历年大一期中、期末考试试卷

2006—2007学年第一学期《高等数学》期中考试试卷专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期 2006.11题号一二三四总分得分一、选择题(45=20分)1．当0x x →时，)()(x x βα、都是无穷小，则当0x x →时，下列表示式哪一个不一定是无穷小（ ）)()()(x x A βα+　)()()( 22x x B βα+ [] )()(1ln )(x x C βα⋅+　)()()( 2x x D βα　2．设221arctan)(x x x f =，间断点0=x 的类型为（ ） (A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)无穷间断点 (D)振荡间断点3．=++∞→312lim 2x x x ( ) (A)2 (B)－2 (C)2± (D)不存在4．设)(x f 可导，)1)(()(x x f x F +=，要使)(x F 在0=x 处可导，则必有（ ）(A) 0)0(=f (B) 1)0(=f (C) 1)0(='f (D) 0)0(='f5．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 00 1)(12x x e x x f x ，则（ ） (A) )(x f 在0=x 处间断(B) )(x f 在0=x 处连续但不可导(C) )(x f 在0=x 处可导，但导数在0=x 处不连续 (D) )(x f 在0=x 处有连续导数 二、填空题(45=20分)1．=--→xx x 111)23(lim2．当x0时，无穷小量1-cosx 与mx n 等价(其中m,n 为常数)，则m==n3．设x x f 2sin )(=，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤-=0202)(x x x x x g ，，ππ，[])(lim 0x g f x →＝4．函数x sin xln )x (f π=的一个可去间断点是x ＝5．设⎪⎩⎪⎨⎧==t e y t e x t t sin cos 22确定了函数)(x y y =，=dx dy 三、计算下列各题1．求极限(10分，每题5分)(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x arcsin 11lim 20(2) x ex xx 2)1(lim10-+→2．(10分)已知x x y arctan 5-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线3．(10分)设函数⎩⎨⎧≥+<++=0 )1ln(0 )(2x x x c bx ax x f 在0=x 处有二阶导数，确定参数c b a ,,的值4．(6分)设)(x f 为连续函数，且1)1ln(3)(lim2=-+→x x f x ，求曲线)(x f y =在2=x 处的切线方程。

5．(6分)将2211)(x x x x f +-+=在0=x 处展开到含4x 项，并计算)0()4(f6．(6分)证明不等式x x x sin 2tan 3+<)20(π<<x7．(6分)设)(x y y =由方程04ln 2=-+y e y x xy 所确定,求y '四、(6分)设函数)(x f 在[0,1]上连续，且)(x f 在[0,1]上不恒等于零，)(x f 在(0,1)内可导，0)0(=f ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得0)()(>'ξξf f .Ａ卷2006—2007学年第一学期《本科高等数学(上)》期末考试试卷专业班级姓名学号开课系室考试日期页号一二三四五六总分得分阅卷人2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。

一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.)1. 设⎩⎨⎧>≤=1,01,1)(x x x f , 则{}=)]([x f f f .2. 设函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+=>-=⎰0,sin 0,80,)cos 1()(02x x dt e x b x x x x a x f x t连续，则=a ，=b .3．极限=+→xx x sin 20)31(lim .4．设 2)(lim0=→x x f x ,且)(x f 在0=x 连续,则)0(f '= .5．设方程0=--ye y x 确定函数)(x y y =, 则dx dy= .6．设x y x3cos 2-=, 则dy = .7．抛物线822++=x x y 在其顶点处的曲率为 .8．设)(x f 可导，{})]([x f f f y =，则='y . 9．[]⎰-=-+-+aadx x a x x f x f 22sin )()( .10．微分方程02=--'x x yy 的通解是 .二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）1. “数列极限存在”是“数列有界”的（ ）(A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件.2．极限=++∞→nn n n 32lim（ ）(A) 2; (B) 3; (C) 1; (D) 5;3．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ ）(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个.4．设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的( ). (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.5．设函数)(x f 二阶可导，且0)(0)(>''>'x f x f ，，令)()(x f x x f y -∆+=∆，当0<∆x 时，则( ).(A) ;0>>∆dy y (B) ;0<<∆dy y (C) ;0>∆>y dy (D) .0<∆<y dy6．若)()()(+∞<<-∞-=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)(>'x f ，0)(<''x f ，则)(x f 在),0(∞+内( ). (A) 0)(,0)(<''>'x f x f (B) 0)(,0)(>''>'x f x f (C) 0)(,0)(<''<'x f x f (D) 0)(,0)(>''<'x f x f7．设)(x f 在0x x =处二阶可导, 且1)(lim-=-'→x x x f x x ,则( ).(A) 0x 是)(x f 的极大值点; (B) 0x 是)(x f 的极小值点; (C) ))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的拐点; (D) 以上都不是.8．下列等式中正确的结果是 ( ).(A)⎰=');()(x f dx x f (B) ⎰=);()(x f dx x df (C) ⎰=);(])([x f dx x f d (D) ⎰=');())((x f dx x f9．下列广义积分收敛的是( ).(A) ⎰∞+e dx x x ln (B) ⎰∞+e dx x x ln 1(C) ⎰∞+e dx x x 2)(ln 1 (D) ⎰∞+edx x x ln 110．设)(x f 在a x =的某个领域内有定义，则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是( ).(A) 存在)]()1([lim a f h a f h h -++∞→ (B)存在h h a f h a f h )()2(lim 0+-+→(C) 存在h h a f h a f h 2)()(lim 0--+→ (D)存在h h a f a f h )()(lim 0--→三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。

