单纯形算法
单纯形法新版
1 2
2 1
1 0
10，A 中的2阶可逆子阵有
1
B 1
0
10，其相应的基向量为P3
,
P 4
,
基变量为x
3
,
x
，X
4
B1
x 3 ; x 4
1
B 2
2
2 1
,
其相应的基向量为P 1
,
P 2
,
基变量为x
1
,
x
2
,
X
B2
x 1 。 x 2
问题：本例旳A中一共有几种基？ —— 6个。
一般地，m×n 阶矩阵A中基旳个数最多有多少个？ — —C m 个。 n
p 1
7
(0 0
0) 4
7;
3
360 90
3
4
[ ] 中表达进基列与出基行旳交叉元，下一张表将实 施以它为主元旳初等行变换（称高斯消去）。措施是： 先将主元消成1，再用此1将其所在列旳其他元消成0。
C X B b1
B
B
0
x 3
360
0
x 4
200
0
x 5
300
0
x 3
240
0
x 4
50
（1）先将模型化为原则型
Maxz 7 x1 12x2
9x 1 4x 2 x 3
5x 2 10 x
2
x 4
200
x 300 5
x
1, x
2, x , x , x
3
4
5
0
(2) 拟定初始基可行解、检验
1
B 0
1
,
B
b1
单纯形算法
遗传算法和单纯形法的函数优化混合算法
一元多极点函数ｆ(ｘ),Ａ、Ｂ、Ｃ为极小值点,其中Ｂ为最小值点. 混合算法的步骤是先用遗传算法搜索到某一个点Ｄ点,转用单纯形法快速 搜索到极小值点Ｃ,然后转用遗传算法.一旦用遗传算法搜索到比点Ｃ的函 数值稍低的点,立即用单纯形法寻找附近的谷底.如此交替进行
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
单纯形
单纯形算法是由Nelder-Mead于1965年提出 的，它可求解有多个变量的函数的局部极小值， 该方法也称为“amoeba”方法 。
• 单纯形算法的基本思想：
在n维空间中取n+1个点构成初始单纯形，比较各 点处目标函数值得大小，丢弃最坏的点（函数最 大值点），代之以新的点，构成新的单纯形，反 复迭代，使其顶点处的函数值逐步下降，顶点逐 步逼近目标函数最小值。
0
50
100
150
200
250
300
350
400
f
(W )
N
W=R
j = j + 1
W =C
向 B方 向 压 缩 ， j =
j +1
41 36.923 33.633 33.633 22.222 22.222 20.147 18.579 18.579 13.727 13.727 12.32 12.32 4.233 4.233 4.233 4.233 4.233 4.233 4.233 4.233 4.233 4.233 0.17752
34 34 34 30.342 30.342 15.729 15.729 15.729 15.729 15.729 7.7465 7.7465 7.7465 7.7465 7.7465 7.7465 7.7465 7.7465 6.4248 6.4248 5.3579 4.5188 3.8617 3 .8617
nm单纯形算法
nm单纯形算法引言：nm单纯形算法是一种用于线性规划问题求解的经典算法。
它通过逐步调整基变量来寻找最优解，具有较高的效率和广泛的应用。
本文将详细介绍nm单纯形算法的原理和步骤，并通过一个实例来说明其具体应用过程。
一、算法原理nm单纯形算法的基本思想是通过改变基变量来逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
其核心原理可以概括为以下几个步骤：1. 初始化：将线性规划问题转化为标准型，并确定初始基变量。
2. 判断最优性：计算当前基解的目标函数值，若已达到最优，则算法结束；否则，进入下一步。
3. 寻找入基变量：选择一个非基变量作为入基变量，使目标函数值增加最快。
4. 寻找出基变量：确定出基变量，使得基变量的取值保持可行。
5. 更新基变量：通过更新基变量来得到新的基解。
6. 重复步骤2-5，直到找到最优解或判断问题无界。
二、算法步骤1. 初始化：将线性规划问题转化为标准型，并确定初始基变量。
标准型的要求是目标函数为最小化形式，约束条件为等式形式。
通过引入松弛变量、人工变量等，将原始问题转化为标准型。
确定初始基变量可通过单纯形表的第一行找到。
2. 判断最优性：计算当前基解的目标函数值，若已达到最优，则算法结束；否则，进入下一步。
