8-习题课斯托克斯公式分享资料
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8_2_4 斯托克斯公式 环流量与旋度 高等数学 微积分 考研数学
轴正向看为顺时针, 计算 I y2 d x xy d y xz d z .
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
cos 0 , cos
1, 2
cos
1 2
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
o x
2y
I
x y
y2 xy
z
dS 1 (y z)dS 0 2
内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
Page 10
2. 场论中的三个重要概念
设 u u (x, y, z),
A
(P,
Q,
R),
x
,
y
,
z
,
则
梯度:
grad u
u x
d ydz dzdx P d x Q d y R d z
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
Page 3
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
zdx xd y ydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于
柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式
一、斯托克斯(stokes)公式
斯托克斯公式成立的条件 斯托克斯公式的物理意义
1 1 1 3 3 3 ∂ ∂ ∂ ds ∂x ∂y ∂z y2 − z2 z2 − x2 x2 − y2
Dxy
x+ y= 1 2
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
4 =− ( x + y + z )ds ∫∫ 3 Σ
3 ( 在Σ上x + y + z = ) 2
4 3 9 =− ⋅ ∫∫ ds = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D
x
f ( x, y)
o
y
Dxy
C
思路 曲面积分 1 二重积分 2 曲线积分
∂P ∂P ∂P ∂P ∫∫ dzdx − dxdy = ∫∫ ( cos β − cos γ )ds ∂y ∂z ∂y Σ ∂z Σ
又 cos β = − f y cos γ , 代入上式得
∂P ∂P ∂P ∂P + dzdx − dxdy = − ∫∫ ( f y ) cos γds ∫∫ ∂y ∂y ∂z Σ ∂z Σ
定理设为分段光滑的空间有向闭曲线是以为边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数则有公式dxdyrdzqdypdx斯托克斯公式证明设与平行于z轴的直线相交不多于一点如图思路曲面积分二重积分曲线积分coscoscoscos根椐格林公式平面有向曲线rdzqdypdxrdzqdypdxdxdydzdxdydzrdzqdypdxdscoscoscos另一种形式其中便于记忆形式stokes公式的实质
xy
1
根椐格林公式
− ∫∫
D xy
∂ P[ x , y , f ( x , y )]dxdy = ∫ P[ x , y , f ( x , y )]dx c ∂y
87斯托克斯公式与旋度汇总
Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
旋度
设 r x2 y2 z 2 , 则 2 div (grad r ) r ; rot(grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r x ( y) r y ( ) r r 2 x2 , 3 3 2 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得 div (grad r ) z r r3 i j k
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
三、空间定向曲线积分与路径无关的充要条件
定理 设 G 是空间的一个一维单连通区域, F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k C ( 则 F ( x , y , z ) 沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的 rot F 0 充分且必要条件是
9_8斯托克斯公式
r2
∂ ∂z
(
z r
)
=
r2−z2 r3
i
=
r 2 −x2 r3
,
∂ ∂y
(
y) r
=
r2 − y2 r3
三式相加即得div (grad r)
jk
rot (grad r) =
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= (0, 0, 0)
xyz
rrr 22
作业
P223 2, 3
补充题:
u和
JG A
有连续的二阶连续偏导数，证明
方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω,
在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以
M
任意方式缩小至点 M (记作Ω → M ),则有
∫∫∫ lim Φ = lim 1 ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞ d x d y d z
Ω→M V Ω→M V Ω⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
= lim ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞
cosα
Байду номын сангаас
= ∫∫
∂ ∂x
∑P
cos β
∂ ∂y
Q
cosγ
∂ ∂z
dS
R
20
3. 场论中的三个重要概念
G
设 u = u (x, y, z),
A
=
(P,
Q,
R),
∇
=
(
∂ ∂x
,
∂ ∂y
,
∂ ∂z
),
则
梯度:
grad u
=(
∂u ∂x
,
∂ ∂
u y
,
∂ ∂z
(
z r
)
=
