江西十所重点中学高三第一次模拟考试数学理
江西省南昌市第十中学2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学(理科)试题
南昌十中2022－2023学年下学期高三一模模拟 数学试题（理科）命题人： 审题人： 说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟，注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。
1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS 号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题纸交回。
第I 卷(选择题)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合∣==M x y y {(,)1}，集合∣==N x y x {(,)0}，则⋂=M N （ ）A. {0,1}B. {(0,1)}C. {(1,0)}D. {(0,1),(1,0)}2. 若复数=+−z 2i 12i i 3)(，则=z （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 总体由编号为01，02，⋯，49，50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 51253211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950A. 3B. 19C. 38D. 204．如右图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3,3]上的大致图象，则该函数是( )A. +=−+x y x x 1323B. +=−x y x x 123 C. +=x y x 12cos 2 D. +=x y x 12sin 2 5．抛物线=−C y x :122的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点−A (5,2)，则+PA PF 的最小值为（ ）A. 8B. 6C. 5D. 96．2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F 运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d x )(（单位：dB ）与声强x （单位：W/m 2）满足=−d x x 1010lg 12)(.若人交谈时的声强级约为50dB ，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为（ ）A. 130dBB. 140dBC. 150dBD. 160dB7. 若⎝⎭ ⎪+=−⎛⎫θ43tan 5π=（ ） A. 3 B. 34 C. 2 D. 48. 一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为（ ）A. 12B. 8C. 6D. 49. 已知函数()2log ,1,,1,x x f x x x ξ≥⎧=⎨+<⎩在R 上单调递增的概率为12，且随机变量()~,1N u ξ．则()01P ξ<≤等于（ ）[附：若()2~,Nξμσ，则()0.6827P x μσμσ−≤≤+=， ()220.9545P x μσμσ−≤≤+=．] A. 0.1359 B. 0.1587 C. 0.2718 D. 0.341310. 已知是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A. 4B. 12C. 4D. 211. 如图，曲线C 为函数y =sinx (0≤x ≤5π2)的图象，甲粒子沿曲线C 从A 点向目的地B 点运动，乙粒子沿曲线C 从B 点向目的地A 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为(m,n)，乙粒子的坐标为(u,v)，若记n −v =f(m)，则下列说法中正确的是( ) A. f(m)在区间(π2,π)上是增函数B. f(m)恰有2个零点C. f(m)的最小值为−2D. f(m)的图象关于点(5π6,0)中心对称 12. 已知函数()f x ，()g x ，()g x '的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数.若()g x 为偶函数，且()()1f x g x +'=，()()41f x g x '−−= .则以下四个命题：①()20220g '=；②()g x 关于直线2x =对称；③()202212022==∑k f k ；④()202312023==∑k f k 中一定成立的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线12:l y x =，则过圆222410x y x y ++−+=的圆心且与直线1l 垂直的直线2l 的方程为________. 14. 杜甫“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇中含《新安吏》和《无家别》的概率是 ．15. 将函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =−的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则12...n PA PA PA +++=____________.16. 在棱长为4的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，G 为正方体棱上一动点．下列说法中所有正确的序号是 . ①G 在AB 上运动时，存在某个位置，使得MG 与A 1D 所成角为60°；②G 在AB 上运动时，MG 与CC 1所成角的最大正弦值为√53； ③G 在AA 1上运动且AG =13GA 1时，过G ，M ，N 三点的平面截正方体所得多边形的周长为8√5+2√2；④G 在CC 1上运动时(G 不与C 1重合)，若点G ，M ，N ，C 1在同一球面上，则该球表面积最大值为24π．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.的17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23122n S n n =−． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和T 1000．18. 在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC ⊥AE ，AB ⊥BC ，CD =1，AE =AC =2，F 为DE 的中点，且点G 满足4EB EG =．（1）证明：GF //平面ABC ；（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A -BE -D 的正弦值．19. 某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13.调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读． (1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率;(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人?K 2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n =a +b +c +d ．20. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点、E 所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()()e 1ln x f x m x =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数.（1）当1m =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）设函数()()e xf x h x ='，且()52h x 恒成立. ①求m 的取值范围；②设函数()f x 的零点为0x ，()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]）22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0πϕ≤≤），2C的参数方程为1252x t y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （1）求1C 的普通方程并指出它的轨迹； （2）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线OM ：π4θ=与曲线1C 的交点为O ，P ，与2C 的交点为Q ，求线段PQ 的长.[选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数()121f x x x =−−+的最大值为k .（1）求k 的值；（2）若,,R a b c ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.。
2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学(理)试题及参考答案
2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学（理）试题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若集合{}1|4,|1A x x B x x⎧⎫=<=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．(],1-∞B ．(]0,1 C.(),0(1,4)-∞ D ．()(],00,1-∞ 2.若复数z 是方程0222=+-x x 的一个根，则i z ⋅的虚部为（）A ．2B ．i2C ．iD ．13.袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0,1,2,3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023231021122203012231130133231031123122103233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（）A ．518B ．29C ．16D ．194.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若23141540a a a a +++=，则16S =（）A ．150B ．160C ．170D ．与1a 和公差有关5.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的蒙日圆为C ：2223b y x =+，则椭圆Γ的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D 6.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤7.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 为圆O 的直径，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥平面ABC ，E 为AD 的中点，且异面直线BE 与AC 所成角为60°，则点A 到平面BCE 的距离为（）A.3218 B.778C.7214 D.3748.若正项递增等比数列{}n a 满足：()R a a a a ∈=-+-+λλ,0214332,则54a a λ+的最小值为（）A.2B.2C.22 D.49.已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PB P A ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．010.长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是21，夏季来的概率是21，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择3处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（）A ．209B ．21C ．2011D ．5311.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A 为双曲线右支上一点，设12AF F α∠=，21AF F β∠=，若2tan 22tanαβ=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =±C ．3y x=±D ．4y x=±12.定义在R 上的函数)(x f 与)(x g 的导函数分别为)(x f '和)(x g '，满足0)2()(=-'-'x g x f ，()()2f x g x --=-，且)2(-x g 为奇函数，则=∑=20231)(k k f （）A ．4046-B ．4045-C ．4044- D.4043-二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13.设向量b a,满足,1,1,3,===b a b a π则=+b a 3_______．14.设6cos()(π+=x x f ，若)()(21x f x f =且021<x x ，则12x x -取值范围为________.15.已知函数,)(x x e e x f --=所有满足()01)(=-+n f m f 的点()n m ,中，有且只有一个在圆C 上，则圆C 的方程可以是__________.（写出一个满足条件的圆的方程即可）16.若)(1,12*N n n n n n a ∈⎪⎭⎫⎝⎛+++∈时，关于x 的不等式0log >-xaa x 恒成立，则正整数n 的取值集合为__________.（参考数据： 2.718,ln 20.693,ln3 1.099e ≈≈≈）三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)17.在ABC ∆中，已知)C B A C B A sin sin sin 2sin sin sin 3222=-+．(1)求C ∠；(2)若D 是AB 边上的一点，且2,2==DA BD ，求ABC ∆面积的最大值．18.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，AB DC AD 21==，现将ADC ∆沿AC 翻折成直二面角P AC B --.（Ⅰ）证明：CB PA ⊥；（Ⅱ）若,4=AB 二面角B PA C --余弦值为721，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值.19.中医药在抗击新冠肺炎疫情中，发挥了重要作用。
