2020年山东高三三模数学试卷
2020届山东省青岛市高三第三次模拟数学试卷
2020届山东省青岛市高三第三次模拟数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若复数z =2i1+i 3(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知全集U =，集合M ={x ∈R |x 2−x ≤0}，集合N ={y ∈R |y =cosx,x ∈R}，则(∁U M )∩N =( )A. [−1,0)B. (0,1)C. (−∞,0)D. ⌀3. 如图是一个2×2列联表，则表中a 、b 处的值分别为( )A. 96，94B. 60，52C. 52，54D. 50，524. 若直线l 1:a 2x −3y +2=0，l 2:2ax +5y −a =0．p:a =0，q:l 1与l 2平行，则下列选项中正确的( )A. p 是q 的必要非充分条件B. q 是p 的充分非必要条件C. p 是q 的充分非必要条件D. q 是p 的非充分也非必要条件5. 在▵ABC 中，如果cos (2B +C )+cosC >0，那么▵ABC 的形状为( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形6. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有( )A. 50种B. 60种C. 80种D. 90种7. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =BC =AC ，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O 的表面上，且球O 的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为( )A. 6√3B. 3√3C. 3√2D. 38. 已知函数f (x )={(x +6)2,−7≤x <−5f(x −2),x ≥−5，若函数g (x )=f (x )−|k (x +1)|有13个零点，则实数k 的取值范围为( )A. (18,16)B. [18,16)C. (−16,−18]∪[18,16)D. (−16,−18)∪(18,16)二、多项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9. 将函数f (x )=sinωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y =g (x )的图象，若函数g (x )在区间[0,π2]上是单调增函数，则实数ω可能的取值为( )A. 23B. 1C. 56D. 210. 在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”.已知1匹=4丈，1丈=10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n =2a n ，对于数列{a n }、{b n }，下列选项中正确的为( )A. b 10=8b 5B. {b n }是等比数列C. a 1b 30=105D. a 3+a 5+a 7a 2+a 4+a 6=209193 11. 已知曲线f (x )=23x 3−x 2+ax −1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值( )A. 196B. 3C. 103D. 9212. 在如图所示的棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1所在的平面上运动，则下列命题中正确的( )A. 若点P 总满足PA ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是一条直线B. 若点P 到点A 的距离为√2，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C. 若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D. 若点P 到直线AD 与直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹是双曲线三、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若方程x 2m+y 21−m =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________． 14. 已知定义在(−∞,+∞)的偶函数f (x )在[0,+∞)单调递减，f (−1)=−12，若f (2x −1)≥−12，则x 的取值范围________．15. 已知e 1→，e 2→是平面上不共线的两个向量，向量b →与e 1→，e 2→共面，若|e 1→|=1，|e 2→|=2，e 1→与e 2→的夹角为π3，且b →⋅e 1→=1，b →⋅e 2→=2，则|b →|=________．16. 若(2−x )17=a 0+a 1(1+x )+a 2(1+x )2+⋯+a 16(1+x )16+a 17(1+x )17，则(1)a 0+a 1+a 2+⋯+a 16=________；(2)a1+2a2+3a3+⋯+16a16=________．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图，在直角梯形AO1O2C中，AO1//CO2，AO1⊥O1O2，O1O2=4，CO2=2，AO1=4，点B是线段O1O2的中点，将△ABO1，△BCO2分别沿AB，BC向上折起，使O1，O2重合于点O，得到三棱锥O−ABC.试在三棱锥O−ABC中，(1)证明：平面AOB⊥平面BOC；(2)求直线OC与平面ABC所成角的正弦值．18.已知{a n}为等差数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从①a1=2，②a1=1，③a1=3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{a n}存在；并在此存在的数列{a n}中，试解答下列两个问题(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=(−1)n+1a n2，求数列{b n}的前n项和T n．19.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinAcosA =sinB+sinC cosB+cosC(1)若▵ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a=7，②b=10，③c=8，④▵ABC的面积S=10√3，请指出这三个条件，并说明理由；(2)若a=3，求▵ABC周长L的取值范围．20.某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数关系式；(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；(3)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为P(k)，求P(k)取最大值时的值．21.已知函数f(x)=ae x lnx，(其中e=2.71828⋯是自然对数的底数)，g(x)=x2+xlna，a>0．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设函数ℎ(x)=g(x)−f(x)，若ℎ(x)>0对任意的x∈(0,1)恒成立，求实数a的取值范围．22.已知直线l1过坐标原点O且与圆x2+y2=4相交于点A，B，圆M过点A，B且与直线y+2=0相切．(1)求圆心M的轨迹C的方程；(2)若圆心在x轴正半轴上面积等于2π的圆W与曲线C有且仅有1个公共点．(▵)求出圆W标准方程；(▵)已知斜率等于−1的直线l2，交曲线C于E，F两点，交圆W于P，Q两点，求|EF|的最小值及此时直线l2的|PQ|方程．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】先利用复数的四则运算得到z=−1+i，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项．【解答】z=2i1+i3=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，复数z在复平面上对应的点为(−1,1)，该点在第二象限，故复数z在复平面上对应的点所在的象限为第二象限，故选：B．2.【答案】A【解析】【分析】化简集合M，N，根据集合的交集、补集运算求解即可．【解答】∵M={x∈R|x2−x≤0}=[0,1]，N={y∈R|y=cosx,x∈R}=[−1,1]，∴∁U M=(−∞,0)∪(1,+∞)，∴(∁U M)∩N=[−1,0),故选：A3.【答案】B【分析】根据表格中的数据可先求出d、c的值，再结合总数为106可分别求得a和b的值．【解答】由表格中的数据可得c=33−25=8，d=21+25=46，∴a=106−46=60，b=60−8=52．故选：B．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，以及两条直线平行的判定，属于基础题．，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解．根据l1与l2平行，得到a=0或a=−65【解答】．解：因为l1与l2平行，所以a2×5−(−3)×2a=0,∴a=0或a=−65经检验，当a=0或a=−6时，两直线平行．5}，设A={a∥a=0}，B={a∥a=0或a=−65因为A⊂B，所以p是q的充分非必要条件．故选：C．5.【答案】A【解析】结合A+B+C=π以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为−2cosBcosA>0，即cosBcosA<0，又A，B∈(0,π)，所以cosB与cosA一正一负，故而得解．【解答】∵A+B+C=π，∴cos(2B+C)+cosC=cos(B+B+C)+cos[π−(B+A)]=cos[B+(π−A)]+cos[π−(B+A)]=cos[π+(B−A)]+cos[π−(B+A)]=−cos(B−A)−cos(B+A)=−cosBcosA−sinBsinA−cosBcosA+sinBsinA=−2cosBcosA>0，∴cosBcosA<0，即cosB与cosA异号，又A，B∈(0,π)，∴cosB与cosA一正一负，∴▵ABC为钝角三角形．故选：A．6.【答案】C【解析】【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案．根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论：若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种，此时有2×10=20种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种，此时有2×3×10=60种不同的选法；则一共有20+60=80种选法．故选：C．7.【答案】B【解析】【分析】设三棱柱的上、下底面中心分别为O1、O2，则O1O2的中点为O，设球O的半径为R，则OA=R，设AB=BC=AC=a，AA1=ℎ，在Rt△OO2A中，根据勾股定理和基本不等式求出R2的最小值为√3aℎ，结合已知可得aℎ=√3，从而可3得侧面积．【解答】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为O1、O2，则O1O2的中点为O，设球O 的半径为R ，则OA =R ，设AB =BC =AC =a ，AA 1=ℎ，则OO 2=12ℎ，O 2A =23×√32AB =√33a ， 则在Rt △OO 2A 中，R 2=OA 2=OO 22+O 2A 2=14ℎ2+13a 2≥2×12ℎ×√33a =√33aℎ， 当且仅当ℎ=√33a 时，等号成立， 所以S 球=4πR 2≥4π×√33aℎ，所以4√3π3aℎ=4π，所以aℎ=√3，所以该三棱柱的侧面积为3aℎ=3√3．故选：B ．8.【答案】D【解析】【分析】由题可知，设ℎ(x )=∥k ∥⋅∥x +1∥，且ℎ(x )恒过定点(−1,0)，转化为函数y =f(x)与函数ℎ(x )=∥k ∥⋅∥x +1∥的图象有13个交点，画出函数y =g(x)与函数ℎ(x )=∥k ∥⋅∥x +1∥的图象，利用数形结合法，即可求出k 的取值范围．【解答】由题可知，函数g(x)=f(x)−∥k(x +1)∥有13个零点，令g(x)=0，有f(x)=∥k ∥⋅∥x +1∥，设ℎ(x )=∥k ∥⋅∥x +1∥，可知ℎ(x )恒过定点(−1,0)，画出函数f(x)，ℎ(x )的图象，如图所示：则函数y =f(x)与函数ℎ(x )=∥k ∥⋅∥x +1∥的图象有13个交点，由图象可得：{ℎ(5)<1ℎ(7)>1ℎ(−7)<1，则{|k |·(5+1)<1|k |·(7+1)>1|k |·|−7+1|<1，即18<∥k ∥<16，解得：k ∈(−16,−18)∪(18,16)．9.【答案】ABC【解析】【分析】根据图象平移求得函数y=g(x)的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得w的取值范围，即可求解．【解答】由题意，将函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移π12个单位长度，得到函数y=g(x)=sin(wx−wπ12)的图象，若函数g(x)在区间[0,π2]上是单调增函数，则满足{−wπ12≥−π2wπ2−wπ12≤π2，解得0<w≤65，所以实数w的可能的取值为23,1,56．故选：ABC 10.【答案】BD 【解析】由题意可知，数列{a n }为等差数列，求出数列{a n }的公差，可得出数列{a n }的通项公式，利用等比数列的定义判断出数列{b n }是等比数列，然后利用数列{a n }的通项公式即可判断出各选项的正误．【解答】由题意可知，数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的公差为d ，a 1=5，由题意可得30a 1+30×29d 2=390，解得d =1629，∴a n =a 1+(n −1)d =16n+12929， ∵b n =2a n ，∴b n+1b n =2a n+12a n =2a n+1−a n =2d (非零常数)，则数列{b n }是等比数列，B 选项正确； ∵5d =5×1629=8029≠3，b10b 5=(2d )5=25d ≠23，∴b 10≠8b 5，A 选项错误； a 30=a 1+29d =5+16=21，∴a 1b 30=5×221>105，C 选项错误；a 4=a 1+3d =5+3×1629=19329，a 5=a 1+4d =5+4×1629=20929， 所以，a 3+a 5+a 7a 2+a 4+a 6=3a 53a 4=a 5a 4=209193，D 选项正确．故选：BD ．11.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，得出f(x)的导数，可令切点的横坐标为m ，求得切线的斜率，由题意可得关于m 的方程2m 2−2m +a −3=0有两个不等的正根，考虑判别式大于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，计算可得a 的范围，即可得答案．【解答】由题可知，∴b =2a ，则f′(x)=2x 2−2x +a ，可令切点的横坐标为m ，且m >0，可得切线斜率k=2m2−2m+a=3，由题意，可得关于m的方程2m2−2m+a−3=0有两个不等的正根，且可知m1+m2=1>0，则{Δ>0m1m2>0，即{4−8(a−3)>0a−32>0,解得：3<a<72，∴a的取值可能为196，103．故选：AC．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查空间中的轨迹问题，属于中档题．A.根据BD1⊥平面AB1C，判断点P的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为|PB|+|PC|=1，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点P的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线．【解答】A.在正方体A1C中，AC⊥BD,BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥AC,BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BB1D1D，BD1⊂平面BB1D1D，所以AC⊥BD1，同理AB1⊥BD1,AB1∩AC=A，所以BD1⊥平面AB1C，而点P在侧面BCC1B1所在的平面上运动，且PA⊥BD1，所以点P的轨迹就是直线B1C，故A正确；B.点P的轨迹是以A为球心，半径为√2的球面与平面BCC1B1的交线，即点P的轨迹为小圆，设小圆的半径为r，球心A到平面BCC1B1的距离为1，则r=√(√2)2−1=1，所以小圆周长l=2πr=2π，故B正确；C. 