第九章 中心对称图形单元测试题
苏科版八年级下《第9章中心对称图形》单元测试含解析
苏科版八年级下《第9章中心对称图形》单元测试含解析一、选择题1．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（）A．梯形B．矩形C．正方形D．不是平行四边形3．菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．10cm B．7cm C．5cm D．4cm4．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对边平行B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直二、填空题5．如图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC 于点F，∠BDF=15°，则∠COF=°．6．已知菱形的周长为52，一条对角线长是24，则另一条对角线长是．7．菱形的两邻角的度数之比为l：3，边长为5，则高为．8．如果四边形ABCD满足条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）．三、解答题9．如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．10．如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．11．如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？12．已知菱形ABCD的周长为8cm，∠ABC=120°，求AC和BD的长．13．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、AF．AE 与AF有什么关系？为什么？14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE．15．在宽为6cm的矩形纸带上，用菱形设计如图所示的图案，已知菱形的边长为5cm，请你回答下列问题：（1）如果用5个这样的菱形设计图案，那么至少需要多长的纸带？（2）设菱形的个数为x，请你用x的代数式表示所需的纸带长；（3）现有长125cm的纸带，要设计这样的图案，至多能有多少个菱形？《第9章中心对称图形》参考答案与试题解析一、选择题1．已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】矩形的判定与性质．【分析】根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．【解答】解：已知如图：（1）矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；（2）只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；（3）所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有（1）和（4）．故选C．【点评】本题考查了矩形的轴对称性以及矩形的性质和矩形的判定，准确掌握其性质和判定是解题的关键．2．平行四边形内角平分线能够围成的四边形是（）A．梯形B．矩形C．正方形D．不是平行四边形【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【分析】作出图形，根据平行四边形的邻角互补以及角平分线的定义求出∠AEB=90°，同理可求∠F、∠FGH、∠H都是90°，再根据四个角都是直角的四边形是矩形解答．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵AE、BE分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠BAE+∠ABE=∠BAD+∠ABC=×180°=90°，∴∠AEB=90°，∴∠FEH=90°，同理可求∠F=90°，∠FGH=90°，∠H=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选B．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的邻角互补，角平分线的定义，注意整体思想的利用．3．菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．10cm B．7cm C．5cm D．4cm【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出边长．【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，∴菱形的边长==5cm，故选C．【点评】本题主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，以及勾股定理的内容．4．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对边平行B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】菱形与矩形都是平行四边形，故平行四边形的性质二者都具有，因此A，B，C都不能选，对角线中二者不同的是：菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，故选D答案．【解答】解；∵菱形与矩形都是平行四边形，A，B，C是平行四边形的性质，∴二者都具有，故此三个选项都不正确，由于菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，故选：D．【点评】此题主要考查了菱形及矩形的性质，关键是需要同学们熟记二者的性质．二、填空题5．如图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC 于点F，∠BDF=15°，则∠COF=75°．【考点】矩形的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据DF平分∠ADC与∠BDF=15°可以计算出∠CDO=60°，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得OD=OC，从而得到△OCD是等边三角形，再证明△COF是等腰三角形，然后根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：∵DF平分∠ADC，∴∠CDF=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CD=CF，∵∠BDF=15°，∴∠CDO=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°，在矩形ABCD中，OD=OC，∴△OCD是等边三角形，∴OC=CD，∠OCD=60°，∴OC=CF，∠OCF=90°﹣∠OCD=90°﹣60°=30°，在△COF中，∠COF=（180°﹣30°）=75°．故答案为：75．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记各性质并判断出△OCD是等边三角形是解决本题的关键．6．已知菱形的周长为52，一条对角线长是24，则另一条对角线长是10．【考点】菱形的性质；勾股定理．【分析】首先根据题意画出图形，即可得菱形的边长，又由菱形的性质，利用勾股定理，可求得OB的长，继而求得答案．【解答】解：根据题意得：菱形ABCD的周长为52，一条对角线长AC=6，∴菱形的边长AB=13，AC⊥BD，OA=AC=12，∴OB==5，∴BD=2OB=10，即另一条对角线的长为10．故答案为：10．【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．7．菱形的两邻角的度数之比为l：3，边长为5，则高为5．【考点】菱形的性质；平行线的性质；勾股定理；等腰直角三角形．【专题】计算题．【分析】菱形ABCD的边长BC=5，CE为高，∠B：∠A=1：3，根据菱形的性质得AD∥BC，则∠A+∠B=180°，可计算出∠B=45°，而CE为高，得到△BCE 为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得CE=BC，把BC=5代入计算即可．【解答】解：如图，菱形ABCD的边长BC=5，CE为高，∠B：∠A=1：3，∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∴∠B+3∠B=180°，∴∠B=45°，而CE为高，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BC=CE，∴CE=BC=×5=5．故答案为：5．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．8．如果四边形ABCD满足四边形ABCD是菱形或正方形条件，那么这个四边形的对角线AC和BD互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）．【考点】正方形的性质；菱形的性质．【专题】开放型．【分析】符合对角线互相垂直的四边形有：菱形、正方形，选择一个即可．【解答】解：根据四边形的性质可得到对角线互相垂直的有菱形和正方形，从而答案为：四边形ABCD是菱形或正方形．【点评】此题主要考查菱形和正方形的对角线的性质．三、解答题9．（2016春•天河区校级期中）如图，BC是等腰三角形BED底边DE上的高，四边形ABEC是平行四边形．判断四边形ABCD的形状，并说明理由．【考点】矩形的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质可以证得AB与CD平行且相等，则四边形ABCD 是平行四边形，再证得对角线相等即可证得．【解答】解：四边形ABCD是矩形，理由：∵BC是等腰△BED底边ED上的高，∴EC=CD，∵四边形ABEC是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC=BE，BE=BD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，关键是掌握对角线相等的平行四边形是矩形．10．如图，MN∥PQ，直线l分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角的平分线AB、CB相交于点B，AD、CD相交于点D．试证明四边形ABCD是矩形．【考点】矩形的判定．【专题】证明题．【分析】首先推出∠BAC=∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC=90°，可得平行四边形ABCD是矩形．【解答】证明：∵MN∥PQ，∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，∴∠BAC=∠MAC、∠DCA=∠ACQ，又∵∠MAC=∠ACQ，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，∴∠BCA=∠ACP、∠DAC=∠NAC，又∵∠ACP=∠NAC，∴∠BCA=∠DAC，∴AD∥CB，又∵AB∥CD，∴四边形ABCD平行四边形，∵∠BAC=∠MAC，∠ACB=∠ACP，又∵∠MAC+∠ACP=180°，∴∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．11．（2016春•柘城县期中）如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？【考点】矩形的判定．【分析】（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE=OF；（2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．【解答】（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，∴OE=OC，OC=OF，∴OE=OF．（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，∵AO=CO，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，∴∠ECF=90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角为直角的平行四边形是矩形．12．已知菱形ABCD的周长为8cm，∠ABC=120°，求AC和BD的长．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的四条边都相等求出边长AB，再根据菱形的对角线平分一组对角线求出∠ABO=60°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OB，然后利用勾股定理列式求出OA，最后根据菱形的对角线互相平分求解即可．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=8÷4=2cm，∵∠ABC=120°，∴∠ABO=60°，∵菱形的对角线AC⊥BD，∴∠BAO=90°﹣60°=30°，∴OB=AB=×2=1cm，由勾股定理得，OA===cm，∴AC=2OA=2cm，BD=2OB=2cm．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．13．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、AF．AE 与AF有什么关系？为什么？【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质可以得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，进而就可以得出△ABE≌△ADF，从而得出AE=AF．