江西省南昌市第二中学等十五所名校2022届高三下学期第一次模拟考数学(理)试题
一、单选题二、多选题1. 在复平面内，为坐标原点，复数对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为（ ）A．B．C．D．2. 若存在，使成立，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．3. 已知集合为虚数单位，，则复数A．B．C．D．4. 某兄弟俩都推销某一小家电，现抽取他们其中8天的销售量（单位：台），得到的茎叶图如下图所示，已知弟弟的销售量的平均数为34，哥哥的销售量的中位数比弟弟的销售量的众数大2，则的值为A ．5B ．13C ．15D ．205. 在长方体中，，，，分别为，的中点，为正方形的中心，则异面直线与所成角为（ ）A．B．C．D．6. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）A ．10B ．5C ．8D ．47. 已知函数，为图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点，满足，则下列区间中存在极值点的是（ ）A．B．C．D．8.复数的虚部为（ ）A．B．C．D．9. 设双曲线的方程为，则下列说法中正确的是（ ）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线上的动点到该双曲线两个焦点的距离之和的最小值为C ．双曲线上的动点到该双曲线两个焦点的距离之差为4D．双曲线的任一焦点到渐近线的距离为10. 一组数据按从小到大排列为2，3，3，，7，10，若这组数据的平均数是中位数的倍，则下列说法正确的是（ ）A．B ．众数为3C ．中位数为4D．方差为11. 关于函数有下述四个结论，其中结论正确的是（ ）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称江西省南昌市第二中学等十五所名校2022届高三下学期第一次模拟考数学（理）试题江西省南昌市第二中学等十五所名校2022届高三下学期第一次模拟考数学（理）试题三、填空题四、解答题C．的图象关于点对称D ．在上单调递增12.已知圆，，为圆上任意两点（不重合），平面上一动点满足，若为线段的中点，则的取值可能为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1013. 已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围为____________.14.已知数列满足，若，则数列的前项和______.15.已知圆经过点，与直线相切，且被轴截得的弦长为，则圆的标准方程为________.16. 如图，已知三棱柱中，平面，，，分别是棱，的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．17. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到以下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.(1)请补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，判断学生课间经常进行体育活动是否与性别有关联；性别课间进行体育活动情况合计不经常经常男女合计(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列与数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818. 已知函数．(1)当时，试判断函数的单调性；(2)若是函数的两个零点，证明：．19. 如图，四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形中，，，，.(1)求证：平面；(2)设，若直线与平面所成的角为，求线段的长.20. 在①，②，③，，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.设数列是公比大于0的等比数列，其前项和为.已知，___________.（1）求数列的通项公式；（2）设，，且数列的前项和为，求.21. 已知等比数列的前n 项和为，其公比，，且.(1)求数列的通项公式；(2)等比数列的前n 项和为，其公比，，求证：.。
2023届江西省“红色十校”高三上学期第一联考数学(理)试题(解析版)
2023届江西省“红色十校”高三上学期第一联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合1,1,2,3,{(1)(2)0}2A B x x x ⎧⎫==-->⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{3}B ．1,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{1,3}D ．{2,3}【答案】B【分析】先求出集合B ，再求两集合的交集即可.【详解】因为()()1,1,2,3,{120}{12A B x x x x x ⎧⎫==-->=<⎨⎬⎩⎭或2}x >，所以1,32A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，故选：B ．2．若复数z 满足(2i)5i z -=，则z 的虚部为（ ） A ．2i B ．2i - C ．2- D ．2【答案】D【分析】利用复数除法和乘法运算法则求出z 即可得到虚部. 【详解】因为(2i)5i z -=，所以5i (2i)5i12i 2i 5z +⋅===-+-，故z 的虚部为2. 故选：D ．3．下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中2022年1~2月看作1个月，现有如下说法：①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势； ②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为5.9； ③从这12个增速中随机抽取2个，增速都超过10的概率为533． 则说法正确的个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】从2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，可判断①，求出2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的中位数可判断②；由古典概率的计算公式代入可判断③【详解】从2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，故①正确；2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为4.67.25.92+=，故②正确；从这12个增速中随机抽取2个，都超过10的概率25212C5C33P==，故③正确.故选:D．4．函数20.25()sinxf xx+=的部分图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】A【分析】利用函数的奇偶性和函数值的正负判断即可.【详解】因为22()0.250.25()()sin()sin x x f x f x x x-++-==-=--，所以()f x 为奇函数，故排除C ，D ；又21024f ππ+⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故排除B. 故选：A ．5．2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A ，B 等4个场馆，其中A 场馆安排2人，其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为（ ） A ．48 B ．60 C ．120 D ．240【答案】B【分析】先安排2人去A 场馆，再安排剩余的人去其它场馆即可.【详解】分为两步，第一步：安排2人去A 场馆有25C 种结果；第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有33A 种结果，所以不同的安排方法种数为2353C A 60=.故选：B ． 6．设函数()(0)a xf x a a x-=≠+，若()(1)1g x f x =-+是奇函数，则(2022)f =（ ） A ．20222021-B ．20212023-C ．20222021D ．20212023【答案】B【分析】利用函数()g x 的奇偶性求出a ，得到函数()f x 的解析式，根据解析式求函数值即可.【详解】由已知可得12()(1)1111a x a g x f x a x x a -+=-+=+=+-+-，则2()1ag x x a -=-+-．因为()g x 是奇函数，所以22()()011a ag x g x x a x a +-=+=+--+-，因为0a ≠，解得1a =，所以1()1x f x x -=+，所以2021(2022)2023f =-. 故选：B ． 7．设0.30.932,0.8,log 0.83a b c ===，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．c b a >>【答案】A【分析】跟特殊值1，2比较即可判断大小. 【详解】因为331>且33382<=，所以0.30.90.912,0.81,log 0.8log 0.812a b c <<=<>==，所以c a b >>. 故选：A ．8．将函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的图象上所有点向右平移π6个单位长度，得到如图所示的函数()y g x =的图象，则π(0)3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-【答案】C【分析】由三角函数的图象变换得到()g x 的解析式，再由其图象性质得出,,A ωϕ后计算原式【详解】依题意，ππ()cos cos 66g x A x A x ωωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故2A =，又()g x 的周期T 满足ππ4312T =-，得πT =，所以2ω=， 所以π()2cos 23g x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又π23g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得ππ22π,Z 33k k ϕ⨯-+=∈，又π0ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以πππ(0)2cos 2cos 2333f f ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C9．“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A ，B 两地竖起高度均为a 寸的标杆AE 与BF ，AC 与BD 分别为标杆AE 与BF 在地面的影长，再按影长AC 与BD 的差结合“寸影千里”来推算A ，B 两地的距离．记,2CEA BDF παββα⎛⎫∠=∠=<- ⎪⎝⎭，则按照“寸影千里”的原则，A ，B 两地的距离大约为（ ）A ．1000sin()sin sin a αβαβ+里B ．1000sin()sin cos a αβαβ+里C ．1000cos()sin cos a αββα+里D ．1000cos()cos cos a αβαβ+里【答案】C【分析】在直角三角形中利用正切表示出BD AC -，再由同角三角函数及两角和的余弦公式化简，最后根据“寸影千里”的原则得解. 【详解】由题意可知tan ,tan BFAC AE BD αβ==， 所以cos sin (cos cos sin sin )cos()tan tan sin cos sin cos sin cos BF a a a a BD AC AE βαβααβαβαββαβαβα-+-=-=-==，所以可以估计A ，B 两地的距离大约为1000cos()()1000sin cos a BD AC αββα+-⨯=里，故选：C ．10．已知00，x y >>，满足2210x xy +-=，则32x y +的最小值是（ ） A 2B 3C ．3D ．2【答案】D【分析】将给定等式变形为212x y x-=，01x <<，再代入并结合均值不等式求解作答.【详解】由2210x xy +-=，得212x y x-=，而0,0x y >>，则有01x <<，因此，2113232x x y x x x x -+=+=+≥12x x =，即x =时取“=”，所以32x y +的最小值为故选：D11．已知三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，2,120AB BC ABC ==∠=︒，若三棱锥P ABC -的体积最大值为2，则球O 的半径为（ ）AB C D 【答案】D【分析】根据已知条件及同弧所对圆心角与圆周角的关系，再利用勾股定理及棱锥的体积公式即可求解.