点P到直线AB的距离就是点P到点B的距离，即平面BCC1B1内的点P满足|PB|+|PC|=1=|BC|，即满足条件的点P的轨迹就是线段BC，不是椭圆，故C不正确；D.如图，过P分别做PM⊥BC于点M，PE⊥CC1于点E，则PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AD，过M做MN⊥AD，连结PN，PM∩MN=M，所以AD⊥平面PMN，所以PN⊥AD，如图建立平面直角坐标系，设P(x,y)，PM=y，则PN2=1+y2，PE2=(1−x)2，即1+y 2=(1−x )2，整理为：(x −1)2−y 2=1，则动点P 的轨迹是双曲线，故D 正确．故选：ABD13.【答案】(0,12)【解析】【分析】根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数m 的取值范围．【解答】由题可知，方程x 2m +y 21−m =1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得1−m >m >0，解得：0<m <12，所以实数m 的取值范围为：(0,12)．故答案为：(0,12)．14.【答案】0≤x ≤1【解析】【分析】由题意结合偶函数的性质可得f (1)=f (−1)=−12，再由函数的单调性即可得−1≤2x −1≤1，即可得解．【解答】因为f (x )为偶函数，f (−1)=−12，所以f (1)=f (−1)=−12，又f (x )在[0,+∞)单调递减，f (2x −1)≥−12，所以−1≤2x −1≤1，解得0≤x ≤1．所以x 的取值范围为0≤x ≤1．故答案为：0≤x ≤1．15.【答案】2√33【解析】【分析】设b =xe 1+ye 2，由已知b →⋅e 1→=1，b →⋅e 2→=2可得x +y =1，x +4y =2，从而可求出x =23,y =13，则|b →|=√(23e 1+13e 2)2，即可求出模长． 【解答】设b =xe 1+ye 2，因为e 1与e 2的夹角为π3，所以e 1⋅e 2=|e 1||e 2|cos π3=1， 则b →⋅e 1=(xe 1+ye 2)⋅e 1=x |e 1|2+ye 1⋅e 2=x +y =1， b →⋅e 2=(xe 1+ye 2)⋅e 2=y |e 2|2+xe 1⋅e 2=x +4y =2，解得x =23,y =13， 则|b →|=√(23e 1+13e 2)2=√49|e 1|2+19|e 2|2+49e 1⋅e 2=√49+49+49=2√33， 故答案为：2√33．16.【答案】217+1 17⋅(1−216)【解析】【分析】(1)化简二项式为(2−x )17=[3−(1+x)]17，利用通项，求得a 17=−1，再令1+x =1，求得a 0+a 1+a 2+⋯+a 16+a 17=217，即可求解；(2)令g(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a16(1+x)16+a17(1+x)17=(2−x)17，求得g′(x)=a1+ 2a2(1+x)+⋯+17a17(1+x)16=−17⋅(2−x)16，根据g′(0)和(1)中a17=−1，即可求解．【解答】(1)由题意，可化为(2−x)17=[3−(1+x)]17，由T17=C1717[−(1+x)]17=−(1+x)17，可得a17=−1，令1+x=1，即x=0时，可得a0+a1+a2+⋯+a16+a17=217，所以a0+a1+a2+⋯+a16=217−a17=217+1．(2)令g(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a16(1+x)16+a17(1+x)17=(2−x)17，则g′(x)=a1+2a2(1+x)+⋯+16a16(1+x)15+17a17(1+x)16=−17⋅(2−x)16，则g′(0)=a1+2a2+⋯+16a16+17a17=−17⋅216，由(1)可得17a17=−17，所以a1+2a2+3a3+⋯+16a16=−17⋅216+17=17⋅(1−216)．17.【答案】(1)由题知：在直角梯形AO1O2C中，AC2=(AO1−CO2)2+O1O22=20，所以在三棱锥O−ABC中，AC2=AO2+OC2，所以AO⊥OC，又因为AO⊥OB，CO∩OB=O，所以AO⊥平面BOC，又因为AO⊂平面AOB，所以，平面AOB⊥平面BOC．(2)由(1)知：AO⊥OC，AO⊥OB，又BO⊥OC，以O为坐标原点，以OC→,OB→,OA→的方向分别作为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系O −xyz ，所以A (0,0,4)，B (0,2,0)，C (2,0,0)，OC =(2,0,0)，设n →=(x,y,z )为平面ABC 的法向量，AB =(0,2,−4)，BC =(2,−2,0)，由{n ⋅AB ⇀=0n ⋅BC ⇀=0，可得{2y −4z =02x −2y =0, 令x =2得：n →=(2,2,1)，设直线OC 与平面ABC 所成角为θ，所以sinθ=|OC⋅n ||OC |⋅|n |=23，所以直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值为23．【解析】见答案18.【答案】(1)若选择条件①，当第一行第一列为a 1时，由题意知，可能的组合有， a 1=2,a 2=6,a 3=7不是等差数列，a 1=2,a 2=9,a 3=8不是等差数列； 当第一行第二列为a 1时，由题意知，可能的组合有，a 1=2,a 2=4,a 3=7不是等差数列， a 1=2,a 2=9,a 3=12不是等差数列；当第一行第三列为a 1时，由题意知，可能的组合有，a1=2,a2=4,a3=8不是等差数列，a1=2,a2=6,a3=12不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在，若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知a1=1，a2=4，a3=7，则公差d=a2−a1=3，所以a n=a1+(n−1)d=3n−2，n∈N∗，若选择条件③，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1=3,a2=6,a3=7不是等差数列，a1=3,a2=9,a3=8不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1=3,a2=4,a3=7不是等差数列，a1=3,a2=9,a3=12不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a1=3,a2=4,a3=8不是等差数列，a1=3,a2=6,a3=12不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a n}都不存在，综上可知：a n=3n−2，n∈N∗．(2)由(1)知，b n=(−1)n+1(3n−2)2，所以当n为偶数时，T n=b1+b2+b3+⋯+b n=a12−a22+a32−a42+⋯+a n−12−a n2=(a1+a2)(a1−a2)+(a3−a4)(a3+a4)+⋯+(a n−4+a n)(a n−1−a n)=−3(a1+a2+a3+⋯a n)=−3×n(1+3n−2)2=−92n2+32n，当n为奇数时，T n=T n−1+b n=−92(n−1)2+32(n−1)+(3n−2)2=92n2−32n−2，∴T n={−92n2+32n,n=2k,k∈N∗92n2−32n−2,n=2k−1,k∈N∗【解析】见答案19.【答案】因为sinAcosA =sinB+sinC cosB+cosC所以sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC 即sinAcosB−cosAsinB=sinCcosA−cosCsinA 所以sin(A−B)=sin(C−A)因为A，B，C∈(0,π)，所以A−B=C−A，即2A=B+C，所以A=π3 (1)▵ABC还同时满足条件①③④理由如下：若▵ABC同时满足条件①②则由正弦定理得sinB=bsinAa =5√37>1，这不可能所以▵ABC不能同时满足条件①②，所以▵ABC同时满足条件③④所以▵ABC的面积S=12bcsinA=12×b×8×√32=10√3所以b=5与②矛盾所以▵ABC还同时满足条件①③④(2)在▵ABC中，由正弦定理得：bsinB =csinC=asinA=2√3因为C=2π3−B，所以b=2√3sinB，c=2√3sin(2π3−B)所以L=a+b+c=2√3[sinB+sin(2π3−B)]+3=6(√3sinB+1cosB)+3=6sin(B+π6)+3因为B∈(0,2π3)，所以B+π6∈(π6,5π6)，sin(B+π6)∈(12,1]所以▵ABC 周长L 的取值范围为(6,9]．【解析】见答案20.【答案】(1)由题意，当x ∈(0,228]时，y =3.25x ；当x ∈(228,348]时，y =3.83x −132.24；当x ∈(348,+∞)时，y =4.7x −435，所以年用气费y 关于年用气量x 的函数关系式为．(2)由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户， 设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3，则P (ξ=0)=C 73C 103=724，P (ξ=1)=C 72C 31C 103=2140， P (ξ=2)=C 71C 32C 103=740，P (ξ=3)=C 33C 103=1120， 故随机变量ξ的分布列为： ξ0 1 2 3 P 724 2140 740 1120所以E (ξ)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910．(3)由题意知P (k )=C 10k (35)k (25)10−k (k =0,1,2,3⋯,10)， 由{C 10k (35)k (25)10−k ≥C 10k+1(35)k+1(25)10−k−1C 10k (35)k (25)10−k ≥C 10k−1(35)k−1(25)10−k+1，解得285≤k ≤335，k ∈N ∗， 所以当k =6时，概率P (k )最大，所以k =6．【解析】见答案21.【答案】(1)因为f(x)=ae x lnx ，所以f′(x )=ae x (lnx +1x ),x ∈(0,+∞)． 令k (x )=lnx +1x ，则k′(x )=x−1x 2，当x ∈(0,1)时，k′(x )<0，函数k (x )单调递减；当x∈(1,+∞)时，k′(x)>0，函数k(x)单调递增．所以k(x)≥k(1)=1>0，又因为a>0，e x>0，所以f′(x)>0，f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增．(2)由ℎ(x)>0得g(x)−f(x)>0，即ae x lnx<x2+xlna，所以lnxx <x+lnaae x=ln(ae x)ae x，即ln(aex)ae x>lnxx对任意x∈(0,1)恒成立，设H(x)=lnxx ，则H′(x)=1−lnxx2所以，当x∈(0,1)时，H′(x)>0，函数H(x)单调递增，且当x∈(1,+∞)时，H(x)>0，当x∈(0,1)时，H(x)<0，若ae x≥1>x，则H(ae x)≥0>H(x)，若0<ae x<1，因为H(ae x)>H(x)，且H(x)在(0,1)上单调递增，所以ae x>x，综上可知，ae x>x对任意x∈(0,1)恒成立，即a>xe x对任意x∈(0,1)恒成立．设G(x)=xe x ，x∈(0,1)，则G′(x)=1−xe x>0，所以G(x)在(0,1)单调递增，所以G(x)<G(1)=1e ≤a，即a的取值范围为[1e,+∞)．【解析】见答案22.【答案】(1)由题意圆x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，直线l1过坐标原点O，所以坐标原点O为AB的中点，|AO|=2，所以MO⊥AO，设M(x,y)，所以|MO|2+|OA|2=|MA|2，又因为圆M与直线y+2=0相切，所以圆M的半径r=|y+2|=|MA|，所以x2+y2+4=(y+2)2，化简得M的轨迹C的方程为x2=4y；(2)(▵)由(1)知曲线C 为y =x 24，设f (x )=x 24，则f′(x )=x 2， 设圆W 与曲线C 的公共点为T (t,t 24)(t >0)， 则曲线C 在T 的切线l 的斜率k =f′(t )=t 2， 由题意，直线l 与圆W 相切于T 点， 设圆W 的标准方程为(x −a )2+y 2=2(a >0)，则圆W 的的圆心为(a,0)，则直线WT 的斜率k WT =t 24t−a =t 24(t−a )， 因为l ⊥WT ，所以t 2⋅t 24(t−a )=−1，即t 3+8(t −a )=0 ，又因为(t −a )2+(t 24)2=2，所以(−t 38)2+(t 24)2=2，所以t 6+4t 4−128=0 令t 2=λ，则λ3+4λ2−128=0，所以(λ3−4λ2)+(8λ2−128)=0 即(λ−4)(λ2+8λ+32)=0，所以λ=4， 所以t =2，a =3，从而圆W 的标准方程为(x −3)2+y 2=2； (▵)设E (x 1,y 1)，F (x 2,y 2)，直线l 2:y =−x +m ， 由{y =−x +m x 2=4y得x 2+4x −4m =0，所以x 1+x 2=−4，x 1x 2=−4m ， 所以|EF |=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2(1+m )， 又因为圆W 的圆心(3,0)到直线PQ 的距离为√2， 所以|PQ |=2√2−(√2)2=√−2m 2+12m −10， 所以|EF ||PQ |=√2(1+m )√−2m 2+12m−10=4√1+m−m 2+6m−5， 由于l 2与曲线C 、圆W 均有两个不同的交点，∴{Δ=16+16m >0√2<√2，解得1<m <5，令1+m=u∈(2,6)，则m=u−1，则|EF||PQ|=4√u−(u−1)2+6(u−1)−5=4√1−(u+12u)+8≥4√−2√u⋅12u +8=√2+√6，当且仅当u=12u，即u=2√3，亦m=2√3−1时取等号，∴当m=2√3−1时，|EF||PQ|的最小值为√2+√6，此时直线l2的方程为y=−x+2√3−1．【解析】见答案。
2020届山东省聊城市高考数学三模试卷(含解析)
2020届山东省聊城市高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z满足z(1+i)=2i，i为虚数单位，则下列说法正确的是()A. |z|=2B. z的虚部是iC. z在复平面内所对应的点为(1,1)D. z−=−1+i2.已知集合A={1,2，3，4，5，6，7}，集合B={x∈N|2≤x<6}，则A⋂B=()A. {1,2，3，5，6，7}B. {2,3，4，5}C. {2,3，5}D. {2,3}3.已知命题p：∀x∈R，x2−x+1>0；命题q：a>b是1a >1b的充要条件，则下列为真命题的是()A. p∧qB. ￢p∨qC. p∧￢qD. ￢p∧￢q4.()A. 0B. 1C. 2D. 45.设函数f(x)=lnx，且x0，x1，x2∈(0,+∞)，下列命题：①若x1<x2，则1x2>f(x1)− f(x2)x1−x2②存在x0∈(x1,x2)，(x1<x2)，使得1x0=f(x1)− f(x2)x1−x2③若x1>1，x2>1，则f(x1)− f(x2)x1−x2<1④对任意的x1，x2，都有f(x1+x22)>f(x1) +f(x2)2其中正确的命题是()A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④6.已知抛物线的焦点坐标为(0,12)，则该抛物线的标准方程为()A. y2=2xB. y2=xC. x2=2yD. x2=−2y7.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2−2x+4y−4=0，圆C2：x2+y2+2x−2y−2=0，则两圆的公切线的条数是()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条8.己知曲线C1：y=sinx，C2：y=sin(2x+π6)，则下面结论中正确的是()A. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍．纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标伸长到原米的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 29. 5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为A.B.C.D.10. 抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子点数为3或6时，则两颗骰子点数之和大于8的概率为( )A.B.C.D.11. 设定义在R 上的奇函数f(x)满足，对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，且f(1)=0，则不等式2017f(−x)−2018f(x)x≤0的解集为( )A. (−∞,−1]∪[1,+∞)B. [−1,0]∪[1,+∞)C. (−∞,−1]∪(0，1]D. [−1,0)∪(0,1]12. 