将目标函数与单纯形表的最后一列相乘，再求和，得到当前基解的目标函数值。
3. 寻找入基变量：选择一个非基变量作为入基变量，使目标函数值增加最快。
在单纯形表的第一行中，找到系数为负且绝对值最大的变量作为入基变量。
4. 寻找出基变量：确定出基变量，使得基变量的取值保持可行。
在单纯形表中，通过比较各个约束条件中的值与入基变量系数的比值，选择最小正比值对应的变量作为出基变量。
5. 更新基变量：通过更新基变量来得到新的基解。
利用选定的入基变量和出基变量，更新单纯形表中的数值，得到新的基解。
6. 重复步骤2-5，直到找到最优解或判断问题无界。
通过不断迭代，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解或判断问题无界。
simplex 单纯形法
simplex 单纯形法单纯形法（Simplex Algorithm）是一种用于线性规划问题求解的有效算法。
它由美国运筹学家Dantzig于1947年提出，被广泛应用于工业生产优化、资源分配、物流管理等领域。
本文将介绍单纯形法的基本原理、步骤与应用，并探讨其优缺点。
一、基本原理单纯形法是通过不断地在可行解空间中移动来逼近最优解的方法。
该方法从一个初始可行解出发，通过一系列迭代操作，每次改变一个基本变量以达到更优的目标函数值。
最终，算法将找到一个全局最优解或者判断问题无界或无可行解。
二、基本步骤1. 线性规划标准形式化：将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数最小化，约束条件为线性等式。
2. 初始可行解：找到一个满足约束条件的初始可行解，并将其称为基本可行解。
3. 进行迭代操作：通过改变基本变量来改善目标函数值，直到达到最优解或者判断问题无界或无可行解。
4. 基本变量的选择：在每一次迭代中，选择一个非基本变量作为入基变量，并选取一个基本变量作为出基变量。
5. 确定迭代终止条件：判断是否终止迭代，若目标函数值无法继续改善或者判断问题无界或无可行解，则终止迭代。
6. 输出最优解：若找到了最优解，输出最优解及最优目标函数值。
若判断问题无界或无可行解，则给出相应的判断结果。
三、应用领域单纯形法广泛应用于工业生产优化、资源分配、物流管理等领域。
以下是一些典型应用案例：1. 生产计划优化：通过使用单纯形法，可以优化生产计划以最大化产出，同时考虑资源约束和成本限制。
这对于提高生产效率和降低成本非常重要。
2. 物流网络优化：单纯形法可以帮助优化物流网络的设计和运作，以最小化物流成本、最大化物流效率，并满足客户需求。
3. 能源系统调度：单纯形法可以应用于能源系统的调度问题，包括电力系统、天然气输送网络等，以最大化供应效率，并解决资源分配和运营问题。
4. 金融投资组合优化：通过单纯形法，可以优化金融投资组合以最大化收益或最小化风险，并满足投资者的需求。
2.3单纯形法
Hale Waihona Puke c x z0 x z0 c x
T T T
.
定理 2.3.2 如果向量 ξ 的第 k 个分量ξk＞0， 而向量 B Ak ≤0，则原问题无界。 定理 2.3.3 对于非退化的基本可行解 x1，若向量 ξ 的第 k 个分量ξk＞0，而向量 B Ak .至少有一个正分量，则可以找 到一个新的基本可行解 x2 使得 cTx2＜cTx1。
cj
cB -1 -2
ξj
xB x2 x1
b
3/4 15/4 -33/4
-2 x1 0 1 0
-1 x2
0 x3
0 x4
i
1 1/4 -1/8 0 -1/12 5/24 0 -1/12 -7/24
用单纯形法求解以下问题。
例1： max z=2x1+ 3x2 x1+2x2≤8 s.t. 4x1≤16 x1,x2≥0 例3： 例2： max z =2x1+4x2 x1+2x2≤8 s.t. 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
-2 b x1 4 0 4 1 0 0 2 0 -14 0
-3 0 0 x2 x3 x4 0 2 -4 0 1 -1 0 -4 4 1 -1/2 1 0 -1/2 -1
i
cB 0 -2 0 -3 ξj
cj xB x3 x1 x5 x2 cj xB x3 x1 x6 x2 ξj
b 2 2 8 3 -13
四、单纯形法
1.单纯形的基本原理
例 max Z = 2x1+3x2
s.t.