【详解】设ABC 的外接圆圆心为1O ，依题意可知1AO B 为正三角形，所以圆1O 的半径2r AB ==，设球O 的半径为R ，因为1OO ⊥平面ABC ，所以1OO当三棱锥P ABC -的体积最大时，三棱锥P ABC -的高等于1OO R R +=，所以V三棱锥P ABC -11232=⨯⨯⨯2sin120︒)2R ⨯=R =R =所以球O 故选:D ．12．若曲线1e x y -=与曲线y ==a （ ）A B C ．2eD ．1e【答案】A【分析】设公共点为(),P s t ，根据导数的几何意义可得出关于a 、s 的方程组，即可解得实数a 、s 的值.【详解】设公共点为(),P s t ，1e x y -=的导数为1e x y -'=，曲线1e x y -=在(),P s t 处的切线斜率1e s k -=，y =y '，曲线y =(),P s t 处的切线斜率k =，因为两曲线在公共点P处有公共切线，所以1es -=1e s t -=，t =所以11e e s s --⎧=⎪⎨⎪=⎩=12s =，所以112e -=a = 故选：A ．二、填空题13．已知向量(,2),(2,4)m a a n a =+=-，且()n m n ⊥-，则实数=a _____________． 【答案】2【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.【详解】因为(,2)(2,4)(2,2)m n a a a a -=+--=-，又()n m n ⊥-， 所以2(2)(2)40a a ⨯-+-⨯=， 解得2a =． 故答案为：2.14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点F 到直线:230l x y --=则p 的值为_____________． 【答案】2或4【分析】求出,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意用点到直线的距离公式即可求出p 的值.【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，则,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则点F 到直线:230l x y --=的距离为：d =， 所以31p -=，因为0p >，所以2p =或4. 故答案为：2或4.15．韩信是我国汉代能征善战、智勇双全的一员大将．历史上流传着一个关于他点兵的奇特方法．有一天，韩信问有多少士兵在操练，部将回答：三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩四，韩信很快就知道了士兵的人数．设有m 个士兵，若[2021,3021]m ∈，符合条件的m 共有___________个．【答案】10【分析】由题意，m 除3余2、除5余3、除7余4，可得m 最小的项为53，且为公差357⨯⨯的等差数列，即可由[2021,3021]m ∈求解.【详解】由“三三数之，剩二”知，m 是等差数列5，8，11，14，…中的项，其中满足“五五数之，剩三”的最小数是8，故m 是等差数列8，23，38，53，…中的项， 其中满足“七七数之，剩四”的最小数是53，故m 是等差数列53，158，263，368，…中的项，可得通项公式53105(1)n a n =+-，令202153105(1)3021n ≤+-≤，解得2029n ≤≤，且n *∈N ，故符合条件的m 共有10个．故答案为：10.三、双空题16．已知π,0,,sin 3sin(2)02αβααβ⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，则tan()tan αββ-=___________，tan(2)αβ-的最小值是_____________． 【答案】120.5【分析】利用凑角及两角和差的正弦公式，结合同角三角函数的商数关系、两角差的正切公式及基本不等式即可求解.【详解】由题意得，sin[()]3sin[()]0αββαββ-++--=，所以sin()cos cos()sin αββαββ-+-+3[sin()cos cos()sin ]0αββαββ---=， 即2cos()sin 4sin()cos αββαββ-=-，于是有tan 2tan()βαβ=-， 所以tan()1tan 2αββ-=．又tan()tan tan(2)tan[()]1tan()tan αββαβαββαββ---=--=+-，设tan 0x β=>，则1tan()2x αβ-=，所以2tan(2)221x x x xαβ-=-=-≥=++ 当且仅当2x x =即x tan(2)αβ-的最小值为 故答案为：12；-.四、解答题17．在①()2115,242,n n n a S S S n n *+-=+=+≥∈N ，②121n nS S n n+=++，③1(41)(43)n n n a n a ++=-这三个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答问题．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且____________． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若n b 是1,n n a a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，43n a n =-； (2)41n nT n =+.【分析】（1）选①，利用n a 与n S 的关系求解作答；选②，构造等差数列求出n S 求解作答；选③，构造常数列计算作答； （2）由（1）求出21n b ，再利用裂项相消法求解作答. 【详解】(1)选①，2,N n n *≥∈，由1124n n n S S S +-+=+，得114n n n n S S S S +--=-+，则14n n a a +=+，即14n n a a +-=，而214a a -=，因此{}n a 是以1为首项，4为公差的等差数列，14(1)43n a n n =+-=-， 所以{}n a 的通项公式为43n a n =-． 选②，由121n n S S n n +=++，得121n n S Sn n +-=+，即数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，2为公差的等差数列， 则12(1)21nS n n n=+-=-，则22n S n n =-， 当2n ≥时，22122(1)(1)43n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，当1n =时，11a =满足上式，所以{}n a 的通项公式为43n a n =-． 选③，由1(41)(43)n n n a n a ++=-，得14143n n a a n n +=+-，因此数列{}43n an -是常数列， 则有1143413n a a n ==-⨯-，即43n a n =-， 所以{}n a 的通项公式为43n a n =-．(2)由（1）知，43n a n =-，依题意，21(43)(41)n n n b a a n n +==-+，则211111(43)(41)44341n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以22212111111111145594341n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11144141n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 所以数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和41n nT n =+．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是正方形，PA AD =，点E 为PC 的中点．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求平面BDE 与平面PCD 所成锐二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)3π【分析】（1）设AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，则OEPA ，由PA ⊥平面ABCD ，可证得OE ⊥平面ABCD ，则AC OE ⊥，而由正方形的性质可得AC BD ⊥，所以由线面垂直的判定可证得结论，（2）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量求解即可.【详解】(1)证明：设AC 与BD 的交点为O ，连接OE ． 因为底面四边形ABCD 为正方形， 所以,AC BD AO CO ⊥=． 又点E 为PC 的中点， 所以OEPA ．因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ， 所以,PA AB PA AD ⊥⊥，所以,OE AB OE AD ⊥⊥,因为,AB AD ⊂平面ABCD AB AD A ⋂=，，所以OE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，所以AC OE ⊥．因为BD OE O ⋂=，,BD OE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE ．(2)解：设2AD =，则2PA AB BC CD ====．以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0)A D P C ，可得(0,2,2),(2,0,0),(2,2,0)DP DC AC =-==．由（1）知，平面BDE 的一个法向量为(2,2,0)AC =．设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则20220n DC x n DP y z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1y =，可得0,1x z ==，所以(0,1,1)n =， 设平面BDE 与平面PCD 所成锐二面角为θ， 则222222|||01cos 2||||011220n AC n AC θ⋅===++⨯++， 因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=， 即平面BDE 与平面PCD 所成锐二面角的大小为3π． 19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin sin 2sin cos a A b B c C c B A =+-．(1)求A ；(2)若22,sin a B ==b 和c ．【答案】(1)π4A =(2)b c == 【分析】（1）设ABC 的外接圆半径为R ，结合正弦定理将原式化为222cos 2cos a R A b c cb A ⋅=+-，再结合余弦定理可求出角A ，（2）由正弦定理结合已知求出b ，再利用余弦定理可求出c .【详解】(1)设ABC 的外接圆半径为R ，因为cos sin sin 2sin cos a A b B c C c B A =+- 由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===， 得222cos 2cos a R A b c cb A ⋅=+-，结合余弦定理2222cos a b c cb A =+-，得22cos a R A a ⋅=，因为0a ≠，所以2cos 2sin R A a R A ==，得cos sin A A =，因为(0,π)A ∈，所以π4A =． (2)由（1）知π4A =，所以22sin a R A ==，所以2sin 2b R B ===由余弦定理2222cos a b c cb A =+-得，21222c =+-， 即22230c c --=，解得c =或c =．综上．b c ==．20．设O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点(0,1)． (1)求C 的方程；(2)若直线:l x ky m =+与C 交于P ，Q 两点，且OPQ △的面积是32，求证：2229m k -=． 【答案】(1)2219x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由椭圆过的点可得1b =，再结合离心率即可计算作答；（2）联立直线l 与椭圆C 的方程，求出弦PQ 长及点O 到直线l 的距离即可求解作答.【详解】(1)因椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点(0,1)，则1b=，又椭圆C的离心率为，则有3e=，解得3a=，所以C的方程为2219xy+=．(2)依题意，0m≠，由2299x yx ky m⎧+=⎨=+⎩消去x并整理得：()2229290k y kmy m+++-=，22222244(9)(9)36(9)0k m k m k m∆=-+-=+->，设()()1122,,,P x y Q x y，则12221222999kmy ykmy yk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是得||PQ==O到l的距离d=因此13||22OPQS PQ d=⋅==△，即()()2422244990m m k k-+++=，整理得()222290m k⎡⎤-+=⎣⎦，即2229m k-=，显然2229m k-=满足0∆>，所以2229m k-=.21．已知函数1()e lnxf x x-=-．(1)求()f x的极值；(2)若函数()()(1),g x f x a x a=--∈R，求()g x的极小值的最大值．【答案】(1)极小值1，无极大值(2)1【分析】（1）由导数判断()f x单调性后求解，（2）设出()g x'的零点x，在()g x中消去a，转化为关于x的函数求解最值【详解】(1)）函数的定义域为11{0},()e xx x f xx-='>-．令11()e xh xx-=-，则121()e0xh xx-+'=>，所以()h x在(0,)+∞上单调递增，且(1)(1)0h f'==．当(0,1)x∈时，()()0f x h x'=<；当(1,)x∈+∞时，()()0f x h x'=>．所以()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时()f x 有极小值(1)1f =，无极大值．