求对称曲线方程的简便方法(李霓)
用轨迹法求对称曲线的方程
用轨迹法求对称曲线的方程清远市一中 吴树桂求某一曲线的对称曲线的方程，是一个基本而重要的问题，这个问题需要一种简便而通用的解决方法. 下面我们先来看两道例题：[例一] 已知平行四边形两条边所在直线的方程是AB ：x+y-1=0，BC ：3x-y+4=0，它的对角线的交点是M （3，3），求其它两边CD 和DA 所在直线的方程.[解法一] x+y-1=0解方程组3x-y+4=0得 x=-43，y=47， 则点B 的坐标为（-43，47） 因点M 是BD 的中点，由中点坐标公式，马上得D 点的坐标为（427，417）. 由 CD ∥AB ，DA ∥BC ，K AB =-1，K BC =3 有 K CD =-1，K DA =3，因此CD 和DA 所在直线的方程是：CD ：y=-(x-427)+417； DA ：y=3(x-427)+417 即 CD ：x+y-11=0； DA ： 3x-y-16=0.[解法二] 设直线CD 上任一点的坐标为P （x ，y ），则点P 关于点M 对称的点为P 1（6-x ，6-y ），由平行四边形的对称性知点P 1必在直线AB 上，把P 1的坐标代入直线AB 的方程得 (6-x)+(6-y)-1=0 ， 即 x+y-11=0，这就是CD 所在直线的方程.同理，把点(6-x ，6-y)的坐标代入直线BC 的方程得：3(6-x)-(6-y)+4=0 即 3x-y-16=0， 这就是DA 所在直线的方程.[例二] 求直线3x+4y-5=0关于直线x+y=0对称的直线的方程.[解法一] 3x+4y-5=0解方程组x+y=0得 x=-5，y=5. 故两直线的交点为（-5，5）.如图示，θ1=θ2，则有 tg θ1=tg θ2，而两已知直线的斜率分别为 -43和 -1，设所 求直线的斜率为k ，那么有 43114311++-=---k k 解得 k=-34， 所以所求直线的方程为 y-5=-34(x+5) 即 4x+3y+5=0 [解法二] 设所求直线L 1上任一点为P （x ，y ）， 它关于直线x+y=0对称的点的坐标Y为P 1（-y ，-x ）. 由题设知点P 1必在直线3x+4y-5=0上，则有3(-y)+4(-x)-5=0， 即 4x+3y+5=0，这就是所求直线的方程.从上述我们可以看到：（1）这两例中的解法二就是轨迹法，它显然比其它方法来得快捷简便. （2）用轨迹法求对称曲线的方程，最关键的是知道对称点坐标之间的关系.下面我们就来探讨求对称点坐标的一些结论.[定理1] 点P （x ，y ）关于点M （a ，b ）成中心对称的点的坐标为P 1（2a-x ，2b-y ）. 证明：设对称点P 1的坐标为（x 1，y 1），则由M 是1PP 的中点得a=21x x +，b=21y y +，所以 x 1=2a-x ，y 1=2b-y. 因此 P 1的坐标为P 1（2a-x ，2b-y ）.[定理2] 点P （x ，y ）关于直线L ：Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）对称的点P 1的坐标是（222222)(B A AC ABy x A B +---，222222)(BA BC ABx yB A +---） [证明] 设点P 1的坐标为（x 1，y 1）（1）如果A ≠0，则x ≠x 1.∵ 直线L 垂直平分线段PP 1，∴ AB x x y y =--11 A ·21x x ++B ·21y y ++C=0 解这个方程组得x 1=222222)(B A AC ABy x A B +--- ， y 1=222222)(BA BC ABx yB A +---. 