电路理论第十四章 动态电路的复频域分析与网络函数
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第十四章 线性动态电路的复频域分析 电路第五版 邱广源.
R、L、C等元件 电源 uS(t)、iS(t)
U(S)=SLI(S)–Li(0-) 1 U(S)= I(S)+ u(0-) SC S 运算阻抗(或导纳)和附加电源 US(S)、IS(S) 运算电路
(频域电路)
£
时域电路
14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
一、KCL与KVL的运算形式
1、KCL Ik(S)=0 i1 i3
i2
I1(S) I3(S) I2(S)
– I1(S) +I2(S) –I3(S) =0
2、KVL Uk(S)=0
电路元件模型的回顾 时域 相量法
= RI U
I
u(t)=Ri(t)
R + L
i(t) R u(t) -
S=pi
设n>m m m–1 N(S) bmS + bm–1S + • • • + b1S + b0 F (S)= = D(S) anSn + an–1Sn–1 + • • • + a1S + a0 令D(s)=anSn + an–1Sn–1 + … + a1S + a0=0可得根为 p1, p2,…, pn （1） D(S)有n个实数单根 K2 Ki Kn K1 • • • • • • F(S)= S –p + S –p + + S –p + S –p + 2 i n 1 f(t)=
K2=K1*
令 K1= K1 ej 则 K2= K1 e–j f(t)= K1 eje(+j)t + K1 e–je(–j)t + • • •
= K1 et [ej(t + ) + e–j(t + ) ] + • • • =2 K1 et cos(t+ ) + • • • 注意K1是虚部为正的极点对应的那个常数
第十四章线性动态电路的复频域分析
te–stdt
0–
–
0–
e–stdt] =
§14 —2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质 若：L[f1(t)]=F1(s) L[f2(t)]=F2(s)
则： L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s) 证： L[A1f1(t)+A2f2(t)] = [A1f1(t)+A2f2(t)]e–stdt
N(s) k1= (s–p2)‥‥‥(s–pn) s=p1
1
1
k2=(s–p2)F(s) s=p 2 kn=(s–pn)F(s) s=p
n
例1:
求:L–1[
s2+2s–2 ] s(s+2)(s+3)
k1 k2 k3 s2+2s–2 解: F(s)= s(s+2)(s+3) = s + s+2 + s+3
k11=[(s–p1)mF(s)] s=p
1
k12= d [(s–p1)mF(s)] s=p ds 1
1 d2 mF(s)] k13= [(s – p ) 1 s=p1 2 ds2
m–1 1 d mF(s)] k1m= [(s – p ) 1 s=p1 (m–1)！dsm–1
……
例： 求：L–1[ s–2 3] s(s+1) k22 k21 k1 k23 解： F(s)= s + + + 2 s+1 (s+1) (s+1)3 s– 2 = –2 k1= 3 (s+1) s=0 2 =3 k21= s– s s= –1 2 s – 2 d = 2 s= –=2 k22= ds [ s ]s= –1 1 s k23= 1 d [ 2 ] =2 2 ds s2 s= –1
电路第14章 (2) 网络函数(复频域)
H0 H ( j ) H ( j ) ( j ) j 1 / RC
R
1 sC
H0 H0 H ( j ) j 1 / RC j p1
H0 H ( j ) Me j j1 P1 用线段M1表示 j 2 P1 用线段M2表示
H0 H ( j ) M 1
1 -/2
M2
2
j
M1
1
-1/RC
1
( j )
1 2
1 2
+ C
+
_ us
R
uR
_
Ne j H ( j ) j Me
j
R U R ( s) H ( s) U s ( s) R 1 sC s 1 s RC
1 0.707
N H ( j ) M
总特性
第 i个极点决定
n n ki n 冲激函数：h( t ) L1 ki e pi t hi (t ) i 1 i 1 s pi i 1