若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设变量x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +2y −2≥02x +y −7≤0，则z =x +y 的最大值是______ ．14. 已知(2−x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 5x 5，则a 1+a 3+a 5a0+a 2+a 4= ______ .(用分数表示)15.把函数y=2sin x，x∈R的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得函数图象的解析式是________．16.一个底面为正三角形的直三棱柱的正视图和俯视图(单位：cm)如图所示，则它的外接球的表面积等于______ cm2．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a3=9，S6=60．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b1=1，b n+1=a bn，求数列{b n}的前n项和T n(Ⅲ)若√7m35≤1√2n+3(1+1a1)(1+1a2)…(1+1a n−1)对n≥2且n∈N∗恒成立，求实数m的最大值．18.如图，已知四棱锥S−ABCD的底面为直角梯形，且满足AB//CD，BC⊥AB，AB=9，BC=CD=SD=6，SB=12，平面SCD⊥平面SBC.M为线段SC的中点，N为线段上的动点．(1)求证：平面SCD⊥平面ABCD；(2)设AN=λNB(λ>0)，当二面角C−DM−N的大小为60°时，求λ的值．19.已知圆O：x2+y2=34，椭圆C：x225+y29=1．(Ⅰ)若点P在圆O上，线段OP的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P的横坐标；(Ⅱ)现有如下真命题：“过圆x2+y2=52+32上任意一点Q(m,n)作椭圆x252+y232=1的两条切线，则这两条切线互相垂直”；“过圆x2+y2=42+72上任意一点Q(m,n)作椭圆x242+y272=1的两条切线，则这两条切线互相垂直”.据此，写出一般结论，并加以证明．20.某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一二三等奖．现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．(Ⅰ)求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；(Ⅱ)用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图，求样本的平均数及方差并进行比较分析；(Ⅲ)已知本考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．21.设函数f(x)=lnx−12ax2+x．(1)当a=2时，求f(x)的最大值；(2)令F(x)=f(x)+12ax2−x+ax(0<x≤3)，以其图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k≤12恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a=0时，方程mf(x)=x2有唯一实数解，求正数m的值．22. 已知直线l 的参数方程为{x =3−ty =√5+t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=2√5sinθ． (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(3,√5)，求|PA|+|PB|．23. 已知f(x)=4x +a 2x为偶函数．(1)求实数a 的值，并写出f(x)在区间[0,+∞)上的增减性和值域(不需要证明)；(2)令g(x)=f(2x)+tf(x)，其中t >0，若g(x)对任意x 1，x 2∈[0,1]，总有|g(x 2)−g(x 1)|≤4，求t 的取值范围；(3)令ℎ(x)=f(2x)+f(x)，若ℎ(x)对任意x 1，x 2∈[0,1](x 1≠x 2)，总有|ℎ(x 2)−ℎ(x 1)|≤s|f(x 2)−f(x 1)|，求实数s 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由z(1+i)=2i，得z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i．∴z在复平面内所对应的点为(1,1)．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.答案：B解析：利用交集定义直接求解．∵集合A={1,2，3，4，5，6，7}，集合B={x∈N|2≤x<6}={2,3，4，5}，∴A⋂B={2,3，4，5}．故选：B3.答案：C解析：解：∵判别式△=1−4=−3<0，∴p：∀x∈R，x2−x+1>0为真命题，当a=2，b=1时，满足a>b，但1a >1b不成立，即命题q：a>b是1a>1b的充要条件为假命题，则p∧￢q为真，其余为假命题，故选：C．分别判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题的真假是解决本题的关键．比较基础．4.答案：C解析：试题分析：，故选C ．考点：对数的运算．5.答案：D解析：解：f′(x)=1xf′(x 1)=1x 1表示在x 1处的切线的斜率．f(x 1) −f(x 2)x 1−x 2表示x 1与x 2两点的斜率．①若x 1<x 2，由图象考查直线的斜率不满足1x 2>f(x 1)− f(x 2)x 1−x 2，故不正确；②存在x 0∈(x 1,x 2)，(x 1<x 2)，图中蓝色的切线就是直线在x 0处的切线，能够使得1x 0=f(x 1)− f(x 2)x 1−x 2，正确．③若x 1>1，x 2>1，1x <1，所以f(x 1)− f(x 2)x 1−x 2<1正确．④对任意的x 1，x 2，f(x 1) −f(x 2)x 1−x 2表示x 1与x 2两点的斜率．都有f(x 1+x 22)>f(x 1) +f(x 2)2.正确．结合图象可知选项②③④正确； 故选：D ．根据导数的几何意义可知f′(x 1)=1x 1表示在x 1处的切线的斜率，f(x 1) −f(x 2)x 1−x 2表示x 1与x 2两点的斜率，结合图象进行求解即可．本题主要考查了导数的几何意义以及函数的图象等有关知识，属于基础题．6.答案：C解析：解：由题意可设抛物线方程为x 2=2py(p >0)， 则p2=12，得p =1．∴抛物线的标准方程为x2=2y．故选：C．由已知设抛物线方程为x2=2py(p>0)，再由焦点坐标求得p，则抛物线方程可求．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的简单性质，是基础题．7.答案：B解析：本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，难度中档．根据已知，分析两个圆的位置关系，可得答案．解：圆C1：x2+y2−2x+4y−4=0的圆心坐标为(1,−2)，半径为3，圆C2：x2+y2+2x−2y−2=0的圆心坐标为(−1,1)，半径为2，则圆心距为：√(−1−1)2+(1+2)2=√13∈(3−2,3+2)，故两圆相交，故两圆的公切线的条数是2条，故选：B．8.答案：B)，解析：解：∵己知曲线C1：y=sinx，C2：y=sin(2x+π6倍，纵坐标不变，可得y=sin2x的图象；故把把C1上各点的横坐标缩短到原来的12个单位长度，得到曲线C2，再把得到的曲线向左平移π12故选：B．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．9.答案：C解析：故答案C．10.答案：D解析：本题主要考查等可能事件的概率的计算，本题是一个等可能事件的概率，试验发生时红骰子可以为1到6中任意一个，共有12种结果，两颗骰子点数之和大于8可以列举出包含5种情况，即可得出概率．解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生时红骰子可以为1到6中任意一个，共有12种结果，两颗骰子点数之和大于8可以列举出包含5种情况：(3,6)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，∴满足条件的概率是．故选D．11.答案：A解析：解：因为任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0，所以f(x)在∈(0,+∞)上单调递减，因为f(x)为奇函数且f(1)=0，所以g(x)=f(x)x为偶函数且g(1)=0，g(x)在(0,+∞)上单调递减，则由2017f(−x)−2018f(x)x ≤0，可得−2017f(x)−2018f(x)x=−4035f(x)x≤0，所以f(x)x≥f(1)，即g(x)≥g(1)，所以|x|≥1，解可得，x≥1或x≤−1故选：A．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．12.答案：B解析：双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为．【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质．13.答案：5解析：解：作出不等式组{x −y +1≥0x +2y −2≥02x +y −7≤0表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部， 其中A(2,3)，设z =F(x,y)=x +y ，将直线l ：z =x +y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值 ∴z 最大值=F(2,3)=5． 故答案为：5作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =x +y 对应的直线进行平移，可得当x =2，y =3时，z 取得最大值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z =x +y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．14.答案：−121122解析：本题主要考查二项式定理的系数和的应用问题，这类问题的解决方法通常是将展开式中的x 进行赋值，一般常见的是把x 赋值为−1，0，1等的问题较多一些．本题通过观察，不难发现所求式子中的分子是x 的奇次方项，分母是x 的偶次方项，故可以令x =−1，得到a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5+a 6−a 7=32再利用令x =1，得到a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6−a 7=32，利用它们分别求得分子分母就可以求出结果． 解析：解：令x =−1，得(2+1)5=a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5=35， 令x =1，得(2−1)5=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1， ∴a 1+a 3+a 5=−121，a 0+a 2+a 4=122， 则a 1+a 3+a 5a0+a 2+a 4=−121122故答案是−121122．15.答案：y =2sin解析：根据函数图象变换法则求解．把y =2sin x 向左平移个单位长度后得到y =2sin ，再把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y =2sin．16.答案：25π3解析：解：由已知得到三棱柱的底面三角形的高为√3，所以底面外接圆的半径为2√33，三棱柱的高为√3，所以外接球的半径的平方为(2√33)2+(√32)2=2512，所以外接球的表面积为4π×2512=25π3；故答案为：25π3．由已知三棱柱的三视图，计算三棱柱的底面边长以及高，然后求外接球的半径即可．本题考查了三棱柱的三视图以及其外接球表面积的求法；关键是由三视图得到正三棱柱的底面外接圆的半径、三棱柱的高与外接球的关系．17.答案：解：(I)由已知得{a 1+2d =96a 1+6×5×d 2=60，解得{a 1=5d =2，∴a n =2n +3． (II)∵a n =2n +3， ∴b n+1=2b n +3， ∴b n+1+3=2(b n +3)， 又b 1+3=4，∴{b n +3}是以4为首项2为公比的等比数列． ∴b n +3=4⋅2n−1,b n =2n+1−3． ∴T n =4⋅(1−2n )1−2−3n =2n+2−3n −4．(Ⅲ)设A n =(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1a n−1)√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1a n−1)√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1an−1)√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1an−1)√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1an−1)√2n+3， 则当n ≥2且n ∈N ∗时，A n+1A n=(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1a n )⋅√2n+5(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1a n−1)⋅12n+3√2n+5(1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n )12n+3(1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n−1)=√2n+3(1+1a n)√2n+5=2n+42n+3√2n+3√2n+5==2>2=1=√4n 2+16n+162>1．所以A n+1>A n ，即当n 增大时，A n 也增大． 要使√7m 35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2) (1)1a n−1)⋅√2n+3≤√7m 35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2) (1)1a n−1)⋅√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2) (1)1a n−1)√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2) (1)1a n−1)⋅√2n+3√7m35≤(1+1a 1)⋅(1+1a 2)…(1+1an−1)√2n+3对n ≥2且n ∈N ∗恒成立， 只需√7m35≤(A n )min 即可．∵(A n )min =A 2=65√7=6√735． ∴√7m35≤6√735，即m ≤6，所以实数m 的最大值为6．解析：(Ⅰ)本题先利用等差数列的通项公式求出其首项和公差，得到等差数列的通项公式；(Ⅱ)再利用(1)的结论，结合新数列的定义，求出新的数列的通项公式；(Ⅲ)利用n 的代数式的单调性，求出相应式子的最值，得到本题结论．本题考查了等差数列通项公式的直接运用和技巧性运用，还利用单调性对数列相关最值进行研究，有一定的难度，属于难题．18.答案：证明：(1)∵SD=CD.∴△SDC为等腰三角形．又∵M为SC的中点，∴DM⊥SC．又∵平面SCD⊥平面SBC，平面SCD∩平面SBC=SC且DM⊂平面SCD，由平面与平面垂直的性质定理可知，DM⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，由直线与平面垂直的性质可知DM⊥BC，又∵BC⊥CD，DM∩DC=D，DM⊂平面SCD，CD⊂平面SCD．∴CD⊥平面CDS，∵BC⊂平面SCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴平面SCD⊥平面ABCD．(2)(方法一)由(1)可知，BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC．在Rt△SCB中，SC=√SB2−BC2=√122−62=√108=6√3．在△SDC中，由余弦定理可知，cos∠SDC=SD2+DC2−SC22SD⋅DC =62+62−(6√3)22×6×6=−12，∵∠SDC∈(0°,180°)，∴∠SDC=120°．过点N作NG⊥CD于点G，G为垂足，则NG//BC，∵BC⊥平面SCD，∴NG⊥平面SCD，∵DM⊂平面SCD，∴DM⊥NG.过点G作GK⊥DM于点K，K为垂足，连接NK．∵DM⊥GK，DM⊥NG，NG∩GK=G，∴DM⊥平面NGK．又∵NK⊂平面NGK，∴DM⊥NK，∴∠GKN即为二面角C−DM−N的平面角，在Rt△NGK中∠NKG=60°，∴tan60°=NGGK =6GK，∴GK=3=2√3，在Rt △DKG,∠KDG =60°,sin60°=KGDG =2√3DG， ∴DG =√3√32=4，∴GC =CD −DG =6−4=2，∴NB =GC =2，AN =AB −NB =9−2=7， ∴λ=ANNB =72．