(通用版)2019版高考数学二轮复习第一部分专题十八不等式选讲讲义理(重点生,含解析)(选修4_5)

专题十八不等式选讲[由题知法][典例](2018·福州模拟)设函数f (x)＝|x－1|，x∈R.(1)求不等式f (x)≤3－f (x－1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．[解] (1)因为f (x )≤3－f (x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|⇔|x －1|＋|x －2|≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32⊆M ，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|≤|x －x ＋1|＝1，所以|x －a |≤1，即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32恒成立，所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.[类题通法] 含绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c >0)，|x －a |－|x －b |≥c (或≤c )(c >0)型不等式，可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．①零点分区间法求解绝对值不等式的一般步骤： (ⅰ)令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； (ⅱ)将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；(ⅲ)由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； (ⅳ)取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集． ②利用绝对值的几何意义求解绝对值不等式的方法：由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)或|x －a |－|x －b |≥c (c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．[应用通关]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x >12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a >0，则|ax －1|<1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <2a ，所以2a≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．2．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1－2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <12，1－2x －2x －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，解得x ≥12或－14≤x <12，即x ≥－14，所以原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解， 则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋(2x ＋1)|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时等号成立，故m >2. 所以m 的取值范围是(2，＋∞)．[由题知法]1．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．[典例] (2018·沈阳质监)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |. (1)当a ＝1，b ＝1时，解关于x 的不等式f (x )>1； (2)若函数f (x )的最大值为2，求证：1a ＋1b≥2.[解] (1)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1≤x <1，－2，x <－1，①当x ≥1时，f (x )＝2>1，不等式恒成立， 此时不等式的解集为{x |x ≥1}；②当－1≤x <1时，f (x )＝2x >1，所以x >12，此时不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12<x <1； ③当x <－1时，f (x )＝－2>1，不等式不成立，此时无解．综上所述，不等式f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx >12.(2)证明：法一：由绝对值三角不等式可得 |x ＋a |－|x －b |≤|a ＋b |，a >0，b >0， ∴a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．法二：∵a >0，b >0，∴－a <0<b ， ∴函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b | ＝|x －(－a )|－|x －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，x ≥b ，2x ＋a －b ，－a ≤x <b ，－a ＋b ，x <－a ，结合图象易得函数f (x )的最大值为a ＋b ，∴a ＋b ＝2.∴1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． [类题通法] 证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[应用通关]1．(2018·长春质检)设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A . (1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.解：(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1，只需证|1－abc |>|ab －c |，即证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，即证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)， 即证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得－1<ab <1，c 2<1， 所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立． 综上，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－abc ab －c >1.2．(2018·陕西质检)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，求证：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎝ ⎛－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，∴f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号，∴M ＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1≥3t，∵t ∈[3，＋∞)，∴t 2－3t ≥0，∴t 2－3t ＋1≥1， 又∵3t ≤1，∴t 2－3t ＋1≥3t ，∴t 2＋1≥3t＋3t .[由题知法][典例] (2018·郑州第一次质量预测)设函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )<g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax ＋4对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)由已知，可得|x ＋3|<|2x －1|， 即|x ＋3|2<|2x －1|2，∴3x 2－10x －8>0， 解得x <－23或x >4.故所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(4，＋∞)． (2)由已知，设h (x )＝2f (x )＋g (x )＝2|x ＋3|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －5，x ≤－3，7，－3<x <12，4x ＋5，x ≥12.当x ≤－3时，只需－4x －5>ax ＋4恒成立， 即ax <－4x －9恒成立，∵x ≤－3<0，∴a >－4x －9x＝－4－9x恒成立，∴a >⎝ ⎛⎭⎪⎫－4－9x max ，∴a >－1；当－3<x <12时，只需7>ax ＋4恒成立，即ax －3<0恒成立， 只需⎩⎪⎨⎪⎧－3a －3≤0，12a －3≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤6，∴－1≤a ≤6；当x ≥12时，只需4x ＋5>ax ＋4恒成立，即ax <4x ＋1恒成立．∵x ≥12>0，∴a <4x ＋1x ＝4＋1x 恒成立．∵4＋1x >4，且x →＋∞时，4＋1x→4，∴a ≤4.综上，a 的取值范围是(－1,4]．[类题通法] 绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )形式． (2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ； f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ； f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ； f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ； f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值． (4)得结论．[应用通关]1．(2018·南宁模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|，g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |. (1)求f (x )≥1的解集；(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )．求a 的取值范围． 解：(1)因为函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|， 故f (x )≥1，等价于|2x ＋1|－|2x －3|≥1， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－2x －1－－2x ，①或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，2x ＋1－－2x ，②或⎩⎪⎨⎪⎧x >32，2x ＋1－x －③①无解，解②得34≤x ≤32，解③得x >32.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ≥34.