网络函数的极点决定了冲激响应的形式。因此网络函数 (复频域)或冲激响应(时域)均能用来描述网络的动态特性。
M
N
。
-1/RC
1/RC
练习：求网络函数
iR iC + ui _ C R _ +
iu-
+
+ uo _
• 14-27，14-28 • 14-35，14-36
时域
e(t )
h(t )
r (t ) e(t ) * h(t )
R( s ) E ( s ) H ( s )
R
1 sC
H0 H0 H ( j ) j 1 / RC j p1
H0 H ( j ) Me j j1 P1 用线段M1表示 j 2 P1 用线段M2表示
H0 H ( j ) M 1
1 -/2
M2
2
j
M1
1
-1/RC
1
( j )
1 2
1 2
+ C
+
_ us
R
uR
_
Ne j H ( j ) j Me
j
R U R ( s) H ( s) U s ( s) R 1 sC s 1 s RC
1 0.707
N H ( j ) M
总特性
第 i个极点决定
n n ki n 冲激函数：h( t ) L1 ki e pi t hi (t ) i 1 i 1 s pi i 1
网络函数的极点决定了冲激响应的形式。因此网络函数 (复频域)或冲激响应(时域)均能用来描述网络的动态特性。
M
N
。
-1/RC
1/RC
练习：求网络函数
iR iC + ui _ C R _ +
iu-
+
+ uo _
• 14-27，14-28 • 14-35，14-36
时域
e(t )
h(t )
r (t ) e(t ) * h(t )
R( s ) E ( s ) H ( s )
电路第14章 线性动态电路的复频域分析
L[ d (t)]
dt
s 1 (t)
s
0
1
07:14
14
三. 积分性质
设：L[ f (t)] F (s)
证
L[ t f ( )d ] 1 F(s)
0
s
应用微分性质
0
例
L[t] L[ t ( )d ] 0
L[ (t)] 1
s s2
07:14
象函数的一般形式：
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
(n m)
07:14
20
F(s)
F1 ( s ) F2 ( s)
a0sm a1sm1 am b0sn b1sn1 bn
15
四.延迟性质 (时域平移) f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
t
设：L[ f (t)] F (s)
t t0
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F(s)
07:14
16
证
例：
f(t) 1
Tt
07:14
est0 延迟因子
f (t) (t) (t T)
一.积分变换法 采用经典法列解微分方程去分析动态电路时，必须知道变量
及其各阶导数(直至n-1阶)在t=0+时刻的值，即变量的初始条件 。而电路中给定的初始状态是各电感电流和电容电压在t=0+时 刻的值，从这些值求得所需变量的初始条件工作量很大，也很 困难，高阶动态电路中尤为突出。
积分变换法是通过积分变化，把已知的时域函数变换为频域函 数，从而把时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出函数 的频域解后，再做反变换，返回时域，求出满足电路初始条件的 原微分方程的时域解，而不需要确定变量的初始条件，即积分常 数。拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换，但拉普拉斯变换 比傅立叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换法是求解任 意激励下高阶线性动态电路的有效而重要的方法之一。
第14章_线性动态电路的复频域分析
1 L[e ] sa
at
8
§13. 2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质
设 f1(t) 和 f2(t) 是两个任意的时间函数，它们 的象函数分别为F1(s) 和F2(s) ，A1和A2是两个任意 实常数，则: L[A1 f1(t)+ A2 f2(t)] = A1L [f1(t) ] + A2L[f2(t)] = A1 F1(s) + A 2F2(s)
解：
f(t)= f ’(t)+ f ’’(t)
=Aε(t) - Aε(t-T)
L[f(t)]= A/s - A/s · -sT e
O t
f ’’(t)
O t
18
五、位移性质
