教案(空间向量运算的坐标表示)
人教版高中数学教案-空间向量运算的坐标表示
3. 1.5空間向量運算的座標表示教學目標1．能用座標表示空間向量，掌握空間向量的座標運算。
2．會根據向量的座標判斷兩個空間向量平行。
重、難點1．空間向量的座標表示及座標運算法則。
2．座標判斷兩個空間向量平行。
教學過程：（一）複習上一節內容（二）新課講解：設a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b(1) a ±b ＝ 。
(2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ．（5）模長公式：若123(,,)a a a a =， 則222123||a a a a a a =⋅=++ （6）夾角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++． （7）兩點間的距離公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，則2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-(8) 設),,(),,,(222111z y x B z y x A ==則AB ＝ ，=AB ．AB 的中點M 的座標為 ．例題分析：例1、（1）已知兩個非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它們平行的充要條件是（ ）A. a ：|a |=b ：|b |B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零實數k ，使a =k b（2）已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，則x+y 的值是（ ）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各組向量共面的是（ ） A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)解析：（1）D ；點撥：由共線向量定線易知；（2）A 點撥：由題知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x ；（3）A 點撥：由共面向量基本定理可得。
空间向量运算的坐标表示教案
8.3 空间向量运算的坐标表示教案一．教学目标：1、空间向量运算的坐标表示；2、能运用向量坐标表示解决平行、垂直问题及距离、夹角问题。
3、选择合适的空间直角坐标系以解决立体几何问题。
二．课前知识准备提纲：1、空间向量基本定理的内容是什么？2、基底的概念？单位正交基底是怎么界定的？3、平面直角坐标系、空间直角坐标系？4、类比平面向量的坐标运算，你能得出空间向量运算的坐标表示吗？三．新课内容1.导入新课一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力为321,,F F F ，它们两两垂直，它们的大小分别为3000N ，2000N ，2000N.若以三个力的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示。
请同学们分小组回答课前准备知识提纲里的习题。
并按照下列问题进行新课（1）空间向量运算的坐标表示有哪些运算公式（2）空间向量平行与垂直的条件（3）向量的坐标及两点间的距离公式新知讲授完毕，紧接着用2道小题加以巩固，通过基础自测，让学生建立知识印象，为后续例题的研析奠定基础。
2、典例精析设计三种类型的例题，分别是空间向量的坐标运算，利用向量解决平行与垂直的问题以及利用向量的坐标形式求夹角与距离。
例1 在△ABC 中，),5,2,3(),2,1,4(),3,5,2(-==-A 求顶点B 、C 的坐标，向量及角A 的余弦值。
通过题型一的分析，让学生懂得空间向量坐标的求法有以下三种情况，由点的坐标求向量的坐标，利用运算求坐标以及利用方程组求坐标。
例2 已知空间三点)4,0,3(),2,1,1(),2,0,2(---C B A ,设==,（1c ,,3求平行BC c =（2）若b a k b a k 2-+与互相垂直，求k通过题型二，介绍向量平行与垂直问题的两种类型。
例3 在长方体1AC 中，底面ABCD 是边长为4的正方形。
高中数学 3.1.5空间向量运算的坐标表示教案 新人教版选修1-1 教案
§3.1.5空间向量运算的坐标表示【学情分析】：平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。
现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。
【教学目标】：（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。
【教学重点】：空间向量的坐标运算 【教学难点】：空间向量的坐标运算 【教学过程设计】：12(,,a a a =123(,,)b b b b =，则1(a b a b +=+1(a b a b -=-1(,a a a λλλ=（2）若(A x 21(AB x x =-一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
2．数量积：即21||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+．模长公式：若12(,,a a a a =2212|a a a a a =⋅=++．平行与垂直：1122//,,a b a b a b a λλ⇔==0⇔=⋅⇔⊥b a b a 6．距离公式：若则2||(AB AB x ==221()(x x y =-+练习与测试： （基础题）1．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°2．已知(1,0,2),(6,21,2),a b λλμ=+=- //,a b λμ若则与的值分别为（ ）A ．21,51 B ．5，2 C ．21,51-- D ．-5，-2（中等题）3.已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=OB OA OM ． ∴AB 的中点坐标是)23,3,2(，)3,4,2(-=AB29)3(4)2(||222=-++-=AB ．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x , 化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ．点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=a ，发现与)3,4,2(-=AB 共线。