r2−z2 r3
i
=
r 2 −x2 r3
,
∂ ∂y
(
y) r
=
r2 − y2 r3
三式相加即得div (grad r)
jk
rot (grad r) =
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= (0, 0, 0)
xyz
rrr 22
作业
P223 2, 3
补充题:
u和
JG A
有连续的二阶连续偏导数，证明
方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω,
在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以
M
任意方式缩小至点 M (记作Ω → M ),则有
∫∫∫ lim Φ = lim 1 ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞ d x d y d z
Ω→M V Ω→M V Ω⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
= lim ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞
cosα
Байду номын сангаас
= ∫∫
∂ ∂x
∑P
cos β
∂ ∂y
Q
cosγ
∂ ∂z
dS
R
20
3. 场论中的三个重要概念
G
设 u = u (x, y, z),
A
=
(P,
Q,
R),
∇
=
(
∂ ∂x
,
∂ ∂y
,
∂ ∂z
),
则
梯度:
grad u
=(
∂u ∂x
,
∂ ∂
u y
,
Stocks公式
2 2 2 ( x yz ) dx ( y zx ) dy ( z xy )dz
。
i j k 解 0 x y z 2 2 2 x yz y zx z xy
第八节 斯托克斯(stokes)公式
高等数学（下）
河海大学理学院
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内
高等数学（下）
i j 环流量 A ds C x y P Q
利用stokes公式, 有
k ds z R
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 例 3 求向量场 2 2 沿闭曲线 为圆周 z 2 x y , z 0 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
Hale Waihona Puke Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边 界曲线上的曲线积分之间的关系.
注：当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时
斯托克斯公式 特殊情形 格林公式
高等数学（下）
二、简单的应用 例 计算曲线积分 3 ydx 3 xdy dz ,
2 2 x y 1 与平面 z 其中 是圆柱面 它的方向是逆时针.
具有一阶连续偏导数, 则有公式
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz --------- 斯托克斯公式
。
i j k 解 0 x y z 2 2 2 x yz y zx z xy
第八节 斯托克斯(stokes)公式
高等数学（下）
河海大学理学院
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) ,
R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的一个空间区域内
高等数学（下）
i j 环流量 A ds C x y P Q
利用stokes公式, 有
k ds z R
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 例 3 求向量场 2 2 沿闭曲线 为圆周 z 2 x y , z 0 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
Hale Waihona Puke Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边 界曲线上的曲线积分之间的关系.
注：当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时
斯托克斯公式 特殊情形 格林公式
高等数学（下）
二、简单的应用 例 计算曲线积分 3 ydx 3 xdy dz ,
2 2 x y 1 与平面 z 其中 是圆柱面 它的方向是逆时针.
具有一阶连续偏导数, 则有公式
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz --------- 斯托克斯公式
斯托克斯公式
Q Q P ( R )dydz + ( P R)dzdx + ( )dxdy ∫∫ y z z x x y Σ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
---- 斯托克斯公式
证明思路
曲面积分 便于记忆形式 二重积分 曲线积分
∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R cosα cos β cosγ ds = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R
二、简单的应用
例1 计 曲 积 算 线 分
∫Γ zdx + xdy + ydz ,
中 其 Γ 是 面x + y + z = 1被 坐 面 截 的 平 三 标 所 成 角 的 个 界, 的 向 这 三 形 侧 三 形 整 边 ,它 正 与 个 角 上 界 z 则. 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则
cosα = cos β = cosγ = 1 , 即 3 由斯托克斯公式
1 1 1 3 3 3 dS x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
1 2
y
x+ y = 3 2
I = ∫∫
Σ
o
x+ y = 1 2
一投： 一投： Σ 投影 得Dxy; , 二换： 二换： dS = 3 dxdy; 三代： 三代：x + y + z = 3 .