(2)因为1()()(1)e ln (1)x g x f x a x x a x -=--=---，所以()()g x f x a ''=-．由（1）知，()g x '在(0,)+∞上单调递增，当0x →时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x ． 当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()g x 在0x x =处取得极小值()()01000e ln 1x g x x a x -=---，且0x 满足0101e x a x --=． 所以()()01000012e ln 1x g x x x x -=--+-． 令11()(2)e ln 1x x x x x ϕ-=--+-，则121()(1)e x x x x ϕ-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'． 当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>；当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，即()ϕx 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)1x ϕϕ==，此时0a =，所以当0a =时，()g x 的极小值的最大值为1．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,5x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ππ,0,,π22θβρβ⎛⎫⎡⎫⎛⎫=∈∈⎪ ⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎝⎭R ． (1)求C 的极坐标方程和l 的直角坐标方程；(2)l 与C 交于A ，B 两点，若||AB =β．【答案】(1)210sin 120ρρθ-+=，tan y x β=⋅(2)π4β=或34π．【分析】（1）由C 的参数方程化为直角坐标方程，再根据公式cos ,sin x y ρθρθ==转化为极坐标方程，根据极坐标意义直线l 方程可化为直角坐标方程；（2）根据极径的几何意义及根与系数的关系，由||AB =β.【详解】(1)将C 的参数方程化为直角坐标方程得22(5)13x y +-=，即2210120x y y +-+=，∴C 的极坐标方程为210sin 120ρρθ-+=．∵l 的极坐标方程为ππ,0,,π22θβρβ⎛⎫⎡⎫⎛⎫=∈∈⎪ ⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎝⎭R ， ∴l 的直角坐标方程为tan y x β=⋅．(2)将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得210sin 120ρρβ-+=． 当2100sin 480β∆=->时，设A ，B 所对应的极径分别为12,ρρ， 则121210sin ,120ρρβρρ+==>，∴12||||||||AB OA OB ρρ=-=-=，∴2100sin 482β-=，∴sin β=Δ0>， 又ππ0,,π22β⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，∴π4β=或34π． 23．已知函数()|||1|f x x m x =++-．(1)当2m =时，求不等式()5f x ≥的解集；(2)若不等式()f x ≥对x ∈R 和(2,2)a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(,3][2,)-∞-+∞(2)(,3][1,)-∞-⋃+∞【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号即可求解；（2）原不等式可转化为(min max ()f x ≥，利用绝对值不等式及均值不等式分别求出最值即可得解.【详解】(1)由题意得()|2||1|5f x x x =++-≥，当2x <-时，215x x --+-≥，解得3x ≤-；当21x -≤≤时，215x x ++-≥，无解；当1x >时，215x x ++-≥，解得2x ≥．综上，()5f x ≥的解集为(,3][2,)-∞-+∞．(2)()|||1||1|f x x m x m =++-≥+，当且仅当()(1)0x m x +-≤时取等号， 所以min ()|1|f x m =+．因为22422a a +-≤=，当且仅当a =所以(max 2=．若不等式()f x ≥x ∈R 和(2,2)a ∈-恒成立，则(min max ()f x ≥，所以|1|2m +≥，解得3m ≤-或1m ≥， 即实数m 的取值范围是(,3][1,)-∞-⋃+∞．。
江西省重点中学盟校第一次考试理科数学参考答案
江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题：题号123456789101112答案ACDBCDA BB ACD二、填空题：13．67214.15415.3716．5π三、解答题：17.解：(Ⅰ)设等比数列}{n a 的公比为)0(>q q ，由题意，得256466a a a q q +=⇒+=解得2q =或3q =-（舍）…………………2分又3141a a =⇒=所以1112n n n a a q --==………………4分221log log 121n n n b a a n n n +=+=-+=-………………6分(Ⅱ)21()[1(21)]22n n n b b n n S n ++-===．……………7分∴211114122121n c n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，…………………9分∴11111112335212121n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ …………………12分18.解：（Ⅰ） 四边形ABCD 是正方形，∴BC DC ⊥.∵平面PCD ⊥平面ABCD CD =，∴BC ⊥平面PCD .∵DE ⊂平面PDC ，∴BC DE ⊥.∵AD PD DC ==，点E 为线段PC 的中点，∴PC DE ⊥.又∵PC CB C = ，∴DE ⊥平面PBC .又∵DE ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面PBC .………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面PCD ，∵//AD BC ，∴AD ⊥平面PCD .在平面PCD 内过D 作DG DC ⊥交PC 于点G ，∴AD DG ⊥，故DA ，DC ，DG 两两垂直，以D 为原点，以DA ，DC ，DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -.因为1AD PD ==，120PCD ∠= ，∴PC =.∵AD ⊥平面PCD ，则()0,0,0D ，()0,1,0C ，10,,22P ⎛-⎝⎭又E 为PC 的中点，10,,44E⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，………………7分假设在线段AB 上存在这样的点F ，使得tan θ=,设()1,,0(0)F m m >，10,4DE ⎛= ⎝⎭，()1,,0DF m =，设平面DEF 的法向量为1(,,)n x y z = ，则110,0,n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴013044x my y z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令y =1,z x =-∴=，则1(,,1)n =- ………………9分 AD ⊥平面PCD ，∴平面PCD 的一个法向量2(1,0,0)n =,tan θ=,则13cos 13θ=∴12cos cos ,13n n θ=<>==.0m > ，解得13m =，∴12AF FB =………………12分19.解：（1）补充的22⨯列联表如下表：甲班乙班总计成绩优秀91625成绩不优秀11415总计202040根据22⨯列联表中的数据，得2K 的观测值为240(941611)25152020k ⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.227 3.841≈>，所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.………………5分（2）X 的可能取值为0，1，2，3，311315(0)C P X C ==1653345591==，………………6分21114315(1)C C P X C ==2204445591==，………………7分zxFPDABCEyG12114315(2)C C P X C ==66455=，………………8分(3)P X ==343154455C C =，………………9分所以X 的分布列为……………10分33446644012391914554555EX =⨯+⨯+⨯+⨯=………………12分20.解：(1)由222222c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===得椭圆C 的方程为22142x y +=.………………4分（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN．……5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(12)4240k x kmx m ⇒+++-=228(42)0k m ∆=+->，2121222424,1212km m x x x x k k --+==++121222()212my y k x x m k+=++=+ (7)分MN =………………8分点O 到直线MN的距离是d =………………9分由,OM ON OD += 得2242,1212D Dkm mx y k k -==++因为点D 在曲线C 上，所以有222242()()1212142km m k k -+++=整理得22122k m +=………………10分由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN的面积为OMDNS MN d ===分由22122k m +=得OMDN S =故四边形OMDN．………………12分21.解：（1）由于121'()(12ln )2f x x a a x -=--，则①当0a >时，12'()0ln af x x a->⇔<，即当12(0,e )a ax -∈时，'()0f x >，()f x 单调递增；当12(e,)a ax -∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减；故()f x 在12e aax -=处取得极大值，则120e1a a-<≤，解得：12a ≥；………………………………3分②当0a =时，'()0f x >恒成立，()f x 无极值，不合题意舍去；………………4分③当0a <时，12'()0ln af x x a->⇔>，即当12(0,e )a ax -∈时，'()0f x <，()f x 单调递减；当12(e,)a ax -∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；故()f x 在12e aax -=处取得极小值，不合题意舍去；因此当12a ≥时，()f x 在(0,1]上存在极大值点；………………6分（2）法一：令12a =，1()ln )2f x x =-，由（1）得：()f x 在1x =处取得极大值1，且该极值是唯一的，1ln )12x -≤，即ln 2(1x ≥-，当且仅当1x =时取“=”，………………8分故当2i ≥时，ln 2(1222i >-=---，………………10分X 0123P33914491664554455因此2122ln ln [22(1)4(1)2(1)n n ni i i i i n ====>-=--=∑∑∑．………………12分法二：下面用数学归纳法证明：21ln 1)ni i =>∑，对,2n N n +∀∈≥恒成立．（1）当2n =时，左边1ln 2ln 2=>=，右边22111)2()22=-<⋅=，左边>右边，结论成立；（2）假设当n k =时，结论成立，即21ln 1)ki i =>∑，当1n k =+时，左边1211ln ln ln(1)1)ln(1)k ki i i i k k +====++>++∑∑21)2(1ln(1)k =-+++，而ln(1)2(1k +-+ln(1)2ln(1)2k k =+-++-+，令12a =，1()ln )2f x x =-，由（1）得：()f x 在1x =处取得极大值1，且该极值是唯一的，1ln )12x -≤，即ln 2(1x ≥-，当且仅当1x =时取“=”，………………10分则ln(1)20k +-+>对k N +∀∈恒成立，即221)2(1ln(1)1)k -+++>成立故当1n k =+时，结论成立，因此，综合（1）（2）得21ln 1)ni i =>∑，对,2n N n +∀∈≥恒成立．………………12分22.（Ⅰ）曲线2:2cos 4sin 4C ρρθρθ=-+的直角坐标方程为：22244x y x y +=-+；即22(1)(2)9x y -++=1:(cos sin )3l ρθθ-=的直角坐标方程为：30x y --=.……………4分（Ⅱ）直线2l 的参数方程1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），将其代入曲线C 的普通方程并整理得24(cos sin )10t t αα---=，设,A B 两点的参数分别为12,t t ，则124(cos sin )t t αα+=-…………………………………………………7分因为M 为AB 的中点，故点M 的参数为分设N 点的参数分别为3t ，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入30x y --=整理得分分23.解：分所以3t ≤………………………5分（2）由（1）可知，3a =,则123m p n p∴+≥++………………………10分123m p n p∴+≥++…………………10分第1页共4页第2页共4页江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考理科数学试卷主命题：新余四中黄良友辅命题：鹰潭一中熊冬辉临川二中王晶第I 卷（选择题：共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分．