ∆、OBC ∆和OCD ∆，若这4个小三角形的周长之和为68，对角线10AC =，则矩形ABCD 的周长是（）A ．14B ．18C ．21D ．282．在一个四边形ABCD 中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC 与BD 需要满足的条件是（）A ．垂直B ．相等C ．垂直且相等D ．不再需要条件 3．下列命题是假命题的是（）A ．有一组邻边相等的矩形是正方形B ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C ．对角线相等的平行四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形 4．如图，四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，60C ∠=°，2CD AD =，4AB =，点P 是AB 上一动点，则PC PD +的最小值是（）A ．4B ．6C ．8D ．105．如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处．若6AB =，10AD =，则EC 的长为（）A ．2B ．83C ．3D ．1036．给出下列命题，其中错误命题的个数是（）①四条边相等的四边形是正方形；②四边形具有不稳定性；③有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④一组对边平行的四边形是平行四边形．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（）A ．12B ．16C ．20D ．248．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，DC '与AB 交于点E ，连结BC '，若2BD BC ='=，3AD =，则点D 到AC '的距离为（）A ．332B ．3217C ．7D ．139．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB 、点F 是AD 的中点，作CE ⊥AB 垂足E 在线段AB 上，连接 EF 、CF ，则下列结论：①2BCD DCF ∠=∠；②EF ＝CF ； ③S △BCE ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②AD=2AE ；③ACD OGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ：⑥若1OGF S ∆=，则正方形ABCD 的面积是642+，其中正确的结论个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．如图，AB AF ⊥，EF AF ⊥，BE 与AF 交于点C ，点D 是BC 的中点，2AEB B ∠=∠．若8BC =，7EF =，则AF 的长是（）A 6B 7C ．3D ．5 12．□ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD 是菱形，那么这个条件可以是（）A ．AB=CDB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD二、填空题13．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若118ABC ∠=︒，则BAC ∠=_______．14．D 为等腰Rt △ABC 斜边BC 上一点（不与B 、C 重合），DE ⊥BC 于点D ，交直线BA 于点E ，作∠EDF ＝45°，DF 交AC 于F ，连接EF ，BD ＝nDC ，当n ＝__________时，△DEF 为等腰直角三角形．15．如图，△ABC 中，13AB AC ==，10BC =，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长是________．16．如图，在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．延长DE 到点F ，使DE EF =，得四边形ADCF ．当ACB =∠________︒时，四边形ADCF 是长方形．17．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，AD ，CE 都是ABC 的中线，点M 是CE 的中点，若1CM =，则CD =______．18．如图，四边形ABCD 中，30,120B D ∠=︒∠=︒，且,6AB AC AD CD ⊥+=，则四边形ABCD 周长的最小值是_______________________．19．如图所示，长方形ABCD由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH构成．若长方形ABCD的面积为6，则三角形ABE的面积为 ______，正方形EFGH的面积为______．20．如图将一张长方形纸片沿EF折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置，如果∠2=70°，则∠1的度数是___________．三、解答题21．如图，长方形ABCD中，AD＝a cm，AB＝b cm，且a、b满足|8－a|＋(b－4)2＝0．（1）长方形ABCD的面积为；（2）动点P在AD所在直线上，从A出发向左运动，速度为2cm/s，动点Q在DC所在直线上，从D出发向上运动，速度为4cm/s．动点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．