华东师大数学分析

华东师范大学2004数学分析 一、（30分）计算题。

1、求2120)2(cos lim x x x x -→解：)0(21~2sin 21cos 22→--=x x x x∴ 1)1(120120120222)1(lim )1(lim )2(cos lim ---→→→=-=-=-e x x x x xx x x x x2、若)),sin(arctan 2lnx x e y x+=-求'y .解：2ln '11)cos(arctan )sin(arctan ln 22x x x x e x x y x +++-=-3、求⎰--dx x xe x2)1(. 解：=-⎰-dx x xe x 2)1(⎰--x d xe x 11=x xe x --1-=-⎰-dx x xe x 2')1()(x xe x --1-dx e x ⎰-=c e xxe xx ++---1 4、求幂级数∑∞=1n nnx的和函数)(x f .解:1||<x 时=∑∞=+'1)(n n nx∑∞=+0)1(n nx n =∑∞=0n nnx +∑∞=0n nx⇒∑∞=0n nnx='1)(∑∞=+n n nx-∑∞=0n n x ==---x x x 11)1('=---x x 11)1(122)1(x x- 5、L 为过)0,0(O 和)0,2(πA 的曲线)0(sin >=a x a y ,求⎰+++Ldy y dx y x .)2()(3xdx a x da dy x a y cos sin ,sin ===⎰+++Ldy y dx yx )2()(3=⎰20πxdx +⎰2033sin πxdx a+⎰20cos 2πxdx a +⎰202cos sin πxdx x a=+82π+323a 222a a +6、求曲面积分⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧.解：应用Gauss 公式，并应用极坐标变换得：⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰⎰∂∂+∂+∂Vdxdydz zzx z x ))2((=⎰⎰⎰⎰⎰⎰==100202333πθπz Vrd dr dz dxdydz . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x 正确。

}{n x 在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续. 正确。

证：)(x f 在),(b a 上连续有界，故)(lim x f ax +→与)(lim x f bx -→都有存在，不妨设为B A ,. 设⎪⎩⎪⎨⎧=)(x F bx B b a x x f a x A =∈=,),(,)(, 则)(x F 在],[b a 上连续，从而)(x F 一致连续，故)(x f 在),(b a 上一致连续。

3、若)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑⎰=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 110)()()1()(1lim .正确。

证：)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，故对,|)(|,0],1,0[M x f M x ≤∍>∃∈∀且)(x f )(x g 在上也可积，对0>∀ε∑∑∑===--=--n i n i n i nig n i g n i f n n i g n i f n n i g n i f n 111|)]()1()[(|1|)()(1)1()(1|ε<-=--≤∑=|)0()1(||)]()1([|1g g nM n i g n i g n M n i故 ≤-≤-∑∑==n i n i n i g n i f n n i n i f n 11)1()(1))((1ε∑=+n i nin i f n 1))((1ε两边对n 分别取极限⎰≤-1)()(εdx x g x f ∑=-n i ni g n i f n 1)1()(1 ⎰+≤10)()(εdx x g x f 由夹逼性知 ∑⎰=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 110)()()1()(1lim .4、若∑∞=1n na收敛，则∑∞=12n na收敛.错误。

反例 ∑∞=+-11)1(n n n收敛,但∑∞=11n n发散.5、若在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微. 正确证：)0,0()0,0(f y x f z -∆+∆+=∆=+∆+-∆+∆+))0,0()0,0((y f y x f ))0,0()0,0((f y f -∆+ =y y f x y x f y x ∆∆+-∆∆+∆+)0,0()0,0(21θθ有),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，∴αθ+=∆+)0,0()0,0(1x f x f ,βθ+=∆+)0,0()0,0(2y f y f当)0,0(),(→∆∆y x 时，0,→βα，∴ y x y f x f z y x ∆+∆+∆+∆=∆βα)0,0()0,0(根据定义，可知),(y x f 在(0,0)上可微.6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若⎰⎰=>∀∀rD dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈=解：错误将),(00y x D r 划分为两部分，其中]},[,)()(|),{(),(002020001x r x x r y y x x y x y x D r -∈≤-+-=且 ]},[,)()(|),{(),(002020002r x x x r y y x x y x y x D r +∈≤-+-=且 取⎩⎨⎧∈-∈=rrD y x D y x y x f 21),(,1),(,1),(, 由积分区间可加性知⎰⎰=rD dxdy y x f ),(⎰⎰+rD dxdy 1⎰⎰=-rD dxdy 0)1(三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。