每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意)1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，1{|0,}4x B x x Z x-=>∈-，则A B =I ()A ．{2,3}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,3,5}2．已知复数133iz i+=-，则z =()A．2B ．2C ．1D ．123．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x <时，()()2log 1f x x =-，则()()7f f =()A ．1-B ．2-C ．1D ．24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若136a a +=，10100S =，则5a =()A ．8B ．9C ．10D ．115．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的()A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入()A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤7．已知1,2a b == ，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为()A BC ．1D8．把函数()6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为()A ．[,2]ππB ．4[,]33ππC ．[,]123ππD ．5[,]44ππ9．已知右图是一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的棱的长度中，最大的是()A ．B．CD10．以双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点M 为圆心作圆，该圆与x 轴相切于C 的一个焦点F ，与y 轴交于,P Q两点，若3PQ c =，则双曲线C 的离心率是()AB C ．2D 11．今有6个人组成的旅游团,包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有()种A ．204B ．288C ．348D ．39612．若曲线()(02)xf x ae ax x =-<<和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,A B ,使得AOB ∆是以原点O为直角顶点的直角三角形,AB 交y 轴于点C ，且12AC CB =uuu r uur，则实数a 的取值范围是()A．211,10(2)6(1)e e ⎛⎫⎪--⎝⎭B．11,6(1)2e ⎛⎫⎪-⎝⎭C．1,11e ⎛⎫⎪-⎝⎭D．211,10(2)2e ⎛⎫⎪-⎝⎭第II 卷（非选择题：共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共计20分。
江西省南昌市实验中学2022届高三第一次模拟考试数学(理)试题(1)
一、单选题二、多选题1. 已知的展开式中的常数项为，则其展开式中的系数为（ ）A．B．C．D．2. 已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是A．B．C．D．4. 等腰直角三角形ABC 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点C在第一象限，且，O为坐标原点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为A．B．C．D．6. 已知集合，，则集合（ ）A．B．C．D．7. 下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归方程必过（）A．点B．点C．点D．点8. 已知函数的大致图象如图所示，则（）A．B．C．D．9.如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则（ ）江西省南昌市实验中学2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题(1)江西省南昌市实验中学2022届高三第一次模拟考试数学（理）试题(1)三、填空题四、解答题A ．三点共线B ．的长度为1C ．直线与平面所成角的正切值为D ．的面积为10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．的图象是轴对称图形B ．的极大值为0C．的所有极值点之和为D．的极小值之积为11. “奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积，托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②则下列结论正确的是（）A ．直线与平面所成的角为B．直线平面C ．异面直线与所成的角的余弦值为D．球上的点离球托底面的最大距离为12.已知数列满足，且，等差数列的前n 项和为，且，，若恒成立，则实数λ的值可以为（ ）A ．－36B ．－54C ．－81D ．－10813.函数的最大值为_________，所有零点之和为_________.14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围________.15.已知展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中的系数为_____________.（用数字作答）16. 单板滑雪U 型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分.最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U 型池世界杯分站比赛成绩如下表：运动员甲的三次滑行成绩运动员乙的三次滑行成绩分站第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70(1)从上表5站中随机选取一站，求在该站甲运动员的比赛成绩高于乙运动员的比赛成绩的概率；(2)设甲乙成绩相互独立，从甲的5站比赛成绩和乙的5站比赛成绩中分别随机选取一个，求两人的比赛成绩中至少有一人高于88分的概率；(3)甲5站的比赛成绩的平均值为，甲乙5站比赛成绩的总平均值记为，比较与的大小（直接写出结果）.17. 已知函数，其中常数.（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.18. 如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，．(1)证明：平面平面；(2)若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．19. 已知正项数列满足a1=1，a2=2，a4=64，且．(1)求k的值；(2)求数列的通项公式．20. 已知等差数列的前项和为，且，．（1）求；（2）设数列的前项和为，求证：．21. 已知函数，记.(1)当时，求在区间上的最大值；(2)当时，试判断的零点个数.。
江西省南昌市2022届高三第一次模拟测试数学(理)试题(含答案解析)
江西省南昌市2022届高三第一次模拟测试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合20x A x x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}220B x x x =+->，则A B =（ ） A ．(),2-∞B ．()2,2-C ．()1,2D ．(),1-∞2．已知i z z ⋅=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点一定在（ ） A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一､三象限的角平分线上D ．第二､四象限的角平分线上3．根据分类变量x 与y 的观察数据，计算得到2 2.974K =，依据下表给出的2K 独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ）A ．有95%的把握认为变量x 与y 独立B ．有95%的把握认为变量x 与y 不独立C ．变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D ．变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%4．圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm 的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（ ）A ．20cm 3B ．15cmC ．D ．20cm5．已知()1,0,0xy A x y x y ⎧⎫=⎧=⎨⎨⎬>>⎩⎩⎭，(){},2B x y x y =+≥，则“P A ∈”是“P B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，m n m n a a a +=，则6S =（ ） A ．12B ．721-C ．72D ．722-7．已知()3,0,0,x x f x x +≤⎧⎪=>若()()32f a f a -=+，则()f a =（ ）8．纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.如5121024⨯，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算91019+=.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若()4log 202112261314520x =⨯，则x 落在区间（ ）A ．()1516,B ．()22,23C ．()42,44D ．()44,469．ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3b =，2c =，ABC 的面积为2sin B ，则cos A =（ ）A ．13B ．23C D ．3410．已知在边长为6的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E ，F 分别是线段AD ，BC 上的点，且2AE BF ==.将四边形ABFE 沿EF 翻折，当折起后得到的几何体AED BFC -的体积最大时，下列说法：①AD EF ⊥；①BC ∥平面ADE ；①平面DEFC ⊥平面ABFE ；①平面ADE ⊥平面ABFE ，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知函数()()32,,R f x x ax bx c a b c =+++∈，若不等式()0f x >的解集为{},x x m x n >≠且，且1n m -=，则函数()f x 的极大值为（ ）A ．1B ．4 C ．0D ．412．已知()1,0A -，()3,0B ，P 是圆22:45O x y +=上的一个动点，则sin APB ∠的最大值为（ ） ABCD二、填空题13．已知中心在原点的双曲线E 的离心率为2，右顶点为A ，过E 的左焦点F 作x 轴的垂线l ，且l 与E 交于M ，N 两点，若AMN 的面积为9，则E 的标准方程为___________.14．1e ，2e 是互相垂直的单位向量，12a e e =+，1234b e e =+，则a 在b 上的投影为___________.15．从()531x +的展开式各项的系数中任取两个，其和为奇数的概率是___________. 16．已知数列{}n a ，{}n b ，12a =，21a =-，()()11211,,n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩()11nn b =+-，n S 是数列{}n n a b 的前n 项和，则1000S =___________.三、解答题17．已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点A 和点B 分别从初始位置()1,0和()2,0处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动.(1)当点A 运动的路程为23π时，求线段AB 的长度； (2)记()11,A x y ，()22,B x y ，求12x y +的最大值.18．如图，三棱锥P ABC -的底面为直角三角形，E 为斜边AB 的中点，顶点P 在底面的投影为D ，CD AB ∥，EC PB ⊥，22PD AB BC ===.(1)求CD 的长；(2)求二面角D PC E --的余弦值.19．为弘扬中国传统文化，某电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易､中､难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；①答对得分，答错不得分；①四轮答题中，每类题最多选择两次.四轮答题得分总和不低于10分进入决赛.选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题､两个中等题､一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为X ，求随机变量X 的数学期望. 20．已知函数()()cos 0,f x ax x x a R π=+≤≤∈. (1)当12a =时，求()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M ，m ，求证：322M m -≥.21．已知面积为ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点.(1)求p 的值；(2)求PMN 的外接圆的方程.22．