①当点P在线段AD上运动时，求以D、P、B、Q为顶点的四边形面积；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，S△BAP＝S△CQB．22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，连接AD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接CD，若∠CDA＝30°，AC＝2，求CE的长．23．如图，在ABC 中，,,,AC BC D E F =分别是,,AB AC BC 的中点，连接,DE DF ．求证：四边形DFCE 是菱形．24．长方形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，10OA =，6OC =．（1）如图，在AB 上取一点M ，使得CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′点，求B ′点的坐标．（2）求折痕CM 所在直线的解析式．（3）在x 轴上是否能找到一点P ，使B CP '△的面积为13？若存在，直接写出点P 的坐标？若不存在，请说明理由．25．如图，长方形ABCD 沿着直线DE 和EF 折叠，使得AB 的对应点A′，B′和点E 在同一条直线上．（1）写出∠AEF 的补角和∠ADE 的余角；（2）求∠DEF ．26．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA=10，OC=8，在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．（1）求点E 的坐标；（2）求点D 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】四个小三角形的周长是两条对角线长的2倍与矩形周长的和，由此可求矩形周长．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，四个小三角形的周长=2AC+2BD+AD+DC+BC+BA，即40+矩形周长=68，所以矩形周长为28．故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质和矩形的周长，抓住矩形的对角线相等和四个小三角形的周长=4倍的对角线长+矩形的周长是解决本题的关键．2．A解析：A【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC 平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【详解】解：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，又∵点E、F、分别是AD、AB边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故选：A．【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．3．B解析：B【分析】根据特殊平行四边形的判定与性质可以对各选项的正误作出判断．【详解】由平行四边形的性质及特殊平行四边形的判定可以得到：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，故A正确；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误；（3）对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确；（4）有三个角是直角的四边形是矩形，故D正确．故选B．【点睛】本题考查特殊平行四边形的应用，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．4．C解析：C【分析】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD 最小；再作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD，先根据等边对等角得出∠DCD'=∠DD'C，然后根据平行线的性质得出∠D'CE=∠DD'C，从而求得∠D'CE=∠DCD'，得出∠D'CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D'C=2D'E=2AB，即可求得PC+PD的最小值．【详解】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD．∵CD=2AD，∴DD'=CD，∴∠DCD'=∠DD'C．∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABED'是矩形，∴DD'∥EC，D'E=AB=4，∴∠D'CE=∠DD'C，∴∠D'CE=∠DCD'．∵∠DCB=60°，∴∠D'CE=30°，∴在Rt△D'CE中，D'C=2D'E=2×4=8，∴PC+PD的最小值为8．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键．5．B解析：B【分析】由翻折可知：AD=AF=10．DE=EF，设EC=x，则DE=EF=6-x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10，AB=CD=6，∴∠B=∠BCD=90°，由翻折可知：AD=AF=10，DE=EF，设EC=x，则DE=EF=6-x．在Rt△ABF中，2222=-=-=，BF AF AB1068∴CF=BC-BF=10-8=2，在Rt△EFC中，EF2=CE2+CF2，∴（6-x）2=x2+22，∴x=8，3∴EC=8．3故选：B．