2控制系统状态空间表达式的-luo
第二章 控制系统状态空间表达式的解
从而 称为状态转移矩阵
1 22 1 k k e = I + At + A t + L + A t + L 2! k!
At
x(t ) = e At x0
x(t ) = e A( t −t0 ) x0 这个解反映了从初始时刻的状态向量 x0 ，到任意时 刻的状态向量 x(t ) 的一种变换关系，变换矩阵就是 e At 称为状态转移矩阵，通常记为 φ (t ) 矩阵指数， 几个特殊的矩阵指数函数 1. 若A为对角线矩阵 2. 若A能通过非奇异变换变换成对角线矩阵 3. 若A为约旦矩阵
二、φ (t ) 或 e
1. 根据
At
的计算
e
At
或 φ (t )的定义直接计算
例： 试求如下线性定常系统的状态转移矩阵
& x1 0 x = − 2 &2
At
1 x1 −3 x 2
2 2 3
1 0 0 1 0 1 t 0 1 3 Φ (t ) = e = + −2 −3 t + −2 −3 2! + −2 −3 t + L 0 1 3 7 t − t2 − t3 +L 1− t 2 + t3 +L 2 6 = −2t + 3t 2 − 7 t 3 + L 1 − 3t + 7 t 2 − 5 t 3 + L 3 2 2
t 0 0
At
t
− Aτ
t
Bu (τ ) dτ
x(t ) = e x0 + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ
控制系统的状态空间表达式
160
0
x2
x3
状态空间表达式求传递函数矩阵
单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax bu
y Cx du
在初始松弛时（即：初始条件为零） ，求Laplace变换，并且化简
状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数
Gxu (s)
sI
A 1b
adjsI detsI
A A
b
输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）
状态图如图：
状态空间表达式的建立
由系统高阶微分方程或传递函数演化推理
微分方程中不含有输入信号导数项
考察三阶系统，其微分方程为： y a2 y a1 y a0 y b0u
选取状态变量
则有 x1 x2
写成矩阵形式
x1 y
x2 x3
x1 0
x2
0
x3 a0
x2 y
x3 y
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
B
bn1 anr nr
d11 d1r
D
dm1 dmr mr
基本概念
如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系 统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。
如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系统。
控制系统状态空间法
控制系统状态空间法控制系统状态空间法是现代控制理论中常用的一种方法，它描述了控制系统的动态行为，并通过状态变量来表示系统的内部状态。
在这篇文章中，我们将详细介绍控制系统状态空间法的基本概念、理论原理以及应用。
一、控制系统状态空间法的基本概念状态空间法是一种描述动态系统的方法，通过一组一阶微分方程来表示系统的动态行为。
在这个方法中，我们将控制系统看作是一个黑盒子，输入和输出之间的关系可以用状态方程和输出方程来描述。
1. 状态方程状态方程描述了系统的内部状态随时间的演化规律。
它是一个一阶微分方程组，通常用向量形式表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)其中，x(t)表示系统的状态向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，u(t)是输入向量。
2. 输出方程输出方程描述了系统的输出与内部状态之间的关系。
它通常用线性方程表示：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，y(t)表示系统的输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
3. 状态空间表示将状态方程和输出方程合并，可以得到系统的状态空间表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)在状态空间表示中，状态向量x(t)包含了系统的所有内部状态信息，它决定了系统的行为和性能。
二、控制系统状态空间法的理论原理控制系统状态空间法基于线性时不变系统理论，通过分析系统的状态方程和输出方程，可以得到系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。
1. 系统稳定性系统稳定性是判断系统是否能够在有限时间内达到稳定状态的重要指标。
对于线性时不变系统，当且仅当系统的所有状态变量都是稳定的，系统才是稳定的。
通过分析状态方程的特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 系统可控性系统可控性表示是否可以通过选择合适的输入来控制系统的状态。
一个系统是可控的，当且仅当存在一组输入矩阵B的列向量线性组合可以使得系统的状态从任意初始条件变为目标状态。
通过分析状态转移矩阵的秩，可以判断系统的可控性。
第2章(1)-控制系统的状态空间表达式
第二章 控制系统的状态空间表达式2-1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组（一个或多个）独立的状态变量来描述。
设系统有n 个状态变量n x x x ,,21，它们都是时间t 的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由n x x x ,,21为轴的n 维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:()t x 称作系统的状态向(矢)量。
设系统的控制输入为：r u u u ,,,21 ，它们也是时间t 的函数。
记：那么表示系统状态变量x(t)随系统输入u(t)以及时间t 变化的规律的方程就是控制系统的状态方程:其中()()()[]T=t f t f t f f n 21 是一个函数矢量。
设系统的输出变量为m y y y ,,,21 ，则()Tm y y y y ,,,21 = 称为系统的输出向量。
表示输出变量y(t)与系统状态变量x(t)、系统输入u(t)以及时间t 的关系的方程就称作系统的输出方程: 其中()Tm g g g g ,,,21 = 是一个函数矢量。