在直角坐标系中，直线l的参数方程为1,23x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=. (1)求直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 在直角坐标系第一象限交于点A ，点B 的极坐标为4,6π⎛⎫⎪⎝⎭，求AOB 的面积.23．已知函数()()222f x ax x a a =-++≥. (1)当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集； (2)0R x ∃∈，使得()0132f x a ≤+，求a 的取值范围.参考答案：1．C 【解析】 【分析】解不等式，求出集合A 和B ，进而求出交集. 【详解】20x x-<，解得：02x <<，所以()0,2A =，220x x +->，解得：1x >或2x <-，故()(),21,B =-∞-+∞，故A B =()1,2故选：C 2．C 【解析】 【分析】设出i z a b =+，从而得到i+i a b a b =+，即a b =，得到复数z 在复平面内所对应的点在第一､三象限的角平分线上. 【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，则()i i i a b a b ⋅-=+，即i+i a b a b =+，从而()i a b a b -=-，故a b =，所以复数z 在复平面内所对应的点在直线y x =上，即第一､三象限的角平分线上.故选：C 3．C 【解析】 【分析】根据独立性检验的概率含义可得. 【详解】因为2 2.974 2.706K =>，所以变量x 与y 相互独立的概率为为0.1，即变量x 与y 相互独立这个结论犯错误的概率不超过10%. 故选：C 4．B 【解析】 【分析】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积, 水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为2r ,列出方程即可得到答案. 【详解】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积. 设玻璃球的半径为r ，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r 则玻璃球的体积为343r π，圆柱的底面面积为2r π若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为2r所以()3242103r r r ππ=-，解得()15r cm = 故选：B 5．A 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出集合A 和集合B 表示的区域，再根据充分条件、必要条件即可得到结果. 【详解】集合A 表示函数1y x=在第一象限的图象，集合A 和集合B 表示的区域如图所示：由图可知，集合A 和集合B 的真子集，所以“P A ∈”是“P B ∈”的充分不必要条件. 故选：A. 6．D 【解析】【分析】取1m =，可知{}n a 为等比数列，然后可解. 【详解】因为m n m n a a a +=，取1m =，则有112n n n a a a a +==，所以{}n a 是首项、公比都为2的等比数列，所以6762(12)2212S -==--.故选：D 7．B 【解析】 【分析】由题意()f x 在(],0-∞,()0,∞+上分别单调递增，由条件即3020a a -≤⎧⎨+>⎩，从而得出a =.【详解】作出函数()f x 的图像，()f x 在(],0-∞,()0,∞+上分别单调递增. 由()()32f a f a -=+，若3020a a -≤⎧⎨+>⎩，即23a -<≤，此时()333f a a a -=-+=，()2f a +所以a =22a a =+，解得2a =或1a =-（不满足a =此时2a =满足题意，则()f a 若3020a a ->⎧⎨+≤⎩，此时不存在满足条件的a 故选：B8．B 【解析】 【分析】根据对数运算，对x 进行化简，从表格数据入手，得到()()2log 20211226131452044,46⨯∈，进而求出答案.【详解】()()421log 202112261314520log 2021122613145202x =⨯=⨯，设202112262m =，13145202n =，由表格得知：2021048576=，2122097152=，24216777216=，25233554432=，所以2425m <<，2021n <<，所以()44,46m n +∈，()()2log 20211226131452044,46⨯∈，则()()21log 20211226131452022,232x =⨯∈故选：B 9．D 【解析】 【分析】首先由面积公式求出a ，再用余弦定理计算可得； 【详解】解：因为3b =，2c =，ABC 的面积为2sin B ，所以1sin 2sin 2ABC S ac B B ==△，所以2a =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-即222232232cos A =+-⨯⨯， 解得3cos 4A =； 故选：D 10．B 【解析】 【分析】先平面//CFB 平面ADE ，先判断出①①，过点D 作DH EF ⊥交EF 于H ，过H 作HG AB ⊥交AB 于点G 过点C 作CN EF ⊥交EF 的延长线于N ，过N 作NM AB ⊥交AB 的延长线于点M ，得出三棱柱CNM DHG -为直三棱柱，且几何体AED BFC -的体积与三棱柱CNM DHG -体积相同，当NM CN ⊥时CNMS面积最大值，从而判断出①①【详解】将四边形ABFE 沿EF 翻折,得到几何体AED BFC -在几何体AED BFC -中，//,DE CF CF ⊂平面CFB ，DE ⊄平面CFB 所以//DE 平面CFB//,AE BF BF ⊂平面CFB ，AE ⊄平面CFB所以//AE 平面CFB 又AEDE E =,所以平面//CFB 平面ADEBC ⊂平面CFB ,所以//BC 平面ADE ，故①正确.过点D 作DH EF ⊥交EF 于H ，过H 作HG AB ⊥交AB 于点G过点C 作CN EF ⊥交EF 的延长线于N ，过N 作NM AB ⊥交AB 的延长线于点M 则四棱锥C BFNM -与D AEHG -是全等的两个四棱锥.由NM AB ⊥，则NM EF ⊥,CN EF ⊥，MN CN N ⋂=，所以EF ⊥平面CMNEF ⊥平面DHG ,D ∈平面DHG , A ∉平面DHG ,则AD 与EF 不垂直，故①不正确 三棱柱CNM DHG -为直三棱柱.几何体AED BFC -的体积与三棱柱CNM DHG -体积相同. 三棱柱CNM DHG -的体积为CNMV SNE =⋅在直角三角形DEH 中,4,30DE EDH =∠=︒，所以2EH = 所以628NE =+= 当CNMS面积最大值时，几何体AED BFC -的体积最大.当NM CN ⊥时CNMS 面积最大值. 由NM NE ⊥, NE CN N ⋂=，则NM ⊥平面CFED又NM ⊂平面FBAE ，所以平面FBAE ⊥平面CFED ; 故①正确. 若平面ADE ⊥平面ABFE ，由面ADE 平面ABFE AE = 过D 作DH AE '⊥交AE 于点H '，则DH '⊥平面ABFE则过点D 有两条直线,DH DH '与平面ABFE 垂直，这与过平面外一点有且只有一条直线与平面垂直相矛盾. 所以①不正确. 故选：B11．B 【解析】 【分析】根据三次函数的图象特征，确定大致图象，进而设出()()()()()221f x x m x n x m x m =--=--+⎡⎤⎣⎦，利用导函数求出极大值点，进而求出极大值.【详解】()()32,,R f x x ax bx c a b c =+++∈为三次函数，其图象可能情况有如下5种：不等式()0f x >的解集为{},x x m x n >≠且，且1n m -=，故其具体图象为图1类，如下图：()()10f m f m =+=，由于x n =为()0f x =的二重根，故可设()()()()()221f x x m x n x m x m =--=--+⎡⎤⎣⎦，()()()()()()21211122f x x m x m x m x m x m x m '=-++---=----+-⎡⎤⎣⎦()()1331x m x m =----，令()0f x '=，解得：1x m =+，或13x m =+，且当1,3x m ⎛⎫∈-∞+ ⎪⎝⎭或()1,x m ∈++∞上，()0f x '>，当1,13x m m ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，()0f x '<，故13x m =+是()f x 的极大值点，故极大值为()21114133327f m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+-+-+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：B 12．D 【解析】 【分析】设(),P m n ，分别表示出4AB =，AP PB =由余弦定理得到：cos APB ∠sin APB ∠.【详解】设(),P m n ，则2245m n +=，其中m n -≤-≤ 因为()1,0A -，()3,0B ，所以4AB =.AP PB ===由余弦定理得：222cos 2AP BP AB APB AP BP+-∠====⨯，因为m -≤cos 0APB ∠>.所以sin APB ∠记(2245,14207m y m m m -+=-≤--+. 则()()()()22222221715143246301420714207m m m m y m m m m ---+'==--+--+所以令0y'>，解得：157m -<；令0y '<，解得：157m <≤所以min sin APB ∠==故选：D 【点睛】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ①代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值. 13．2213y x -=【解析】 【分析】算出通径，然后根据三角形面积和离心率列方程组可解.设双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>令x c =-，则22221c ya b -=，得2b y a=±，所以22b MN a=， 易知AF a c =+，所以2112()922AMNb SMN AF a c a==⨯⨯+=…①， 又222+=a b c …①，2c a =…①，联立①①①求解得：12a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以双曲线方程为：2213y x -=.故答案为：2213y x -=14．75##1.4【解析】 【分析】求出b 及a b ⋅的值，利用公式a b b⋅求出a 在b 上的投影.【详解】因为1e ，2e 是互相垂直的单位向量，所以120e e ⋅=，则()2222121122349241625b e e e e e e =+=+⋅+=，所以5b =，而()()2212112122343747b e e e e e e a e e =⋅+=⋅++⋅+= 所以a 在b 上的投影为75a b b ⋅= 故答案为：7515．815【解析】 【分析】首先写出二项式的展开式，即可得到各项系数有4个奇数、2个偶数，再根据古典概型的概率公式计算可得；解：()531x +展开式的通项为()5153rr r T C x -+=，所以()()()()()()()55432101234555555531333333x C x C x C x C x C x C x +=+++++543224340527090151x x x x x =+++++，即()531x +的展开式各项的系数中，有4个奇数、2个偶数，现从中任取两个一共有2615C =种取法，其和为奇数的有11248C C =种结果； 故其和为奇数的概率815P = 故答案为：81516．674 【解析】 【分析】先得出当n 为奇数时，0n b =，当n 为偶数时，2n b =；当8n ≥时，{}n a 是以1,1,0进行周期循环，则当8n ≥时，数列{}n n a b 每3项的和为2，然后分前8项和从8项以后分别求和即可. 【详解】()11nn b =+-,则当n 为奇数时，0n b =，当n 为偶数时，2n b =12a =，21a =-，()()11211,,n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++⎧->⎪=⎨-<⎪⎩3123a a a =-=，4324a a a =-=，5431a a a =-=，6453a a a =-=7652a a a =-=，8671a a a =-=，9781a a a =-=，10980a a a =-=119101a a a =-=，1211101a a a =-=，1312110,a a a =-=当8n ≥时，{}n a 是以1,1,0进行周期循环.当8n ≥时，数列{}n n a b 每3项的和为2，余下的再单独相加.()()10002244668899100010002S a b a b a b a b a b a b =++++++100072862126626743-=-+++⨯=+=故答案为：674 17．(2)32【解析】 【分析】（1）通过A 点运动的路程，求出AOB ∠的大小，再借助余弦定理求AB 边长. （2）设出角度，分别表示1x 和2y ，借助倍角公式转化成二次函数的最值问题. (1)因为点A 运动的路程为23π，1OA =，所以23AOx π∠=，又2OB =，所以3BOx π∠=，3AOB π∠=，由余弦定理2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅⋅∠，所以AB (2)设2,AOx α∠=则BOx α∠=，所以(cos 2,sin 2)A αα，(2cos ,2sin )B αα，则212cos 22sin 2sin 2sin 1x y αααα+=+=-++2132sin 22α⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以当1sin 2α=时，12x y +取得最大值32.18．(1)1；. 