求函数 f(t) 与 eat 乘积的象函数:
若 则
L[f(t)]= F(s) L[f (t) eat] = F(s-a)
位移性质
m
m 1
用部分分式展开真分式时， 需要对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=0的根。 D(s)=0的根可能是 单根 共轭复根 重根 针对三种情况分别进行分析。
28
• D(s)=0 具有单根的情况
N (s) F (s ) D(s)
如果D(s)=0有n个单根，假设n个单根分别是p1 、 p2 、…、pn 。 于是F(s)可以展开为
则
t f ( )d F ( s ) L 0 s
15
积分性质
t f ( )d F ( s ) L 0 s
例：利用积分性质求函数 f(t) = t 的象函数
解：f(t) = t
( )d
0
t
1 1 L[f(t)] = s s 1 2 s
电路课件 电路14 线性动态电路复频域分析
14
例14-4
利用积分性质求函数f(t)＝t的象函数。 解 由于
f(t)t0t()d,
所以
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-5
第十四章 线性动态电路的复频域分析
15
4．延迟性质
函数f(t)的象函数与其延迟函数f(t-t0)的象 函数之间有如下关系 若 £[f(t)]＝F(s) 则 £[f(t-t0)]＝e-st0F(s) 其中，当t＜t0时，f(t-t0)＝0。
其余为单根，F(s)可分解为
对于单根，仍采用
公式计算。
为了确定K11、K12和K13，将式(13-7)两边乘以(s-pi)3， 则K11被单独分离，即
则
K11＝(s-p1)3F(s)|s＝p1
2020/4/17
14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-8
第十四章 线性动态电路的复频域分析
27
D(s)＝0具有重根 (2)
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-7
第十四章 线性动态电路的复频域分析
17
常用函数的拉氏变换表
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-8
第十四章 线性动态电路的复频域分析
18
14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求线性电路时域响应，需拉氏反变 换为时间函数。
第十四章 线性动态电路的复频域分析
23
例14-6
求 解 因为
的原函数f(t)。
所以：D(s)＝0的根为 p1＝0，p2＝-2，p3＝-5 D'(s)＝3s2&同理求得： 所以
2020/4/17
K2＝0.5
K3＝-0.6
第14章 线性动态电路的复频域分析
0
s
证
令
t
L[ f (t)dt] (s)
0
应用微分性质
L[ f (t)] L
d dt
t 0 t
f
(t)dt
0
F (s) s(s) 0 f (t)dt t0
(s) F (s)
s
返回 上页 下页
例 求: f (t) t ( t)和f (t) t2 (t)的象函数
解
L t (t)
解 dsin( t) cos(t)
dt
cos(t) 1 d(sint) dt
L[cos
t]
L1
d dt
(sin(
t
)
1
s
s2
2
0
s2
s
2
返回 上页 下页
(2) f (t) δ( t)的象函数
解 (t) d (t)
dt
L[ (t)] 1
s
L (t) L[d (t)] s 1 0 1
pi )
lim N '(s)(s pi ) N (s)
spi
D' (s)
Ki
N ( pi ) D' ( pi )
例 求 F(s) 4s 5 的原函数
s2 5s 6
解法1
F (s) 4s 5 K1 K2 s2 5s 6 s 2 s 3
4s 5 K1 s 3 S2 3
返回 上页 下页
待定常数的确定： 方法1
Ki F (s)(s pi ) s pi i 1、2、3、 n
(s
令s
p1 ) F (s)
= p1
K1
(s
p1)
s
K2 p2sKn pn源自方法2求极限的方法
第十四部分线电路的复频域分析教学课件
(t)esd t t
0
estdt
1 s
e st
0
1 s
（3）单位冲激函数 f(t)(t)
F (s)[ (t) ]0 (t)esd t t00(t)estdt es0 1
上页 下页
14.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