在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种： ∙线性定常(时不变)系统(LTI-Linear Time-Invariant)； ∙ 线性不定常(时变)系统(Linear Time-Variant)； ∙ 非线性定常系统(Nonlinear Time-Invariant)； ∙ 非线性时变系统(Nonlinear Time-Variant)。
在本课程中，我们主要考虑线性定常系统(LTI)。
这时，系统的状态空间表达式可以表示如下： 写成矢量形式为：其中：n n nn n n n n a a a a a a a a a A ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211 ， r n nr n n r r b b b b b bb b b B ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211n m mn m m n n c c c c c c c c c C ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211 ， rm mr m m r r a a a a a aa a d D ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 212222111211n n A ⨯----称为系统矩阵，由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性；r n B ⨯----称为输入(或控制)矩阵，主要体现了系统输入的施加情况；n m C ⨯----称为输出矩阵，它表达了输出变量与状态变量之间的关系，r m D ⨯----称为直接传递（转移）矩阵，表示了控制向量U 直接转移到输出变量Y 的转移关系。
2控制系统状态空间表达式的
§2-2-4 矩阵指数函 数求法2例2-3求法3
3.拉氏变换法:Φ(t) eAt L 1[(sI A)1] §2-2 矩阵
指数函数
例
2
4.A
0 2
13,(sI
A)
s 2
1 s 3
求法3例2-4
(sI A)1
1 sI A
adj(sI A)
s2
1 3s 2
s 3
2
1 s
s3
(
s
1)
•
x(t) Ax(t)x,(0) x0
t et et e2t
t
et
2 et
2
e2
t
t et 3 et 4 e2t
两 边 取 拉 氏 变 换:sX(s) x0 AX(s)
(sI A)X(s) x0 X(s)(sI A)1x0
x(t) L 1[(sI A)1]x0
eAt L 1[(sI A)1]
转 移 阵 为 eAt或 eA(tt0 ),其 元 一 般 或 x(t)Φ (t t0 )x(t0 )
为 t的 函 数即, 为 时 变 函 数 阵 ,
意 味 x(t)随 t不 断在 状 态 空
间 转 移 .称 为 状 态 转 移矩 阵 ,
例
:已
知
x
(
0
)
x1 x2
0 0
和
Φ
(
t1
)
则
x
(
t1
)
x1 x2
ab0 ab1t ab2t2 abk1tk1 abktk
比 较 系 数 得:b1 ab0 ax0;
§2-1线性
b2
1 2
a
b1
第2章(2) 控制系统的状态空间表达式
2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。
要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。
第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dtdx i 。
第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。
根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。
例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。
解：该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。
对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。
图2-6 系统方块图图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。
我们取每个积分器的输出端信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x和2x 。
从图可得系统状态方程：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-+-==uT K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 112111311311212222111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y =写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式：[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=x y u T K x K K T K x 01010113122例2-6 求如图2-7（a ）所示系统的动态方程。
解：图2-7(a)中第一个环节21++s s 可以分解为⎪⎭⎫⎝⎛+-211s ，即分解为两个通道。
第二章-控制系统状态空间表达式的解解析
概述(2/4)
本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问 题,即状态空间模型--状态方程和输出方程的求解问题。
➢ 根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微分方程 组,通常是很容易的。
✓ 可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易 事。
➢ 状态转移矩阵的引入,从而使得定常系统和时变系统的 求解公式具有一个统一的形式。
I
At
A2 2!
t2
...
Ak k!
tk
... x0
该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。
✓ 由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所 以称为矩阵指数函数,且记为
e At I At A2 t 2 ... Ak t k ...