空间向量的坐标表示教案
空间向量的坐标表示教案一、教学目标1. 理解空间向量的坐标表示及其意义。
2. 掌握空间向量的坐标运算规则。
3. 能够运用空间向量的坐标表示解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：空间向量的坐标表示及其意义，坐标运算规则。
2. 教学难点：理解空间向量的坐标表示的实际应用，以及坐标运算规则的运用。
三、教学过程1. 导入新课：通过回顾空间向量的定义和性质，引出空间向量的坐标表示。
2. 新课学习：通过案例分析，引导学生理解空间向量的坐标表示及其意义，掌握坐标运算规则。
3. 巩固练习：通过小组讨论、个人展示等方式，让学生进行思考、计算、推导等活动。
4. 归纳总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。
四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、演示、小组讨论、个人展示等。
2. 教学手段：利用多媒体技术，如PPT、视频等，增强学生对所学内容的直观感受和理解。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：通过小组活动和个人展示等方式，让学生进行思考、计算等活动。
2. 作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学内容。
3. 评价方式：采用多元评价方式，包括学生的自我评价、互相评价、教师评价等，以全面了解学生的学习情况和表现。
六、辅助教学资源与工具1. 教学资源：PPT、教材、教案等。
2. 教学工具：多媒体设备、黑板、粉笔等。
七、结论本节课通过对空间向量的坐标表示的学习，帮助学生理解了空间向量的坐标表示及其意义，掌握了坐标运算规则，并能够运用这些知识解决实际问题。
同时，通过小组讨论和个人展示等活动，也锻炼了学生的思维能力和口头表达能力。
希望学生们在今后的学习中能够继续巩固和拓展这些知识，为后续课程的学习打下坚实的基础。
八、教学反思本节课的教学过程中，我注重学生的参与和互动，尽可能地激发学生的学习兴趣和积极性。
同时，通过案例分析、小组讨论等方式，引导学生主动思考和解决问题，发挥了学生的主体作用。
但在教学过程中，也存在一些不足之处，如对某些细节的讲解不够深入，学生的反应不够积极等。
3.1.5空间向量运算的坐标表示(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.5空间向量运算的坐标表示一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．2、掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．3、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学应用意识。
三、教学重点：夹角公式、距离公式．四、教学难点：夹角公式、距离公式的应用． 五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择： 六、教学方法： 七、教学过程1、自主导学：2、合作探究 (一)、复习引入1). 向量的直角坐标运算法则：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； ⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈； ⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++上述运算法则怎样证明呢？（将a ＝1a i ＋2a j ＋3a k 和b ＝1b i ＋2b j ＋3b k 代入即可）2). 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．） (二)、新课讲授1) 向量的模：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，求这两个向量的模. ｜a，｜b向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度． 2) 夹角公式推导：∵ a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞ ∴1122a b a b++cos ＜a ,b ＞由此可以得出：cos ＜a ,b这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos ＜a 、b ＞＝1时，a 与b 同向；当cos ＜a 、b ＞＝－1时，a 与b 反向；当cos ＜a 、b ＞＝0时，a ⊥b ．3) 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)Bx y z ，则A B d =、A B d 、表示A 与B 两点间的距离． 4) 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行． 例题讲解:课本96页：例5、例63、巩固训练：课本97页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结： （1）向量的模（2）两个向量的夹角公式（3）空间两点间的距离公式八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 10 九、板书设计：。
向量的坐标表示教案
向量的坐标表示教案教案标题：向量的坐标表示教学目标：1. 理解向量的概念和性质。
2. 掌握向量的坐标表示方法。
3. 能够在平面直角坐标系和空间直角坐标系中表示和计算向量。
教学内容：1. 向量的概念和性质的介绍：a. 向量的定义和表示方法。
b. 向量的模、方向和零向量。
c. 向量的加法、减法和数量乘法。
d. 向量的数量积和向量积。
2. 向量的坐标表示方法：a. 平面直角坐标系中的向量表示：i. 向量的坐标表示方法。
ii. 向量的加法、减法和数量乘法的坐标表示。
iii. 向量的数量积的坐标表示。
b. 空间直角坐标系中的向量表示：i. 向量的坐标表示方法。
ii. 向量的加法、减法和数量乘法的坐标表示。