故命题成立.（2）如果A=0，则直线L 的方程可写成y=-BC ，这时P 1的坐标为（x ，-B C 2-y ）， 显然命题也成立.综合（1）、（2）知命题成立.根据定理1和定理2，运用轨迹法即可推得有关对称曲线的下列结论：[推论1] 曲线f （x ，y ）=0关于点M （a ，b ）成中心对称的曲线的方程是f （2a-x ，2b-y ）=0.[推论2] 如果曲线的方程中，用2a-x 代x ，同时以2b-y 代y 而方程不变，那么曲线关于点（a ，b ）成中心对称.[推论3] 曲线C ：f （x ，y ）=0关于直线L ：Ax+By+C=0（A 、B 不同时为零）成轴对称的曲线C 1的方程是：f （222222)(B A AC ABy x A B +---，222222)(BA BC ABx yB A +---）=0. 特别地，有如下结论：[推论4] 曲线f （x ，y ）=0关于原点成中心对称的曲线的方程是f （-x ，-y ）=0.[推论5] 曲线f （x ，y ）=0关于x 轴对称的曲线的方程是 f （x ，-y ）=0.[推论6] 曲线f （x ，y ）=0 关于y 轴对称的曲线的方程是f （-x ，y ）=0.[推论7] 曲线 f （x ，y ）=0关于直线 x-y+c=0对称的曲线的方程是f （y-c ，x+c ）=0.[推论8] 曲线 f （x ，y ）=0 关于直线x+y=c=0对称的曲线的方程是f （-y-c ，-x-c ）=0.[例三] 求曲线9)3(4)2(22++-y x =1 关于直线x+y=0对称的曲线的方程. [解] 在已知曲线的方程中，用-y 代x ，-x 代y ， 得 9)3(4)2(22+-+--x y =1, 即 4)2(9)3(22++-y x =1 ， 这就是所求曲线的方程. [例四] 若圆x 2+y 2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x 2+y 2-4x+3=0，则a 的值等于 .[解] 在圆C 的方程 x 2+y 2-4x+3=0中，用y+1代x ，x-1代y ，方程变为：（y+1）2+（x-1）2-4（y+1）+3=0即 x 2+y 2-2x-2y+1=0则与圆C 关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是 x 2+y 2-2x-2y+1=0，而这是唯一，因此 a=2.。
曲线关于直线对称的曲线方程
曲线关于直线对称的曲线方程曲线关于直线对称的曲线方程是数学中的一个重要概念，它描述了一条曲线关于某条直线对称的特性。
在数学中，对称是一个非常重要的概念，它在几何、代数、图形等多个领域都有广泛的应用。
曲线关于直线对称的曲线方程是指如果曲线上的任意一点关于某条直线对称，那么这个曲线就是关于这条直线对称的。
首先我们来看一下什么是关于直线对称。
在数学中，如果一个点关于某条直线对称，那么这个点到直线的距离和这个点关于直线对称点到直线的距离相等。
这个定义可以推广到曲线上的任意一点，如果曲线上的任意一点关于某条直线对称，那么这个曲线就是关于这条直线对称的。
接下来我们来推导曲线关于直线对称的曲线方程。
假设有一条曲线上有一个点P(x, y)，我们要求这个曲线关于直线y=k对称。
那么P关于直线y=k的对称点为P'(x, 2k-y)。
由于P和P'关于直线y=k对称，所以P和P'到直线y=k的距离相等，即有：√[(x-x)^2 + (y-k)^2] = √[(x-x)^2 + (2k-y-k)^2]化简得：(x-x)^2 + (y-k)^2 = (x-x)^2 + (2k-y-k)^2整理得：(y-k)^2 = (2k-y-k)^2展开得：y^2 - 2ky + k^2 = 4k^2 - 4ky + y^2 - 2ky + k^2化简得：4ky = 4k^2整理得：y = k这就是曲线关于直线y=k对称的曲线方程。
