北师大版数学高一必修1 第二章2.1 函数概念 课时作业

[学业水平训练]

1．若函数f (x )的定义域是[－1,1]，则函数f (x ＋1)的定义域是( ) A ．[－2,0] B ．[－1,1] C ．[1,2] D ．[0,2] 解析：选A.∵f (x )的定义域是[－1,1]，∴－1≤x ＋1≤1⇒－2≤x ≤0，故选A. 2．下列对应或关系中是A 到B 的函数的是( ) A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1

B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：

C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝

1x －2

D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1

解析：选B.对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一，故不符合．对于B 项，符合函数的定义．对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．

3．与函数y ＝x 相等的函数是( ) A ．y ＝(x )2 B ．y ＝3

x 3

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x 2

x

解析：选B.A 中，函数定义域为[0，＋∞)． C 中，y ＝|x |与y ＝x 的解析式不同． D 中，函数的定义域为{x ∈R |x ≠0}．

4．已知等腰△ABC 的周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，此函数的定义域为( )

A ．R

B ．{x |x >0}

C ．{x |0

⎬⎫

x ⎪⎪

52

应满足2x >y ，即2x >10－2x ，x >5

2

.

综上可知5

2

5．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3} D ．{y |0≤y ≤3}

解析：选A.∵函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，

∴自变量x 取0,1,2,3四个实数，将x 的值依次代入函数解析式，得因变量的值依次为0，－1,0,3，

故其值域为{－1,0,3}．

6．下表表示

解析：∵5＜6≤10，

∴当x ＝6时，对应的函数值是3. 答案：3

7．已知函数f (x )＝1

1＋x

，g (x )＝x 2＋2，则f (g (2))＝________，g (f (2))＝________.

解析：g (2)＝22＋2＝6，f (g (2))＝f (6)＝11＋6＝17，f (2)＝11＋2＝1

3，g (f (2))＝g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫132＋2＝199

. 答案：17 199

8．求下列函数的定义域：

(1)y ＝(x ＋1)2

x ＋1－1－x ；

(2)y ＝(x ＋1)0

|x |－x ；

(3)y ＝1

1＋

1x

.

解：(1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋1≠0

1－x ≥0

，即⎩⎨⎧

x ≠－1x ≤1，所以函

数的定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．

(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋1≠0

|x |－x ≠0

，即⎩⎨⎧

x ≠－1|x |≠x ，

∴x <0且x ≠－1，

∴函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}．

(3)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧

x ≠01＋1x

≠0，即⎩⎨⎧

x ≠0

x ＋1≠0，

即x ≠0且x ≠－1，

∴函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0且x ≠－1}． 9．求下列函数的值域．

(1)y ＝x 2－4x ＋32x 2－x －1；

(2)y ＝2x －x －1.

解：(1)∵y ＝x 2－4x ＋32x 2－x －1＝(x －1)(x －3)(x －1)(2x ＋1)＝x －32x ＋1

(x ≠1且x ≠－1

2)，

又∵x －32x ＋1＝12(2x ＋1)－722x ＋1

＝12－7

2(2x ＋1)，

∵72(2x ＋1)

≠0，∴y ≠12.

当x ＝1时，x －32x ＋1＝1－32×1＋1＝－2

3.

∴函数的值域为⎩⎨⎧

⎭⎬⎫yy ∈R ，且y ≠12，且y ≠－23.

(2)令

x －1＝t ，则t ≥0，x ＝t 2＋1.

∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2＝2⎝⎛⎭⎫t －142＋158

. ∵t ≥0，∴y ≥15

8

.

∴函数y ＝2x －x －1的值域是⎣⎡⎭⎫15

8，＋∞. 10．已知a ，b ∈N ＋，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，求f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 014)f (2 013)＋f (2 015)

f (2 014)

.

解：由f (a ＋b )＝f (a )f (b )知，令a ＝b ＝1，得f (2)＝f (1)f (1)＝4，∴f (2)

f (1)

＝2.

令a ＝2，b ＝1，得f (3)＝f (2)f (1)＝8，∴f (3)

f (2)

＝2.

由此猜测f (x )

f (x －1)＝2(x ≥2，x ∈N ＋)，下面证明此结论．

令a ＝x －1，b ＝1，则f (x )＝f (x －1＋1)＝f (x －1)·f (1)＝2f (x －1)， ∴f (x )f (x －1)

＝2(x ≥2，x ∈N ＋)， ∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2 014)f (2 013)＋f (2 015)f (2 014) ＝2＋2＋…＋22 014个＝4 028.

[高考水平训练]

1．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3

的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎦⎤0，34

B.⎝⎛⎭⎫0，34

C.⎣⎡⎦⎤0，34

D.⎣⎡⎭⎫0，34 解析：选D.由题意知mx 2＋4mx ＋3≠0对x ∈R 恒成立． 当m ＝0时，符合题意；

当m ≠0时，Δ＝(4m )2－12m ＜0，

即0＜m ＜3

4

.

综上m 的取值范围是[0，3

4

)．

2．已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________. 解析：因为f (a )＝a －1＝3，所以a －1＝9，即a ＝10.

答案：10