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．6．C解析：C【分析】利用正方形的判定、直角三角形全等的判定、平行四边形的判定定理对每个选项依次判定解答．【详解】①四条边相等的四边形是菱形，故①错误；②四边形具有不稳定性，故②正确；③两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，两个锐角对应相等，因此构成了AAA ，不能判定全等，故③错误；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故④错误；综上，错误的命题有①③④共3个．故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定、平行四边形的判定及直角三角形全等的判定．7．B解析：B【分析】延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，构造出全等三角形，()ABE ADF AAS ≅，即可得到四边形ABCD 的面积就等于正方形AECF 的面积．【详解】解：如图，延长CD ，作AF CD ⊥的延长线于点F ，∵AE BC ⊥，∴90AEC AEB ∠=∠=︒，∵AF CD ⊥，∴90AFC ∠=︒，∵90C ∠=︒，∴四边形AECF 是矩形，∴90EAF ∠=︒，∵BAD EAF ∠=∠，∴BAD EAD EAF EAD ∠-∠=∠-∠，即BAE DAF ∠=∠，在ABE △和ADF 中，BAE DAF AEB AFD AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABE ADF AAS ≅，∴AE AF =，∴四边形AECF 是正方形，∵ABE ADF S S ，∴216ABCD AECF S S AE ===．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．8．B解析：B【分析】过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，则四边形ADFG 是矩形，计算AC '的长，后利用三角形ADC 'M 面积的不同计算方法计算即可.【详解】如图，过点D 作DF ⊥BC'，垂足为F ，过点A 作AG ⊥BC'，交BC'的延长线于G ，∵把ACD △沿AD 翻折，得到ADC '，∴DC=DC '，∠ADC=∠A DC '，∵D 是BC 边上的中点，∴DC=BD ，∵2BD BC ='=，∴DC '=2BD BC ='=，∴BDC '是等边三角形，∴∠ADC=∠A DC '=∠B DC '=∠DC 'B=60°，∵DF ⊥BC'，AG ⊥BC'，∴四边形ADFG 是矩形，∴BF=FC'=1，FG=AD=3，=，∴GC '=2，∴AC '=，设点D 到AC '的距离为h ， ∴1122AC h AD DF '=，∴11322h =⨯，∴h=7，故选B.【点睛】本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.9．C解析：C【分析】由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，证明AF=FD=CD ，继而证得①2BCD DCF ∠=∠；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），可得EF MF =，再证明90ECM ∠=︒，从而可判断②；由,CBE CEF S S =可得：13CBE ABCD S S =，可得：2,3BE AB =与已知不符，从而可判断③；设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，再分别表示∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-从而可判断④．【详解】解：①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠BCD 2DCF =∠，故①正确；②延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，A FDM AF DFAFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴EF=CF ，故②正确；③∵EF=FM ，EFC CFM S S ∴=，若,CBE CEF SS = 则13CBE ABCD S S = 11,23BE EC AB EC ∴= 32,BE AB ∴=2,3BE AB ∴= 与已知条件不符，故CBE CEFS S =不一定成立，故③错误； ④设∠FEC=x ，,EF CF =∴∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90x ︒-，∠EFC=1802x ︒-，∴∠EFD=9018022703x x x ︒-+︒-=︒-，∵∠AEF=90,M FCM x ∠=∠=︒-∴∠DFE=3∠AEF ，故④正确．故选：C ．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题关键．10．