(方法二)由(1)可知，BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．在Rt △SCB 中，SC =√SB 2−BC 2=√122−62=√108=6√3， 在△SDC 中，由余弦定理可知cos∠SDC =SD 2+DC 2−SC 22SD⋅DC=62+62−(6√3)22×6×6=−12，∵∠SDC ∈(00,180°)，∴∠SDC =120°， 过S 点作线段CD 的延长线的垂线，垂足为O ，∵∠SDC =120°∴∠SDO =60°，∴OD =12SD =3，∴OC =9， ∴四边形ABCO 为矩形．由平面SCD ⊥平面ABCD 可知，SO ⊥平面ABCD以OA 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．则D(0,3,0),S(0,0,3√3),C(0,9,0),M(0,92,3√32)， 设AN =a(a >3)，则N(6,a,0),DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,a −3,0),DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,32,3√32)， 设平面DMN 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6x +(a −3)y =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32y +3√32z =0，令z =√3，得y =−3,x =a−32， ∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(a−32,−3,√3)，又∵平面CDM 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，∴|cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉|=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2|−=|a−32|√(a−32)2+9+3=cos600=12，∴(a−32)2(a−32)2+12=14， ∴4(a−32)2=(a−32)2+12∴3(a−32)2=12，∴(a−32)2=4，∵a >3，∴a−32=2，∴a =7，即AN =7，∴NB =AB −AN =9−7=2， ∴λ=ANNB =72．解析：(1)证明DM ⊥SC.推出DM ⊥平面SBC.DM ⊥BC ，结合BC ⊥CD ，推出CD ⊥平面CDS ，然后证明平面SCD ⊥平面ABCD ．(2)(方法一)求出∠SDC =120°.过点N 作NG ⊥CD 于点G ，G 为垂足，则NG//BC ，点G 作GK ⊥DM 于点K ，K 为垂足，连接NK.说明∠GKN 即为二面角C −DM −N 的平面角，通过求解三角形推出结果即可．(方法二)以OA 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．求出平面DMN 的法向量，平面CDM 的法向量利用空间向量的数量积求解a ，然后转化求解λ即可． 本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力．19.答案：解：(Ⅰ)设点P(x 0,y 0)，则x 02+y 02=34，(1)…(1分) 设线段OP 的垂直平分线与OP 相交于点M ，则M(x 02,y2)，…(2分)椭圆C ：x 225+y 29=1的右焦点F(4,0)，…(3分)∵MF ⊥OP ，∴k OP ⋅k MF =−1， ∴y 0x 0⋅y 02−0x 02−4=−1，∴y 02+x 02−8x 0=0，(2)…(4分)由(1)，(2)，解得x 0=174，∴点P 的横坐标为174. …(5分)(Ⅱ)一般结论为：“过圆x 2+y 2=a 2+b 2上任意一点Q(m,n)作椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的两条切线，则这两条切线互相垂直．”…(6分)证明如下： (ⅰ)当过点Q 与椭圆x 2a2+y 2b 2=1相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x =±a ，∵点Q 在圆x 2+y 2=a 2+b 2上， ∴Q(±a,±b)，∴直线y =±b 恰好为过点Q 与椭圆x 2a2+y 2b 2=1相切的另一条切线，∴两切线互相垂直．…(7分) (ⅰ)当过点Q(m,n)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为y −n =k(x −m)，由{x 2a 2+y 2b 2=1y −n =k(x −m)得 b 2x 2+a 2[k(x −m)+n]2−a 2b 2=0， 整理得(b 2+a 2k 2)x 2+2a 2k(n −km)x +a 2(n −km)2−a 2b 2=0，…(8分) ∵直线与椭圆相切，∴△=4a 4k 2(n −km)2−4(b 2+a 2k 2)[a 2(n −km)2−a 2b 2]=0， 整理得(m 2−a 2)k 2−2mnk +(n 2−b 2)=0，…(9分) ∴k 1k 2=n 2−b 2m 2−a 2，…(10分)∵点Q(m,n)在圆x 2+y 2=a 2+b 2上， ∴m 2+n 2=a 2+b 2， ∴m 2−a 2=b 2−n 2， ∴k 1k 2=−1， ∴两切线互相垂直，综上所述，命题成立．…(13分)解析：(Ⅰ)设点P(x 0,y 0)，则x 02+y 02=34，利用MF ⊥OP ，可得k OP ⋅k MF =−1，进而可得y 02+x 02−8x 0=0，从而可求点P 的横坐标；(Ⅱ)一般结论为：“过圆x 2+y 2=a 2+b 2上任意一点Q(m,n)作椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的两条切线，则这两条切线互相垂直”，再分类讨论，借助于根的判别式，即可得出结论．求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的关系问题，一般将直线的方程与圆锥曲线方程联立得到二次方程，再利用根与系数的关系找突破口．20.答案：解：(Ⅰ)由数学成绩为二等奖的考生有12人，可得121−0.4−0.26−0.1=50，所以语文成绩为一等奖的考生50×(1−0.38×2−0.16)=4人．(Ⅱ)设数学和语文两科的平均数和方差分别为x−1，x−2，s12，s22，x−1=81+84+93+90+925=88，x−2=79+89+84+86+875=85，s12=72+42+52+22+425=22，s22=62+42+22+12+125=11.6，因为88>85，11.6<22，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．(Ⅲ)两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人设两科成绩都是一等奖的3人分别为A1，A2，A3，只有数学一科为一等奖的2人分别是B1，B2，只有语文一科为一等奖的1人是C，则随机抽取两人的基本事件空间为：Ω={A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C,A2A3,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1B2,B1C,B2C}，共有15个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件Ω1={A1A2,A1A3,A2A3}共3个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率P=315=15．解析：本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由数学成绩为二等奖的考生有12人，能求出语文成绩为一等奖的考生数．(Ⅱ)求出数学和语文两科的平均数和方差，从而得到数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．(Ⅲ)两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人，设两科成绩都是一等奖的3人分别为A1，A2，A3，只有数学一科为一等奖的2人分别是B1，B2，只有语文一科为一等奖的1人是C，利用列举法能求出两人的两科成绩均为一等奖的概率．21.答案：解(1)a=2时，f(x)=lnx+x−x2，f/(x)=1x+1−2x…(1分)，解f′(x)=0得x=1或x=−12(舍去)…(2分)，当x ∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调增加，当x ∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调减少…(3分)， 所以f(x)的最大值为f(1)=0…(4分)(2)F(x)=lnx +a x (0<x ≤3)，k =F /(x 0)=1x 0−ax 02(0<x 0≤3)…(6分)由k ≤12恒成立得a ≥x 0−12x 02=−12(x 0−1)2+12恒成立…(7分) 因为−12(x 0−1)2+12≤12，等号当且仅当x 0=1时成立…(8分)， 所以a ≥12…(9分)(3)a =0时，方程mf(x)=x 2即x 2−mx −mlnx =0， 设g(x)=x 2−mx −mlnx ， 解g /(x)=2x −m −m x=0…(10分)，得x 1=m−√m2+8m4(<0舍去)，x 2=m+√m 2+8m4，类似(1)的讨论知，g(x)在x ∈(0,x 2)单调增加， 在x ∈(x 2,+∞)单调减少，最大值为g(x 2)…(11分)，因为mf(x)=x 2有唯一实数解，g(x)有唯一零点，所以g(x 2)=0…(12分)， 由{g′ (x 2)=0g(x 2)=0得x 2+2lnx 2−1=0， 因为ℎ(x)=x +lnx −1单调递增，且ℎ(1)=0， 所以x 2=1…(13分)， 从而m =1…(14分)．解析：(1)把a =2代入函数f(x)=lnx −12ax 2+x ，对f(x)进行求导，求出其极值，根据导数来求最值；(2)对F(x)进行求导，求过点P(x 0,y 0)的切线，求出k 用x 0的表达出来，再根据斜率k ≤12恒成立，从而求出a 的范围；(3)当a =0时，方程mf(x)=x 2即x 2−mx −mlnx =0，令g(x)=x 2−mx −mlnx ，对其进行求导，利用导数来画出函数的草图，从而来求解；此题考查利用导数来研究函数的切线，最值和函数的单调性，是高考必考的一类题，此题是一道中档题．22.答案：解：(1)∵ρ=2√5sinθ，∴ρ2=2√5ρsinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ可得圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2√5y ，即x 2+(y −√5)2=5;(2)将{x =3−t y =√5+t (t 为参数)，消参得y =−x +3+√5，点P 的坐标为(3,√5)，∴点P 在直线l 上， 以P 为恒过定点，将l 写成标准参数方程： {x =3−√22t y =√5+√22t(t 为参数)，代入x 2+(y −√5)2=5， 得t 2−3√2t +4=0，可设t 1、t 2是上述方程的两个根， ∴t 1+t 2=3√2，t 1·t 2=4， 由上式及t 的几何意义得：|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3√2．解析：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程中t 的几何意义，属于中档题． (1)对ρ=2√5sinθ两边同乘ρ，得到ρ2=2√5ρsinθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ即可得出直角坐标方程；(2)把直线l 的参数方程先化成标准参数方程，然后代入圆C 的普通方程，得到t 2−3√2t +4=0，利用参数方程中t 的几何意义和韦达定理得出|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2．23.答案：解：(1)f(x)=4x +a 2x为偶函数，则f(−1)=f(1)，得a =1，f(x)在[0,+∞)上是增函数，值域为[2,+∞)．(2)由(1)得f(x)=2x +2−x ，所以g(x)=f(2x)+tf(x)=(22x +2−2x )+t(2x +2−x )=(2x +2−x )2+(2x +2−x )t −2， 令u =2x +2−x ，x ∈[0,1]，则u ∈[2,2.5]，对任意x 1，x 2∈[0,1]，总有|g(x 2)−g(x 1)|≤4，只需u ∈[2,2.5]，g(u)max −g(u)min ≤4， 因为g(u)=u 2+ut −2，对称轴为u =−0.5，故g(u)max =g(2.5)=174+52t ，g(u)min =2t +2，所以174+52t −2t −2≤4，得t ≤72， 综上，0<t ≤72．(3)不妨设x 1>x 2∈[0,1]，令u =2x +2−x ，x ∈[0,1]，则u ∈[2,2.5]，ℎ(u)=u 2+u −2=(u +12)2−94，根据复合函数的单调性ℎ(u(x))单调递增，所以ℎ(x 2)>ℎ(x 1)，因为f(x)单调递增，f(x 2)>f(x 1)，故只需ℎ(x 2)−ℎ(x 1)≤s(f(x 2)−f(x 1))，即ℎ(x 2)−sf(x 2)≤ℎ(x 2)−sf(x 1)，设F(x)=ℎ(x)−sf(x)=u 2+(1−s)u −2，上式即F(x 2)≤F(x 1)， 只需F(x)在u ∈[2,2.5]单调递减即可，所以s−12≥2.5，s ≥6．解析：(1)利用偶函数的性质，f(1)=f(−1)求出；(2)由题意可得对任意x 1，x 2∈[0,1](x 1≠x 2)，令u =2x +2−x ，x ∈[0,1]，则u ∈[2,2.5]，等价为只需u ∈[2,2.5]，g(u)max −g(u)min ≤4；(3)对任意x 1，x 2∈[0,1](x 1≠x 2)，总有|ℎ(x 2)−ℎ(x 1)|≤s|f(x 2)−f(x 1)|，相当于ℎ(u)max −ℎ(u)min ≤s(f(x)max −f(x)min )，解出即可．考查偶函数的性质，不等式恒成立问题，求函数的最值，难题．。
2020年山东省普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(三)数学试题(解析版)
绝密★启用前山东省2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(三)数学试题(解析版)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{}312,log 1||A x x B x x =-≤≤=≤，则A B = ( )A. {|12}x x -≤≤B. {|02}x x <≤C. {|12}x x ≤≤D. {|1x x ≤-或2}x >【答案】B【解析】【分析】 先求出集合{03}B x x =<≤,再利用交集的定义得出答案.【详解】因为3{|log 1}B x x =≤可得{03}B x x =<≤,集合{|12}A x x =-≤≤, 所以{|02}A B x x ⋂=<≤故选B【点睛】本题主要考查了交集的定义,属于基础题.2.已知复数z 满足(1)1z i =+,则复平面内与复数z 对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】 把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z 的坐标得答案． 【详解】由()131i z i +=+，得()()()()1131313131313131313i i i z i i i i +-++-+-====++++-, ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为（13+,13-）,在第四象限． 故选D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题．3.某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加疫情知识问答竞赛,于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的十次成绩,将统计情况绘制成如图所示的折线图.根据该折线图,下面结论正确的是（ ）。
2020年山东省新高考数学第三次模拟检测试卷 含解析