若 [ f 1 ( t ) ] F 1 ( s ) , [ f 2 ( t ) ] F 2 ( s )
ds s
1 s2
例2 求: f(t)tnε(t)的象函数
解
[t nε(t)]
(1)n
dn dsn
(1) s
n! sn1
例3 求: f(t)tea的 t 象函数
解
[teαt ] d ( 1 ) 1
ds sα (s α)2
上页 下页
3. 积分性质
设[： f(t) ]F (s) 则 ： [0t f()d]Fs(s)
上页 下页
待定常数的确定：
方法1 kiF (s)s(p i)spi i1 ,2 , ,n
方法2 求极限的方法
N(s) ki sl im pi D(s)(spi)
lim N(s)(spi)N(s) N ( p i )
spi
D(s)
D ( pi )
原函数的一般形式：
f(t)N (p 1 )ep 1 tN (p 2 )ep 2 t N (p n )ep n t
0 A 1f1 (t)e std t0 A 2f2 (t)e std
A 1 F 1 (s) A 2 F 2(s)
上页 下页
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几 个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再 进行计算。
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M
di1 (t ) dt
1
i1 +
M
i2 + 2
u1 L1 L2 u2
+ UL(s) -
+ I1(s)
I2(s) +
sL1 -
sL-2
L1i1(0 )
U1(s)
+ +
sMI2
(s) --
L+2i2 +
(0 ) U2
(s)
s-MI1(s)
-
-
- 2'
Mi2(0 ) -+
+Mi1
(0 ) -
U1(s) sL1I1(s) L1i1(0 ) sMI2 (s) Mi2 (0 )
即有：
1,
2,1
4
f (t) 2 k1 et cos(t 1) (t) 2 0.5
即 f (t) 2et cos(2t ) (t)
2 et cos(2t ) (t)
4
4
3. D(s) 0 具有重根。
设D(s)中含有因式(s p1)3 ，其余为单根，F(s) 可分解为：
F (s)
则有：F (s)
s2
s3 2s 5
s
k1 (1
j2)
k2 s (1
j2)
即 N(s)
s3
k1
[ D(s) ]s p1
[ 2s
2 ]s1 j 2
0.5
j0.5
0.5
j
2e 4
N (s)
s3
j
k2 [ D(s) ]s p2 [ 2s 2]s1 j2 0.5 j0.5 0.5 2e 4
2.零极点的分布与频率响应。
第十四章复频域分析与网络函数 §14.1拉氏变换 利用拉普拉斯变换将时域t中的微分方程变换为复 频域s中的代数方程，求出复频域函数后，再作反 变换即可得到电路的解答。
1.定义：一个定义在[0， )区间的时域函数 f (t)，
其拉普拉斯变换式 F(s) 定义为：
F(s) f (t)estdt
例14-1求下列函数的像函数。 ①单位阶跃函数； ②单位冲激函数； ③指数函数。
解：① f (t) (t)
F(s)
L[ f
(t)] (t)estdt
0
e st dt
0
[
1 s
e
st
] 0
1 s
② f (t) (t)
0
0
F(s) L[ f (t)] (t)estdt (t)estdt (t)e0dt 1
U2 (s) sL2I2 (s) L2i2 (0 ) sMI1(s) Mi1(0 )
如图所示为RLC 串联电路其对应的运算电路为：
对于时域电路有：
i S(t=0) R
u(t)
Ri(t)
L
di(t) dt
[ 1 C
t 0
i(
)d
uC (0 )]
对此式两边取拉氏变换可得：
+
u
-
L
- uC +
0
式中 s j 为复数，则F(s) 称为f (t) 的像函数，
f (t) 称为F(s) 的原函数。
用拉氏变换分析电路的方法称为复频域分析法， 又称为运算法。
由F(s) 到f (t)的变换称为拉普拉斯反变换，定义为：
f (t)
1
c j
F (s)estds
j2 c j
式中c为正的有限常数。
可写成为：L[ f (t)] F (s), L1[F (s)] f (t)
1.运算电路 时域
复频域
KCL : i(t) 0
KVL :
u(t) 0
电阻：
u(t) Ri(t)
i
+u -
电容：uC (t)
1 C
t