【解析】 【分析】(1)连接BD ，证明EC ①平面P AB 得EC ①BD ，根据边长和角度关系可得CD ＝BE ； (2)以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可. (1)连接BD 交EC 于F ：①顶点P 在底面的投影为D ，①PD ①平面ABCD ，①EC ⊂平面ABCD ，①PD ①EC ， 又①EC ①PB ，PD ∩PB ＝P ，①EC ①平面P AB ，①BD ⊂平面P AB ，①EC ①B D. ①①ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，E 是AB 中点，①EC ＝EB ＝EA ＝BC ＝1，①三角形BEC 是等边三角形，①F 是EC 中点， 又①BE ①CD ，①易知①CDF ①①EBD ，①CD ＝BE ＝1； (2)连接AD ，则由(1)易知四边形ABCD 是等腰梯形，①ACB ＝①ADB ＝90°，故可以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DP 为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()0,0,0D ，()002P ,,，12C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 则()0,0,2DP =，12DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，122PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PCD 的法向量为()111,,m x y z =，则11120102m DP z m DC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取11y =，则()3,1,0m =，设平面EPC 的法向量为()222,,n xy z=，则22222212021202n PC x y z n PE x y z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取24y =，则(0,4,3n =，设二面角D －PC －E 的平面角为α， 则cos cos ,31m n m n m nα⋅====⋅+. 19．(1)选择容易题进行答题，理由见解析； (2)()172E X = 【解析】 【分析】（1）依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案：即都选择容易题，都选择难题，选择一个容易题、一个难题，分别求出总得分不低于10分的概率，即可判断；（2）依题意X 的可能取值为3、7、8、11、12、16，求出所对应的概率，即可得到分布列，再求出数学期望即可； (1)解：依题意甲前两轮都选择了中等题，则后两轮的选择还有三种方案： 方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为10.60.60.36P =⨯=； 方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为20.30.30.09P =⨯=； 方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为30.60.30.18P =⨯=；因为132P P P >>，所以后两轮应该选择容易题进行答题； (2)解：依题意X 的可能取值为3、7、8、11、12、16， 则1177(3)221040P X ==⨯⨯=，1177(7)2221020P X ==⨯⨯⨯=，1133(8)221040P X ==⨯⨯=，1177(11)221040P X ==⨯⨯=，1133(12)2221020P X ==⨯⨯⨯=，1133(16)221040P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：所以()777177811121640204040204023333E X +⨯⨯=⨯+⨯++⨯+⨯= 20．(1)单调递增区间为(0,)6π、5(,)6ππ，递减区间为5(,)66ππ；(2)证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）利用函数的导数性质进行求解即可；（2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可. (1) 当12a =时，()()'11cos sin 22f x x x f x x =+⇒=-， 当(0,)6x π∈时，()()'0,f x f x >单调递增，当5(,)66x ππ∈时，()()'0,f x f x <单调递减，当5(,)6x ππ∈时，()()'0,f x f x >单调递增， 所以函数的单调递增区间为(0,)6π、5(,)6ππ，递减区间为5(,)66ππ；(2)()()'cos sin f x ax x f x a x =+⇒=-，因为函数()f x 恰有两个极值点，所以方程()'sin 0f x a x =-=有两个不相等的实根，设为12,x x 且12x x <，因为函数sin y x =当0x π≤≤时图象关于直线2x π=对称，所以12x x π+=，即12sin sin x x a ==， 因为0x π≤≤，所以(0,1)a ∈，当1(0,)x x ∈时，()()'0,f x f x >单调递增，当12(,)x x x ∈时，()()'0,f x f x <单调递减，当2(,)x x π∈时，()()'0,f x f x >单调递增，所以12,x x 分别是函数的极大值点和极小值点， 即111()cos M f x ax x ==+，222()cos m f x ax x ==+，于是有112222(cos )(cos )M m ax x ax x -=+-+，因为12x x π+=，所以21x x π=-， 所以11233cos M m ax x a π-=+-，而1sin x a =， 所以111123sin 3cos sin M m x x x x π-=+-设11111()23sin 3cos sin h x M m x x x x π=-=+-，102x π<<，'11()(3)cos h x x x π=-，当103x π<<时，'11()0,()h x h x <单调递减， 当132x ππ<<时，'11()0,()h x h x >单调递增，所以当13x π=时，函数有最小值，即1min 3()()32h x h π==， 因此有13()2h x ≥，即322M m -≥. 【点睛】关键点睛：根据极值的定义，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性是解题的关键. 21．(1)1(2)229620x y x y +---= 【解析】 【分析】（1）根据面积求出等边三角形的边长，进而求出点A 的坐标，从而求出p 的值；（2）在第一问基础上，设出切线方程，联立后由根的判别式求出切线方程，从而得到切点坐标，设出外接圆方程，待定系数法求出答案. (1)如图，不妨设点A 在第一象限，由题意得：AC OC ⊥，且C 为AB ，设正三角形ABO 边长为a ，则12AC a =，OC ，则212OABSAB OC =⋅==a =所以(6,A ，将其代入抛物线方程，1212p =，解得：1p =(2)设过点()1,2P -的抛物线E 的切线方程为：()12x k y +=-，与抛物线22y x =联立得：22420y ky k -++=，由()244420k k ∆=-+=，解得：2k =2k =2y =5x =+2k =2y =5x =-(5M +，(5N -，设PMN 的外接圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，则有((((((((222214205252052520D E F D E F D E F ⎧+-++=⎪⎪++++++=⎨⎪⎪-++-++=⎩，解得：962D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以PMN 的外接圆的方程为：229620x y x y +---=.22．cos sin 60θρθ+-=，2y x(2)【解析】【分析】（1）消去参数，可得直线l 的直角坐标方程，再根据cos sin x y 将其化为极坐标即可；对2cos sin ρθθ=两边同时乘以ρ，在根据cos sin x y 即可求出曲线C 的普通方程；（2）由260y y x +-==⎪⎩求出)A，将其转化为极坐标3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据点B 的极坐标为4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据几何意义，利用面积公式，即可求出AOB 的面积. (1)解：由1,23x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）60y +-=， 所以直线lcos sin 60θρθ+-=，由2cos sin ρθθ=，得到()2cos sin ρθρθ= ，所以曲线C 的普通方程2y x ； (2)解：由260y y x +-==⎪⎩，解得3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩12x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 由于直线l 与曲线C 在直角坐标系第一象限交于点A，所以点)A，将点)A转化为极坐标为3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以=OA 由于点B 的极坐标为4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以4OB =，366AOB πππ∠=-=所以11sin 4sin 226OAB SOA OB AOB π=⋅⋅∠=⋅⋅= 23．(1)33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ (2)[]2,4【解析】【分析】（1）依题意可得113x x -++≤，再利用零点分段法分类讨论，分别计算可得； （2）将函数化为分段函数，画出函数草图，即可得到函数的最小值，依题意()min 312f x a ≤+， (1)解：当2a =时，()2222f x x x =-++，则()6f x ≤等价于113x x -++≤；则1113x x x ≥⎧⎨-++≤⎩或1113x x x ≤-⎧⎨-+--≤⎩或11113x x x -<<⎧⎨-+++≤⎩， 解得312x ≤≤或312x -≤≤-或11x -<< 综上可得3322x -≤≤，即原不等式的解集为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)解：因为2a ≥，所以()()()()222,222,222,2a x a x a a f x a x a x a a a x a x ⎧++-≥⎪⎪⎪=-++-<<⎨⎪⎪-++-≤-⎪⎩，函数图形如下所示：所以当2a ≥时，()min 24f x f a a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，由题意可知，问题转化为()min 312f x a ≤+，即4132a a a +≤+，因为，即26802a a a-+≤，解得24a ≤≤或0a <（舍去）， 综上所述：[]2,4a ∈；。
江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学参考答案
江西省重点中学协作体2024届高三第一次联考数学参考答案一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案BCDACBDC与丙比赛，丙输，131C 3⨯，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意.若丙全赢（概率是21()3）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢，否则甲的分数不小于6分，只有平或输，一平一输，概率是1221C ()3，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是23，两场均平，概率是21()3，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意，两场甲都输，概率是21()3，乙丁这场比赛只能平，概率是13.综上，概率为12122232511121118C ([C ()((]33333333⨯⨯⨯⨯⨯++⨯=，D 正确．8.【答案】C【详解】因为()3g x +为偶函数，()()1g x f x '=+，所以()()44f x f x ''+=-+，对(2)(2)4f x f x x +--=两边同时求导，得(2)(2)4f x f x ''++-=，所以有(4)()4(4)()4(4)()4(8)(),f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''++-=⇒-+-=⇒++=⇒+=所以函数()f x '的周期为8，在(2)(2)4f x f x ''++-=中，令0x =，所以(2)2f '=，因此()()()171822g f f ''===，因为()3g x +为偶函数，所以有()()()()()()()3373311g x g x g g x g x g ''=-⇒=--⇒=-'+-'+，()()()()()()()(8)()7171712f x f x g x g x g x g x g g ''''''+=⇒+=-⇒+=-⇒=-，由()()1,2可得：()70g '=，所以()()7172g g '+=.