【解答】解：AE=AF理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D，∴BC=．∵E、F分别是BC、CD的中点，∴BE=BC，DF=CD，∴BE=DF．在△ABE和△ADF中∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF．【点评】本题考查了菱形的性质的运用，线段的中点的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用菱形的性质证明三角形全等是关键．14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB、OC的长度，再根据勾股定理求出菱形的边BC的长，然后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高两种方法列式求解即可．【解答】解：在菱形ABCD中，∵AC=6m，BD=8cm，∴OC=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，∵AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴BC=5cm，∴CD=BC=5cm，S菱形ABCD=CD•AE=AC•BD，即5AE=×6×8，解得AE=4.8cm．【点评】本题考查了菱形的性质，主要涉及到菱形的对角线互相垂直平分，菱形的对角线平分一组对角，以及菱形的面积的求解，熟练掌握并灵活运用菱形的性质是解题的关键．15．在宽为6cm的矩形纸带上，用菱形设计如图所示的图案，已知菱形的边长为5cm，请你回答下列问题：（1）如果用5个这样的菱形设计图案，那么至少需要多长的纸带？（2）设菱形的个数为x，请你用x的代数式表示所需的纸带长；（3）现有长125cm的纸带，要设计这样的图案，至多能有多少个菱形？【考点】菱形的性质．【分析】（1）如图，根据菱形的性质和勾股定理可以求出BO的值，进而可以得出BD的值，依此类推可以得出两个菱形时纸袋的长度，三个菱形时纸带的长度…进而得出5个菱形时的纸带长度；（2）根据1个菱形的长度为4×2=8cm，2个菱形的长度为4×3=12cm．3个菱形的长度为4×4=16cm，就可以得出x个菱形的长度为4（x+1）cm；（3）将4（x+1）≤125建立不等式求出其解，就可以得出结论．【解答】解：（1）如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5cm，AO=CO=AC=3cm．BO=DO=BD，∠AOB=90°，∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得BO==4cm，∴BD=8cm，由图形得，2个菱形时的长度为：8+4=12cm，3个菱形时的长度为：12+4=16cm，4个菱形时的长度为：16+4=20cm，5个菱形时的长度为：20+4=24cm，∴5个这样的菱形设计图案，那么至少需要24cm长的纸带；（2）由图象，得1个菱形的长度为8=4×2=4（1+1）cm，2个菱形的长度为12=4×3=4（2+1）cm，3个菱形的长度为16=4×4=4（3+1）cm，…x个菱形的长度为：4（x+1）cm，（3）由题意，得4（x+1）≤125，x≤30，∵x为整数，∴x=30．答：长125cm的纸带，要设计这样的图案，至多能有30个菱形．【点评】本题考查了菱形的性质的运用，勾股定理的运用，探索规律题的解题方法的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时运用菱形的性质求解是关键．。
2019—2020年苏科版八年级数学下册第9章《中心对称图形——平行四边形》单元检测与简答
苏科版 2019—2020 学年八年级数学下册第9 章《中心对称图形——平行四边形》单元检测与简答一．选择题（共10 小题，每题 3 分，共 30 分）1．以下所给的汽车标记图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A ．B ．C．D．2．如图，点 A 、 B 、C 、D、 O 都在方格纸的格点上，若COD是由AOB 绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为()A ． 30B ． 45C． 90D． 135第 2 题图第 3 题图3．如图，在 Y ABCD中， AB 4 ，BC7 ，ABC 的均分线交AD 于点 E ，则 ED 等于()A ．2B ． 3C． 4D． 54．如图，平行四边形ABCD 中，E，F分别为AD， BC 边上的一点，增添以下条件，不必定能得出 BE / / DF 的是 ()第 4 题图第 6 题图A ． AE CFB ．BE DF C．EBFFDE D．BED BFD5．已知四边形的四条边的长分别是m 、 n 、p、q，且知足m 22222mn 2 pq ．则这个n p q四边形是 ()A ．平行四边形B ．对角线相互垂直的四边形C．平行四边形或对角线相互垂直的四边形 D ．对角线相等的四边形6．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD折叠，使点 C 和点 C 重合，若AB 2 ，则C D的长为()A ．1B ． 2C． 3D． 47．如图，菱形ABCD 中， BAD120， BC10 ，则对角线AC 的长等于 ()A ．5B ． 10C． 15D． 20第 7 题图第 9 题图第 8 题图8．如图，在ABC中，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，若DE 2 ，则BC 的长度是()A ．6B ． 5C． 4D． 39．如图， D 、 E 、F分别是ABC各边的中点．增添以下条件后，不可以获得四边形ADEF是矩形的是()A ．BAC90B ． BC2AE C．DE均分AEB D．AE BC10．如下图，正方形ABCD的对角线AC ，BD订交于点O ，DE 均分ODC交 OC 于点E ，若AB 2 ，则线段OE 的长为()A．2B．2 2C．2 2D． 2 1 23二．填空题（共8 小题，每题 3 分，共 24分）11．如图， Y ABCD 的对角线 AC 、BD订交于点 O ，点E、F分别是线段 AO 、BO 的中点，若 EF 3 ，OAB 的周长是 14，则 AC BD．第 12 题图第11 题图12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E 、 F在直线AC上（不一样于A 、C )，当E 、F 的地点知足13．如图， Y ABCD 中，点的条件时，四边形DEBF 是平行四边形．E 是 AD 边的中点，BE 交对角线AC于点F ，若AF 2 ，则对角线AC长为．第 14 题图第13 题图14．如图，DE / / BC，DE EF，AE EC，则图中的四边形ADCF是，四边形BCFD 是．（选填“平行四边形、矩形、菱形、正方形”)15．在四边形ABCD中，AB DC， AD BC，请再增添一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是．（写出一种即可）16．如下图，COD是AOB绕点O 顺时针方向旋转35 后所得的图形，点 C 恰幸亏AB 上，AOD90 ，则BOC 的度数是．第 17 题图第 16 题图第 18 题图17．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD交于点 O ， OC 2cm ，ABO 30 ，则菱形 ABCD 的面积是．18．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH，这样下去，第n 个正方形的边长为．三．解答题（共 6 小题，满分46 分，此中19 题5 分， 20、 21、 22 每题7 分， 23题8 分， 24题12 分）19．已知，如图，在Y ABCD中，ABC的均分线交AD 于点E ，BCD的均分线交AD 于点F，交 BE 于点G，求证： AF DE ．20．如图，四边形ABCD中AC、 BD 订交于点O ，延伸AD 至点E ，连结EO 并延伸交CB 的延伸线于点F，E F，AD BC．（1）求证： O 是线段 AC 的中点：（2）连结AF、 EC ，证明四边形 AFCE 是平行四边形．21．如图，在边长为 4 的等边ABC 中，D、E分别为AB、BC 的中点， EF AC 于点F，G 为EF 的中点，连结DG ．（1）求EF的长．（2）求 DG 的长．22．如下图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD交于点 O ，12．（ 1）求证：四边形ABCD 是矩形；（ 2）若BOC 120 ， AB 4cm ，求四边形ABCD 的面积．23．如图，在 Y ABCD 中，点E是边 CD 的中点，连结BE 并延伸，交AD 延伸线于点 F ，连结 BD 、CF．（ 1）求证：CEB DEF；（ 2）若AB BF，试判断四边形BCFD的形状，并证明．24．以下各图中， E ， F ，G， H 分别是 AB ，BC，CD， DA 中点，（ 1）如图1，求证：四边形EFGH是平行四边形（ 2）如图2，当 AC和 BD 知足条件时，四边形EFGH是矩形（不用证明）如图3，当 AC 和 BD 知足条件时，四边形EFGH是菱形（不用证明）（ 3）如图 4，当 AC 和BD知足条件时，四边形EFGH 是正方形，并证明你的结论。
2020-2021学年苏科 版八年级下册数学 第9章 中心对称图形——平行四边形 单元测试卷
2020-2021学年苏科新版八年级下册数学《第9章中心对称图形——平行四边形》单元测试卷一．选择题1．经过矩形对称中心的任意一条直线，把这个矩形分成两部分，设这两部分的面积分别为S1和S2，则S1与S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．不能确定2．下列判断四边形是平行四边形的是（）A．两组角相等的四边形B．对角线平分的四边形C．一组对边相等，一组对角相等的四边形D．两组对边分别相等的四边形3．四边相等的四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法判定4．等腰三角形中有一条边长为4，其三条中位线的长度总和为8，则底边长是（）A．4B．8C．4或6D．4或85．如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对三角形ABC分别作下列变换：①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格．②先以点O为中心作其中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°．③先以直线MN为轴作其轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．其中变换后的图形为三角形PQR的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6．按图中所示的排列规律，在空格中应填（）A．B．C．D．7．下列这些美丽的图案都是在“几何画板”软件中利用旋转的知识在一个图案的基础上加工而成的，每一个图案都可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转得来的，旋转的角度为（）A．30°B．60°C．120°D．180°8．观察下列图形，其中是旋转对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图所示的图案中，能够绕自身的某一点旋转180°后还能与自身重合的图形的个数是（）A．1B．2C．3D．410．有两个内角分别为90°，60°，30°的完全一样的三角形拼成四边形，其形状不同的有（）A．2个B．3个C．4个D．6个二．填空题11．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2.4，BC＝3.6，AD⊥BC于点D，E，F分别是AB，AC的中点，则EF＝，DE＝，DF＝．12．根据两条对角线的关系判断一个四边形是矩形或菱形或正方形的必不可少的条件是．13．矩形的两邻边分别为8cm和6cm，则其对角线为cm，矩形面积为cm2．14．（1）若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm、12cm，则它的面积为cm2．（2）已知等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为．15．如图，在▱ABC D中，E是AB上一点，F是AB延长线上一点，则S△CDE S△CDF（在横线上填“＜”或“＞”或“＝”）．16．一般来说，反证法有如下三个步骤：（1），（2）（3）．17．国旗上的五角星是旋转对称图形，它的最小旋转角是．18．如图，已知四边形ABCD是一个平行四边形，则只须补充条件，就可以判定它是一个菱形．19．如果▱ABCD和▱ABE F有公共边AB，那么四边形DCEF是．20．等边三角形、平行四边形、矩形、圆四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是．三．解答题21．如图所示，已知DE，EF是△ABC的两条中位线．求证：四边形BFED是平行四边形．22．怎样将图中的甲图案变成乙图案．23．如图，说出这个图形的旋转中心，它绕旋转中心至少旋转多大角度才能与原来图形重合？24．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，DF⊥AE于点F，H为DF的中点，证明：CH⊥DF．25．如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形ABCD，其中点A，B在x轴上，点D 在y轴上，点C在第一象限．已知AD⊥BD，AD＝4，∠ABD＝30°，求A，B，C，D 各点的坐标．26．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE＝BF＝CG＝DH＝2（1）四边形EFGH的形状是；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）27．