x1+2x2 4
4x1 8 4x2 6 x1, x2 0
划为标准型：
单纯形法
四、单纯形法的实现——单纯形表
例1：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 化为标准型 s.t. 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0 s.t. Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2 +x3 4x1 +5x2 3 x1 +10x2 x1 ,…,x5≥0 +x4 =360 = 200
•
“≥”型约束，减松弛变量；
练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型
Maxz = 7 x1 + 12 x 2 ⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x1 + 5 x 2 ≤ 200 s.t.⎨ 3x1 + 10 x 2 ≤ 300 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
则约束化为
= 360 ⎧9 x1 + 4 x 2 + x3 ⎪4 x + 5 x 2 + x4 = 200 s.t.⎨ 1 3 x1 + 10 x 2 + x5 = 300 ⎪x , x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 5
例4 下面为某线性规划的约束
=1 ⎧ x1 + 2 x2 + x3 ⎪ + x4 = 3 ⎨2 x1 − x2 ⎪ x1 , , x4 ≥ 0 ⎩ 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
解：
本例中， A = ⎡1 2 1 0⎤，A中的2阶可逆子阵有 ⎢ 2 − 1 0 1⎥ ⎦ ⎣
问题：本例的A中一共有几个基？—— 6个。
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一般地，记松弛变量的向量为 X s，则
单纯形算法
单纯形算法单纯形算法是一种求解代数方程组的算法。
单纯形法已成功地应用于解线性方程组，最著名的单纯形算法莫过于葛尔丹（ Graydon）法、郭葛罗夫（ Khorgov）法、亨廷顿法等等。
本文主要介绍以下几种常用的单纯形算法：所谓单纯形算法，其实质就是一个可行域选择的问题，而可行域的选择则需依照问题的需求以及约束条件，来作相关的选择。
因此，我们若想要知道某个方程组的解时，首先必须了解此方程组的系数与方程式，也就是必须确认问题是否有解。
此时，若我们只能知道这些系数与方程式的数值大小，但是并不知道其准确的数值，这就必须利用计算机来进行此部份的工作。
计算机对于方程组解的计算方式与其他的代数方程组很类似，可以分为四种单纯形法：算术单纯形法、比例单纯形法、人工神经网路法、与蒙地卡罗法。
而单纯形法又可以分为单纯形线性法、单纯形二次型法与单纯形三次型法等等。
已知两个系统中有一个元素的量测值为，另一个元素的量测值为且二者之间的差异为，试确定第三个元素的量测值。
在这里可以运用上述的各种单纯形法来求得问题的解。
下面举一个范例来说明单纯形算法的应用：由于未知参数取值的不同，而产生许多的系统无法完全恢复原状，在某些情况下，甚至会导致系统发生灾难性的结果。
若我们欲使系统重新恢复原状，这时候可以使用葛尔丹法来求出X、 Y的值；若只希望得到Y的值时，就可以使用亨廷顿法或是郭葛罗夫法来求出Y的值。
因此在前一个例子中，如果希望获得X与Y的值，就必须使用到单纯形线性法；如果是要想得到Y的值，则使用单纯形二次型法即可。
我们的目标就是找到使上述三个变量的差最小的x的取值。
这里x的取值可以被视为自变量，而其他的两个变量就称为因变量。
由于我们的目标是找出X与Y的值，而非要使X与Y的值都为0，因此我们需要以比例法来求得X与Y的值。
因为X的值是用于表示X与Y的差异，所以X可以视为自变量，而Y的值则是用来衡量X与Y的差距。
如此一来，因变量的取值为，我们可以先求出其平均值，再将所有的X的平均值以及所有的Y的平均值加总起来，即可得到X与Y的平均值，这即是所谓的X与Y的差异。
2.3 线性规划(单纯形算法).
（2.3.5）
j m1
线性方程组相对于基B的典式
线性方程组化典式就是把基变量的系数向量化为 单位向量。
典式的右端向量为基变量的取值。
符号 Aj , b , Aj , b 的含义
（2）目标函数 z cT x 的转化 相应于基 B ，记价值向量为 cT (cBT ,cTN ) ，
则
z
cT
j m 1
b
(2.3.8)
x 0
例
min z x1 2x2 x3 8x4 2x5
s.t.
x1 x1 x2
3x4 2x5 1 5x4 x5 3
x1
x3 2x4 5x5 4
x j 0, j 1,,5
z0
cT
x
(cBT , cTN
)
xB xN
cBT
xB
cTN
xN
所以
z0 cBT xB cBT B1b cBT b
，则
令
j cBT Aj c j , j 1,, n.
称 j 为 xj 的检验数，
的检验数向量。
(1,, n )T .
1、单纯形算法的主要思想：
先找一个基本可行解，判定它是否为 最优解，若不是，就找一个“更好”的基 本可行解，再进行判定，如此迭代进行， 直到找到最优解，或判定问题无界。
2、需解决两个问题：
（1）如何得到第一个基本可行解（§2.4）
（2）如何判定和迭代（本节）
本节总是假定已经找到了一个基本可行
解 x ，即找到了一个基 B
已知 x (1, 2, 3, 0, 0)T 是它的基本可行解，对应的基为