2!
k!
级数展开法(5/5)
➢ 利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为： x(t)=eAtx0
➢ 所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项 (u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。
✓ 研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力 作用下的自由(自治)运动。
➢ 所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用, 状态方程解对输入具有非齐次性。
✓ 研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用 下的强迫运动。
线性定常连续系统状态方程的解(3/3)
➢ 下面,将依次分别讨论: ✓ 齐次状态方程的解 ✓ 线性定常连续系统的状态转移矩阵 ✓ 线性定常连续系统非齐次状态方程的解
线性定常齐次状态方程的解(1/2)
2.1.1 线性定常齐次状态方程的解
什么是微分方程的齐次方程?
➢ 齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程 的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。
控制系统状态空间表达式的-lu
统等，具有较强的通用性。
-lu方法的不足
1 2 3
局限性
对于某些特殊类型的控制系统，如时变系统或分 布参数系统，-lu方法可能无法直接应用，需要 采用其他方法进行求解。
计算复杂性
虽然-lu方法可以提高计算效率，但在处理大规 模控制系统时，仍可能面临较高的计算复杂性和 存储需求。
对初值敏感
-lu方法的求解结果对初值选取较为敏感，不同 的初值可能导致不同的求解结果，需要谨慎选择 初值。
结合其他技术
未来可以将-lu分解方法与其他控制技术相结合，如最优 控制、鲁棒控制等，以进一步提高控制系统的性能。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
律。
特征值法
通过分析状态空间表达式的特 征法
对于复杂的状态空间表达式， 可以采用数值解法进行求解，
如龙格-库塔法等。
03 -lu方法的基本原理
-lu方法的性质
稳定性
通过-lu分解得到的新的状态空间表达式与原系统 具有相同的稳定性。
等价性
新的状态空间表达式与原系统在输入输出关系上 完全等价，即具有相同的传递函数。
控制系统状态空间表达式的-lu
目录
• 引言 • 控制系统状态空间表达式 • ·lu方法的基本原理 • 控制系统状态空间表达式的-lu方法应
用 • 控制系统状态空间表达式的-lu方法优
势与不足 • 结论与展望
01 引言
控制系统概述
控制系统定义
控制系统是指通过一系列的执行 机构，对被控对象施加控制作用， 使得被控对象的输出能够按照预 定的规律或者达到预定的目标。
统内部状态变量与外部输入、输出变量之间的关系。
02 03
状态空间表达式的组成
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
(
t1)
x11
x2
1
Φ
(
t1)
x
(
0
)
;
若已知Φ 2)(,t 则 x (2)txx12 22 Φ (2t) x ( 0 ) ;
若知 1 )和 x2( Φ t 1 ) t (t 则2) x Φ (2 t ( t 1 )tx 1 ) ( Φ t2 ( t 1 )tΦ 1 ) x (( t
Φ(2tt1)Φ1)(Φ t (2)t 或 e e e A(2 tt1) A1t A2t
eA1t 0
eA2t
e0Alt;eAi式 t e中 λit 1
t 1
0
1 t2 2!
t
(
1 mi1)t!mi1 1t2 2!t1
2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 求法
若无上述特殊情况，则可采用如下4种方法： ➢ 根据eAt的定义直接计算； ➢ 通过变换A为约当标准型：
A的特征根互异：eAt=TeΛt T-1 A的特征值有重根： eAt=TeJt T-1
➢
2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 求法2
例22.A 02 13为 友 矩 阵 λAIλ 23 λ 2( λ 1 ) (2λ )0λ , 11λ , 22
T
1 λ1
1 λ2
1 1
12,T1
2 1
1 1
eA
t
T
eΛ
tT1
1 1
1 et 2 0
0 2 1 e2 t1 1
➢ 线性定常系统齐次方程的解
矩阵指数函数
➢ 线性定常系统非齐次方程的解 ➢ 线性时变系统的解 ➢ 离散事件系统状态方程的解 ➢ 连续时间状态空间表达式的离散化
2.1线性定常齐次状态方程的解(证明)
x• Axx,(t0)x0在t时的状态？ 简单到复杂的处理方法：
证 明:设 标 量 微 分 方x• 程axx,(0) x0,则 解
第二章 控制系统状态空间表达式的解
➢ 线性定常系统状态空间表达式
x• A x B u y Cx Du
➢ x(0)是系统的初始状态 ➢ ？对给定的控制输入和初始状态，如何确定任意
时刻的系统状态和输出；状态的变化行为？
利用线性系统的特性：叠加原理初始状态、外部 输入的作用叠加。
第二章 控制系统状态空间表达式的解
转移阵为eAt或eA(tt0 ),一般 记Φ(t) eAt 为t的函数即, 为时变函数阵Φ, (t t0 ) eA(tt0 ) 意味x(t)随t不断在状态空 x(t)Φ(t)x(0) 间转移.称为状态转移 矩阵, 或x(t)Φ(t t0 )x(t0 )
2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵定义
例 :已 知 x ( 0)xx1200和 Φ (1t) 则
2.1线性定常齐次状态方程的解(证明)
即x(tx0)Ax0t21!A2x0t231!A3x0t3k1!Akx0tk
(IAt21!A2t2k1!Aktk)x0
(k 0k1!Aktk)x0 eAtx0
状态转移矩阵
关键问题：状态转移矩阵 eAt ?