证：1)若A x f ≡)(，显然)(x f 在),(+∞-∞同时有最大、最小值A .2)否则21,x x ∃当2x x >或1x x <时A x f →)(定义 A x f x x =-→)(lim 2A x f x x =-+→)(lim 1，存在)(101x U x +∈,)(202x U x -∈ 使得 A x f >)(1或A x f <)(1, A x f >)(2或A x f <)(2 不妨设A x f >)(1,A x f <)(2 (1)由)(x f 在).,(+∞-∞上连续,所以)(x f 在][2,1x x 上连续，由最值定理知存在],[21x x ∈ξ,使得)(ξf 最大（或最小）.由（1）知21,x x ≠ξ因此当∞→21,x x 时, )(x f 在),(+∞-∞上有最大值或最小值。

四、（15分）求证不等式:].1,0[,122∈+≥x x x证：令12)(2--=x x f x , 则0)1()0(==f f ,对]1,0[∈∀x ,有x x f x22ln 2)('-= , 022ln 2)(2''<-=xx f 因此)('x f 在].1,0[上单调递减且连续, 又022ln 2)1(,02ln )0(''<-=>=f f .故由介值定理知存在ξ,使得.0)('=ξf那么在],0[ξ上)(x f 单调递增, 在]1,[ξ上)(x f 单调递减. 因此)(x f 可在端点处取得最小值, 又0)1()0(==f f . 所以在]1,0[上0)(≥x f , 即 ].1,0[,122∈+≥x x x五、设)(x f n ,,2,1=n 在],[b a 上连续,且)(x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x f .若],[b a x ∈∀,0)(>x f .求证:,0,>∃δN 使],[b a x ∈∀,N n >,.)(δ>x f n证:由函数列)}({x f n 的每一项在],[b a 连续且一致收敛于)(x f ,可知)(x f 在],[b a 上也连续,因此有界.不妨设 ]},[|)(min{b a x x f m ∈=,因为对任意],[b a x ∈,有 0)(>x f . 所以 0>m)(x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x f ,即对,,0N ∃>∀ε对],[,b a x N n ∈∀>∀有ε->)()(x f x f n 当取 2m=ε时,有 )1(022)()(>=-≥->m m m x f x f n ε对上述 0,,>=∃εδεN 则(1)式成立,且 .2)(δ=>mx f n六、（15分）设}{n a 满足（1）;,2,1,1000 ++=≤≤k k n a a n k （2）级数∑∞=1n na收敛.求证:0lim =∞→n n na .证：级数∑∞=1n na收敛，由级数收敛的柯西准则：,,0N ∃>∀ε对任何+∈Z p ,有ε<++++++||21p N N N a a a (1)由于;,2,1;,2,1,1000 ++==≤≤k k n k a a n k 那么<++++++p N N N a a a 21ε<<++++-++-+-p N p p N N p N p a p a a a 12211100100100 (2)而当p 充分大时, 1100-<+p p p N 成立，故ε<<+<+-+p N p p N a p a p N 1100)(0 因此有 0lim =∞→n n na .七、（15分）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证：xx f )(在),1[+∞上有界. 证:1)对0,0,0>>∃>∀X δε,当X 充分大时,对,,'''X x x >∀且满足δ<-||'''x x 时有 )1(|)()(|'''ε<-x f x f由极限存在的柯西准则知)(lim x f x +∞→存在,不妨设为A , 对(1)式中''x 取极限,有ε<-|)(|'A x f则 ε+<|||)(|'A x f 存在1M ,当X x >时)2(1|||)(|1M xA x x f <+<2)因为)(x f 在),1[+∞上一致连续,则)(x f 在],1[X 上连续,所以)(x f 在],1[X 上有界. 即存在],1[,2X x M ∈∀有2|)(|M x f ≤ 那么对],1[X x ∈∀有)3(|)(|2M xx f ≤3)存在},,max{21M M M =(2),(3) 同时成立.即对],1[X x ∈∀ 有M xx f ≤|)(|.八、（15分）设),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在3R 有连续偏导数，而且对以任意点),(00,0z y x 为中心，以任意正数r 为半径的上半球面,,)()()(:02202020z z r z z y y x x S r ≥=-+-+- 恒有⎰⎰rS .0),,(),,(),,(=++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P求证: .0),,(),,(,0),,(),,,(=+=∀z y x Q z y x P z y x R z y x y x。