2020年新高考数学第三次模拟试卷一、选择题1．设集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则集合M∩N等于（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜3}C．{x|0＜x≤3}D．{x|﹣2≤x＜0} 2．若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1+i，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣13．设a∈R，b＞0，则“3a＞2b”是“a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图判断，以下结论中一定正确的是（）A．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D．华为的全年销量最大5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则的值等于（）A．2B．4C．6D．86．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝，|MF1|﹣|MF2|＝4，点N在圆x2+y2﹣4y＝0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A．2B．5C．6D．78．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0]二、多项选择题（共4小题）9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝，则下列说法正确的是（）A．ac的最小值是4B．ac的最大值是4C．a+2c的最小值是2+2D．a+2c的最小值是3+210．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（）A．＜1B．+≥2C．D．a2+a＜b2+b11．已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为（）A．2B．4C．12D．1412．若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a＝﹣2D．a＝2三、填空题（共4小题）13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有种．（用数字作答）14．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n}，则a2019＝，数列{a n}的前2019项的和为．15．若函数f（x）＝mx2﹣e x+1（e为自然对数的底数）在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是．16．若F（c，0）是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作该双曲线一条渐近线的垂线并与两条渐近线分别相交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率为．四、解答题（本题共6小题）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4b cos2＝2b+a sin B．（1）求cos A；（2）若a＝2，c＝5，求b．18．已知正项数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．19．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB＝2AF＝2，∠BAD ＝60°，G是BE的中点．（Ⅰ）证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．21．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，动点P在椭圆E上，△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2与椭圆E的另一个交点为Q，过P，Q分别作直线l：x＝t（t＞2）的垂线，垂足为M，N，l与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围．22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣alnx（无理数e＝2.718…）．（1）若f（x）在（1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围：（2）当a＝0时，设g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x，证明：当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．参考答案一、单项选择题（共8小题）1．设集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则集合M∩N等于（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|﹣2≤x＜3}C．{x|0＜x≤3}D．{x|﹣2≤x＜0}【分析】可求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：N＝{x|﹣2＜x＜3}；∴M∩N＝{x|0≤x＜2}．故选：A．2．若复数z1，z2，在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1+i，则＝（）A．i B．﹣i C．1D．﹣1【分析】由已知求得z2，把z1，z2代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1＝1+i，∴z2＝﹣1+i，∴＝＝．故选：B．3．设a∈R，b＞0，则“3a＞2b”是“a＞log3b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义；指数函数和对数函数的图象和性质分别进行判断．解：若3a＞2b，b＞0，则a＞log32b，可得a＞log3b；若a＞log3b，可得3a＞b，无法得到3a＞2b，所以“3a＞2b”是“a＞log3b”的充分而不必要条件．故选：A．4．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，三星销量约占30%，苹果销量约占20%），根据该图判断，以下结论中一定正确的是（）A．四个季度中，每季度三星和苹果总销量之和均不低于华为的销量B．苹果第二季度的销量小于第三季度的销量C．第一季度销量最大的为三星，销量最小的为苹果D．华为的全年销量最大【分析】根据图象，逐一分析选项，得出答案．解：根据图象，分析如下：A，错误，第四季度三星和苹果总销量之和低于华为的销量；B，错误，苹果第二季度的销量大于第三季度的销量；C，错误，第一季度销量最大的为华为；D，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大，故D正确，故选：D．5．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则的值等于（）A．2B．4C．6D．8【分析】由题意，＝•（+）＝•+•；⊥；•＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°；从而求得．解：＝•（+）＝•+•＝•＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°＝4×4×＝4；故选：B．6．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】判断函数的奇偶性与图象对称性之间的关系，利用特殊值的对应性是否一致利用排除法进行求解即可．解：f（﹣x）＝＝＝＝﹣＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（1）＝＜0，排除B，故选：A．7．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝，|MF1|﹣|MF2|＝4，点N在圆x2+y2﹣4y＝0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A．2B．5C．6D．7【分析】求得双曲线的a，b，可得双曲线方程，求得焦点坐标，运用双曲线的定义和三点共线取得最小值，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，计算可得所求最小值．解：由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|＝＝3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．8．已知函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的值域为（）A．（0，2）B．[0，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，0]【分析】根据题意，分析可得f（a﹣x）＝f（x），即可得函数f（x）的图象关于直线x ＝对称，据此可得a的值，进而可得f（x）＝lnx+ln（2﹣x）＝ln（2x﹣x2），设t＝2x﹣x2，则y＝lnt，由换元法分析可得答案．解：根据题意，对于函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x），有f（a﹣x）＝ln（a﹣x）+ln[a﹣（a﹣x）]＝lnx+ln（a﹣x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝对称，若函数f（x）＝lnx+ln（a﹣x）的图象关于直线x＝1对称，则有＝1，则a＝2，则f（x）＝lnx+ln（2﹣x）＝ln（2x﹣x2），其定义域为（0，2），设t＝2x﹣x2，则y＝lnt，又由t＝﹣（x﹣1）2+1，0＜x＜2，则有0＜t≤1，则y＝lnt≤0，即函数f（x）的值域为（﹣∞，0]；故选：D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝，则下列说法正确的是（）A．ac的最小值是4B．ac的最大值是4C．a+2c的最小值是2+2D．a+2c的最小值是3+2【分析】现根据三角形面积公式得条件，再利用基本不等式求最值．解：有题意知S△ABC＝S△ABD+S△BDC，由角平分线性质以及面积公式可得：，化简得ac＝a+c，∴，当且仅当a＝c时成立，解之得ac≥4，选项A对；∵ac＝a+c，∴1＝，∴≥3+2，当且仅当a＝，选项D对；故选：AD．10．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（）A．＜1B．+≥2C．D．a2+a＜b2+b【分析】当a＜b＜0时，＜1不成立可判断A；当时，不成立可判断B；利用作差可判断C，D．解：当a＜b＜0时，＜1不成立，当时，不成立，因为＝＜0，则一定成立，因为a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b+1）符号不定，故a2a＜b2+b不一定成立．故选：ABD．11．已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为（）A．2B．4C．12D．14【分析】由平行截面的周长求出两个半径，再由截面圆的半径，球的半径和球心到截面的距离构成直角三角形求出球心到截面的距离，分平行平面在球心的同一侧和两边求出平行平面的距离．解：两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，可得两个半径分别为6，8，如果这两个平行平面在球心同一侧时，取球的中截面可得球心到截面的距离OB＝＝＝8，OA＝＝＝6，所以平行线间的距离d＝OB﹣OA＝8﹣6＝2，如果这两个平行平面在球心两侧时，所以平行线间的距离d'＝OB+OA＝8+6＝14，故选：AD．12．若三条直线l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能围成三角形，则a的取值为（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a＝﹣2D．a＝2【分析】l1和l3平行，或l2和l3平行，l1和l2平行，分类讨论，利用两条直线平行的条件分别求得m的值，综合可得结论．解：由于l1的斜率﹣a，l3的斜率为﹣1，则由题意可得l1和l3平行，或l2和l3平行，l1和l2平行．若l1和l3平行，则＝，求得a＝1；若l2和l3平行，则＝，求得a＝1．若l1和l2平行，则＝，求得a＝±1．综上可得，实数a所有可能的值为﹣1，1，故选：AB．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有36种．（用数字作答）【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将除甲乙的三人全排列，排好后有4个空位，②，分析甲乙的安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①，将除甲乙的三人全排列，有A33＝6种情况，排好后有4个空位，②，由于甲不站在两端，则甲有2个空位可选，乙在剩下的3个空位中任选1个，有3种选法，则甲乙的选法有2×3＝6种，故不同的排法有6×6＝36种；故答案为：36．14．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n}，则a2019＝0，数列{a n}的前2019项的和为1346．【分析】根据题意写出数列{a n}的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，继而可求解．解：∵“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，∴此数列被2整除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，……，即a1＝1，a2＝1，a3＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0，……，∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a2019＝a3＝0，∴数列{a n}的前2019项的和为：a1+a2+a3+……+a2019＝673（a1+a2+a3）＝673×2＝1346，故答案为：0，1346．15．若函数f（x）＝mx2﹣e x+1（e为自然对数的底数）在x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是．【分析】方法1：f'（x）＝2mx﹣e x，x＝x1和x＝x2两处取得极值，且x2≥2x1，设A（2x1，4mx1），B（2x1，），构造，，在（0，1）递减，转化求解即可．方法2：f'（x）＝2mx﹣e x，有两个不等的实数根x1，x2且x2≥2x1，令，则，利用函数的单调性转化求解即可．解：方法1：f'（x）＝2mx﹣e x，，，直线y＝2mx，曲线y＝e x，x2≥2x1，A（2x1，4mx1），B（2x1，），，x1≤ln2，构造，，在（0，1）递减，．方法2：f'（x）＝2mx﹣e x由题知有两个不等的实数根x1，x2且x2≥2x1，令，则，易知h（x）在（﹣∞，0），（0，1）上为减函数；在（1，+∞）上为增函数．当x2＝2x1时，由，得x1＝ln2，此时；当x2＞2x1时，综上．故答案为：．16．若F（c，0）是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作该双曲线一条渐近线的垂线并与两条渐近线分别相交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ＝tan∠AOB，求出F到渐近线y＝x的距离为b，即有|OB|＝a，△OAB的面积可以表示为•a•a tanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．解：双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，设两条渐近线的夹角为θ，则tanθ＝tan∠AOB＝＝，设FB⊥OB，则F到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即有|OB|＝a，则△OAB的面积可以表示为•a•a tanθ＝＝，解得＝，则e＝＝＝．故答案为：．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4b cos2＝2b+a sin B．（1）求cos A；（2）若a＝2，c＝5，求b．【分析】（1）由已知结合正弦定理及同角平方关系即可求解cos A，（2）由已知结合余弦定理可求b．解：（1）因为4b cos2＝2b+a sin B，所以2b（1+cos A）＝2c+a sin B，即4b cos A＝3a sin B，由正弦定理可得，4sin B cos A＝3sin A sin B，因为sin B≠0，所以4cos A＝3sin A，又sin2A+cos2A＝1且sin A＞0，cos A＞0，所以cos A＝；（2）由余弦定理可得，cos A＝＝，整理可得，b2﹣6b+5＝0，解可得，b＝1或b＝5．18．已知正项数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）n≥2时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1，化为：＝，a n＞0．