）1. 求不定积分⎰+-dx x x xx sin 2cos 5sin 3cos 72. 计算定积分.ln 1⎰e edx x3．求微分方程x y y y 234 5 -=+'+''的通解.四．解答题：（本题共6小题，共37分。

）1．（本题5分）求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.2.（本题6分）求曲线3223-+=x x x y 的渐进线.3．（本题6分）求由曲线1=xy 及直线x y =,2=y 所围成图形面积。

4．（本题6分）证明：对任意实数x ，恒有.11≤-xxe5.（本题6分）设有盛满水的圆柱形蓄水池,深15米,半径20米,现将池水全部抽出,问需作多少功?6.（本题8分）设对任意实数.)(0)0(],1)([)(的极值求，且，x f f x f x x f x =-'=-'五．（本题8分）设函数)(x f 在闭区间[0,2]上连续，在开区间（0,2）内可导，且满足条件0)21()0(==f f ,⎰=121)2()(2f dx x f证明：0)()2,0(=''∈∃ξξf 使得．2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》期中试卷专业班级姓名学号开课系室考试日期 2007.4.29页号一二三四五总分得 分阅卷人说明：1.本试卷正文共5页。

2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中， 否则答案无效。

一、填空题(每小题5分 共40分) 1．设向量,2,23k j i b k j i a +-=-+=则）（）（b a b a322-⋅⨯= _______________2．已知向量}2,3,4{-=a ，向量u 与三个坐标轴正向构成相等的锐角，则 a 在u轴上的投影等于__________________3．已知空间三角形三顶点),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(C B A -则ABC Δ的面积等于______________;过三点的平面方程是:__________________________. .4．直线⎩⎨⎧=+--=-+072,0532:z y x z y L .在平面083:=++-z y x π内的投影直线方程是： ____________________________________.5. 由曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点)2,3,0(处指向外侧的单位法向量是____________________________.6．设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则y z x z ∂∂+∂∂=__________________________.7. 设函数)(u f 可微,且21)0(='f , 则)4(22y x f z -=在点(1,2)处的全微分)2,1(d z =_________________________________________.8. 曲面 22y x z += 平行于平面 042=-+z y x 的切平面方程.是：___________________.二、(7分) 设平面区域D 由1,==xy x y 和2=x 所围成，若二重积分 1d d 22=⎰⎰Dy x y Ax ，则常数=A ____________________________. 解题过程是：三、(8分) 设),(y x f 是连续函数，在直角坐标系下将二次积分⎰⎰-223210d ),(d y y xy x f y 交换积分次序，应是______________________________________解题过程是：四、(7分) 设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，若单位向量}1,1,1{31=n ，则方向导数)3,2,1(n u∂∂等于_____________________；该函数在点(1,2,3)的梯度是____________________；该函数在点(1,2,3)处方向导数的最大值等于________________. 解题过程是：五、(8分)设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u '''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.解题过程是：六、(7分) 设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1D xyx y x y +++⎰⎰解题过程是：七、(8分) 设空间区域Ω，是由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==0,2x z y 绕oz 轴旋转一周而成的曲面与平面4,1==z z 所围成的区域，计算三重积分⎰⎰⎰+Ωz y x y x d d d )(22.解题过程是：八、(8分) 做一个长方体的箱子，其容积为 29 m 3, 箱子的盖及侧面的造价为8元/m 2, 箱子的底造价为1元/m 2, 试求造价最低的箱子的长宽高（取米为长度单位）. 解题过程是：九、(7分) 设函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim22220=+-→→y x xy y x f y x ，试问点(0,0)是不是),(y x f 的极值点？证明你的结论. 解题过程是：A卷2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》期末考试试卷专业班级姓名学号开课系室数学学院基础数学系考试日期 2007年7月 2 日页号一二三四五总分得分阅卷人2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。