有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵象正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竟得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？1234523456345674567856789参考答案与试题解析一．选择题1．解：矩形ABCD中，AD＝BC，AO＝BO＝CO＝DO，∴△AOD≌△BOC（SSS），∵∠ECO＝∠FAO，OA＝OC，∠EOC＝∠FOA，∴△OEC≌△OFA，同理可证，△DEO≌△BFO，∴S1＝S2．故选：C．2．解；根据平行四边形的判定可知，A、B、C不能判定为平行四边形．故选：D．3．解：根据菱形的判定：四边相等的四边形是菱形．故选：B．4．解：由题意得，周长＝2×8＝16，①当底边＝4时，此时腰长＝6，符合题意；②当腰长＝4时，此时底边＝8，4+4＝8，不能构成三角形，不符合题意．综上可得，底边长为4．故选：A．5．解：①通过认真的画图可知，此方法可以将△ABC变换成△PQR，故此方法正确，②通过认真的画图可知，此方法可以将△ABC变换成△PQR，故此方法正确，③通过认真的画图可知，此方法可以将△ABC变换成△PQR，故此方法正确，故选：D．6．解：观察图形，发现：图形绕三角形的中心按顺时针方向转动90°．故选：A．7．解：第一个图案可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转90°得到；第二个图案可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转90°得到；第三个图案可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转90°得到；第四个图案可以看作是它的“基本图案”绕着它的旋转中心旋转90°得到．上述选项中只有180°是90°的整数倍．故选：D．8．解：旋转对称图形是（1），（3），（4）；不是旋转对称图形的是（2）．故选：C．9．解：4个图形都符合条件．故选D．10．解：根据平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对角分别相等，可知角分别为，（1）90°，90°，90°90°；（2）120°，60°，120°，60°；（3）150°，30°，150°，30°；不是平行四边形的四边形为（4）60°，90°，120°，90°．共4种，故选：C．二．填空题11．解：如图∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝BC＝1.8；∵AD⊥BC，E是AB的中点，∴DE＝AB＝2；同理可得DF＝AC＝1.2．12．解：∵矩形、菱形、正方形的对角线都具有平分的性质，则根据两条对角线的关系判断一个四边形是矩形或菱形或正方形的必不可少的条件是平分．故答案为平分．13．解：矩形的对角线为＝10cm，面积S＝6×8＝48cm2故答案为10，48．14．解：（1）∵直角三角形斜边上的中线为12cm，∴斜边＝2×2＝24cm，∴它的面积＝×24×10＝120cm2；（2）∵等腰三角形的一个外角为100°，∴与这个外角相邻的内角是180°﹣100°＝80°，若80°角是顶角，则顶角为80°，若80°角是底角，则顶角为180°﹣80°×2＝20°，所以，这个等腰三角形的顶角为80°或20°．故答案为：（1）120；（2）80°或20°．15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴AB和CD之间的距离处处相等，即S△CDE ＝S△CDF，故答案为：＝．16．解：反证法有如下三个步骤：（1）提出反证，（2）推出矛盾，（3）肯定结论．17．解：∵360°÷5＝72°，∴该图形绕中心至少旋转72度后能和原来的图案互相重合．故答案为：72°．18．解：补充的条件是AB＝BC，理由是：∵AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝BC．19．解：由题意可得：AB平行且等于CD，AB平行且等于EF∴CD平行且等于EF，又∵两个平行四边形在同一平面∴四边形DCEF是平行四边形．故答案为：平行四边形．20．解：矩形、圆即是轴对称图形，又是中心对称图形．故答案为：矩形、圆．三．解答题21．证明：∵DE，EF是△ABC的两条中位线．∴DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BFED是平行四边形．22．解：步骤：（1）将图甲绕O点逆时针旋转一定角度，使树干与地面垂直．（2）接着将图（1）向右平移至与图乙重合即可．23．解：这个图形的旋转中心为圆心；∵360°÷6＝60°，∴该图形绕中心至少旋转60度后能和原来的图案互相重合．24．证明：延长AE、DC交于点P，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠PCE，∵BE＝CE，∠AEB＝∠PEC，∴△ABE≌△PCE（ASA），∴PC＝AB＝CD，∵H为DF的中点，∴CH是△PDF的中位线，∴CH∥AE，∵DF⊥AE，∴CH⊥DF．25．解：∵在直角△ABD中，∠ABD＝30°，∴AB＝2AD＝8，又∵直角△ABD中，OD⊥AB，∴∠ADO＝∠ABD＝30°，在直角△AOD中，AO＝AD＝2，OD＝AD•cos30°＝4×＝2，则OB＝AB﹣0A＝8﹣2＝6，则A的坐标是（﹣2，0），B的坐标是（6，0），C的坐标是（8，2），D的坐标是（0，2）．26．解：（1）四边形EFGH是正方形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝7，∵AE＝BF＝CG＝DH＝2，∴AH＝DG＝CF＝BE＝5，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），∴EH＝EF＝FG＝HG，∠AHE＝∠DGH，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠DGH+∠DHG＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝180°﹣90°＝90°，∴四边形EFGH是正方形，故答案为：正方形．（2）在Rt△AEH中，AE＝2，AH＝5，由勾股定理得：EH＝＝，∵四边形EFGH是正方形，∴EF＝FG＝GH＝EH＝，∴四边形EFGH的面积是（）2＝29．（3）四边形EFGH的周长是×4＝4≈4×5.39≈21.6．27．解：∵（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+…+（8+2）+（3+7）+（4+6）+（5+5）+（6+4）+5＝10×12+5＝120+5＝125∴这组数和为125．。
(完整版)第9章中心对称图形—平行四边形测试题含答案
第9章 中心对称图形—平行四边形 测试题一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（2015年汕尾）下列命题中正确的是（ ）A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形2．如图1，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，连接AD ，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（ ）A ．AB ＝BC B ．AC ＝BC C ．∠B ＝60°D ．∠ACB ＝60°3．如图2，DE 是△ABC 的中位线，若AD ＝4，AE ＝5，BC ＝12，则△ADE 的周长是（ ） A ．7.5 B ．30 C ．15 D ．24 4．如图3，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 的度数为（ ） A. 50° B ．60° C ．70° D ．80°5．如图4，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF ，则四边形AECF 是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．无法确定 6．如图5，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，连接DE ，BF ，CE ，AF ，正方形ABCD 的面积为1，则阴影部分的面积为（ ）A ．21 B ．31 C ．41D ．517. 用两个完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形.一定能拼成的图形是（ ） A. ①④⑤ B. ②⑤⑥ C. ①②③ D. ①②⑤8．如图6，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，折痕为BE ，若沿EF 剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（ ） A ．邻边相等的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．两个全等的直角三角形构成正方形 D ．轴对称图形是正方形9．如图7，把一个矩形纸片对折两次，然后沿虚线剪下一个角，为了得到一个内角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°10．如图8，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，若AE＝1，DE＝3，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（）A．3 B．6 C．33D．43二、填空题（每小题4分，共32分）11．在□ABCD中，若添加一个条件：＿＿＿＿，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件：＿＿＿＿，则四边形ABCD是菱形．12．如图9，矩形ABCD内有一点E，连接AE，DE，CE，若AD＝ED＝EC，∠ADE ＝20°，则∠AEC的度数为＿＿＿＿．13．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若菱形ABCD的面积为48 cm2，且AE=6 cm，则AB的长为_________．14. 如图10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________．15. （2015年赤峰）如图11，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，请你只添加一个条件：____________，使得四边形BDFC 为平行四边形．16. 如图12，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形E FGH的面积为_________.17. 如图13，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB的长为_________cm.18．如图14，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________．三、解答题（共58分）19．（8分）如图15，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，P是AC的中点．求证：∠BDP＝∠DBP．20．（8分）如图16，在直线MN上和直线MN外分别取点A，B，过线段AB的中点O作CD∥MN，分别与∠MAB与∠NAB的平分线相交于点C，D．求证：四边形ACBD是矩形．21．（10分）如图17，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：（1）△AE D≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．22. （10分）如图18，在□ABCD中，BE，CE分别平分∠ABC，∠BCD，E在AD上，BE＝12，CE＝5．求□ABCD的周长和面积．23．（10分）如图19，在△ACD中，∠ADC＝90°，∠ADC的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．24．（12分）如图20，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于点Q．（1）求证：四边形PBQD为平行四边形．（2）若AB＝3 cm，AD＝4 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动，设点P的运动时间为t s，问：四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．附加题（15分，不计入总分）以四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E ，F ，G ，H ，顺次连接这四个点，得到四边形EFGH ．（1）如图①，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 也是正方形；如图②，当四边形ABCD 为矩形时，请判断四边形EFGH 的形状（不要求证明）．（2）如图③，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC ＝α（0°＜α＜90°）． ①试用含α的代数式表示∠HAE ； ②求证：HE=HG .③四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．参考答案一、1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7. D 8．A 9．D 10．D二、11．答案不唯一，如∠ADC ＝90° AB ＝BC 12．