B解析：B【分析】由题意易得AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，△ADE ≌△FDE ，则有BE =，进而可得四边形AEFG 是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，∵折叠正方形ABCD ，∴△ADE ≌△FDE ，∴∠ADE=∠FDE=22.5°，AD=DF ，AE=FE ，∠EFD=∠DAE=90°，故①正确；∴△EFB 是等腰直角三角形， ∴BE =， ∴AD AB AE ==+，故②错误；由图可直接判定③错误；∵∠EFB=∠AOB=90°，∴OA ∥EF ，由折叠的性质可得：∠GFO=∠DAO=45°，∴∠GFO=∠ABO=45°，∴GF ∥AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∵AE=AF ，∴四边形AEFG 是菱形，故④正确；∵∠GFO=45°，∠AOB=90°，∴△GOF 是等腰直角三角形， ∴EF GF ==，∴2BE OG =，故⑤正确； ∵2112OGF S OG ∆==， ∴OG =∴2BE EF AE ===， ∴2AB =， ∴()22212ABCD S AB ===+正方形⑥错误；∴正确的有三个；故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据直角三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】∵AB ⊥AF ，∴∠FAB=90°，∵点D 是BC 的中点，∴AD=BD=12BC=4， ∴∠DAB=∠B ， ∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠B ，∵∠AEB=2∠B ，∴∠AED=∠ADE ，∴AE=AD ，∴AE=AD=4，∵，EF ⊥AF ，∴==3，故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据菱形的定义和判定定理逐项作出判断即可．【详解】解：A. AB=CD ，无法判断四边形ABCD 是菱形，不合题意；B. AC=BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断□ABCD 是矩形，不合题意；C. AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断□ABCD 是菱形，符合题意；D. AB ⊥BD ，可以得到∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形叫矩形可以判断□ABCD 是矩形，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定，熟知菱形的定义和判定定理是解题的关键．二、填空题13．【分析】根据折叠的性质可以判断出三角形ABC 是等腰三角形继而根据三角形内角和为180°求解即可；【详解】将翻折后的图形如图所示：∵四边形ADCF 是矩形三角形ACE 是由三角形ACF 翻折得到的∴∠D=∠解析：31︒【分析】根据折叠的性质可以判断出三角形ABC 是等腰三角形，继而根据三角形内角和为180°求解即可；【详解】将翻折后的图形如图所示：∵ 四边形ADCF 是矩形，三角形ACE 是由三角形ACF 翻折得到的，∴ ∠D=∠E=90°，AD=CE在△ABD 和△BCE 中：AD CE D EABD CBE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠=∠∠∠ ∴△ABD ≌△BCE （AAS ）∴AB=BC∵∠ABC=118°，∴∠BAC=∠BCA=()11180118=62=3122︒-︒⨯︒︒ ，故答案为：31°．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，以及等腰三角形的性质，正确理解知识点是解题的关键；14．或1【分析】分两种情况①当∠DEF＝90°时由题意得出EF∥BC作FG⊥BC 于G证出△CFG△BDE是等腰直角三角形四边形EFGD是正方形得出BD=DE=EF=DG=FG=CG继而可得结果；②当∠E解析：12或1【分析】分两种情况①当∠DEF＝90°时，由题意得出EF∥BC，作FG⊥BC于G，证出△CFG、△BDE 是等腰直角三角形，四边形EFGD是正方形，得出BD=DE=EF=DG=FG=CG，继而可得结果；②当∠EFD＝90°时，求出∠DEF＝45°，得出E与A重合，D是BC的中点，BD=CD，即可得出结果.【详解】解：分两种情况：①当∠DEF＝90°时，如图1所示：∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°＝∠DEF，∴EF∥BC，作FG⊥BC于G，∵△ABC是等腰直角三角形，∴△CFG、△BDE是等腰直角三角形，四边形EFGD是正方形，∴BD=DE=EF=DG=FG=CG，∴BD=12CD,∴n=12；②当∠EFD＝90°时，如图2所示：∵∠EDF＝45°，∴∠DEF＝45°，此时E与A重合，D是BC的中点，∴BD=CD，∴n=1.综上所述：n=12或1,故答案为：12或1【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、正方形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键.15．18【详解】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BCDC=BC再根据直角三角形的性质可得DE=EC=AC=65然后可得答案【解答】解：∵AB=ACAD平分∠BAC∴AD⊥BCDC=BC∵BC=10解析：18【详解】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，DC=12BC，再根据直角三角形的性质可得DE=EC=12AC=6.5，然后可得答案．【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，DC=12BC，∵BC=10，∴DC=5，∵点E为AC的中点，∴DE=EC=1AC=6.5，2∴△CDE的周长为：DC+EC+DE=13+5=18，故答案为：18．