斯托克斯公式成立的条件
z
1
n = 1 {1, 1, 1}. 3
1
o
1
y
x
z
解 取 为 面x + y + z = 3 Σ 平 2
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
---- 斯托克斯公式
证明思路
曲面积分 便于记忆形式 二重积分 曲线积分
∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R cosα cos β cosγ ds = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R
二、简单的应用
例1 计 曲 积 算 线 分
∫Γ zdx + xdy + ydz ,
中 其 Γ 是 面x + y + z = 1被 坐 面 截 的 平 三 标 所 成 角 的 个 界, 的 向 这 三 形 侧 三 形 整 边 ,它 正 与 个 角 上 界 z 则. 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则
cosα = cos β = cosγ = 1 , 即 3 由斯托克斯公式
1 1 1 3 3 3 dS x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
1 2
y
x+ y = 3 2
I = ∫∫
Σ
o
x+ y = 1 2
一投： 一投： Σ 投影 得Dxy; , 二换： 二换： dS = 3 dxdy; 三代： 三代：x + y + z = 3 .
斯托克斯公式成立的条件
z
1
n = 1 {1, 1, 1}. 3
1
o
1
y
x
z
解 取 为 面x + y + z = 3 Σ 平 2
斯托克斯公式
∫ ( y2 − z2 )dx + (z2 − x2 )dy + ( x2 − y2 )dz 其中Γ是平面 Γ
x + y + z = 3截立方体:0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的 2
表面所得的截痕,若从 ox 轴的正向看去,取逆时针方向.
【解】取Σ为平面 x + y + z = 3 2
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旋度的力学意义:
【例 3】设一刚体绕过原点 O 的某个 轴转动,其角速度ω = (ω1,ω2 ,ω3 ),刚 体上每一点处的线速度构成一个线速 场,则向量r = OM
= {x, y, z}在点 M 处的线速度
L ω
o
v
M
【解】 由力学知道点 M 的线速度为 由此可看出旋度
∫ 轴正向看为顺时针, 计算 I = y2 d x + xy d y + xz d z . Γ
【解】 设∑为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
cosα = 0 ,
cosβ =
1, 2
利用斯托克斯公式得
cos γ = − 1 2
cosα cosβ cos γ
zΓ
Σ o x
−
∂Q ) cosα
∂z
+
(∂P ∂z
−
∂R)cos ∂x
β
+
(∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)cosγ
]dS
= ∫ (P cosλ + Q cos μ + Rcosν )ds Γ
其中
Σ的单位法向量为 n = cosα i + cosβ j + cos γ k ,
斯托克斯公式
R Q P R Q P )dydz ( )dzdx ( )dxdy ( z z x x y y
Pdx Qdy Rdz
例1 利用斯托克斯公式计算 zdx xdy ydz
其中 为平面 x y z 1 被三个坐标平面
§7 斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 设 为分段光滑的有向闭曲线， 为分片光滑的且以 为边界的有向曲面， 定理 的方向与 的侧符合右手螺旋法则. P ( x , y , z ),
Q( x, y, z )、R( x, y, z ) 在包含 在内的一个空间 则有 区域内具有一阶连续偏导数，
1 1 1 6 (1 1 2 ) 2 2 2 6 3 4 9 2 x
3 2
z
D xy
y
y
Dxy
x 1
x y
1 1 2
y 1
3 2
2 1 2
x
3 x y 2
练习题： 利用斯托克斯公式计算
x yzdx ( x y )dy ( x y z )dz
2
2
取上侧 cos 0
1 n （ 1， 1） 1， z 3 1 1 1 1 n ( , , ) 3 3 3 y
0
1
(cos , cos , cos )
x
1
1 1 1 cos , cos , cos 3 3 3
cos zdx xdy ydz x P cos x z
1 ( 1) ( 1)
2
2
取上侧 cos 0
n
0
Pdx Qdy Rdz
例1 利用斯托克斯公式计算 zdx xdy ydz
其中 为平面 x y z 1 被三个坐标平面
§7 斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 设 为分段光滑的有向闭曲线， 为分片光滑的且以 为边界的有向曲面， 定理 的方向与 的侧符合右手螺旋法则. P ( x , y , z ),
Q( x, y, z )、R( x, y, z ) 在包含 在内的一个空间 则有 区域内具有一阶连续偏导数，
1 1 1 6 (1 1 2 ) 2 2 2 6 3 4 9 2 x
3 2
z
D xy
y
y
Dxy
x 1
x y
1 1 2
y 1
3 2
2 1 2
x
3 x y 2
练习题： 利用斯托克斯公式计算
x yzdx ( x y )dy ( x y z )dz
2
2
取上侧 cos 0
1 n （ 1， 1） 1， z 3 1 1 1 1 n ( , , ) 3 3 3 y
0
1
(cos , cos , cos )
x
1
1 1 1 cos , cos , cos 3 3 3
cos zdx xdy ydz x P cos x z
1 ( 1) ( 1)
2
2
取上侧 cos 0
n
0
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x x
o
即 P Q, y x
x
1
故 原 0 1x 2 d式 x 0 1 (1 y4)dy1253 .