120° 13．8 cm 14．4.8 15. 答案不唯一，如BD ∥FC ，或BC=DF ，或DE=CE 16. 12 17.73 18．35三、19．证明：因为∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点P 是AC 的中点，所以BP ＝21AC ，DP ＝21AC ．所以BP ＝DP ．所以∠BDP ＝∠DBP ． 20．证明：因为AD 平分∠BA Ｎ，所以∠DA Ｎ＝∠BAD ．因为CD ∥ＭＮ，所以∠CDA ＝∠DA Ｎ．所以∠BAD ＝∠CDA ．所以DO ＝AO ．同理，CO ＝AO ．所以CO ＝DO ．又AO ＝BO ，所以四边形ACBD 是平行四边形．因为AC ，AD 均为角平分线，所以∠CAD ＝90°，所以平行四边形ACBD 是矩形． 21．证明：（1）因为DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，所以∠AED ＝∠CFD ＝90°．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠A ＝∠C ．又DE ＝DF ，所以△AED ≌△CFD ．（2）因为△AED ≌△CFD ，所以AD ＝CD ．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以四边形ABCD 是菱形．22．解：因为BE ，CE 分别平分∠AB C ，∠BCD ，所以∠EBC=21∠ABC ，∠ECB=21∠DCB. 因为AB ∥CD ∠DCB=180°. 所以∠EBC+∠ECB=21（∠ABC+∠DCB ）=90°. 所以△EBC 是直角三角形.因为BE ＝12，CE ＝5，由勾股定理，得BC=13. 因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC. 所以∠DE C=∠ECB.因为∠ECD=∠ECB ，所以∠DEC=∠ECD. 所以DE=CD. 同理，AB=A E.所以AB+CD=AE+DE=AD=BC=13.所以□ABCD 的周长为AB+BC+CD+DA=13+13+13=39． 过点E 作BC 所以S △EBC =21BC·EH=21BE·CE=21×12×5=30. 所以□ABCD 的面积为BC·EH=2×30=60.23．解：因为∠ADC ＝90°，EF ⊥AD ，EG ⊥CD ，所以四边形EFDG 是矩形． 又DE 平分∠ADC ，所以EF ＝EG ．所以四边形EFDG 是正方形. 24．（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以A D ∥BC ，OD ＝OB ．所以∠PDO ＝∠QBO ．又∠POD ＝∠QOB ，所以△POD ≌△QOB ．所以OP ＝OQ ．所以四边形PBQD 为平行四边形．（2）解：能．由题意，知AP ＝t cm ，PD ＝（4－t ） cm ．当PB ＝PD ＝（4－t ） cm 时，四边形PBQD 是菱形．因为四边形ABCD 是矩形，所以∠BAP ＝90°．在Ｒt △ABP 中，AP 2＋AB 2＝PB 2，即t 2＋32＝（4－t ）2．解得t ＝87．所以当点P 的运动时间为87s 时，四边形PBQD 是菱形．附加题（1）解：四边形EFGH 是正方形． （2）①解：在□ABCD 中，AB ∥CD ，所以∠BAD ＝180°-∠ADC ＝180°－α．因为△HAD 和△EAB 都是等腰直角三角形，所以∠HAD ＝∠EAB ＝45°． 所以∠HAE ＝360°－∠HAD －∠EAB －∠BAD ＝360°－45°－45°－（180°－α）＝90°＋α．②证明：因为△AEB 和△DGC 都是等腰直角三角形，所以AE ＝22AB ，DG ＝22CD ．在□ABCD 中，AB ＝CD ，所以AE ＝DG ．因为△HAD 和△GDC 都是等腰直角三角形，所以∠HDA ＝∠CDG ＝45°．所以∠HDG ＝∠HDA ＋∠ADC ＋∠CDG ＝45°＋α＋45°＝90°＋α＝∠HAE ．又HA ＝HD ，所以△HAE ≌△HDG ，所以HE ＝HG ． ③解：四边形EFGH 是正方形．理由：同②，得GH ＝GF ，FG ＝FE ．因为HE ＝HG ，所以GH ＝GF ＝EF ＝HE ．所以四边形EFGH 是菱形．因为△HAE ≌△HDG ，所以∠DHG ＝∠AHE ．因为∠AHD ＝∠AHG ＋∠DHG ＝90°，所以∠EHG ＝∠AHG ＋∠AHE ＝90°．所以四边形EFGH 是正方形．。
八下第九章《中心对称图形—平行四边形》(特优生)单元测试(有答案)
八八八八八八八八八八八八—八八八八八八八八八八八八八八八姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45º得到正方形AB’C’D’，边BC与D’C’交于点O，则四边形ABOD’的周长是()A. 6√2B. 6C. 3√2D. 3+3√22.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF.则下列结论：①BG=CG；②AG//CF；③S△EGC=S△AFE；④∠AGB+∠AED=145°.其中错误的是()A. ①B. ②C. ③D. ④3.如图，正方形ABCD的边长为6，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是()A. 3B. 6C. 3√2D. 6√24.如图，AB=12，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ACP和等边△CBQ，连接PQ，则PQ的最小值是()A. 3B. 4C. 5D. 65.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD//BC，AE//CD交BC于E，AE平分∠BAC，AO=CO，AD=DC=2，下面结论：①AC=2AB；②AB=√3；③S△ADC= 2S△ABE；④BO⊥AE.其中正确的有()D. 4个6.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A瞬时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1=√2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=√2+1；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=√2+2；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2017为止，则AP2017长为()A. 1344+672√2B. 1344+673√2C. 1345+673√2D. 1345+674√2二、填空题7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠CAB=30º，BC=1，将△ABC绕点B顺时针转动，并把各边缩小为原来的1，得到△DBE，点A，B，E在一直线上．P为2边DB上的动点，则AP+CP的最小值为___________．8.如图，将一副三角板叠放在一起，使60°角的顶点与直角的顶点重合于点O，并能绕O点自由旋转，若∠AOC=102°，则∠BOD=___________________ 度．9.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为______．10.已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=BE=6，则AC的长等于______．11.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形；其中正确的结论是____________(请写出正确结论的所有序号)．三、解答题12.“半角型”问题探究：(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°到△ADG的位置，然后再证明△AFE≌△AFG，从而得出结论：____(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．CD上的点，且∠EAF=12归纳应用(3)正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°，已知BE=3，DF=2，求正方形ABCD的边长．拓展提高(4)边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF=1，O为EF的中点，动点G、H分别在边AD、BC上，EF与GH的交点P在O、F之间(与O、F不重合)，且∠GPE=45°，设AG=m，直接写出m的取值范围．13.如图，在菱形四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，对角线AC、BD交与点O，点P为直线BD上的动点(不与点B重合)，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°得到线段PE，连接CE、BE(1)问题发现如图1，当点E在直线BD上时，线段BP与CE的数量关系为；∠ECB=°(2)拓展探究如图2，当点P在BO的延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)问题解决当∠BEC=30°时，请直接写出线段AP的长度．14.如图，在▱ABCD中，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，CP=CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．(1)若∠BPC=∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；(2)在(1)的条件下，当AP=2，AD=6时，求AQ的长．15.已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E．(1)当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，证明：OD+OE=√2OC；(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．16.如图①，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．(1)①试说明CE=CF，∠BCE=∠DCF；②如图①，若点G在AD上，且∠GCE=450，则GE=GF成立吗⋅为什么⋅(2)运用(1)中积累的经验和知识，完成下题：如图②，在梯形ABCG中，AG//BC，BC>AG，∠B=900，AB=BC=6，E是AB 上一点，且∠GCE=450，BE=2，求GE的长．17.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，以OA为一边在第四象限内画正方形OABC，D(m,0)为x轴上的一个动点(m>2)，以BD为一直角边在第四象限内画等腰直角△BDE，其中∠DBE=90∘．(1)试判断线段AE、CD的数量关系，并说明理由；(2)设DE的中点为F，直线AF交y轴于点G.问：随着点D的运动，点G的位置是否会发生变化？若保持不变，请求出点G的坐标；若发生变化，请说明理由．答案和解析1.A解：连接BC′，∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，∴B在对角线AC′上，∴∠OBC’=90°，∠OC′B=45°，∴△OBC′是等腰直角三角形．∵B′C′=AB′=3，在Rt△AB′C′中，AC′=√AB′2+B′C′2=3√2，∴BC′=3√2−3，在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3√2−3，在直角三角形OBC′中，OC′=√2(3√2−3)=6−3√2，∴OD′=3−OC′=3√2−3，∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3√2−3+3√2−3=6√2，2.D解：由题意显然易得：Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG=FG，∠AGB=∠AGF.设BG=x，则CG=BC−BG=6−x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2.在Rt△ECG 中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2.∵CG=6−x，CE=4，EG=x+2，∴(6−x)2+42=(x+2)2，解得：x=3.∴BG=GF=CG=3.∴①正确；∵CG=GF，∴∠CFG=∠FCG.∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，∠BGF=∠AGB+∠AGF，∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF.∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG，∴∠AGB=∠FCG.∴AG//CF.∴②正确；∵S△GCE=12GC⋅CE=12×3×4=6，S△AFE=12AF⋅EF=12×6×2=6，∴S△EGC=S△AFE；∴③正确；∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE，又∵∠BAD=90°，∴∠GAE=45°，∴∠AGB+∠AED=180°−∠GAE=135°．∴④错误．3.C解：作点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于点D′，再过点D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=6，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，∵AP′=P′D′，2P′D′2=AD′2=36，∴P′D′=3√2，即DQ+PQ的最小值为3√2．