化简进而得出．（2）{a n}是递增数列，取a n＝2n﹣1．可得＝＝，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．解：（1）n≥2时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝+4n﹣1﹣[+4（n﹣1）﹣1]，化为：＝，a n＞0．∴a n﹣a n﹣1＝2，或a n+a n﹣1＝2，a n﹣a n﹣1＝2时，数列{a n}是等差数列，a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．a n+a n﹣1＝2，∵a1＝1，可得a n＝1．（2）{a n}是递增数列，∴a n＝2n﹣1．＝＝，数列{b n}的前n项和T n＝＝，∵恒成立，∴，解得m≥3．∴实数m的取值范围是[3，+∞）．19．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（Ⅰ）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）完成列联表，由列联表，得k2＝，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×＝7人，偶尔或不用网购的有10×＝3人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意X～B（10，0.6），由此能求出随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X）．解：（1）完成列联表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性5050100女性7030100合计12080200由列联表，得：k2＝＝，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×＝7人，偶尔或不用网购的有10×＝3人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：P＝＝．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意X～B（10，0.6），∴随机变量X的数学期望E（X）＝10×0.6＝6，方差D（X）＝10×0.6×0.4＝2.4．20．四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AB＝2AF＝2，∠BAD ＝60°，G是BE的中点．（Ⅰ）证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理或者面面平行的性质定理即可证明：CG∥平面BDF（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角E﹣BF﹣D的余弦值．【解答】（I）证法一：设AC∩BD＝O，BF的中点为H，因为G是BE的中点，，∴OCGH是平行四边形∴CG∥OH，CG⊄平面BDF，OH⊂平面BDF，∴CG∥平面BDF证法二：因为G是BE的中点，，∴CG∥DF，∵CG⊄平面BDF，DF⊂平面BDF，∴CG∥平面BDF（II）设EF的中点为N，ACEF是矩形，ON⊥AC，平面ACEF⊥平面ABCD，∴ON⊥面ABCD∴ON⊥AC，ON⊥BD四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为Y轴，ON所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，AB＝2，AF＝1，∠BAD＝60°，则平面BEF的法向量为，平面BDF的法向量为，令z1＝1，则，由设二面角E﹣BF﹣D的大小为θ则，则二面角E﹣BF﹣D的余弦值是．21．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，动点P在椭圆E上，△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2与椭圆E的另一个交点为Q，过P，Q分别作直线l：x＝t（t＞2）的垂线，垂足为M，N，l与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围．【分析】（1）根据椭圆的离心率和焦点三角形的周长建立方程求出a，c的值即可；（2）先设出直线PQ的方程为x＝my+1，联立方程组得出根与系数关系，利用四边形PMNQ的面积是△PQT面积的3倍，得出t关于m的表达式，由t＞2建立不等式，解出m的取值范围，进而根据得出k的取值范围．解：（1）因为P是E上的点，且F1，F2为E的左、右焦点，所以|PF1|+|PF2|＝2a，又因为|F1F2|＝2c，△PF1F2的周长为6，所以2a+2c＝6，又因为椭圆的离心率为，所以，解得a＝2，c＝1．所以，E的方程为．……………（2）依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x＝my+1，由，消去x得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）则有△＞0且．…设四边形PMNQ的面积和△PQT面积的分别为S1，S2，则S1＝3S2，又因为，S2＝．所以，即3（t﹣1）＝2t﹣（x1+x2），得t＝3﹣（x1+x2），又x1＝my1+1，x2＝my2+1，于是t＝3﹣（my1+my2+2）＝1﹣m（y1+y2），所以，由t＞2得，解得，设直线PQ的斜率为k，则，所以，解得，所以直线PQ斜率的取值范围是．……………22．已知函数f（x）＝xe x﹣1﹣alnx（无理数e＝2.718…）．（1）若f（x）在（1，+∞）单调递增，求实数a的取值范围：（2）当a＝0时，设g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x，证明：当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．【分析】（1）由题意可得f′（x）＝（1+x）e x﹣1﹣＝≥0在（1，+∞）上恒成立．可得a≤（x+x2）e x﹣1＝h（x），利用导数研究其单调性可得实数a的取值范围．（2）当a＝0时，g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x＝e x﹣x2﹣x．g′（x）＝e x﹣2x﹣1＝u（x）．利用导数研究其单调性极值，进而证明结论．【解答】（1）解：由题意可得f′（x）＝（1+x）e x﹣1﹣＝≥0在（1，+∞）上恒成立．∴a≤（x+x2）e x﹣1＝h（x），h′（x）＝（1+3x+x2）e x﹣1＞0，∴函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．∴a≤h（1）＝2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．（2）证明：当a＝0时，g（x）＝•f（x）﹣x2﹣x＝e x﹣x2﹣x．g′（x）＝e x﹣2x﹣1＝u（x）．u′（x）＝e x﹣2，可得x＝ln2时，函数u（x）取得极小值，g′（ln2）＝u（ln2）＝1﹣2ln2＜0．∵g′（0）＝0，又＝﹣2（1+ln2）﹣1＝e﹣3﹣ln2＞0．∴存在x0∈（ln2，1+ln2），使得g′（x0）＝﹣2x0﹣1＝0，＝2x0+1．由单调性可得：x＝x0时，函数g（x）取得极小值即最小值，∴g（x）≥g（x0）＝﹣﹣x0＝2x0+1﹣﹣x0＝﹣+x0+1＝﹣+．由x0∈（ln2，1+ln2），可得函数y＝g（x0）单调递减，故g（x））≥g（x0）＞﹣+＞1﹣﹣（）2．∴当x＞0时，g（x）＞1﹣﹣（）2．。
山东省济宁市2020届高三6月高考模拟考试(三模)数学试题(详解)
山东省济宁市2020届高三6月高考模拟考试（三模）数学试题、选择题1 .已知集合 A xx 25 ,B 3, 2,1,2,4 ，则 A 。
B () B. 2, 1,2D, 底近2 . i 为虚数单位，复数z -2—^ 1 i ,复数z 的共轲复数为Z ,则Z 的虚部为（）1 2iA. iB. 2i【答案】CC.2 D, 1为2.故选：C.b 是非零向量，“ a b °”是“a b”的（）A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】Cii【解析】设非零向量a 、b 的夹角为，若a b 0,则cos 0,又061.. ........ ..4.在x ' x 3的展开式中，常数项为（）2x【解析】原式x （x —）6 3（x 工）6①，而（x 2）6的通项为：（工）七袅62;当6 2k 1时，k 7Z 2x2x 2x 22故①式中的前一项不会出常数项，当6 2k 0,即k 3时，可得①式中的后一项的常数项乘以 3即为所【解析】由题得z 2-^- 1 i1 2i(2 i)(1 2i) 1 i5i 1 (1 2i)(1 2i)51 2i ,所以W 1 2i .所以N 的虚部”的充要条件.故选：C.0” 是“ aJr aA.2,2 C.21,3,2【解析】由题意A {x| 、,5 x眄，.一 ApB { 2,1,2}.故选：B.TbJr a以所15 A. 一215C.D.【答案】D求，此时原式常数项为 3(1)3C 3215工故选:A-5. 函数 f x cosx sin 的图象大致为A. C. 【解析】f x cos( x) sinB.D.1 1 cosx sin cosx sin1e e xee 1f (x),所以x 为奇函数, 由此排除 AB 选项，। 1 = 18057.3 , cos10, si ne 1八——，6. C. f (1) cos1 sin 110g 21,b 43 ab ab a 110g b (2)0.30.3 则有( D. a abab 1 . c_皿3,又4 log 2 31 1 , 八 log23 24 /1、I 1 (二)二，, a 2 2 7.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一, 所得开立方除之，即立圆径。
2020年6月山东省泰安市普通高中2020届高三高考全真模拟(三模)数学试题及答案解析
绝密★启用前山东省泰安市普通高中2020届高三毕业班下学期高考全真模拟(三模)数学试题2020年6月考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2450,10A x x x B x x A B =--<=->⋂=，则A.()1-∞，B.()11-，C.()15-，D.()05， 2.设复数z 满足()21=52i z i -+,则z 的虚部为A.1-B.i -C.52D.52i 3.已知函数()f x =,则函数()11f x x -+的定义域为 A.(),1-∞B.(),1-∞-C.()(),11,0-∞-⋃-D.()(),11,1-∞-⋃-4.已知抛物线2:4C x y =的准线恰好与圆()()()222:340M x y r r -+-=>相切,则r =A.3B.4C.5D.65.设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<其中,q ：实数x 满足ln 2x <,则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示）,下底面是边长为2的正方形,上棱32EF =,EF//平面ABCD,EF 与平面ABCD 的距离为2,该刍甍的体积为A.6B.113 C.314D.12 7.函数()[]3cos sin 2x f x x x ππ=+-在，的图象大致为8.如图,已知双曲线22212x y C a a -=+：的左、右焦点分别为12,,F F M 是C 上位于第一象限内的一点,且直线2F M y 与轴的正半轴交于A 点,1AMF ∆的内切圆在边1MF 上的切点为N,若=2MN ,则双曲线C 的离心率为A.5B.5C.2D.2二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知向量()()()2,1,3,2,1,1a b c =-=-=,则A.//a bB.()a b c +⊥C.a b c +=D.53c a b =+。
山东省2020年高三3月全省第3次联合考试 数学试题(附答案+全解全析)
山东省2020年高三3月全省第3次联合考试数 学（满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知集合{|20}A x x =-≥，{|ln(1)}B x y x =∈=+Z ，则A B =I A ．[1,2]-B ．(1,2]-C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-2．设复数z 满足|i ||i |z z -=+，i 为虚数单位，且z 在复平面内对应的点为(,)Z x y ，则下列结论一定正确的是 A ．1x =B ．1y =C ．0x =D ．0y =3．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cmB ．172.75cmC ．173.75cmD ．175cm4．已知向量(1,),(2,)t y =-=a b ，其中22121y t t =-++，则当y 最小时，cos ,=a bA B ． C ．D 5．函数52sin ()([,0)(0,])33xxx xf x x -+=∈-ππ-U 的大致图象为6．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，数列{}n a 满足1[]22(1)n n a n -=-，则数列{}n a 的前60项的和为A ．1830B ．1830-C ．3660D ．3660-7．长方体ABCD A'B'C'D'-中，,AB a AD b ==，AA'a b =+，则三个角,,AA'B BA'D DA'A ∠∠∠的和为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．已知过点(4,0)M 的直线与抛物线C ：24y x =交于点,A B ，设O 为坐标原点，则||||||OA OB AB +的最大值为A ．1B ．2CD 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 是实数，则下列结论正确的是 A ．“22a b >”是“a b >”的充分条件 B ．“22a b >”是“a b >”的必要条件C ．“22ac bc >”是“a b >”的充分条件D ．“||||a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件10．若函数21()ln ||+1f x x x =-，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在定义域上是单调增函数C ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．不等式(1)(2)f x f x ->的解集为1(1,0)(0,)3-U11．将函数2()cos f x x x x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．则下列说法正确的是A ．函数()g x 的图象关于点π(,0)3成中心对称B ．函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点C．函数()g x 在区间ππ[,]24--D ．函数()g x 在区间π(0,)12上单调递增12．在如图所示的平面多边形中，四边形ABCD 4个三角形均为正三角形．若沿正方形的4条边将三角形折起，使顶点1234,,,S S S S 重合为S 点，得到四棱锥S ABCD -，则AB ．此四棱锥的外接球的表面积为3πC ．此四棱锥的外接球的体积为43πD ．此四棱锥的高为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为___________.14．已知双曲线E ：2221(0)x y a a-=>的左、右焦点分别为12,F F ，M 在E 的右支上，若12ππ[,]43F MF ∠∈，则12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为___________. 15．若存在直线l 与函数1()(0)f x x x=<及2()g x x a =+的图象都相切，则实数a 的最小值为___________．16．某中学某天有6节课，其中上午4节，下午2节，若要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理这6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同的排法种数是_________，数学排第一节课的概率是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足112(2)n n n n a a n a a +-+=≥，且12a a ≠，315a =，125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和为n S ，+1n n n nb a a S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，π6BDC ∠=，2AD =，4DC =.