2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 定义
一.状态转移矩阵: 齐次状态方程解x()t eAtx(0)或 x(t) eA(tt0 )x(t0 )反映从初态x(0) 或x(t0 )到终态x(t)的向 量转移,
证明 :Λ T 1AT,
eΛt
IΛt
1 Λ2t2 2!
I
T 1ATt
1 2!
T 1A
2Tt 2
T 1(I
At
1 2!
A 2t2
)T
T 1e At T,
左乘T右1乘 即T得 : eAtTeΛTt 1
2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵特殊情况
3.若A为约当阵
(1)A J
1
0
1
0
t23t267t3
13t27t225t3
2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 求法2
2.变换A为约当标准型
(1)A特征值互则异Λ, T1AT
eλ1t
0
eΛt
eλ2t
,eAt TeΛtT1;
0
eλnt
( 2) A有只对应立一特独征向量的重,特征值 则JT1AT; eAtTeJtT1
4Φ •. ( tA)Φ( Φ t( )d t de t )AtA A;AeteAA t ; t0 时 Φ •( 0 ,A)Φ( A0 ;)
5n . n , B n A n , 当 且 B仅 A 有 时 A当 e t Be te , ( A B A)B t
2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵特殊情况
x ( t) x0eat
ak tk
k0 n!
(
1a
t
1 a2t2 2!
1 aktk k!
)
x0
2.1线性定常齐次状态方程的解(证明)
对于 x• Axx,(0)tx0，解在形式上的推广：
x ( x 0 t A 0 t ) x 2 1 A 2 x ! 0 t 2 3 1 A 3 x ! 0 t 3 k 1 A k x ! 0 t k
1 Φ( t) eAt eJ teλt
t 1
1 t2 2!
t
(n11)!tn1
1 t2 2!
0
t
1
2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵特殊情况
3.若A为约当阵
A1 ( 2 )JA
A2
0 其 ,
中 i0 Aλ i λ 1i
0
1
0
Ali1,2,,l 0
λ imimi
则 Φ (te)AteJt
2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵性质
状态转移矩阵的基本性质：
1.Φ(t Φ )Φ ( τ t(e) Aτ e tA ;τ ) eA( τ t ) 2. Φ t Φ )( I ( t e A ; 0 ( t t ) I )
3Φ . 1 Φ ( t t e A ) ( ) 1 t ; e A t
1.若 A为 对 角 线 阵即,
λ1
0
A
Λ
0
λ2
λ
n
eλ1t
则 Φ(te)At
eλ2t
0
0
eλnt
2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵特殊情况
2.若 A 能 通 过变非换奇对异角即 线T化 1A T,Λ则 ,
eλ1t
0
Φ( t)eAtT
eλ2t
T1 TeΛtT1
0
eλnt
➢ 利用拉氏反变换法求eAt = L-1(SI － A) -1
➢ 应用凯莱-哈密顿定理求eAt
2.2 矩阵指数函数---状态转移矩阵 求法1
1.定义求解
eA t IAt1A2t21Aktk
2!
k!
例21.A02
13,eA t01
0 0 12
13t02
12 t2 3 2!
1t2t3
2
t3
t237t3