4.D解：如图，分别延长AP、BQ交于点D，∵∠A=∠QCB=60°，∴AD//CQ，∵∠B=∠PCA=60°，∴四边形CPDQ为平行四边形，∴PD=CQ，PC=DQ，∴PD+DQ=PC+CQ=AC+BC=12，作△ABD的中位线MN，则MD=DN=MN=12AB，∴MD+DN=AB=12，∴MD+DN=PD+DQ，∴PM=QN，作PE⊥MN，QF⊥MN，∴PE//QF，在△PME和△QNF中，{∠PME=∠QNF=60∘∠PEM=∠QFN=90∘PM=QN∵∴△PME≌△QNF(AAS)，∴ME=FN，∴MN=EF，∴PQ≥EF，∴C是线段AB的中点时，PQ的值最小，最小值为12AB=6．5.D解：∵AD//BC，AE//CD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AD=DC，∴四边形AECD是菱形，∴AE=EC=CD=AD=2，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3．∵∠ABC=90°，∴∠1+∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴BE=12AE=1，AC=2AB.结论①正确；在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=√22−1=√3.结论②正确；∵O是AC的中点，∠ABC=90°，∴BO=CO=AO=12AC．∵∠1=∠2=∠3=30°∴∠BAO=60°，∴△ABO为等边三角形．∵∠1=∠2，∴AE⊥BO.结论④正确；∵S△ADC=S△AEC=AB·CE2,S△ABE=AB·BE2，∵CE=2，BE=1，∴CE=2BE，∴S△ACE=AB·2BE2=2×AB·BE2，∴S△ACE=2S△ABE，∴S△ADC=2S△ABE．结论③正确∴正确的个数有4个，6.B解：AP1=√2，AP2=1+√2，AP3=2+√2；AP4=2+2√2；AP5=3+2√2；AP6=4+2√2；AP7=4+3√2；AP8=5+3√2；AP9=6+3√2；∵2017=3×672+1，∴AP2015=1343+672√2．AP2016=1344+672√2，AP2017=1344+673√2，7.3.如图所示：延长BE到F使BF=BC，连结PF．∵∠C=90°，∠CAB=30°，∴AB=2BC=2，∠CBA=60°，由旋转的性质可得到∠DBE=∠CBA=60°，∵在△BCP和△BFP中，BC=BF，∠CBP=∠FBP，BP=BP，∴△BCP≌△BFP，∴PC=PF，∴AP+CP=AP+FP.，当点A、P、F在一条直线上时，AP+CP有最小值，∴PA+CP的最小值=AB+BF=2+1=3．8.48或108解：解：①当OD在∠AOB内部时，∠BOD=∠COD+∠AOB−∠AOC=90°+60°−102°=48°．②当OD在∠AOB外部时，∠BOD=360°−∠AOC−60°−90°=360°−102°−60°−90°=108°．9.6解：∵矩形纸片ABCD折叠，点D与点B重合，点C落在C′处，∴BE=ED，BC′=CD，C′F=CF，∴△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD，△BC′F的周长=BF+C′F+BC′=BE+CF+CD=BC+CD，∴△ABE和△BC′F的周长之和=AB+AD+BC+CD=矩形ABCD的周长，∵AB=1，BC=2，∴△ABE和△BC′F的周长之和=2×(1+2)=2×3=6．10.9√52解：过D点作DF//BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD=BE=6，则DF=3，AF=√AD2+DF2=3√5，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AC=32AF=32×3√5=9√52．11.①②解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE−∠ABF=∠FBC−∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，{AB=EB∠CBA=∠FBE BC=BF，∴△ABC≌△EBF(SAS)，∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD=DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴DF=AB=AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；∴∠FEA=∠ADF，∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，在△FEB和△CDF中，{EF=DC∠FEB=∠CDF EB=FD．∴△FEB≌△CDF(SAS)，选项①正确；若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误．12.(1)解：EF=BE+DF；(2)解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，在△ABE和△ADG中，∵{DG=BE ∠B=∠ADG AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵{AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF,∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；(3)解：如图3，延长CD到点G，截取DG=BE，连接AG，在△AEB与△AGD中，∴△AEB≌△AGD(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠GAD，∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAF+∠DAG=∠GAF=45°．在△EAF与△GAF中，∵{AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF=GF=BE+DF=5，设正方形ABCD的边长=x，∴CE=x−3，CF=x−2，∵EF2=CE2+CF2，∴25=(x−3)2+(x−2)2，∴x=6，x=−1(不合题意，舍去)，∴正方形ABCD的边长是6；(4)解：m的取值范围为43<m≤83.(1)如图1，在△ABE和△ADG中，∵{DG=BE ∠B=∠ADG AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵{AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF,∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；(2)延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题；(3)延长CD，截取DG=BE，连接AG，根据SAS可得出△AEB≌△AGD，故可得出AE= AG，∠BAE=∠GAD，再由∠EAF=45°，∠BAD=90°可得出∠GAF=∠EAF，由SAS可得△EAF≌△GAF，故EF=GF=5，故根据勾股定理可得出结论；(4)①假设P与O重合，如图4，∵O为EF的中点，∴O为正方形ABCD的对称中心，过A作AN//EF交CD于N，则NF=AE=1，∴DN=CN=2，过O作G′H′//GH交AD于G′，交BC于H′，∴AG′=CH′，DG′=BH′，过A作AM//G′H′交BC于M，∴AG′=MH′，∠G′OE=45°，∴∠MAN=45°，延长CD到Q，使DQ=BM，由(3)知MN=NQ，设BM=a，则CM=4−a，MN=QN=a+2，∵MN2=CM2+CN2，∴(2+a)2=(4−a)2+22，解得：a=43，∴AG′=43；②当H与C重合时，如图5，由①知BM=43，∴AG″=CM=4−43=83；∴m的取值范围为43<m≤83.13.解：(1)问题发现BP=CE，90°(2)拓展探究(1)中结论仍然成立，理由如下：∵四边形ABCD是菱形∴BO⊥AC且OA=OC∵∠ABC=60°∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°将线段AP绕点P逆时针旋转60°得到线段PE∴连接AE，△APE是等边三角形，∵∠BAP=∠BAO+∠OAP，∠CAE=∠EAP+∠OAP，∠BAO=∠EAP=60°∴∠BAP=∠CAE在△BAP与△CAE中，∵{AB=AC∠BAP=∠CAEAP=AE，∴△BAP≌△CAE(SAS)，∴BP=CE，∠ACE=∠ABP=30°．∵∠BCA=60°，∴∠ECB=∠ACE+∠ACB=90°(3)问题解决4或4√7..14.(1)证明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，又∠BPC=∠AQP，∴∠CPQ=∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A=∠CPQ=90°，∴四边形ABCD是矩形；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，{CQ=CQCD=CP，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)，∴DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6−x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2，∴x2+22=(6−x)2，．解得：x=83则AQ的长为8．315.证明：(1)当CD与OA垂直时，∵△CDO为Rt△，∴OC=√OD2+CD2=√OD2+OD2=√2OD，∴√2OC=√2⋅√2OD=2OD，由题意得四边形ODCE是正方形，∴OD+OE=OD+OD=2OD，∴OD+OE=√2OC．(2)图2成立、图3不成立．证明：过点C分别作CK⊥OA，垂足为K，CH⊥OB，垂足为H．∵OM为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，又∵∠1与∠2都为旋转角，∴∠1=∠2，∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK．由(1)知：OH+OK=√2OC，∴OD+OE=√2OC．图3不成立，猜想OE−OD=√2OC．16.(1)①证明：在正方形ABCD中，BC=CD，在△BCE和△DCF中，BC=CD∠B=∠CDF=90°DF=BE，∴△BCE≌△DCF(SAS)，∴CE=CF；，∠BCE=∠DCF②EG=BE+GD．理由如下：∵△BCE≌△DCF，∴∠BCE=∠DCF，∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=90°−45°=45°，∴∠GCF=∠GCE，在△GCE和△GCF中，∴△GCE≌△GCF(SAS)，∴EG=GF；(2)设EG=x，由(1)可知，BE+(6−AG)=EG，即2+(6−AG)=x，∴AG=8−x，又∵AE=AB−BE=6−2=4，∴在Rt△AEG中，AE2+AG2=EG2，即42+(8−x)2=x2，解得x=5，即EG=5．17.解：(1)AE=CD；理由：由正方形OABC，可得BC=BA，∠ABC=90°，由等腰直角三角形BDE，可得BD=BE，∠DBE=90°，∴∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD，即∠CBD=∠ABE，∴△CBD≌△ABE，∴CD=AE；(2)点G的位置不会发生变化．理由：如图，过点E作PQ//OD，分别交直线AB，AF于点P，Q，∵∠DAB=∠P=∠DBE=90°，∴∠ADB+∠ABD=∠PBE+∠ABD=90°，∴∠ADB=∠PBE，又∵DB=BE，∴△ADB≌△PBE，∴AD=PB，AB=PE，∵F是DE的中点，∴DF=EF，∵AD//EQ，∴∠DAF=∠Q，又∵∠AFD=∠QFE，∴△ADF≌△QEF，∴AD=QE，∴AB+BP=PE+EQ，即AP=QP，∴∠AQP=45°，又∵PQ//OD，∴∠OAG=∠Q=45°，∴△APG是等腰直角三角形，∴GO=AO=2，∴G(0,2)，即点G的位置不会发生变化．。
苏科版八年级下册数学第9章 中心对称图形——平行四边形 含答案(精炼题)
苏科版八年级下册数学第9章中心对称图形——平行四边形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在下列四个图形中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2、如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADE，连接BD。