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．16．60【分析】由E是AC中点且DE=EF据对角线互相平分的四边形是平行四边形知四边形ADCF是平行四边形因此只需DF和AC相等据对角线相等的平行四边形是矩形就得四边形ADCF是矩形所以只需∠ACB的大解析：60【分析】由E是AC中点且DE=EF，据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”知四边形ADCF是平行四边形．因此只需DF和AC相等据“对角线相等的平行四边形是矩形”就得四边形ADCF 是矩形，所以只需∠ACB的大小能使DF=AC就行了．【详解】当∠ACB=60°时，四边形ADCF是矩形．理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°∴△ABC为正三角形∴AC=BC∵D、E是AB、AC的中点∴DE=1BC（三角形中位线定理）2又∵DE=EF∴DF=BC=AC①∵E是AC中点且DE=EF∴四边形ADCF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）又由①知DF=AC∴四边形ADCF是矩形即长方形．（对角线相等的平行四边形是矩形）故答案为：60．【点睛】本题综合考查平行四边形、矩形的判定，也运用了三角形中位线定理．其中关键是结合图形和题目所给条件选择合适判定方法．17．1【分析】证明△BCE是等边三角形求出BE=CE=BC=2由D是BC的中点可得结论【详解】解：在中∵是的中线∴∵∴是等边三角形∴∵点是的中点且∴∵是边上的中线∴故答案为：1【点睛】此题主要考查了等边解析：1【分析】证明△BCE是等边三角形，求出BE=CE=BC=2，由D是BC的中点可得结论．【详解】解：在ABC 中，90C ∠=︒，∵CE 是ABC 的中线， ∴12==CE BE AB ∵60B ∠=︒， ∴BCE ∆是等边三角形∴BC CE =∵点M 是CE 的中点，且1CM =，∴22CE CM BC ===∵AD 是BC 边上的中线， ∴112122CD BC ==⨯= 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和三角形中线的性质，证明BCE ∆是等边三角形是解答此题的关键．18．【分析】延长AD 至点E 使得连接CE 过点C 作证明△CDE 为等边三角形分别求出四边形ABCD 的边长判断即可；【详解】如图所示延长AD 至点E 使得连接CE 过点C 作∵∴又∵∴△CDE 为等边三角形∴设则∵∴则∴解析：15+【分析】延长AD 至点E ，使得DE CD =，连接CE ，过点C 作CH AE ⊥，证明△CDE 为等边三角形，分别求出四边形ABCD 的边长判断即可；【详解】如图所示，延长AD 至点E ，使得DE CD =，连接CE ，过点C 作CH AE ⊥，∵120ADC =∠︒，∴180********EDC ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，又∵DE CD =，∴△CDE 为等边三角形，∴CD DE CE ==，60E ∠=︒，设CE x =，则CD DE x ==，∵CH DE ⊥，∴9030ECH E ∠=︒-∠=︒，则1122EH CE x ==， ∴=+-=+-=-11622AH AD DE EH AD CD x x ， 22221342CH CE EH x x x =-=-=， ∴()⎛⎫=+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭222221363273324AC AH CH x x x ， ∴当3x =时，AC 取得最小值为33 此时，3AD CD x ===，∵AB AC ⊥，∴90BAC =︒，又30B ∠=︒，∴12AC BC =，即2BC AC =，AB ===，∴四边形ABCD 周长AD CD AB BC=+++， ()2AD CD AC =+++， ))626215AC =++≥++⨯=+； ∴四边形ABCD 的最小值为15+故答案是15+【点睛】本题主要考查了四边形综合，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．19．【分析】设EH ＝x 由等腰直角三角形的性质得AB ＝AE ＝BEEH ＝HDGC ＝GDFB ＝CF ∠CGD ＝∠BFC ＝90°则HD ＝xGC ＝GD ＝GH ＋HD ＝2xFB ＝CF ＝3xCD ＝CG ＝2xBC ＝FB ＝3 解析：12【分析】设EH ＝x ，由等腰直角三角形的性质得AB ＝AE ＝2BE ，EH ＝HD ，GC ＝GD ，FB ＝CF ．∠CGD ＝∠BFC ＝90°，则HD ＝x ，GC ＝GD ＝GH ＋HD ＝2x ，FB ＝CF ＝3x ，CD CG ＝x ，BC FB ＝x ，由矩形ABCD 的面积得出方程，得出x 2＝12，x ＝2，进而得出答案．【详解】解：设EH ＝x ，∵四边形EFGH 是正方形，∴EF ＝FG ＝GH ＝EH ＝x ，∵△ABE 、△EHD 、△CGD 、△BCF 是等腰直角三角形，∴AB ＝AE ＝2BE ，EH ＝HD ，GC ＝GD ，FB ＝CF ．∠CGD ＝∠BFC ＝90°， ∴HD ＝x ，∴GC ＝GD ＝GH ＋HD ＝2x ，∴FB ＝CF ＝3x ，在等腰Rt △CGD 和等腰Rt △BCF 中，CD CG ＝x ，BC ＝x ， ∴x ＝6，则x 2＝12，解得：x ＝±2（负值舍去），∴x ＝2，∴EF ＝2，FB ＝2， ∴BE ＝FB ＋EF ＝，∴AB ＝2BE ＝2， ∴△ABE 的面积＝12AB×AE ＝12×2×2＝2；正方形EFGH 的面积＝x 2＝12；故答案为：2；12．【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和勾股定理是解题的关键．