ch1-1,2数列极限教学幻灯片
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高等数学放明亮版课件1.2-数列的极限ppt.ppt
2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
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ch1-1,2数列极限
福 州 大 学 2019/7/16
28
定理2 收敛的数列必定有界.
推论 无界数列必定发散.
注意：有界性是数列收敛的必要非充分条件.
如： 数x列 n(1)n1是有,界 但数 却列 是 . 发
思考：数列(xn )n1有界,又lnim
yn
0,证明lim n
xn yn
0
证：
(即 作业P4 二3)
第三章 一元函数积分学 24学时
第四章 微分方程
12学时
(期中考 复习
2 学时)
期末总复习
6 学时
本学期授课内容从第一章至第四章。
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基本要求
一、课前要预习,至少要翻一下书， 知道上课讲什么。(自学能力)
二、课堂上要认真听讲，适当做一些 课堂笔记以便课后复习。
三、课后要认真独立完成布置的作业， 作业要准时交。每次上课前交。
即 a 1 有 x n a 1 . 记 M m x 1 , , a x N , a x 1 , a 1 { },
则对一切 n,皆 自有 x 然 nM 数 , 故(xn) n1有.界
" N"定义ln i x m na
0 , N 0 ,使 当 n N 时 ,恒 x n有 a.
(作业：P4 二4)
定 理 5n l i m x n a l n i m x 2 n － 1 n l i m x 2 n a .
推论 数 {x n 列 } 收a 敛 对 a 的 于任 邻 U (a 一 域 ,), 只有x n 有 U (a ,限 ). 多项
课程特点
本课程与中学数学课程有很大不同， 课程相当紧凑，每一节课讲的内容多， 进度快。 较多的内容需要演算论证和 逻辑推理，还有一些运算比较复杂，需要 有耐心和细心。
数列极限-PPT精选文档
2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是 大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求 的 值 （2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平 面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q
1-02-数列的极限-PPT精品文档
则对一切 n,皆 自有 xn然 M 数 , 故 xn有.界
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
2、唯一性
定理2 收敛的数列极限唯一。
证 设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b , 由定义,
0,N 1,N 2.使当 得 n N 1 时x 恒 n a 有 ;
定理2 收敛的数列极限唯一。
证 法二 设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b ,
假设a
b,不
妨
设
a
b,则 可 取 0
a
2
b
0,
lim
n
xn
a
对于0
0,N 1,n
N1,
xn a
0,
xn
a
0
a
2
b
,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
11， n
任给0,要xn1,只要n1,或n1,
所以, 取N1,则当nN时,就有n(1)n11
n
n(1)n1 n
Xn
1
1 2n
1
数 定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
列
x1, x2,, xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn}.
例如 2,4,8, ,2n, ; { 2 n }
注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
2、唯一性
定理2 收敛的数列极限唯一。
证 设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b , 由定义,
0,N 1,N 2.使当 得 n N 1 时x 恒 n a 有 ;
定理2 收敛的数列极限唯一。
证 法二 设 l n ix n m a ,又 l n ix n m b ,
假设a
b,不
妨
设
a
b,则 可 取 0
a
2
b
0,
lim
n
xn
a
对于0
0,N 1,n
N1,
xn a
0,
xn
a
0
a
2
b
,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
11， n
任给0,要xn1,只要n1,或n1,
所以, 取N1,则当nN时,就有n(1)n11
n
n(1)n1 n
Xn
1
1 2n
1
数 定义:按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
列
x1, x2,, xn,
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn称为通项(一般项).数列(1)记为{xn}.
例如 2,4,8, ,2n, ; { 2 n }
§2.1 数列的极限-13页PPT精选文档
A , A 内 ， 而 在 开 区 间 以 外 ， 至 多 只 有 有 限 个 点
x1,x2,,xN
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介绍几个常用的符号： 符 号 “ ” 表 示 ： “ 对 于 任 意 的 ” 、 “ 对 于 所 有 的 ” ；
符 号 “ ” 表 示 ： “ 存 在 ” 、 “ 有 一 个 ” ；
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下面给出数列极限的定义
定义2 对 于 数 列 x n ， 如 果 当 n 无 限 增 大 时 ， 一 般 项 x n
的 值 无 限 接 近 于 一 个 确 定 的 常 数 A ， 则 称 A 为 数 列 x n 当 n 趋 向 于 无穷大时的极限，记为 l n i m x n A ， 或 者 x n A n
x n . 数 列 中 的 每 个 数 称 为 数 列 的 项，其中xn称为数列源自的一般项或通项...