若AB=8，则图中阴影部分的面积为（）A.16B.16C.32D.323、下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（）A.12B.13C.14D.155、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，EG⊥AF，FH⊥CE，垂足分别为G，H，设AG＝x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A.y＝3 x 2B.y＝4 x 2C.y＝8x 2D.y＝9x 26、下列图形既可看成轴对称图形又可看成中心对称图形的是（）A. B. C. D.7、如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D 1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015，到BC的距离记为h2015．若h 1=1，则h2015的值为（）A. B. C.1- D.2-8、如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件是（）A.①或②B.②或③C.③或④D.①或④9、如图，图①是一个对角线长分别是6和8的菱形，将其沿对角线剪成四个全等的三角形，把这四个三角形无重叠地拼成如图②所示的大正方形，则图②中小正方形的面积为（）A.1B.2C.4D.610、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC时，它是菱形B.当AC=BD时，它是正方形C.当∠ABC=90°时，它是矩形 D.当AC⊥BD时，它是菱形11、下列说法中错误的有（）个．⑴平行四边形对角线互相平分且相等；⑵对角线相等的平行四边形是矩形；⑶菱形的四条边相等，四个角也相等；⑷对角线互相垂直的矩形是正方形；⑸顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形．A.1B.2C.3D.412、如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，BC=2，将Rt△ABC绕A 点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，则BC扫过的面积为（）A. B.（2﹣）π C. π D.π13、下列说法中正确的个数为（）①如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形；②对角线相等的平行四边形是菱形；③如果一个一元二次方程有实数根，那么；④三个角相等的四边形是矩形．A.1个B.2个C.3个D.4个14、如图，一块等腰直角的三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置，使三点共线，那么旋转角度的大小为( )A. B. C. D.15、如图（1）中，△和△都是等腰直角三角形，∠和∠都是直角，点在上，△绕着点经过逆时针旋转后能够与△重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（）A.45°，90°B.90°，45°C.60°，30°D.30°，60°二、填空题(共10题，共计30分)16、菱形ABCD的边长为5,对角线交于O点,且AO、BO的长分别是关于x的方程的两个根,则m的值为________17、如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为________。
苏科版八年级数学下册第九章《中心对称图形——平行四边形》单元测试卷(解析版)
第9章《中心对称图形——平行四边形》单元测试卷一．选择题（共12小题）1．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（）A．5B．6C．7D．82．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34B．26C．8.5D．6.53．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm4．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC 等于（）A．1B．2C．3D．45．在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BCC．AB∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD∥BC6．如图，△ABC是等边三角形，P是形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为18，则PD+PE+PF＝（）A．18B．9C．6D．条件不够，不能确定7．下面的图形中必须由“基本图形”既平移又旋转而形成的图形是（）A．B．C．D．8．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°9．下列图形中，绕着它的中心点旋转60°后，可以和原图形重合的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形10．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；②直线BD必经过点O；③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；④△AOE与△COF成中心对称．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．411．观察如图的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为．14．如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD＝10，BO＝8，则AO的长为．15．如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC＝6，BD＝10，AB＝4，则▱ABCD 面积等于．16．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出个平行四边形．17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了．18．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是．19．正方形至少旋转度才能与自身重合．20．如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE＝3，则折痕AE的长为．三．解答题（共8小题）21．证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）22．如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点．（1）求证：AD与EF互相平分．（2）若∠BAC＝90°，试说明四边形AEDF的形状，并简要说明理由．23．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2，求证：（1）BE＝DF；（2）AF∥CE．24．如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．25．将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N 点，（1）如果把图A中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图B，求证：△CMF≌△CMN：（2）将△CED绕点C旋转：①当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；②当点M在AB上，点N在AB的延长线上（如图C）时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．26．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标．（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．27．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；（2）在（1）中的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②写出点B′的坐标为．答案与解析一．选择题（共12小题）1．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于（）A．5B．6C．7D．8【分析】先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC＝90°．∵E是AC的中点，DE＝5，∴AC＝2DE＝10．∵AD＝6，∴CD＝＝＝8．故选：D．【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．2．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（）A．34B．26C．8.5D．6.5【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝13，所以，斜边上的中线长＝×13＝6.5．故选：D．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．3．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（）A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm【分析】根据三角形中位线定理可以求得三条边的长度，然后由三角形的周长公式可知原三角形的周长．【解答】解：∵三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，∴原三角形的三条边长分别为2cm×2＝4cm，3cm×2＝6cm，4cm×2＝8cm，∴原三角形的周长为：4cm+6cm+8cm＝18cm；故选：B．【点评】本题考查了三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．4．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC 等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB＝BE，根据AD、AB的值，求出EC的值．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA∵AE平分∠BAD∴∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠BEA∴BE＝AB＝3∵BC＝AD＝5∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2故选：B．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．5．在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD一定是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AD＝BCC．AB∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD∥BC【分析】根据平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行分析即可．【解答】解：A、AB＝CD，AD＝BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；B、AD＝CB，AB∥DC不能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项符合题意；C、AB＝CD，AB∥CD能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、AB∥CD，AD∥BC能判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．6．如图，△ABC是等边三角形，P是形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC 的周长为18，则PD+PE+PF＝（）A．18B．9C．6D．条件不够，不能确定【分析】因为要求证明PD+PE+PF的值，而PD、PE、PF并不在同一直线上，构造平行四边形，求出等于AB，根据三角形的周长求出AB即可．【解答】解：延长EP交AB于点G，延长DP交AC与点H，∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，∴四边形AFPH、四边形PDBG均为平行四边形，∴PD＝BG，PH＝AF．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPE也是等边三角形，∴PE＝PH＝AF，PF＝GF，∴PE+PD+PF＝AF+BG+FG＝AB＝＝6，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．7．下面的图形中必须由“基本图形”既平移又旋转而形成的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据平移和旋转的概念，结合选项中图形的性质进行分析，排除错误答案．【解答】解：A、只要平移即可得到，故错误；B、只能旋转就可得到，故错误；C、只有两个基本图形旋转得到，故错误；D、既要平移，又要旋转后才能得到，故正确．故选：D．【点评】解决本题要熟练运用平移和旋转的概念．①图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线段的垂直平分线的交点是旋转中心．8．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，得点B，A，C′，在同一条直线上，则旋转角∠BAB′的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．【解答】解：旋转角是∠BAB′＝180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．9．下列图形中，绕着它的中心点旋转60°后，可以和原图形重合的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】求出各图的中心角，度数为60°的即为正确答案．【解答】解：选项中的几个图形都是旋转对称图形，A、正三角形的旋转最小角是＝120°，故此选项错误；B、正方形的旋转最小角是＝90°，故此选项错误；C、正五边形的旋转最小角是＝72°，故此选项错误；D、正六边形旋转的最小角度是＝60°，故此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查了旋转对称图形旋转的最小的度数的计算方法．