（1）若cos ABD ∠BD ，BC ； （2）若C ADC ∠=∠，求sin CBD ∠. 19．（本小题满分12分）如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，MB ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，CN =（1）证明：平面DMN ⊥平面BCN ； （2）求二面角C MN D --的余弦值. 20．（本小题满分12分）为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取100名学生，统计了他们的竞赛成绩，已知这100名学生的竞赛成绩均在[50,100]内，并得到频数分布表（如下）.（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？（2）根据（1）的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取3人，记被抽取的3人中“不合格”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望()E X .附参考公式及临界值表：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++.21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆C 的左、右焦点12,F F 分别作倾斜角为π3的直线12,l l ，12,l l（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，求点12,F F 到直线l 的距离之积. 22．（本小题满分12分）已知函数()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-. （1）设()()g x f x '=，求证：1()g x x<； （2）讨论()f x 的单调性.答案与全解全析（满分：150分 考试时间：120分钟）1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．C 【解析】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．4．B 【解析】2222112(1)33111y t t t t =-+=++-≥=-++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时取等号，y 取得最小值为1-.此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则cos ,||||⋅===⋅a b a b a b 故选B ． 5．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ， 又5()033f π-πππ=>-，排除C ，故选A ．6．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．7．D 【解析】如图，连接BD ，因为,AB a AD b==，AA'a b =+，所以222()A'B a a b =++，222()A'D b a b =++，222BD a b =+，结合余弦定理得222222222cos 2A'B A'D BD BA'D A'B A'D +-∠===⋅=cos cos BA'A DA'A ∠⋅∠．又因为tan tan 1a b BA'A DA'A a b a b∠+∠=+==++sin sin cos cos BA'A DA'ABA'A DA'A∠∠+∠∠，所以sin()cos cos cos BA'A DA'A BA'A DA'A BA'D ∠+∠=∠⋅∠=∠，所以BA'D ∠+90DA'A BA'A ∠+∠=︒，故选D ．8．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +故选C ．9．CD 【解析】A ，举反例，取4,1a b =-=可知A 错误；B ，举反例，取1,2a b ==-可知B 错误；而C ，D 显然正确．故选CD ．10．AD 【解析】首先，函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，因为21()ln ||()()1f x x f x x -=--=-+，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；当0x >时，21()ln +1f x x x =-，由复合函数的单调性可知，函数()f x 单调递增，由偶函数的图象关于y 轴对称，可知当0x <时，函数()f x 单调递减，故B 错误，C错误；由函数()f x 是偶函数及其单调性，得(1)(2)f x f x ->等价于|1||2|x x ->，即22(1)(2)x x ->，结合定义域解得110,03x x -<<<<或，故D 正确．故选AD ．11．BCD 【解析】21cos2π()cos 2)26x f x x x x x x +=-+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数π())6g x x +的图象．对于选项A ，π4ππ())336g =+=()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，A 错误；对于选项B ，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得函数()g x 在(π,π)-上有8个极值点，B 正确；对于选项C ，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则()g x ≤所以函数()g x 的最大值为，最小值为，C 正确；对于选项D ，由242262k x k k πππ-+π≤+≤+π,∈Z ，解得,62122k k x k ππππ-+≤≤+∈Z ，取0k =，得612x ππ-≤≤，故函数()g x 在π(0,)12上单调递增，D 正确．故选BCD ．12．CD 【解析】如图所示，连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD ．设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上．连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==．因为正方形ABCD1CH =，SC 1SH =，所以,H O 重合，即四棱锥的高1SH =，四棱锥的外接球的半径1R =，直径为2，所以四棱锥的外接球的表面积24π4πS R ==，体积34433V R =π=π．故选CD ．13．11- 【解析】35(2)()x y x y +-的展开式中含35x y 的项为303232223233535C (2)C ()C (2)C ()x y x y x y x y -+-+1244030505353535C (2)C ()C (2)C ()11x y x y x y x y x y -+-=-，所以35(2)()x y x y +-的展开式中35x y 的系数为11-． 14．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 22θ≤≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2． 15．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 16．408，517【解析】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可任意排在其余5节课，故有55A种排法；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理中的任何一门，有14C 种排法，数学应该排在上午第二节、第三节或第四节，有13C 种排法，余下的四门课程可任意排列，有44A 种排法，故上午第一节课不排数学共有114434C C A ⋅⋅种排法，综上，有51145434A 4C C A 08⋅+=⋅种不同的排法．数学排第一节课的概率55A 540817P ==．故答案为408，517．17．（本小题满分10分）【解析】（1）因为112(2)n n n n a an a a +-+=≥，所以0n a ≠，所以11112n n n a a a +-+=， 所以数列1{}n a 是等差数列，设数列1{}na 的公差为d ，由12a a ≠可得0d ≠，（2分） 因为125,,a a a 成等比数列，所以2152a a a =，所以2152111a a a ⋅=，所以2333111(2)(2)()d d d a a a -+=-， 因为315a =，所以2(52)(52)(5)d d d -+=-，（4分） 解得0d =（舍去）或2d =，所以311(3)21n n d n a a =+-=-，所以121n a n =-．（5分） （2）由（1）知121n a n =-，2(121)2n n n S n +-==， 所以2+1111111()(21)(21)44(21)(21)482121n n n n n b a a S n n n n n n ===+=+--+-+-+， 所以21111111111(1)(1)483352121482142n n nT n n n n n n +=+⨯-+-++-=+⨯-=-+++L ．（10分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠， 所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得222222cos 3423425BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯=-，所以BC =.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得sin x =sin CBD ∠=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,BC CN ==，得BN =2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中,可得MN =由4BM =，BN MN ==222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||3θ⋅===n m n m ，由图可知二面角C MN D --的余弦值为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：（3分）则2K 的观测值22()100(24122836)8.654 6.635()()()()60404852n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 因此有99%的把握认为“法律知识的竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关．（6分） （2）根据（1）的数据分析，可得随机抽取一人成绩“不合格”的概率为4021005=.（7分） 根据题意得2~(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0，1，2，3，00332327(0)C ()()55125P X ==⨯⨯=，11232354(1)C ()()55125P X ==⨯⨯=，22132336(2)C ()()55125P X ==⨯⨯=，3303238(3)C ()()55125P X ==⨯⨯=.（10分） 所以X 的分布列为（11分）所以X 的数学期望2()3 1.25E X =⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l l π2sin 3c =1c =，（2分）由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b ==， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分）。
2020年山东高三三模数学试卷
2020年山东高三三模数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合，，则（ ）．A. B.， C. D.3.已知为坐标原点，为直线上在第一象限内的点，，，则与的夹角为（ ）．A.B.C.D.4.已知函数的最小正周期为，则的展开式中的系数为（ ）．A.B.C.D.5.函数的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.6.记为正项数列的前项和，，若数列是等差数列，则（ ）．A.B.C.D.7.物理学上，“分贝”是一种测量声音相对响度的单位，分贝的计算公式为，其中为分贝，为声压标准值，为声压测量值．分贝是人刚能听到的最微弱的声音，分贝是较为理想的安静环境，超过分贝会影响休息和睡眠，超过分贝会影响学习和工作，超过分贝会影响听力，如果突然暴露在高达分贝的噪声环境中，鼓膜会破裂出血，双耳完全失去听力．已知摇滚演唱会最前排听到声音的声压约为，则其约为（参考数据：，）（ ）．A.分贝B.分贝C.分贝D.分贝8.已知四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，则四棱锥的体积是（ ）．A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.下图为某地区年上半年年上半年住宅供应面积、住宅成交面积以及住宅成交均价走势图：年年下半年年上半年年下半年年年下半年上半年年上半年上半年住宅供应面积万平方米住宅成交面积万平方米住宅成交均价（元平方米）根据该走势图可知，下列说法正确的有（ ）．A.住宅面积总是供不应求B.住宅成交均价逐年增长速度相同C.年下半年住宅供需面积差异最大D.年下半年住宅供需面积最为平衡10.已知双曲线：的一条渐近线平行于直线：，则下列说法正确的有（ ）．A.的渐近线方程为B.的离心率为C.与直线有两个公共点D.若过点，则的标准方程为11.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）．A.的一个周期是B.在区间上有个零点C.的最大值为D.在区间上是增函数12.已知底面是菱形的直四棱柱，棱长为，，，分别为，的中点，为线段上不同于，的动点，则下列说法正确的有（ ）．A.存在点，使B.存在点，使C.平面截四棱柱所得截面面积的取值范围为D.三棱锥的体积为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.“回文”是指正读、反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字称为回文数．设是自然数，若将的各位数字反向排列所得自然数与相等，则称为回文数．例如，若，则称为回文数．在中任取两个回文数，则这两个回文数都能被整除的概率是 ．14.已知，则 ．15.设抛物线的焦点为，以抛物线上一点为圆心的圆与直线相切，连接与圆交于点，且，则的方程为 ；若点为圆上的动点，为坐标原点，则的最小值为 ．16.已知函数若函数至少有一个零点，则实数的取值范围是 ．，四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在①，②，③的前项和这三个条件中，任选一个补充到下面的题目中，并解答题目．已知数列是等差数列，是等比数列，且，， ，．设，求数列的前项和．（1）（2）18.在中，，为内一点，．若，求．若，求．（1）（2）19.如图，在四棱锥 中，底面是平行四边形， 平面，，分别为，的中点， ， ， ．证明： ．求直线与平面所成角的正弦值．20.党的十八大以来，党中央明确了到年我国将完成“脱贫攻坚”任务．某市许多年轻人得知政府在大力扶植地区特色产业后，纷纷投入家乡如火如荼的创业大潮中，建立了“万亩蓝莓园”．在蓝莓采（1）（2）摘时，把质量较好的蓝莓（我们称之为“一等品”）挑选出来，“一等品”的价格是一般蓝莓价格的倍，“一等品”越多，收益也就越好．从该市随机抽取男、女果农各名，调查了他们平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量（单位：千克），分别为，，，，，绘制成如下条形图：男果农一等品重量千克频数一等品重量千克频数女果农若我们把平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量不少于千克的果农称为“蓝莓种植能手”，由以上统计填写下列列联表，并判断是否有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．“蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农 女果农 总计已知今年的蓝莓平均亩产为千克，收购价为：一般蓝莓元千克，“一等品”蓝莓元千克，随机抽取名男果农和名女果农，以表示这名果农中每亩收益大于元的人数，求的分布列及数学期望．参考公式及数据：，其中．（1）（2）21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为，且椭圆过点．求椭圆的标准方程．过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，过点作垂直于轴交椭圆于点，直线与轴交于点，求面积的最大值．