从推导过程可以看出，曲线关于直线对称的曲线方程实际上就是曲线上的点满足一定的条件，即满足与直线对称的性质。
在实际应用中，曲线关于直线对称的曲线方程可以用来解决很多问题。
比如在几何中，我们可以通过曲线关于直线对称的性质来求解一些几何问题；在代数中，我们可以通过曲线关于直线对称的性质来求解一些方程；在图形中，我们可以通过曲线关于直线对称的性质来进行图形的变换等等。
总之，曲线关于直线对称的曲线方程是数学中一个非常重要的概念，它有着广泛的应用。
高中点关于直线对称的点的求法
高中点关于直线对称的点的求法好啦，今天咱们聊聊怎么求一个点关于直线对称的点。
听起来是不是有点高大上？其实嘛，说白了就是找一个点，经过一条直线“翻个身”后，另一个点就出来了。
就像镜子里的自己，照照照，照出一个完美的对称。
大家都知道，数学里最有意思的地方就是那些看似复杂，但只要搞清楚了，做题就能轻松过关。
行啦，废话不多说，我们直入正题！什么是对称点呢？其实就跟照镜子似的。
你站在镜子前面，镜子里看到的就是你对称的“影像”了。
假设你站在镜子前面，左手是右手的“镜像”，下巴是鼻子的“镜像”，这些不都是对称的嘛！而数学里的对称，指的就是这条“镜子”，它是一条直线——叫做“对称轴”，通过这条轴，点就会在两边对称出现。
你只要知道一个点的位置，想象一下这条直线是镜子，翻一翻，新的点就出来了。
是不是很神奇？要找到这个对称点，其实并不难，关键是得搞清楚对称点的坐标是怎么来的。
假设我们有一个点A（x₁，y₁），而我们的对称轴是一条直线y = mx + b，这条直线跟坐标轴可能有不同的角度哦。
我们的任务就是找到A点关于这条直线的对称点。
哎，别急，接下来一步步来，保证让你明明白白！第一步，咱们得找一下点A到直线y = mx + b的垂线。
什么意思呢？就是从点A 出发，垂直直线y = mx + b，找出一个点，记住这个点是A到直线的最短距离。
怎么做？咱们先求出这条垂线的斜率。
你想啊，直线y = mx + b的斜率是m，那垂线的斜率就得是1/m，明白吗？不信你试试，数学里这俩斜率就是一对好基友，总是互为倒数的。
咱们就来求这个垂线的方程了。
假设垂线的方程是y = kx + c。
然后把点A（x₁，y₁）代入进去，解出k和c的值，这样就得到了垂线方程！这个垂线就是你找到直线和点之间最短距离的关键。
第二步，垂线交于点P，这个点P是点A到直线的投影。
你想象一下，点P就像是点A通过镜子看过去的那个影像，它俩之间距离最短。
得到点P的坐标后，我们再通过对称的规则，把点P和点A通过对称轴“拼在一起”，就能找到对称点了。
寻找大致对称曲线的对称轴的方法
一、概述在日常生活和科学研究中，对称曲线及其对称轴的研究有着重要的应用价值。
如何寻找大致对称曲线的对称轴一直是一个备受关注的问题。
本文将介绍几种常用的方法，帮助读者更容易地找到大致对称曲线的对称轴。
二、数学方法1. 基于对称性质的方法利用曲线的对称性质，可以很容易地找到对称轴。
如果曲线关于某一直线对称，那么这条直线就是曲线的对称轴。
通过观察曲线的对称性质，可以迅速确定对称轴的位置。
2. 基于函数的方法对称曲线通常可以用数学函数来描述。
通过分析函数的性质，可以找到曲线的对称轴。
对于二次函数y=ax^2+bx+c来说，对称轴x=-b/2a。
通过这种方法，可以推广到其他类型的曲线上，找到对称轴的位置。