20．55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°再根据折叠的性质可得答案【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ∴∠B′FC=∠2=70°∴∠1+∠B′FE=180°-∠B解析：55°【分析】先由矩形的对边平行及平行线的性质知∠B′FC=∠2=70°，再根据折叠的性质可得答案．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠B′FC=∠2=70°，∴∠1+∠B′FE=180°-∠B′FC=110°，由折叠知∠1=∠B′FE ，∴∠1=∠B′FE=55°，故答案为：55°．【点睛】本题主要考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是掌握矩形的对边平行、两直线平行同位角相等性质．三、解答题21．（1）32cm 2；（2）①四边形的面积为S ＝12t ＋16（cm 2）；②当t ＝43或45时，S △BAP ＝S △CQB ．【分析】 (1) 由|8－a|＋(b －4)2＝0．可求=8=4a b ，，可求长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)；(2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，可求S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ＝12t ＋16(cm 2)；②由S △BAP ＝S △CQB ，可列方程12×2t×4＝12×|4t －4|×8，化去绝对值44t t -=±分类解方程即可．【详解】解：(1) a 、b 满足|8－a|＋(b －4)2＝0．∵()28-0,40a b ≥-≥， ∴8-=04=0a b -，，∴=8=4a b ，，∴AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，∴长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)；(2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ，＝12(8－2t)×4＋12×4t×8，＝12t ＋16(cm 2)； ②由S △BAP ＝S △CQB ，得：12×2t×4＝12×|4t －4|×8，即|4t －4|＝t ，44t t -=±，44t t -=或44t t -=-，解得：t ＝43或45，当t ＝43或45时，S △BAP ＝S △CQB ．【点睛】本题考查非负数和的性质，矩形面积，四边形面积，一元一次方程，掌握非负数的性质，利用非负数求出AD，AB，会求矩形面积，以及四边形面积，会利用三角形面积列方程解决问题是解题关键．22．（1）见解析；（2）1．【分析】（1）连接OD，由D为弧BC的中点，得到CD BD=，求得∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，推出AC∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到DE是⊙O的切线；（2）连接OC，易得△AOC是等边三角形，继而证得四边形ACDO是菱形，根据菱形的性质可得CD=AC=2，∠CDE=30°，继而即可求解．【详解】（1）证明：如下图所示，连接OD，∵D是弧BC的中点，即CD BD=∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线.；（2）解：如下图所示，连接OC，∵∠CDA=30°，∴∠AOC=2∠CDA=60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝OD由（1）可得，AC∥OD，∴四边形ACDO既是平行四边形，也是菱形，∴CD=AC=2，∠CDO＝∠CAO＝60°，∠CDE=90°－60°＝30°，∵DE⊥AE, ∠CED＝90°∴CE=1．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边对等角、平行线的判定及其性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定及性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．证明见解析【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；【详解】证明：,,D E F 分别是,,AB AC BC 的中点，11//,,//,22DE CF DE BC DF CE DF AC ∴==， ∴四边形DECF 是平行四边形．AC BC =，DE DF ∴=，∴四边形DFCE 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．24．