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下 面 考 察 当 n 无 限 增 大 时 ( 记 为 n ， 符 号 读 作
趋 向 于 ） 一 般 项 x n 的 变 化 趋 势 : 11n1
定义3 设 有 数 列 x n ， 若 M 0 ， 使 对 一 切 n 1 , 2 , , 有 x n M ， 则 称 数 列 x n 是 有 界 的 ， 否 则 称 它 为 无 界 的 。
例 如 数 列 n 2 1 1 、 (-1 )n有 界 ， 数 列 n 2无 界 。
符 号 “ m a x X ” 表 示 数 集 X 中 的 最 大 数 ；
符 号 “ m i n X ” 表 示 数 集 X 中 的 最 小 数 .
x1,x2,,xN
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介绍几个常用的符号： 符 号 “ ” 表 示 ： “ 对 于 任 意 的 ” 、 “ 对 于 所 有 的 ” ；
符 号 “ ” 表 示 ： “ 存 在 ” 、 “ 有 一 个 ” ；
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下面给出数列极限的定义
定义2 对 于 数 列 x n ， 如 果 当 n 无 限 增 大 时 ， 一 般 项 x n
的 值 无 限 接 近 于 一 个 确 定 的 常 数 A ， 则 称 A 为 数 列 x n 当 n 趋 向 于 无穷大时的极限，记为 l n i m x n A ， 或 者 x n A n
x n . 数 列 中 的 每 个 数 称 为 数 列 的 项，其中xn称为数列源自的一般项或通项...
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下 面 考 察 当 n 无 限 增 大 时 ( 记 为 n ， 符 号 读 作
趋 向 于 ） 一 般 项 x n 的 变 化 趋 势 : 11n1
定义3 设 有 数 列 x n ， 若 M 0 ， 使 对 一 切 n 1 , 2 , , 有 x n M ， 则 称 数 列 x n 是 有 界 的 ， 否 则 称 它 为 无 界 的 。
例 如 数 列 n 2 1 1 、 (-1 )n有 界 ， 数 列 n 2无 界 。
符 号 “ m a x X ” 表 示 数 集 X 中 的 最 大 数 ；
符 号 “ m i n X ” 表 示 数 集 X 中 的 最 小 数 .
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只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
推论 数 {x n 列 } 收a 敛 对 a 的 于任 邻 U (a 一 域 ,), 只有x n 有 U (a ,限 ). 多项
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
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四、数列极限的性质
1. 极限的惟一性
31
五.小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性 唯一性.
作业： 作业本中§1.1 -§1.2 那页
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2、割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽
播放
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二、数列的定义
数列定义 按照某一法则 , 对每个自然数 n , 都
有确定的实数xn与之对应，这列有序的数： x1 , x2 , ... , xn , ...
证 若q0, 则 lim qnlim 00; n n 若 0q1,
(00, 1),
n ln , ln q
xn0qn, nlnqln,
取N ？[ln], 则n 当 N时 ,
lnq
就q 有 n0, lim qn0. n
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用定义证明
lim
n
xn=
a，就是证明对
动点在数轴上依次取 x 1 ,x 2 , ,x n , . x3 x1 x2 x4 xn
2. 数列实质上是定义在正整数集上的函数： xn = f ( n )，n Z+ 整标函数
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三、数列的极限
14 n(1)n1
2, , , , 23
n,
观察(1数 (1n 列 )n1) n1当 n 时的变 . 化
科学技术文献出版社，2000年
第一节 微积分中的极限方法
例1、曲边三角形面积问题 求 y = x2 与 x 轴、直线 x = 1 所围曲边三角形的面积 S.
y
y x2
n个小矩形面积 Sn
Sn
1 n
2
1 n
22 n
1 n
n2 n
1 n
o1 2 …i 1 i … 1 x
nn n n
1 n3
n1
ii1 , i1 ,1 ) , ,( 1 ) n 1 , ,xn(1)n1;
(1)n1
n1
iv2),1 2,4 3, ,n( n1)n1, , xn
n(1)n1 n
;
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n
(1)n1 n
n1
13
3 ,3 3 , ,3 3 3 , 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一
则对一切 n,皆 自有 x 然 nM 数 , 故(xn) n1有.界
" N"定义ln i x m na
0 , N 0 ,使 当n N 时 ,恒x n有 a.
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定理2 收敛的数列必定有界.
推论 无界数列必定发散.
注意：有界性是数列收敛的必要非充分条件.