【答案】解析:，所以，所以在复平面内对应的点位于第一象限．故选．解析:集合表示直线上点的集合，集合表示抛物线上点的集合，为直线与抛物线的交点组成的集合，联立，解得或．故选．解析:∵为直线上在第一象限上的点，不妨设设，则，∴，即点坐标为，∴，∴，设与的夹角为，（1）（2）22.已知函数．若，求的极值．若恒成立，求的最大值．A1.D2.D3.则，∴．故选：．解析:∵函数的最小正周期，则，解得，二项式的展开式的通项：（，，，），令，解得，，∴的展开式中的系数为．故正确．解析:因为，所以为奇函数，选项错误；当时，，选项错误；当时，，令即，解得．所以当时，单调递增，选项错误．故选．解析:C 4.C 5.A 6.因为数列是等差数列，所以数列是等比数列，设其公比为，则，即，解得或（舍去），又，所以，，所以．故选．解析:，由于，即，，所以．故选．解析:由题意得四边形为直角梯形，，易知为直角三角形，，又，，所以平面，作，垂足为，则，又，所以平面，所以，故选．解析:.全图供应面积小于成交面积，供小于求，故选项正确；B 7.B 8.四边形四边形A 9..明显年下半年速度变快，趋势变陡，故选项错误；.年上半年差值更大，故选项错误；.年下半年供求差值最小，故选项错误．故选．解析:由题意可得，，故正确；令，即，即，得或，当时，解得或或，故正确；因为，所以．设，令，得，所以或，令，得，所以或，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，所以，故正确，错误．故选．BD 10.ABC 11.解析:当为中点时，且，四边形为平行四边形，所以，故选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设，则，，，．，得，故选项错误；如图，平面截四棱柱所得截面为平面，，，，，，所以，，，，，所以，故选项正确；设为点到平面的距离，因为平面平面，平面，所以为定值，又为定值，故为定值，故选项正确．故选．ACD 12.四边形四边形解析:中的回文数有，，，，，，，，，，共个，其中能被整除的有，，，共个，所以．解析:，即，即，所以．解析:因为圆与直线相切，又，所以．又，所以，即，解得，所以的方程为，所以．又，，所以．解析:当时，，所以，函数至少有一个零点，即函数的图象与函数的图象至少有一个交点．13.14. ;15.16.当时，，，设以为切点的切线过点，则切线斜率，解得，如图，xyI所以．解析:①设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得，．即，，则，则．又，则数列的前项和为．②由，，可得．，，，则，则．又，则数列的前项和为③，．17.（1）（2）．③设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得．，即，，则，则．又，则数列的前项和为．解析:因为，，所以，，，所以，，因为，所以，，在中，，，，所以，解得．因为，，所以，设，则，，因为，所以，在中，，在中，，（1）．（2）．18.（1）即，化简得，所以．解析:取的中点，连接，，如图所示，因为，分别为，的中点，所以且，因为四边形为平行四边形，所以且， 且，因为为中点，所以 且，所以 且，所以四边形为平行四边形，所以 且 ，因为 ，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，所以 ，又因为 ，所以，在 中，因为，（1）证明见解析．（2） ．19.（2）所以 ，即 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ．因为平面， ，所以以为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，因为 ， ，所以 ，所以 ， ， ， ， ，， ， ，设平面的一个法向量 ，则 ，即 ，令 得 ，所以，（1）（2）所以直线与平面所成角的正弦值为 ．解析:列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计，所以有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．当果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量为千克时，每亩收益为（元），则每亩收益大于元的人数就是每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数，女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，设名女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，名男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，则，，的所有可能取值为，，，，（1）列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．（2）的分布列为：．20.（1）（2），，，，所以的分布列为：．解析:由题意得，．又因为椭圆过点，代入椭圆方程得，所以椭圆的标准方程为．设直线，，，则，直线，得，联立方程组，整理得，则恒成立，，，，所以，当且仅当点在短轴端点处取得等号，故面积的最大值为．（1）．（2）．21.（1）当时，取得极大值，且无极小值．22.（1）（2）解析:由题意得，，当时，的定义域为，，在区间上单调递增，所以无极值；当时，的定义域为，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，且无极小值．若恒成立，即恒成立，设，若，由得，取，使得，则，而，，所以，所以，与矛盾，故，由得，且，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，故，所以，记，则，（2）．当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，所以当，时，取得最大值．。
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2020年山东高三三模数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合，，则（ ）．A. B.， C. D.3.已知为坐标原点，为直线上在第一象限内的点，，，则与的夹角为（ ）．A.B.C.D.4.已知函数的最小正周期为，则的展开式中的系数为（ ）．A.B.C.D.5.函数的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.6.记为正项数列的前项和，，若数列是等差数列，则（ ）．A.B.C.D.7.物理学上，“分贝”是一种测量声音相对响度的单位，分贝的计算公式为，其中为分贝，为声压标准值，为声压测量值．分贝是人刚能听到的最微弱的声音，分贝是较为理想的安静环境，超过分贝会影响休息和睡眠，超过分贝会影响学习和工作，超过分贝会影响听力，如果突然暴露在高达分贝的噪声环境中，鼓膜会破裂出血，双耳完全失去听力．已知摇滚演唱会最前排听到声音的声压约为，则其约为（参考数据：，）（ ）．A.分贝B.分贝C.分贝D.分贝8.已知四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，则四棱锥的体积是（ ）．A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.下图为某地区年上半年年上半年住宅供应面积、住宅成交面积以及住宅成交均价走势图：年年下半年年上半年年下半年年年下半年上半年年上半年上半年住宅供应面积万平方米住宅成交面积万平方米住宅成交均价（元平方米）根据该走势图可知，下列说法正确的有（ ）．A.住宅面积总是供不应求B.住宅成交均价逐年增长速度相同C.年下半年住宅供需面积差异最大D.年下半年住宅供需面积最为平衡10.已知双曲线：的一条渐近线平行于直线：，则下列说法正确的有（ ）．A.的渐近线方程为B.的离心率为C.与直线有两个公共点D.若过点，则的标准方程为11.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的有（ ）．A.的一个周期是B.在区间上有个零点C.的最大值为D.在区间上是增函数12.已知底面是菱形的直四棱柱，棱长为，，，分别为，的中点，为线段上不同于，的动点，则下列说法正确的有（ ）．A.存在点，使B.存在点，使C.平面截四棱柱所得截面面积的取值范围为D.三棱锥的体积为定值三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.“回文”是指正读、反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如“我为人人，人人为我”等．在数学中也有这样一类数字称为回文数．设是自然数，若将的各位数字反向排列所得自然数与相等，则称为回文数．例如，若，则称为回文数．在中任取两个回文数，则这两个回文数都能被整除的概率是 ．14.已知，则 ．15.设抛物线的焦点为，以抛物线上一点为圆心的圆与直线相切，连接与圆交于点，且，则的方程为 ；若点为圆上的动点，为坐标原点，则的最小值为 ．16.已知函数若函数至少有一个零点，则实数的取值范围是 ．，四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在①，②，③的前项和这三个条件中，任选一个补充到下面的题目中，并解答题目．已知数列是等差数列，是等比数列，且，， ，．设，求数列的前项和．（1）（2）18.在中，，为内一点，．若，求．若，求．（1）（2）19.如图，在四棱锥 中，底面是平行四边形， 平面，，分别为，的中点， ， ， ．证明： ．求直线与平面所成角的正弦值．20.党的十八大以来，党中央明确了到年我国将完成“脱贫攻坚”任务．某市许多年轻人得知政府在大力扶植地区特色产业后，纷纷投入家乡如火如荼的创业大潮中，建立了“万亩蓝莓园”．在蓝莓采（1）（2）摘时，把质量较好的蓝莓（我们称之为“一等品”）挑选出来，“一等品”的价格是一般蓝莓价格的倍，“一等品”越多，收益也就越好．从该市随机抽取男、女果农各名，调查了他们平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量（单位：千克），分别为，，，，，绘制成如下条形图：男果农一等品重量千克频数一等品重量千克频数女果农若我们把平均每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量不少于千克的果农称为“蓝莓种植能手”，由以上统计填写下列列联表，并判断是否有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．“蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农 女果农 总计已知今年的蓝莓平均亩产为千克，收购价为：一般蓝莓元千克，“一等品”蓝莓元千克，随机抽取名男果农和名女果农，以表示这名果农中每亩收益大于元的人数，求的分布列及数学期望．参考公式及数据：，其中．（1）（2）21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为，且椭圆过点．求椭圆的标准方程．过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于，两点，过点作垂直于轴交椭圆于点，直线与轴交于点，求面积的最大值．【答案】解析:，所以，所以在复平面内对应的点位于第一象限．故选．解析:集合表示直线上点的集合，集合表示抛物线上点的集合，为直线与抛物线的交点组成的集合，联立，解得或．故选．解析:∵为直线上在第一象限上的点，不妨设设，则，∴，即点坐标为，∴，∴，设与的夹角为，（1）（2）22.已知函数．若，求的极值．若恒成立，求的最大值．A1.D2.D3.则，∴．故选：．解析:∵函数的最小正周期，则，解得，二项式的展开式的通项：（，，，），令，解得，，∴的展开式中的系数为．故正确．解析:因为，所以为奇函数，选项错误；当时，，选项错误；当时，，令即，解得．所以当时，单调递增，选项错误．故选．解析:C 4.C 5.A 6.因为数列是等差数列，所以数列是等比数列，设其公比为，则，即，解得或（舍去），又，所以，，所以．故选．解析:，由于，即，，所以．故选．解析:由题意得四边形为直角梯形，，易知为直角三角形，，又，，所以平面，作，垂足为，则，又，所以平面，所以，故选．解析:.全图供应面积小于成交面积，供小于求，故选项正确；B 7.B 8.四边形四边形A 9..明显年下半年速度变快，趋势变陡，故选项错误；.年上半年差值更大，故选项错误；.年下半年供求差值最小，故选项错误．故选．解析:由题意可得，，故正确；令，即，即，得或，当时，解得或或，故正确；因为，所以．设，令，得，所以或，令，得，所以或，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，，所以，故正确，错误．故选．BD 10.ABC 11.解析:当为中点时，且，四边形为平行四边形，所以，故选项正确；如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设，则，，，．，得，故选项错误；如图，平面截四棱柱所得截面为平面，，，，，，所以，，，，，所以，故选项正确；设为点到平面的距离，因为平面平面，平面，所以为定值，又为定值，故为定值，故选项正确．故选．ACD 12.四边形四边形解析:中的回文数有，，，，，，，，，，共个，其中能被整除的有，，，共个，所以．解析:，即，即，所以．解析:因为圆与直线相切，又，所以．又，所以，即，解得，所以的方程为，所以．又，，所以．解析:当时，，所以，函数至少有一个零点，即函数的图象与函数的图象至少有一个交点．13.14. ;15.16.当时，，，设以为切点的切线过点，则切线斜率，解得，如图，xyI所以．解析:①设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得，．即，，则，则．又，则数列的前项和为．②由，，可得．，，，则，则．又，则数列的前项和为③，．17.（1）（2）．③设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，由，，可得．，即，，则，则．又，则数列的前项和为．解析:因为，，所以，，，所以，，因为，所以，，在中，，，，所以，解得．因为，，所以，设，则，，因为，所以，在中，，在中，，（1）．（2）．18.（1）即，化简得，所以．解析:取的中点，连接，，如图所示，因为，分别为，的中点，所以且，因为四边形为平行四边形，所以且， 且，因为为中点，所以 且，所以 且，所以四边形为平行四边形，所以 且 ，因为 ，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，所以 ，又因为 ，所以，在 中，因为，（1）证明见解析．（2） ．19.（2）所以 ，即 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ，因为 平面，平面，所以 ，又因为 ，所以 平面，又因为 平面，所以 ．因为平面， ，所以以为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，因为 ， ，所以 ，所以 ， ， ， ， ，， ， ，设平面的一个法向量 ，则 ，即 ，令 得 ，所以，（1）（2）所以直线与平面所成角的正弦值为 ．解析:列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计，所以有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．当果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量为千克时，每亩收益为（元），则每亩收益大于元的人数就是每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数，女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的概率为，设名女果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，名男果农每千克蓝莓中，能挑选出“一等品”的重量大于千克的人数为，则，，的所有可能取值为，，，，（1）列联表如下： “蓝莓种植能手”非“蓝莓种植能手”总计男果农女果农总计有的把握认为“蓝莓种植能手”与性别有关．（2）的分布列为：．20.（1）（2），，，，所以的分布列为：．解析:由题意得，．又因为椭圆过点，代入椭圆方程得，所以椭圆的标准方程为．设直线，，，则，直线，得，联立方程组，整理得，则恒成立，，，，所以，当且仅当点在短轴端点处取得等号，故面积的最大值为．（1）．（2）．21.（1）当时，取得极大值，且无极小值．22.（1）（2）解析:由题意得，，当时，的定义域为，，在区间上单调递增，所以无极值；当时，的定义域为，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，取得极大值，且无极小值．若恒成立，即恒成立，设，若，由得，取，使得，则，而，，所以，所以，与矛盾，故，由得，且，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，故，所以，记，则，（2）．当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，因此，所以当，时，取得最大值．。