（1）B ′点的坐标为(8,0)；（2）163y x =-+；（3）存在，点P 的坐标为37,03⎛⎫ ⎪⎝⎭或11,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）折叠的性质得到CB′=CB=10，B′M=BM ，在Rt △OCB′中，利用勾股定理易得OB′=8，即可得到B′点的坐标；（2）设AM=t ，则BM=B′M=6-t ，而AB′=OA -OB′=2，在Rt △AB′M 中，利用勾股定理求出t 的值，确定M 点的坐标，然后利用待定系数法求直线CM 的解析式即可；（3）由△B′CP 的面积11|8|61322PB OC x '=⨯=-⨯=，即可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCO 为矩形，∴10CB OA ==，6AB OC ==， ∵CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′点，∴10CB CB '==，B M BM '=，在Rt OCB '△中，6OC =，10CB '=，∴8OB '=，∴B ′点的坐标为(8,0)；（2）设AM t =，则6BM B M t ='=-，而2AB OA OB '=-'=，在Rt AB M '△中，222B M B A AM '='+，即222(6)2t t -=+，解得83t =，∴M 点的坐标为810,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线CM 的解析式为y kx b =+，把(0,6)C 和810,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得，68103b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得136k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线CM 的解析式为163y x =-+；（3）存在，理由：设点P 的坐标为(,0)x ，则B CP '△的面积11|8|61322PB OC x '=⨯=-⨯=，解得373x =或113，故点P 的坐标为37,03⎛⎫ ⎪⎝⎭或11,03⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查的是一次函数和几何的综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的翻折、勾股定理的运用、面积的计算等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键．25．（1）∠AEF 的补角有∠BEF 和∠B′EF ，∠ADE 的余角有∠AED 、∠A′ED 和∠CDE ；（2）∠DEF=90°【分析】（1）根据折叠的性质以及补角的定义和余角的定义即可写出；（2）由折叠的性质得到∠AED=∠A′ED ，∠BEF=∠B′EF ，根据平角的定义即可得到结论；【详解】（1）根据折叠的性质知：∠AED=∠A′ED ，∠BEF=∠B′EF ，∵四边形ABCD 是长方形，∴∠ADC=∠A=90︒，∴∠AEF+∠BEF=180︒，∴∠AEF 的补角有∠BEF 和∠B′EF ，∠ADE+∠CDE=90︒，∠ADE+∠AED =90︒，∠ADE 的余角有∠AED 、∠A′ED 和∠CDE ；（2）由折叠可知∠AED=∠A′ED ，∠BEF=∠B′EF ，∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠B′EF=180°，∴∠D EA′+∠B′EF=12⨯180°=90°，∴∠DEF=90°；【点睛】本题考查了折叠的性质，补角和余角的定义，正确的识别图形解题的关键．26．（1）()4,8E ；（2）()0,5D【分析】（1）由折叠的性质得10AO AE ==，利用勾股定理求出BE 长，得到CE 的长，就可以得到点E 的坐标；（2）设OD x =，8CD x =-，由折叠的性质得OD DE x ==，再在Rt CDE △中利用勾股定理列式求出x 的值，就可以得到点D 的坐标．【详解】解：（1）∵折叠，∴10AO AE ==，在Rt ABE △中，6BE ===， ∴1064CE BC BE =-=-=， ∴()4,8E ；（2）设OD x =，则8CD x =-，∵折叠，∴OD DE x ==，在Rt CDE △中，222CD CE DE +=，即()22284x x -+=，解得5x =，∴()0,5D ．【点睛】本题考查折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，并结合勾股定理进行边长的求解．。

北师大版八年级数学下册第一章特殊的平行四边形专项测试题-附答案解析(一)

正方形应是N的一部分，也是的一部分，
矩形形、正方形、菱形都属于平行四边形，
它们之间的关系是：．
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
16、已知矩形的一条对角线长，则另一条对角线的一半是 .
【答案】4
【解析】解：
根据矩形的对角线相等，另一条对角线长，则另一条对角线的一半是 .
故正确答案是 .
14、将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图，测得，当时，如图，（）
A.
B.
C.
D.
15、如图所示，设表示平行四边形，表示矩形，表示菱形，表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该说法错误，符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，该说法正确，不符合题意；
对角线垂直的矩形是正方形，该说法正确，不符合题意．
故正确答案选：四条边相等的四边形是正方形.
3、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）.
A. 对角线互相垂直
B. 对角线平分每一组对角
C. 对角线互相平分
6、在中，，是边上一点，交于点，交于点，若要使四边形是菱形，只需添加条件( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：只需添加
，
四边形是平行四边形
四边形是菱形
故正确答案是：
7、过矩形的四个顶点作对角线、的平行线分別交于、、、四点，则四边形是（).