如： 数x列 n(1)n1是有,界 但数 却列 是 . 发
1 n
给定 1 , 100
要
xn
1
1, 100
由1 1 , n 100
只 要 n100,
给定 1 , 1000
要xn
1
1, 1000
只要n1000 ,
给定101000,要xn1100100, 只要n10000,
(这时, xn就无限接近于1)
给定 0, 要 xn1成 立 ， 只要n N
(结论)
(条件)
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" N"定义ln i x m na
0 , N 0 ,使 当n N 时 ,恒x n有 a.
几何解释: a 2 a 领域
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
(N+1项以后)
(问:N项以前呢？)
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
定理1
若极限
lim
n
xn
存在，则极限是惟一的.
2. 收敛数列的有界性
1)有界(无界)数列的定义
对数列 (xn)n1 , 若存在正数 M , 使得对一切自然
数 n , 恒有 | xn|M成立, 则称数列 (xn)n1 有界, 否则, 称为无界.
例如,
数列 xn
n ;有界 n1
数x 列 n2n.无界
数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间[-M,M]上.
思考：数列(xn )n1有界,又lnim
yn
0,证明lim n
xn
yn
0
证：
(即 作业P4 二3)
由 于 {xn}有 界 ,所 以 存 在 M0使xn M又 lni m yn0,
因 此 M0,NZ, 当 nN时，
yn0yn
M
xnyn0xn
yn
Myn
M
M
lni m xnyn0
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9
一、概念的引入
1、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖 X1 长 12;为
第二 天截 下的为 杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总 和 21n;为
Xn
1
1 2n
1
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n i1
i2
n131 6n(n1)2 (n1)16(1n1)(2n1)
SlimSn
n
lim 1(11)2 (1)
n 6 n n
1 3
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例2、瞬时速度问题
设质点沿直线运动的位置函数为 s = s(t) ， 求其在时刻 t0 的(瞬时)速度.
取一邻t0的 近时 于t,刻 运动时间 t,
第三章 一元函数积分学 24学时
第四章 微分方程
12学时
(期中考 复习
2 学时)
期末总复习
6 学时
本学期授课内容从第一章至第四章。
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福州大学
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参考书目：
《高等数学全真课堂 》 北京大学数学科学院编， 学苑出版社， 2003年
《高等数学习题集》 北京大学数学科学学院 韩松 主编，
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当n时, xn的变化趋势分 ：为三类
1) xn 无限接近于某个常确数定 a. 的
2) xn无限增 ,即大 趋向无 . 穷大
3) xn 没有确定的变化趋. 势
对数 (xn)列 n1,若n 当 时 ,xn无限接 一近 个
定a数 ,则(称 xn) n1的极a限 ,并是 记 ln i m x 为 na.
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4.子数列的归并性(子数列的收敛性)
在数列 (xn)n1中任意抽取无穷多项并保持这些 项在原数列中的先后顺序 , 这样得到的数列记 为(xnk )k1 , (xnk )k1 称为数列 (xn)n1的子数列.
定理4 如果数列收敛，则它的任一个子数列 也收敛，且极限相同.
ln i m 1(1n)n11,
lnim 21n
0,
lim2n
n
(不存在)
而数 xn2 列 n,xn( 1)n没有 . 极限
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问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言
刻划它.
(xn 与1 的距离)
例如
ln i m 1(1n)n11,xn1(1)n1
1 n
29
3. 极限的保号性
定理3 若 ln i x m nA ,且 A 0(或 A 0),则 NN Z+0,当 n N 时 ,x n 0(或 x n 0 ).
证 ： 若 A 0 ， 取 A 2,则 N Z ,当 n N 时 有 x n A A 2 0
若 A 0 ， 取 2 A ,则 N Z ,当 n N 时 有 x nA A 2 A A 2 0 .
>0，N存在.
证明的过程就是寻找 N 的过程，证明的方法是
从分析 |xna|< 出发，找出 n 与 () 的关系： n > ()于是可取 [()] 为 N。由于N 不唯一，
故可把 |xna| 适当放大，得到一个新的不等式， 再找 N。
注意：
从 |xna|< 找 N 与解不等式 |xna|< 意义不同.
课程特点
本课程与中学数学课程有很大不同， 课程相当紧凑，每一节课讲的内容多， 进度快。 较多的内容需要演算论证和 逻辑推理，还有一些运算比较复杂，需要 有耐心和细心。
高数是学习专业基础课、专业课 一 种重要的数学工具。
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教学安排
第一章 极限与连续
16学时
第二章 一元函数微分学 20学时
(作业：P4 二4)
定 理 5n l i m x n a n l i m x 2 n － 1 n l i m x 2 n a .
推论 数 {x n 列 } 收a 敛 对 a 的 于任 邻 U (a 一 域 ,), 只有x n 有 U (a ,限 ). 多项
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