考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．10．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；②直线BD必经过点O；③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；④△AOE与△COF成中心对称．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由于△ABC与△CDA关于点O对称，那么可得到AB＝CD、AD＝BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，据此对各结论进行判断．【解答】解：△ABC与△CDA关于点O对称，则AB＝CD、AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形，即点O就是▱ABCD的对称中心，则有：（1）点E和点F，B和D是关于中心O的对称点，正确；（2）直线BD必经过点O，正确；（3）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；其中正确的个数为4个，故选：D．【点评】本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质及中心对称图形的性质是解决此题的关键．解题时注意：关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．11．观察如图的图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．则既是轴对称图形又是中心对称图形的有3个．故选：C．【点评】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．12．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质，△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，点A与点D、B与E 关于点O成中心对称解答．【解答】解：∵△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，∴作图正确是C选项图形．故选：C．【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟记旋转的性质，判断出对应点关于点O对称是解题的关键．二．填空题（共8小题）13．若直角三角形的两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的中线长为 2.5．【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形斜边上中线求出CD＝AB即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，∵CD是△ABC中线，∴CD＝AB＝×5＝2.5，故答案为：2.5．【点评】本题主要考查对勾股定理，直角三角形斜边上的中线等知识点的理解和掌握，能推出CD＝AB是解此题的关键．14．如图，△ABC中，AC、BC上的中线交于点O，且BE⊥AD．若BD＝10，BO＝8，则AO的长为12．【分析】先根据勾股定理得到OD的长，再根据重心的性质即可得到AO的长．【解答】解：∵BE⊥AD，BD＝10，BO＝8，∴OD＝＝6，∵AC、BC上的中线交于点O，∴AO＝2OD＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及重心的性质，根据已知得出各边之间的关系进而求出是解题关键．15．如图，▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC＝6，BD＝10，AB＝4，则▱ABCD 面积等于24．【分析】由▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，若AC＝6，BD＝10，AB＝4，易求得OA与OB的长，又由勾股定理的逆定理，证得AC⊥AB，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝6，BD＝10，AB＝4，∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝5，∴OA2+AB2＝OB2，∴△OAB是直角三角形，且∠BAO＝90°，即AC⊥AB，∴▱ABCD面积为：AB•AC＝4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题考查了平行四边形的性质与勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出15个平行四边形．【分析】根据全等三角形的性质及平行四边形的判定，可找出现15个平行四边形．【解答】解：两个全等的等边三角形，以一边为对角线构成的四边形是平行四边形，这样的两个平行四边形又可组成较大的平行四边形，从该图案中可以找出15个平行四边形．故答案为：15．【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况和读图能力，注意找图过程中，要做到不重不漏．17．钟表的分针匀速旋转一周需要60min，经过20min，分针旋转了120°．【分析】钟表的分针匀速旋转一周需要60分，分针旋转了360°；求经过20分，分针的旋转度数，列出算式，解答出即可．【解答】解：根据题意得，×360°＝120°．故答案为：120°．【点评】本题考查了生活中的旋转现象，明确分针旋转一周，分针旋转了360°是解答本题的关键．18．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是3．【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD＝CG以及∠FCD＝∠ECG，由旋转的性质可得出EC＝FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF＝GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD＝CG＝AB＝6，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG＝DF＝CD＝BC＝3．故答案为3．【点评】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF＝GE．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．19．正方形至少旋转90度才能与自身重合．【分析】正方形可以被其对角线平分成4个全等的部分，则旋转的角度即可确定．【解答】解：正方形可以被其对角线平分成4个全等的部分，则旋转至少360÷4＝90度，能够与本身重合．故答案为：90．【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．注意基础概念的熟练掌握．20．如图，点O是矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重合．若BE＝3，则折痕AE的长为6．【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到OE垂直平分AC，得到AE＝EC，根据AB为AC的一半确定出∠ACE＝30°，进而得到OE等于EC的一半，求出EC的长，即为AE 的长．【解答】解：由题意得：AB＝AO＝CO，即AC＝2AB，且OE垂直平分AC，∴AE＝CE，设AB＝AO＝OC＝x，则有AC＝2x，∠ACB＝30°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC＝x，在Rt△OEC中，∠OCE＝30°，∴OE＝EC，即BE＝EC，∵BE＝3，∴OE＝3，EC＝6，则AE＝6，故答案为：6【点评】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．三．解答题（共8小题）21．证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（要求画图并写出已知、求证以及证明过程）【分析】作出图形，然后写出已知，求证，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE、BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AEBC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBC是矩形，然后根据矩形的对角线互相平分且相等可得CD＝AB．【解答】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD＝AB；证明：如图，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE、BE，∵CD是斜边AB上的中线，∴AD＝BD，∴四边形AEBC是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形AEBC是矩形，∴AD＝BD＝CD＝DE，∴CD＝AB．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质证明，作辅助线，构造出矩形是解题的关键．22．如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点．（1）求证：AD与EF互相平分．（2）若∠BAC＝90°，试说明四边形AEDF的形状，并简要说明理由．【分析】（1）如图，连接DE、DF．欲证明AD与EF互相平分，只需证得四边形AEDF 是平行四边形即可；（2）由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得四边形ADEF为矩形．【解答】（1）证明：如图，连接DE、DF．∵D、F分别是BC，AC的中点，∴DF∥AB，同理，DE∥AC∴四边形AEDF是平行四边形．∴AD与EF互相平分；（2）由（1）得四边形AEDF为平行四边形．∵∠BAC＝90°∴四边形ADEF为矩形．【点评】本题考查的知识比较全面，需要用到三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，以及矩形的判定等．23．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2，求证：（1）BE＝DF；（2）AF∥CE．【分析】（1）由平行四边形的性质可证得△ABE≌△CDF，则可证得BE＝DF；（2）由（1）可求得AE＝CF，则可证得四边形AECF为平行四边形，可证得AF∥CE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和CDF中∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF∥CE．【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．24．如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】由SAS证得△ADE≌△CBF，得出AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，证得AD∥BC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．25．将两块斜边长相等的等腰直角三角形按如图A摆放，斜边AB分别交CD、CE于M、N 点，（1）如果把图A中的△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接FM，如图B，求证：△CMF≌△CMN：（2）将△CED绕点C旋转：①当点M、N在AB上（不与A、B重合）时，线段AM、MN、NB之间有一个不变的关系式，请你写出这个关系式，并说明理由；②当点M在AB上，点N在AB的延长线上（如图C）时，①中的关系式是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）根据旋转的性质可得CF＝CN，∠ACF＝∠BCN，再求出∠ACM+∠BCN ＝45°，从而求出∠MCF＝45°，然后利用“边角边”证明△CMF和△CMN全等即可；（2）①根据全等三角形对应边相等可得FM＝MN，再根据旋转的性质可得AF＝BN，∠CAF＝∠B＝45°，从而求出∠BAF＝90°，再利用勾股定理列式即可得解；②把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，根据旋转的性质可得AF＝BN，CF＝CN，∠BCN＝∠ACF，再求出∠MCF＝∠MCN，然后利用“边角边”证明△CMF和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得MF＝MN，然后利用勾股定理列式即可得解．【解答】解：（1）∵△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，∴CF＝CN，∠ACF＝∠BCN，∵∠DCE＝45°，∴∠ACM+∠BCN＝45°，∴∠ACM+∠ACF＝45°，即∠MCF＝45°，∴∠MCF＝∠MCN，在△CMF和△CMN中，，∴△CMF≌△CMN（SAS）；（2）①∵△CMF≌△CMN，∴FM＝MN，又∵∠CAF＝∠B＝45°，∴∠FAM＝∠CAF+∠BAC＝45°+45°＝90°，∴AM2+AF2＝FM2，∴AM2+BN2＝MN2；②如图，把△BCN绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，则AF＝BN，CF＝CN，∠BCN＝∠ACF，∵∠MCF＝∠ACB﹣∠MCB﹣∠ACF＝90°﹣（45°﹣∠BCN）﹣∠ACF＝45°+∠BCN ﹣∠ACF＝45°，∴∠MCF＝∠MCN，在△CMF和△CMN中，，∴△CMF≌△CMN（SAS），∴FM＝MN，∵∠ABC＝45°，∴∠CAF＝∠CBN＝135°，又∵∠BAC＝45°，∴∠FAM＝∠CAF﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，∴AM2+AF2＝FM2，∴AM2+BN2＝MN2．