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平行四边形、菱形、矩形、正方形测试题
一、选择题(每题3分，共30分)
1．平行四边形ABCD 中，∠A=50°，则∠D=（）
A. 40°
B. 50°
C. 130°
D. 不能确定 2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）
A. 一组对边相等
B. 对角线互相平分
C. 一组对角相等
D. 对角线互相垂直
3．在平行四边形ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，若AB=4，BC=7，OE=3，则四边形EFCD 周
长是（）
A ．14 B. 11 C. 10 D. 17 4．菱形具有的性质而矩形不一定有的是( )
A ．对角相等且互补
B ．对角线互相平分
C ．一组对边平行另一组相等
D ．对角线互相垂直 5．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）
A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ，16cm D. 24cm ，32cm
6．如图在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，则以下说法错误的是( )
A ．AB=
2
1AD B ．AC=BD
C ． 90===∠=∠CDA BC
D ABC DAB D ．AO=OC=BO=OD
7．如图5连结正方形各边上的中点，得到的新四边形是 ( ) A ．矩形 B.正方形 C.菱形 D.平行四边形
8. 一矩形两对角线之间的夹角有一个是600
, 且这角所对的边长5cm,则对角线长为( ) A. 5 cm B. 10cm C. 52cm D. 无法确定
9. 当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成( )
A. 菱形
B. 等腰梯形
C. 正方形
D. 无法确定.
10.如图所示，在 ABCD 中，E 、F 分别AB 、CD 的中点，连结DE 、EF 、BF ，则图中平行四边形共有（） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个
图5F
A B D C E
1、若正方形的面积是4cm 2
，则它的对角线长是（）cm. （A ）24 （B ）2 （C ）8 （D ）22
2、菱形的周长为16cm ，一条对角线长为4cm ，则菱形的面积是（）cm 2
. （A ）32 （B ）34 （C ）38 （D ）316
3、已知矩形两对角线的夹角是60°，一对角线长是2，则矩形的周长是（）（A ） 2+3 （B ）2+32 （C ）344+ （D ）34+
4、矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）（A ）对角线互相平分（B ）对角线相等
（C ）对角线平分一组对角（D ）对角线互相垂直
5、下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）（A ）对角线互相垂直（B ）对角线互相平分
（C ）对角线相等（D ）对角线互相垂直平分
6、矩形各角的平分线所围成的四边形是（）
（A ）平行四边形（B ）矩形（C ）菱形（D ）正方形
7、正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，且AE=1，DE=2，那么正方形的
面积是（）（A ） 1（B ）4 （C ）3 （D ）3
8、矩形的两对角线相交所成的角是60°，则短边与长边之比为（）（A ）1:2 （B ）1:2 （C ）1:3 （D ）1:3
9、菱形ABCD 中，如图，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若BE=EC ，则∠EAF=（）（A ） 75° （B ）60°
（C ） 50° （D ）45°
10、下列命题正确的是（）
（A ）四个角都相等的四边形是正方形（B ）四边都相等的四边形是正方形（C ）对角线相等的平行四边形是正方形（D ）对角线互相垂直的矩形是正方形
A B C D E F
11．□ABCD 中, AB ：BC=1：2，周长为24cm, 则AB=_____cm, AD=_____cm.
12．已知：四边形ABCD 中，AB ＝CD ，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加__________，（只需填一个你认为正确的条件即可）
你判断的理由是：_____________________________。

13．一个矩形的对角线长10cm ，一边长6cm ，则其周长是，面积是。

14．已知菱形的两条对角线的长分别是6cm 和8cm, 则其周长为 ,面积为 . 15．正方形的对角线是2，那么边长为_____，周长为____，面积为_______。

16．用两个全等的三角形，能拼成一个平行四边形，这样的平行四边形的周长取值最多有
________个。

17．如图，宽为50cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为
_________。

18．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是边AD 上的动点，
PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为：_________。

三、解答题（共36分）
19．(6分)如图9平行四边形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：BE=DF
20．（6分）如图8：某菱形的对角线长分别是6cm ，8cm ，求菱形周长和面积。

A
B
C
D
F
E
1
2
图9
21．（6分）在□ABCD中，对角线AC平分∠DAB，这个四边形是菱形吗？简述你的理由。

22．（6分）已知四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，能否得到四边形ABCD 是平行四边形的结论？试一试，并说明理由（至少写3组）。

23、（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CFDE是正方形．
24、（6分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE//AC，交BC的延长线于点E，EF ⊥AB于点F，求证：AD=CF。

B C
D E
F。