(2)若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g (s )≥f (t )，可得g (x )min ≥f (x )max . ∵函数f (x )＝|2x ＋1|－|2x －3|≤|2x ＋1－(2x －3)|＝4，∴f (x )max ＝4. ∵g (x )＝|x ＋1|＋|x －a |≥|x ＋1－(x －a )|＝|a ＋1|，故g (x )min ＝|a ＋1|. ∴|a ＋1|≥4，∴a ＋1≥4或a ＋1≤－4， 解得a ≥3或a ≤－5.故a 的取值范围为(－∞，－5]∪[3，＋∞)．2．(2019届高三·洛阳第一次联考)已知函数f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|，a ∈R ，g (x )＝x 2－2x －4＋4x －2.(1)若f (2a 2－1)>4|a －1|，求实数a 的取值范围；(2)若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (2a 2－1)>4|a －1|， ∴|2a 2－2a |＋|a 2－1|>4|a －1|， ∴|a －1|(2|a |＋|a ＋1|－4)>0， ∴|2a |＋|a ＋1|>4且a ≠1.①若a ≤－1，则－2a －a －1>4，∴a <－53；②若－1<a <0，则－2a ＋a ＋1>4，∴a <－3，此时无解； ③若a ≥0且a ≠1，则2a ＋a ＋1>4，∴a >1.综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(1，＋∞)． (2)∵g (x )＝(x －1)2＋4x －2－5≥2x －2·4x －2－5＝－1，显然可取等号，∴g (x )min ＝－1.于是，若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，只需f (x )min ≤1. 又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2， ∴(a －1)2≤1，∴－1≤a －1≤1，∴0≤a ≤2， 故实数a 的取值范围为[0,2]． [专题跟踪检测](对应配套卷P209)1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x <－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x >2.当x <－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x <－1； 当－1≤x ≤2时，显然满足题意；当x >2时，由－2x ＋6≥0，解得2<x ≤3， 故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·兰州模拟)设函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋g (x )<2；(2)对于实数x ，y ，若f (x )≤1，g (y )≤1，证明：|x －2y ＋1|≤3. 解：(1)解不等式|x －3|＋|x －2|<2.①当x <2时，原不等式可化为3－x ＋2－x <2，解得x >32.所以32<x <2.②当2≤x ≤3时，原不等式可化为3－x ＋x －2<2，解得1<2.所以2≤x ≤3. ③当x >3时，原不等式可化为x －3＋x －2<2，解得x <72.所以3<x <72.由①②③可知，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x| 32<x <72.(2)证明：因为f (x )≤1，g (y )≤1，即|x －3|≤1，|y －2|≤1，所以|x －2y ＋1|＝|(x －3)－2(y －2)|≤|x －3|＋2|y －2|≤1＋2＝3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3时等号成立．3．(2018·开封模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0. (1)当m ＝－1时，求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ； (2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝|x ＋1|，f (－x )＝|x －1|， 设F (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，2x ，x ≥1，G (x )＝2－x ，由F (x )≥G (x )，解得x ≤－2或x ≥0，所以不等式f (x )＋f (－x )≥2－x 的解集为{x |x ≤－2或x ≥0}． (2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0. 设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ， 则g (x )≥－m ；当m <x <m2时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－m2<g (x )<－m ；当x ≥m2时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－m2.所以g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m2，＋∞，若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空， 只需1>－m2，解得m >－2，又m <0，所以m 的取值范围是(－2,0)．4．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.5．已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )－f (－b )．解：(1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；②当－1<x <－12时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1.综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )>f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab ＋1|2>|a ＋b |2， 即证a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1>0，即证(a 2－1)(b 2－1)>0. 因为a ，b ∈M ，所以a 2>1，b 2>1，所以(a 2－1)(b 2－1)>0成立，所以原不等式成立． 6．(2018·广东五市联考)已知函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)若不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a <12时，函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a.∵f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|m |， ∴当且仅当|m |≤1时，f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立， ∴－1≤m ≤1，即实数m 的最大值为1. (2)当a <12时，g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋12a＋1，x <a ，－x －a ＋12a ＋1，a ≤x ≤12，3x －a ＋12a －1，x >12，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <12，－2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a 2＋a ＋1≥0，解得－12≤a <0，∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0. 7．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|ax －5|(0＜a ＜5)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥9的解集； (2)若函数y ＝f (x )的最小值为4，求实数a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x ＜12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，所以f (x )≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ＜5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)． (2)∵0<a <5，∴5a＞1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋x ＋6，x <12，－a x ＋4，12≤x ≤5a，a ＋x －6，x ＞5a.∵当x ＜12时，f (x )单调递减，当x >5a 时，f (x )单调递增，∴f (x )的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得．∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0＜a ≤2时，f (x )单调递增， 当2＜a ≤5时，f (x )单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤2，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2＜a ≤5，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a ＝2.8．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R. (1)当k ＝1时，若不等式f (x )<4的解集为{x |x 1<x <x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|<4. 当x >2时，原不等式可化为2x <5，∴2<x <52；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3<4，∴－1≤x ≤2. 当x <－1时，原不等式可化为－2x <3， ∴－32<x <－1；综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32<x <52， 即x 1＝－32，x 2＝52.∴x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k . 当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，∴k ≥0. 当x ≤－2或x ≥0时，∵|x ＋1|≥1，∴不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立． 当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ， 可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，∴k ≤3.当－1<x <0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x，∴k <3.综上，可得0≤k≤3，即k的最大值为3.。