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，此类题目根据相同的思路确定出全等的三角形，然后找出条件是解题的关键．26．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）．（1）求对称中心的坐标．（2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标．【分析】（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，据此解答即可．（2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可．【解答】解：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），∴对称中心的坐标是（0，2.5）．（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2＝2，∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），∵A1D1＝2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1），∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．【点评】（1）此题主要考查了中心对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（2）此题还考查了坐标与图形的性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．27．如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6，（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．【分析】（1）根据中心对称图形的性质找出各顶点的对应点，然后顺次连接即可；（2）根据三角形的三边关系求解即可．【解答】解：（1）所画图形如下所示：△ADE就是所作的图形．（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，则CD＝DE，AE＝BC，∴AE﹣AC＜2CD＜AE+AC，即BC﹣AC＜2CD＜BC+AC，∴2＜2CD＜10，解得：1＜CD＜5．【点评】本题考查中心对称图形及三角形三边关系的知识，难度适中，解答第（2）问的关键是通过△ADE≌△BDC，将2CD放在△ACE中求解．28．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；（2）在（1）中的条件下，①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②写出点B′的坐标为（﹣1，3）．【分析】（1）根据旋转的定义作出点A、B绕点C逆时针旋转90°得到的对应点，再顺次连接可得；（2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求；（2）①∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，∴点A经过的路径的长为＝，故答案为：；②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及弧长公式．。
八年级下第9章中心对称图形—平行四边形单元试卷含答案
第9章中心对称图形—平行四边形单元测试卷（满分：100分时间：60分钟）一、选择题（每题3分，共21分）1．下列图案中，不是中心对称图形的是( )2．如图，将Rt△ABC(其中∠B＝35°，∠C＝90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角的度数为( )A．55°B．70°C．125°D．145°3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直4．如图，在□ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．176．如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．125B．65C．245D．无法确定7．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF．你认为( )A．小明对B．小亮对C．两人都对D．两人都不对二、填空题（每题3分，共21分）8．如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB'C'，点C'恰好落在斜边AB 上，连接BB'，则∠BB'C'＝_______．9．若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是_______．10．如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为_______．11．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠ADC的度数为_______．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长为_______cm．13．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是_______．14．如图在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AF＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是_______．三、解答题（共58分）15．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，3)、B(－3，1)、C(－1，3)．(1)请按下面的要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2；(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M 点的坐标．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD＝BF．17．如图，在正方形ABCD中，点G是边BC上的任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取一点H，使得AG＝DE＋HG，连接BH．求证：∠ABH＝∠CDE．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在BC边上，且四边形AEFD是平行四边形．(1)AD与BC有何等量关系？请说明理由；(2)当AB＝DC时，求证：□AEFD是矩形．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；(2)当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．20．分别以□ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB、CD、DA为斜边作等腰直角三角形，分别是△ABE、△CDG、△ADF．(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF、EF．请判断GF 与EF的关系（只写结论，不需证明）；(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF、EF，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．参考答案一、1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.A 7.B二、8. 20°9.3 10. 25°11. 65°12.9 13. 11 14. 10三、15．(1)如图(2)如图，对称中心M点的坐标为(2，1)16．略17．略18. (1)3AD＝BC (2)略19．略20. (1) GF⊥EF，GF＝EF (2) (1)中的结论仍成立。
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中心对称图形单元测试题2
一．选择题
1．下列图形中,是中心对称图形而不是轴对称图形的是 （ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是 （ ） A ．对角线互相垂直 B ．对角线互相平分 C ．对角线相等 D ．对角线平分一组对角 3．平行四边形的对角线长为x 、y,一边长为12,则x 、y 的值可能是 （ ） A ．8和14 B ．10和14 C ．18和20 D ．10和34 4．下面说法正确的是 （ ） A ．一个三角形中,至多只能有一个锐角 B ．一个四边形中,至少有一个锐角 C ．一个四边形中,四个内角可能全是锐角 D ．一个四边形中,不能全是钝角 5．一个凸n 边形的边数与对角线条数的和小于20,且能被5整除,则n 为 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．5或6 6．如图：在□ABCD 中,AE ⊥BC 于E,AF ⊥CD 于F 。
若AE=4,AF=6,且□
ABCD 的周长为40,
则ABCD 的面积为 （ ） A ．24 B ．36
C ．40
D ．48
7．顺次连接四边形四边中点所组成的四边形是菱形, 则原四边形为 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．对角线相等的四边形 D ．直角梯形
8．平行四边形ABCD 的周长为2a,两条对角线相交于O,△AOB 的周长比△BOC 的周长大b,则AB 的长为 （ ） A ．
2
b
a - B ．
2
b
a + C ．
2
2b
a + D ．2
2b
a + 9．菱形的周长为20cm,两邻角的比为1：2,则较长的对角线长为
（ ）
A ．4.5 cm
B ．4 cm
C ．53 cm
D ．43 cm
10．在四边形ABCD 中,从①AB ∥CD ；②AB=CD ；③BC ∥AD ；④BC=AD 中任选两个使四边形ABCD 为平行
四边形的选法有 （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 二．填空题
11．一个正方形要绕它的中心至少旋转_______度,才能与原来的图形重合．
12．从数学对称的角度看：下面的几组大写英文字母：①ANEG ；②KBXM ；③XIHO ；
④HWDZ 不同于另外三组的一组是__________,这一组的特点是_______________． 13．若一个正方形的周长为x cm,面积为x cm 2,则它的对角线长为_________． 14．一个菱形的两条对角线长分别为6cm 、8cm,则这个菱形的面积S 为___________． 15．若矩形的一个角的平分线分一边为4cm 和3cm 的两部分,则矩形的周长为__________． 16．把边长为3、5、7的两个全等三角形拼成四边形,一共能拼成____________种
不同的四边形,其中有____________个平行四边形． 17．如图：点E 、F 分别是菱形ABCD 的边BC 、CD 上的点且
A B C D E
F C
∠EAF=∠D=60°,∠FAD=45°,则∠CFE=___________． 18．矩形的两条对角线的夹角为60°,一条对角线与短边的和为 15,则长边的长为___________． 三．解答题
19．作一直线,
将下图分成面积相等的两部分（保留作图痕迹）．
20．如图：□ABCD 中,MN
∥AC,试说明MQ=NP ．
21．矩形ABCD 中,AC 、BD 相交于O,AE 平分∠BAD 交BC 于E ．
若∠CAE=15°,求∠BOE 的度数．
22．如图：菱形ABCD 中,E 是AB 的中点,且DE ⊥AB,AB=a ．
求：① ∠ABC 的度数；
② 对角线AC 的长； ③ 菱形ABCD 的面积．
23．矩形ABCD 中AB=6cm,BC=8cm,AE 平分∠BAC 交BC 于E,CF 平分∠ACD 交AD 于F ． ① 说明四边形AECF 为平行四边形；
② 求四边形AECF 的面积．
24．点D是等腰Rt△ABC的直角边BC上一点,AD的中垂线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F,且BC=2．
①当CD=2时,求AE；
②当CD=2（2-1）时,试证明四边形AEDF是菱形．
第三章中心对称图形(一)
1．A 2．C 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B
11．0°；12．③,各个字母成中心对称；13．14．24cm2；15．22㎝或20cm 16．6、3；17．45°18．
19．提示：将此图形分成两个矩形,找出两矩形的对称中心,连结两中心的直线即是所作线；
20．提示：先证AMQC为平行四边形,得AC＝MQ,再证APNC为平行四边形,得
AC＝NP；
21．∠BOE＝75°；22．①∠ABC＝120°②BD2
2
23．①（略）②平行四边形AECF的面积等于30；
24．①AE＝
3
2
②提示：过D作DG⊥AB于G,通过计算得DG＝CD,则AD平分∠CAB,从而得证.
B
D。