i(
0
)d
uC (0 )
iC + uC -
I(s) 0
U(s) 0
U (s) RI (s)
I (s)
+ U(s) -
U (s) 1 I (s) uC (0 )
p1 )q
F (s)]s p1
k13
1 2
d2 ds2
[(s
p1 )q
F (s)]s p1
k1q
1 d q1 (q 1)! dsq1
[(s
p1)q F (s)]s p1
如果 D(s) 0 具有多个重根时，对于每个重根分别 利用上述方法即可得到各系数。
例求 F(s) 1 的原函数。
s2 (s 1)3
第十四章 动态电路的复频域分析与网络函数
内容提要：1、运算法 2、网络函数的定义及性质； 3、网络函数的零点和极点； 4、零极点与冲激响应； 5、零极点与正弦稳态响应。
本章重点：1、运算法 2、网络函数的定义； 3、 零极点与冲激响应； 4、 零极点与正弦稳态响应。
难点： 1.零极点与正弦稳态响应的关系；
f (t) k1e( j)t k2e( j)t k1 e e j1 ( j)t k1 e e j1 ( j)t
k1 et [e( j1) e( j1) ] 2 k1 et cos(t 1) (t)
例：求F (s)
s2
s
3 2s
5
的原函数。
解：由 D(s) 0 可得：p1 1 j2, p2 1 j2
sC
s
1
uC (0 )
I(s) s C + s -
+ UC (s) -
电感：
uL
(t)
L
di(t) dt
iL
UL (s) sLI (s) Li(0 )
I
(
s)sL
-
Li(0
)
+
耦合电感：+ uL -
u1 (t )
L1
di1 (t ) dt
M
di2 (t) dt
u2 (t)
L2
di2 (t) dt
sL -
Li(0 )
+
当i(0 ) uC (0 ) 0 时则有
I (s)
R
+
U(s) Z(s)I(s)
U(s)
此式称为运算形式的欧姆定律，-
Z (s) R sL 1 sC
- UC (s) + - + uC (0 ) 1
s sC
称为串联电路的运算阻抗。
sL -
Li(0 )
+
2.运算法
运算法就是把时间函数变换为对应的像函数，从 而把问题归结为求解以像函数为变量的线性代数方 程。求得像函数后再利用拉氏反变换可求得对应的 时间函数。
1 2
d2 ds2
[(s
p1)3 F (s)]s p1
当D(s) 0 具有q 重根其余为单根时则F(s)可分解为：
F(s)
k1q s p1
ห้องสมุดไป่ตู้
k1(q1) (s p1)2
(s
k11 p1)q
( s
k2 p2
kn ) s pn
则有：k11 [(s p1)q F(s)]sp1
k12
d [(s ds
s(s
2s 1 2)(s
5)
k1 s
k2 s2
k3 s5
k1
[sF (s)]s0
[ (s
2s 1 2)(s
5) ]s0
0.1
则有：
k2 [(s
2)F (s)]s2
[
2s s(s
1 5)
]s
2
0.5
k3
[(s
5)F (s)]s5
[
2s s(s
1 2)
]s5
0.6
k1
[
N (s) D(s)
上式中当 n m 时则 F(s) 为真分式；
当n
m 时则F (s)
A
N0 (s) D(s)
其中A
A
(t),
N0 (s) D(s)
为真分式。
单根
展开其分式时要求D(s) 0 的根可以是：共轭复根
重根
1.D(s) 0 有n个单根即 F (s) k1 k2 kn
s p1 s p2
s pn
d1 k22 ds [ (s 1)3 ]s0 3
F(s) 3 2 1 3 1 s 1 (s 1)2 (s 1)3 s s2
F (s)
3 s 1
(s
2 1)2
(s
1 1)3
3 s
1 s2
即有：f (t) [3et 2tet 1 t2et 3 t] (t)
2
§4.3运算电路分析
将上式两边都乘以 (s pi ) 得：
(s
pi )F (s)
(s
pi )( s
k1 p1
s
k2 p2
ki s pi
kn ) s pn
令 s pi 则有：ki [(s pi )F (s)]s pi
或由 ki [(s pi )F (s)]s pi
[
(
s
pi )N D(s)
(
s
s
k13 p1
(s
k12 p1)2
(s
k11 p1)3
( s
k2 p2
kn ) s pn
对于单根有：ki
[
N (s) D(s)
]s
pi
或
ki
[(s
pi )F (s)]s pi
对于重根有：k11 [(s p1)3 F(s)]sp1
k12
d [(s ds
p1)3 F (s)]s p1
k13
③f (t) et