三、图形方法1. 对称轴的折叠法将对称曲线沿着对称轴折叠，使得曲线两侧完全重合。
在折叠时，对称轴就是折叠线的轴线。
这种方法简单直观，适用于各种类型的曲线。
2. 对称轴的镜像法通过绘制曲线的镜像来找到对称轴，即将曲线关于猜测的对称轴进行镜像，如果镜像完全重合的话，那么猜测的对称轴就是正确的。
这种方法需要一定的图形绘制能力，并且对曲线的形状有一定的要求。
四、实例分析给定曲线y=x^2在y轴上的镜像，即y=(-x)^2。
通过绘制两条曲线的镜像，可以得到对称轴x=0。
这个例子说明了通过图形方法找到对称轴的过程。
五、结论本文介绍了几种寻找大致对称曲线对称轴的方法，包括数学方法和图形方法。
这些方法可以相互补充，帮助读者更容易地找到对称轴的位置。
对于不同形式的曲线，可以根据实际情况选择合适的方法进行寻找。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用对称曲线的对称轴问题。
六、进一步探讨在实际应用中，寻找对称曲线的对称轴需要结合数学方法和图形方法，以及对曲线特性的深入理解。
对于一些复杂的曲线，可能需要结合多种方法进行分析才能找到准确的对称轴。
下面将进一步探讨在不同情况下如何选择合适的方法来寻找对称轴。
1. 对称性质与函数的结合对于一些简单的曲线，可以直接利用曲线的对称性质来找到对称轴，比如直接观察图形是否关于某一条直线对称。
续挖枯井有甘甜——探寻对称函数解析式的简便求法
．
— —
（３ ０ 、（，） （ ，） 一 ，） 】０ 、 ０ ３ ，最后利用待定系数法求得
对称 函数 图象 的解 析式为 Ｙ：一 ２ ＋ Ｘ 一 ｘ ３．当然 也可
此 题分 析 了两 种 方法进 行 求解 ，但 是 ，要 高效 率地 学好 数学 ，不能就 题论题 ，要力争 “ 题多变 ” 一 、
２１ 第 １ ００年 ０期
“
一
福 建 中学数 学
４ ５
题多 练” 对相 关知 识进 行有 效 的拓展 与迁 移 ， ， 达
Ｖ
＝
１ ，＝
到做 一 题 ，学 一法 ，会 一类 ，通 一片 的 目的 ．联 想
例 ３ （０７年高考全国Ⅱ卷）如图，在四棱锥 ２０
Ｓ Ｂ Ｄ 中 ， 面 Ａ Ｃ 为正方 形 ， —Ａ Ｃ 底 ＢＤ 侧棱 Ｓ ＿ Ｄｊ 底面 Ａ Ｃ ，Ｅ、 Ｆ分别为 Ａ ＢＤ Ｂ、 Ｓ Ｃ的中点 ．
（ Ｉ）证 明 Ｅ ／ Ｆ／ 平面 Ｓ Ｄ ； Ａ
又 Ａ ＝１ Ｄ ．设 二 面 角 ～ Ｆ～ 的 大 小 为 ０。 Ｅ Ｄ
．
ＥＦ ：
１
角 的平 面角 ，但 计算相 关 线段 的 长度 比较 困难 ，用 向量 方法 时 ，空 间直 角坐 标系 的建 立 也 比较 困难 ，
所 以在等腰 Ａ Ｅ Ｄ Ｆ中 ，
ＥＨ ： 职
１
：
２ ４
’
，
Ｄ ：ｘ Ｅ￣ Ｅ ： ， Ｈ ／ － Ｆ２ — — Ｄ
０
福 建 中学数 学
高考数学：曲线关于点、直线对称的方程求解
平面解析几何的学习中常常遇到下面两类问题:即曲线关于点对称的方程，以及曲线关于某直线对称的方程。
下面的内容，不仅给出了相应的结论，还对结论进行了证明，条理清晰，加强学生对此知识点的理解。
问题1:对曲线f(x y)=0如何求它关于某点A ( u0 v0 ) 对称的曲线方程?问题2:对曲线f(xy)=0如何求它关于某直线ax+by+c=0(a、b不同时为0) 对称的曲线方程?对问题1 我们得出了下面的结论1；对问题2 分直线的斜率存在与不存在两种情况分别给出了下面的结论2和结论3.结论1 :曲线f (xy)=0关于某点A (u0v0) 对称的曲线方程是f(2u0-x2v0-y)=0.证明: 设P(x y) 关于A (u0v0)对称的点为p′(x′y′) 则x + x′=2u0y + y′= 2v0.从而解得:x= 2u0-x′y=2v0-y′.故f (xy)=0关于点A(u0v0) 对称的曲线方程为f(2u0-x′2v0-y′) =0 即f(2u0 - x2v0-y)= 0。