iii. 向量的数量积和向量积的坐标表示。
教学步骤：1. 导入：通过一个生活中的例子引入向量的概念，激发学生对向量的兴趣和好奇心。
2. 知识讲解：通过教师讲解和示意图展示向量的概念、性质和坐标表示方法。
3. 理解巩固：组织学生进行小组讨论，解决一些简单的向量计算问题，加深对向量的理解和运用。
4. 练习应用：提供一些练习题，让学生在平面直角坐标系和空间直角坐标系中进行向量的坐标表示和计算。
5. 拓展延伸：引导学生思考向量的应用领域，如力学、几何等，并展示一些相关应用实例。
6. 总结归纳：对向量的概念、性质和坐标表示方法进行总结，并强调重要概念和关键点。
7. 作业布置：布置一些练习题和思考题，巩固和拓展学生对向量的理解和应用能力。
8. 提问互动：鼓励学生提问和回答问题，加强师生互动和学生之间的交流。
教学资源：1. 教材：根据教学大纲选择合适的教材和教辅资料。
2. 示意图：准备一些示意图，以图形化方式展示向量的概念和坐标表示方法。
3. 小组讨论题：准备一些小组讨论题，促进学生之间的合作和交流。
4. 练习题：准备一些练习题，包括计算题和应用题，用于学生的练习和巩固。
评估方式：1. 教师观察：观察学生在课堂上的参与程度、理解情况和问题解决能力。
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案一、教学目标1. 了解向量的概念，掌握向量的坐标表示方法。
2. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和数量积。
3. 能够运用向量的坐标表示和运算解决实际问题。
二、教学内容1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量。
2. 向量的坐标表示：在二维和三维空间中，向量可以用坐标表示。
二维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2) \)三维空间中的向量：\( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \)3. 向量的加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) \)4. 向量的减法：\( \vec{a} \vec{b} = (a_1 b_1, a_2 b_2, a_3 b_3) \)5. 向量的数乘：\( k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ka_3) \)6. 向量的数量积（点积）：\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \)三、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的概念、坐标表示和运算方法。
2. 利用多媒体课件，展示向量的图形，帮助学生直观理解向量的概念和运算。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量运算的规律和应用。
4. 利用例题，讲解向量运算在实际问题中的应用。
四、教学步骤1. 导入新课：回顾初中阶段学习的向量知识，引出高中阶段向量学习的内容。
2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量的本质。
3. 介绍向量的坐标表示方法，让学生掌握向量的坐标表示。
4. 讲解向量的加法、减法、数乘和数量积运算，让学生熟练掌握运算方法。
5. 利用多媒体课件，展示向量的图形，让学生直观理解向量的运算。
五、课后作业1. 填空题：向量\( \vec{a} = (2, 3) \) 的长度是_______。
向量\( \vec{a} = (1, 2) \) 与向量\( \vec{b} = (-1, 2) \) 垂直。
空间向量运算的坐标表示(公开课教案)
空间向量运算的坐标表示(公开课教案)空间向量运算的坐标表示导语：本节课将介绍空间向量运算的坐标表示方法，帮助学生建立空间向量的运算概念和技巧。
通过本节课的学习，学生将能够准确地进行空间向量的加法、减法和数量乘法运算，并能够将运算结果表示为坐标形式，提高对空间向量运算的理解和应用能力。
一、空间向量的定义及表示方法空间向量是指具有大小和方向的物理量，它可以用有序数对或坐标表示。
在三维空间中，一个向量可以用三个有序实数表示，分别表示向量在x、y、z轴上的投影，即(x,y,z)。
例如，向量AB可以表示为(2,3,4)，其中2表示在x轴上的投影，3表示在y轴上的投影，4表示在z轴上的投影。
二、空间向量的加法运算空间向量的加法运算是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的和向量AD可以通过将对应的分量相加得到，即(2+1,3+2,4+3)=(3,5,7)。
表示向量AD的坐标形式即为(3,5,7)。
三、空间向量的减法运算空间向量的减法运算是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的差向量AD可以通过将对应的分量相减得到，即(2-1,3-2,4-3)=(1,1,1)。
表示向量AD的坐标形式即为(1,1,1)。
四、空间向量的数量乘法运算空间向量的数量乘法运算是将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量AB的坐标表示为(2,3,4)，将它与实数k相乘，即可得到数量乘积向量AD，即(2k,3k,4k)，表示向量AD的坐标形式为(2k,3k,4k)。
五、空间向量运算的坐标表示总结空间向量运算的坐标表示方法可以总结如下：1. 加法运算：将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。
2. 减法运算：将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。
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3.1.5空间向量运算的坐标表示教案
学科：数学主备人：陆艳娥日期：2013.12
思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？ 它们是否成立？为什么？ 二、新授：
(一)空间向量运算的坐标表示： 设a ⑻住耳)^
(Rbb),A(x 「/，石月化^卫)，则
(1) I b (q b i ，a 2 b 2，a 3 b ?) a b (a i Wa ? d’a ? b ?)