思路:
ILPdxQdy
(x,y)
非闭
I PdxQdy (x0,y0)
P
Q
P
Q
闭合
I (QP)dxdy D x y
ILPdQ x d 0y闭合 y x y x 非闭 补充曲线或用公式
16
解 由 I (x 2 2 x)d y x (x 2 y 4 )dy
知P(x22x)y2x y
y y
1
A
Q(x2y4)2x
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ
y x
5
曲面积分
对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定 义
n
n
f(x,y,z)d sl i0 im 1f(i,i,i) si R (x ,y,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i)( S i)xy
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
7
积分概念的联系
n
f(M )dl i0m f(M )i,f(M )点函数 i 1
定积分 当 R1上区 [a,b间 ]时 ,
f(M)d
b
f(x)d.x
a
二重积分 当R2上区D时 域,
f(M)df(x,y)d. D
8
曲线积分 当R2上平面L时 曲 , 线
曲线积分与曲面积分习题课
一、主要内容 二、典型例题
1
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
2
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线 定联计 定联计 面
积 义系算 义系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
3
曲线积分
对弧长的曲线积分
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
13
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
LPdQ x d y D( Q x P y)dx或dyLQd P xd y D( P x Q y)dxdy
F(M )为平面向量场
L F 推dr 广D(ro F k t)F d (M x)为 dy空间 L F d向 rDd 量 推F i广d v场 xdy
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
12
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系R Q源自P RQ PD
a y1(x)
f(x ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)元
a y 1 (x ) z 1 (x ,y )
f(x ,y )d sb f[x ,y (x )1 ] y 2 d,(d x 线 s ( 曲 元 )) 素
f[,]
2 2dt
算
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
(与方向有关)
4
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D上 P(x,y)Q ,(x,y)具 有 件 连 续 的 一 阶 偏 导 数 ,则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
等 (1) 在 D 内 LPd Q x 与 dy路径无
联 系
PdydQzdzdRxdxd (yP c oQ sco s R co)dsS
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
(与侧无关)
(与侧有关)
6
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
环流量 PdQ x d R y dz
旋度 rF o ( R t Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k
y z z x x y
15
二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
对坐标的曲线积分
定
n
P(x,y)d xQ (x,y)dy
义
Lf(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
计 L f(x, y)ds
F d rr o F d tS
F d sdF id vv
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
14
（三）场论初步
梯度
gra duiu ujuk x y z
通量 散度
PdyQ dzdzd Rxdxdy
diF vPQR x y z
其中 L P d Q x d (P c y o Q s c o )dss
PdydQ z dzdxRdxdy
(PcosQcos Rcos)ds
11
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
L
a
(ab)
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
10
f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)] 1zx2 zy2dxdy
Dxy
(ds面元(曲 素 ))
R (x,y,z)dxd yf[x,y,z(x,y)d ] xdy
D xy
(dx面 dy元 (投 素 )影 )
f(M)dLf(x,y)d.s
三重积分 当R3上区时 域 ,
f(M)df(x,y,z)dV
曲线积分 当R3上空间时 曲 , 线
f(M)df(x,y,z)d.s
曲面积分 当R3上曲S时 面 ,
f(M)df(x,y,z)dS. S 9
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元