特别地曲线f(xy)=0关于原点对称的曲线方程是f (- x- y) = 0.结论2 :曲线f(xy)=0关于直线x=u0对称的曲线方程是f (2u0-xy)=0.证明:由P(xy) 关于直线x = u0 对称的点为P′(2u0-x y) 即得证.结论3 :曲线f(xy) =0关于直线y = kx + b对称的曲线方程是:证明: k = 0 的情形容易证明下就k 不为0 的情形予以证明.设P( x y) 关于直线y = kx + b对称的点为P′( x′y′) 则从而解得故f ( x y) = 0 关于直线y = kx + b 对称的曲线方程为特别地曲线( x y) = 0 关于x 轴对称的曲线方程是f ( x - y) = 0 、关于y 轴对称的曲线方程是f ( - x y) = 0 、关于直线y = x 对称的曲线方程是f ( y x) =0 、关于直线y = - x 对称的曲线方程是f ( - y - x) =0.上述三个结论的证明都具有共性就是先找出任意点关于某已知点或某已知直线对称的点的坐标. 如果能记住上述三个结论应用起来特别方便；如果没有记住也可以仿照上述证明找出任意点关于已知点或已知直线对称的点的坐标. 再代入f ( x y) = 0 即可.。
一类对称曲线的快捷求法
（） ６ 由直线 ｚ — ＋１ 得 Ｉ 一。 ｚ 一 一１ —ｚ ， ， ＋１
在ｚ 的方程 中， ． 代 ｚ 以 ． 以ｙ 一１ ， ｚ 代 ． 得所求方 ＋１ ｙ ，
程 ：＋２ ． 一２ ０ ｚ — ．
因为点 Ａ（ ） 曲线 Ｃ上 ， 以 Ｆ（ ｔＹ ） ， ｘ， 在 所 ｃ ， 一Ｏ ｃ
ｍｘ （ ） 线 ｚ ＋ １ ；７ 直 线 ｚ ；６直 — 一Ｏ （ ） ＋ 十 １ 对 称 的 —０ 直线方程．
对称性问题 可分为 中心对 称和轴 对称两类 ， 曲线与 曲线关于某点或某直线对称 的问题 ， 可转化为两 点关 总
于某点或某直线对称 的问题 ， 决这类 问题 关键要 掌握 解
已知 曲线 关 于 某 条 直线 （ 或某 点 ） 称 的 曲线 方 程 ， 不 对 而
仔 细观察 与曲线 Ｃ关于特 殊直线 对称 的曲线 Ｃ 的 方程 ， 可以发现 ： 由对称 轴方程 直接表示 出 ， 把它 代 ， 人 曲线 Ｃ然后化 简整理就可得 到曲线 Ｃ 的方程． 如命题 中 由对称轴方程 ｚ ＋ｃ 解得 ｚ —ｆ — 一０ — ， ｚ ， —ｌ ＋ｆ 把 它代入 曲线 Ｃ方程立 即可得 曲线 Ｃ 的方程 Ｆ（ —Ｃｚ ， ＋ ｃ 一０ 如果对称轴是直线 一口 或 一６ ， ） ； （ ） 由点（ ） ｚ， 与
是 点 Ａ 关 于 直 线 ｚ－ｙ ＝０的对 称 点 ， ： － ＋ｃ 则
（） ｚ ３ 在 的方程 中 ， 一ｚ代 ｚ， 以 以一 代 ， 得所求
方 程 ：ｘ ｙ １ ． ２ ＋． —０ ＋ （） ４ 由直 线 — 得 ｚ— 一＿ ， ｚ ，
在 ｚ 的方程 中， －代 ， ．代 ， 以ｚ 以） ， 得所求方程 ： ＋ ｚ
高中数学中曲线对称的解法及应用
高中数学中曲线对称的解法及应用曲线对称是高中数学中一个重要的概念，在不同的题型中都有着广泛的应用。
本文将介绍曲线对称的解法及其在高中数学中的应用。
一、曲线对称的概念解法曲线对称是指曲线上的点关于某条直线或某个点对称。
曲线对称可以分为关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称三种情况。