I
a ( a i , a 2, a ?"
R) a b a^ a ?b 2
问题：上述法则怎样证明呢？以a b 为例进行证明
教师活动 教学流程:
学生活动
一、复习引入：平面向量的坐标运算： 设 a (ai,a 2),b (bib), A(x i , y) B(d y 2)
，则 I
(1) a b (a i b i ,a 2 b 2) a b (a 1 b i ,a 2 b 2) J r a (a i , a 2)
( R) a b a 1b 1 a 2b 2 4
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复习回顾 平面向量 的坐标运 算为后续 内容的整 体把握作 准备
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b 2 j b s k 代入即可)
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d 类比提升
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s o c a1
232
333
2d
2
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[0,
（二）应用举例 课堂练习 1:已知 a ( 3,2,5),b (1,5, 1)求a b, 3a-b, 6a ，a b ， 课堂练习2:如图正方体的棱长为2,试建立适 当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐 标，并和你的同学进行交流。
例1 •如图，在正万体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 1, F 1分别是A 1B 1,C 1 D 1
的一个四等分点，求直线BE 1与DF 1所成角的余弦值。
分析：选择适当的坐标系后，建系求点坐标，向量坐标，根据夹角公 式求出两异面直线上的对应向量夹角的余弦值, 成角的余弦值。
问题：异面直线上对应向量的夹角与异面直 线所成角相等吗？为什么？有何关系？ 结论：不一定相等，可能相等或互补。
则 CO S COS BE 1,DF 1 解:不妨设正方体的棱长为
建立空间直角坐标系Oxyz ， BE ； DF ；
BE 1 DF 1
A B
1，分别以DA , DC , DD 1为单位正交基底 3 1 B(1,1,0), E 1(1. ,1), D (0,0,0), F 1(0. ,1) 4 4
1 (o,；,1)
4 BE 1 (
1,4,1) (1,1,0) (°, 4,1) 4 4
DF 1
1 (°,0,0) (。
”1)
BE 1 DF 1
0 0 (1 1)
(
4 4)
15 16 COS BE 1 DF 1
BE 1,DF 1
BE 1 DF 1 BE 1 DF 1
15
—16 .17 i 17 4
4
15 17
熟悉空间
向量运算 法则，巩 固提高
和同学合 作交流完 成课后练 习2, 初 步掌握如 何建系和 找空间中 点的坐标
注意：异 面直线所 成角与异 直线上向 量所成角 的区别
因此，直线BE i 与DF i 所成角的余弦值是一.
17
总结：利用空间向量坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤？ （1） 建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标•（建系求点） （2） 将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.（构造向量并坐 标化）
（3） 经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.（向量运算、几何 结论） 课堂练习3：如图，已知正方体 ABCD A B 1C 1D 1中，点M 是AB 的 中点，求DB 1与CM 所成的角的余弦值。
解：设正方体的棱长为1,建立空间直角坐 标系Oxyz ，
1
D （0,0,0）,B 1（1,1,1）,C （0,1,0）,M （1,2,0）
DB (1,1,1) (0,0,0) (1,1,1)
DB ；
CM ]
2
DB
1
CM ' 1 1 1 ( 1) 1 0 1
1 —r —*
COS DB 1,CM
-
DB 1 CM 2
V15
DB ； CM 翻邑
15
2
因此，直线DB 1与CM 所成的角的余弦值是 一.
15
三、 课堂总结：
1. 知识：（1）空间向量的坐标运算；
（2）利用空间向量运算坐标表示解决简单的立体几何问题
2. 方法：（1）类比
（2）数形结合
四、 作业布置：
课本P98: 习题 3.1 A 组 T7 ，T8, T10 五、 教后记（教学反馈及反思）：
总结提 升，澄清 问题的本 质
完成练习
3
CM (1,-2,0) (0,1,0) (1, 2,0)。