1. 关于x轴对称：曲线上的点关于x轴对称，可以用以下方法来判断：（1）将曲线上的任意一点的坐标记为P(x, y)，如果P(x, y)在曲线上，则P(x, -y)也在曲线上；（2）如果曲线上的点随着x的增大或减小而移动，其关于x轴的对称点位置也相应地随之变化，则曲线关于x轴对称。
二、曲线对称的应用曲线对称在高中数学中的应用非常广泛，下面分别介绍其中的一些应用。
1. 二次函数的对称轴和顶点：二次函数y=ax^2+bx+c的图像关于对称轴x=-b/2a对称，对称轴上的点称为顶点。
通过对称性质，我们可以通过计算对称轴上的一个点的坐标来确定顶点的坐标。
2. 图形的构造和判定：对称性质可以用于图形的构造和判定。
要在平面直角坐标系中画出一个关于原点对称的图形，可以在第一象限画出一部分，然后将其关于x轴和y轴都对称，即可得到关于原点对称的图形。
3. 函数的奇偶性：如果函数f(x)的图像关于y轴对称，那么就称函数f(x)为偶函数；如果函数f(x)的图像关于原点对称，那么就称函数f(x)为奇函数。
根据函数的对称性质，可以推导出偶函数和奇函数的性质和性质之间的关系。
4. 几何体的对称性质：曲线对称不仅可以用于平面图形，还可以用于空间图形的研究。
球体关于其直径对称，圆锥面关于其轴对称，棱锥面关于其对称轴对称等等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求对称曲线方程的简便方法
（江西黎川县第一中学 李霓 344600）
定理1：曲线f( x,y)=0关于点P （x 0, y 0）的对称曲线方程是f( 2x 0－x, 2y 0－y)=0
证：设A （x 1,y 1）为曲线f(x,y)=0上任一点，则f( x 1,y 1)=0
设A 点关于P 点对称点为B （x, y ）
∴
x 1+x
2 =x 0 x 1= 2x 0－x 代入f(x 1, y 1) =0
y 1+y
2 =y 0 y 1= 2y 0－y 即得方程曲线方程f(2x 0－x, 2y 0－y)=0
例1：求椭圆x 2
9 + y
2
4 =1关于点（2，3）对应的椭圆方程？ 解：根据定理1，所求方程为：
(2×2－x)29 + (2×3－y)24 =1 即 (x －4)29 + (y －6)2
4 =1
定理2：曲线f(x ,y )=0关于直线l :y= x+b 对称的曲线方程是f(y －b, x+b)=0 证：设A （x 1, y 1）为曲线f(x,y)=0上任一点，则f(x 1, y 1)=0……①
设点A 关于直线l 的对称点为B （x,y ），则AB 的中点M(x 1+x 2 ,y 1+y 2 )在直线l 上，所以
y 1+y 2 = x 1+x
2 + b ……②
又AB ⊥l ，所以 y 1－y
x 1－x
·1= －1 ……③
由②与③联立解得x 1= y －b, y 1= x+b 代入①即得所求对称曲线方程
f(y －b, x+b)=0
例2：求抛物线y 2=4x 关于直线y=x －2对称的曲线的方程。
解：根据定理1，所求曲线方程为： (x －2)2 =4(y+2) 即：x 2－4x －4y －4=0
类同定理2证法，同理可证得
定理3：曲线f(x, y)=0关于直线y= －x +b 对称的曲线方程是f(－y +b, －x +b)=0
例3：求直线2x －y －6=0关于直线y=－x －2对称的直线方程 解：根据定理3，所求方程为： 2(－y －2) －(－x －2)－6=0 即：x －2y －8=0
参考文献：
1． 邓金彪：《成才之路》 内蒙古少年儿童出版社
2． 《高中数学辅导与解题范例》 （中学理科参考资料编辑部编） 广西教育出版社。