，B正确;BM的距离为定值，的距离为半径的圆锥上，截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即C错误；为半径的圆(如图)，易知11,,,DC NQ DC BQ NQ BQ Q NQ BQ ⊥⊥=⊂ 、平面BNQ ，∴1DC ⊥平面BNQ ，∵1DC ⊂平面1BDC ，∴平面1BDC ⊥平面BNQ ，而222232sin 311122NBNQB BQ∠===⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设NQ 与圆的交点分别为E，F(点E 位于点F，Q 之间，如上图所示)，易知当点A 分别位于点E，F 时，点A 到平面1BDC 的距离分别取到最小值和最大值，且距离的最小值min 2231sin 1223d NQB ⎛⎫⎛⎫=-⋅∠=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，距离的最大值max 2231sin 1223d NQB ⎛⎫⎛⎫=+⋅∠=+⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵1BDC 的面积()2132sin 6022S =⋅⋅=，min max 1323121323121,132236123223612V V ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-⋅=-=⋅⋅+⋅=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选项D 正确．综上，正确选项为ABD．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】24【详解】二项式6)(y x +的展开式通项公式为*-+∈≤=N r r y xC T r rr r ,6,661，当4=r 时，424246515y x y x C T ==，当5=r 时，5515666xy y x C T ==，因此展开式中含42y x 的项为4254224(6152y x yxxy y x =-⋅+⋅，故所求系数为24.13.【答案】(]4,∞-.14.【答案】12220242023-.四、解答题：本大题共5小题，共77分.15.(13分)解(1)由题可得：CD=2BD，故33232==∆∆ABC ACD S S …………………2分又ADCCDADS ACD∠⋅⋅=∆sin21,即33223121=⨯⨯⨯CD，38=∴CD，即34=BD………………4分在ABD∆中，根据余弦定理得ADBBDADADBDAB∠⋅⋅-+=cos2222即21341219162⨯⨯⨯++=AB…………………6分337=∴AB，即337=c，…………………7分(2)BDCD2=，ACABAD3132+=∴…………………8分ACABACABAD⋅++=∴949194222，即BACbcbc∠⋅++=cos94994122又11422=+cb，21cos-=∠⋅∴BACbc①…………………11分又3sin21=∠⋅BACbc②，由①②得：34tan-=∠BAC…………………12分734sin=∠∴BAC…………………13分16.(15分)(1)证明：在ACD∆中222cos222=⋅-+=∠ADACCDADACCAD，︒=∠∴45CAD………1分过点D作DO⊥AC于点O，连接BO，则345sin=︒⋅=ADDOCBCDADAB==，，∴ABC∆≌ADC∆，即OD=OB=3………………3分又OBODBDODOBBD⊥∴=+∴=，，22223又OD⊥AC，ABCODCOB平面，⊥∴=OA………………5分又，平面ACDOD⊂∴平面ACD⊥平面ABC…………………6分(2)由(1)知，OA、OB、OD两两垂直，以O为原点建立坐标系xyzO-，)0,0,4()3,0,0()0,3,0()0,0,3(-CDBA，，，，)43,0,3(4CD-∴=ECE，………………8分设),,(zyxn=是平面ABE的一个法向量则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅43633zxyxAEnABn811===zyx，，则令，)8,1,1(=∴n…………………12分而)1,0,0(=m是平面ABC的一个法向量，33664||||cos=⋅>=⋅<∴nmnmnm (14)分设二面角C AB E --平面角的大小为θ，则82tan =θ82的正切值为二面角C AB E --∴………………15分17.(15分)解(1)设),(11y x C ，由题可知，BN AM BC AC k k k k ⋅=⋅………………2分又27N M BNAM yy k k =⋅，由93321211111-=-⋅+=⋅x y x y x y k k BC AC …………………4分上在点E y x C )(11 ，1592121=+∴y x ，∴95-=⋅BC AC k k …………………5分15-=⋅∴N M y y ………………6分（2)由题可知，直线MA 的方程为：)3(9+=x yy M 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=4595)3(922y x x y y M 可得：040596)45(2222M =-+++M M y x y x y )4059)(45(436222-+-=∆∴M M M y y y =45>0………………7分2214540593MM y y x +-=- ，∴221451353MM y y x ++-=………………8分又)3(911+=x y y M，214530MM y y y +=∴，）（2224530,451353M M M M y y y y C +++-∴同理可得点D 的坐标为）（222510,5153MMM M y y y y +-+-………………9分(i)当直线CD 垂直于x 轴时，D C x x =，即22225153451353MM M M y y y y +-=++-,152=∴M y 23==∴D C x x ，此时直线CD 的方程为23=x ………………10分(ii)当直线CD 不垂直于x 轴时，22222251534513535104530M M M M M MM M CD y y y y y y y y k +--++-+++=67533002043+-+=M MM y y y ………………11分故直线CD 的方程为（224325153675330020510MM M M M MM y y x y y y y y y +--+-+=++………………12分令y=0，则（224225153675330251MM MM My y x y y y +--+-+=+整理得231504022256032424=++++=MMMMyyyyx，此时直线CD经过定点)0,23(……………14分综上，直线CD经过定点)0,23(………………15分另解：(ii)当直线CD不垂直于x轴时，由对称性知定点在x轴上，设)0,(tQ由C、D、Q三点共线知=-++-+tyyyyMMMM2224513534530tyyyyMMMM-+--+-2225153510化简得：()06090462=-+-tyt M，则23=t此时直线CD经过定点)0,23(……………14分综上，直线CD经过定点)0,23(………………15分解法二：(1)设),(11yxC，则),9()3(11MyAMyxAC=+=，，，∵A、C、M三点共线，∴3911+=xyy M，…………………2分同理：3311-=xyy N，∴9272121-=⋅xyyy NM…………………4分又点),(11yxC在曲线E上，∴1592121=+yx，代入上式得：15-=⋅NMyy………………6分(2)由ACBMMBMMACkkykyk339===得又95331111-=-⋅+=⋅xyxykk BCAC，∴353-=⋅=⋅ACBCBDBCkkkk…………………8分由题可得直线CD显然不与x轴平行设直线CD的方程为：),(),()3(2211yxDyxCnnmyx，，±≠+=由⎪⎩⎪⎨⎧=++=459522yxnmyx得045510)95(222=-+++nmnyym…………………9分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+>∆9545595102221221mnyymmnyy得由…………………11分又332211-⋅-=⋅xyxykk BDBC)3)(3(2121-+-+⋅=nmynmyyy96)(3)(2212121221+-++-++⋅=nnyymyymny ymyy8154945522+--=nnn…………………13分由)(323358154945522舍去或得==-=+--n n n n n …………………14分∴直线CD：23+=my x ，∴直线CD 经过定点)0,23(…………………15分18.(17分)解(1)若n=2，X 的取值为0，1，2，Y 的取值为0，1，2，…………………1分则P （X=0，Y=0）=91312=，…………………2分P （X=0，Y=1）=，92313112=⨯⨯C …………………3分P （X=0，Y=2）=91312=，P （X=1，Y=0）=92313112=⨯⨯C …………………4分P （X=1，Y=1）=，92313112=⨯⨯C P （X=2，Y=0）=91312=…………………5分P （X=1，Y=2）=P （X=2，Y=1）=P （X=2，Y=2）=0…………………6分故（X ，Y ）的联合分布列为（X ，Y ）01209192911929202910…………………7分(2)当，时0),(,===>+m Y k X P n m k …………………9分故∑∑∑-=--==⋅=======kn m nm k n k n k n m n m k C C m Y k X P m Y k X P p 031),(),(…………………11分=k n k k nkn m k n nknm kn nk nC C C C --=--==∑)32(31(2330…………………13分所以]32(31([00kn k nk nk k n k kC kp -==∑∑=，…………………15分由二项分布的期望公式可得∑==nk k nkp 03.…………………17分19.(17分)解(1)若1a =-，则()2ln 21f x x x x =++，所以()ln 14f x x x '=++，所以()1145f '=+=，又()1213f =+=，………………2分所以()f x 的图象在1x =处的切线方程为()351y x -=-，即520x y --=.………………3分(2)(i)由题意知()ln 14f x x ax '=+-.令()()ln 41g x f x x ax '==-+，则()14g x a x'=-.因为()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，所以()0g x =有两个不等正实根1x ，()212x x x <.若0≤a ，()0g x '>，则()g x 在()0,+∞上递增，所以()g x 在()0,+∞上至多有一个零点，不符合题意；………………5分若0a >，令()0g x '=，解得14x a=，所以当104x a <<时，()0g x '>，当14x a >时，()0g x '<，所以()g x 在10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,4a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减.所以14x a =时，()g x 取得极大值，即最大值为()1ln 44g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，………………6分所以()1ln 404g a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解得104a <<.………………7分当104a <<时，104g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又140e e a g -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以1104e g g a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在性定理知：存在唯一的111,e 4x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10g x =.………………8分又2221114ln 412ln 1g a a a a a a ⎛⎫=-⋅+=--+ ⎪⎝⎭，令()42ln 1x x x μ=--+，所以()222442xx x x x μ-'=-+=，所以当02x <<时，()0x μ'>，当2x >时，()0x μ'<，所以()x μ在()0,2上递增，在()2,+∞上递减，所以()()42ln 122ln 210a a aμμ=--+=--<≤，所以210g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以21104g g a a ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由零点存在性定理知：存在唯一的2211,4x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()20g x =.………………10分所以当104a <<时，()0g x =有两个不等正实根1x ，2x .综上，a 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭.………………11分(ii)证明：由①知104a <<，且12104x x a <<<，所以114a>，因为()g x 在10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，及()1140g a =->，所以11x <，…………………12分又214x a >，所以21114x x a->-.………………13分因为()10g x =，()20g x =，所以11ln 410x ax -+=，22ln 410x ax -+=，所以()1212ln ln 4x x a x x -=-，所以121214ln ln x x a x x -=-.………………14分令()()()21ln 011x h x x x x -=-<<+，所以()()()()222114011x h x x x x x -'=-=>++，所以()h x 在()0,1上递增，因为12x x <，所以121x x <，所以()1210x h h x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-<+，所以121212ln ln 2x x x x x x -+<-，………………16分所以12121214ln ln 2x x x x a x x -+=<-，即1212x x a+>.所以()()211221111322222x x x x x x a a a-=++->+-=-.………………17分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江西省十所重点中学2010届高三第一次模拟考试数学理总分150分 时间：120分钟 主命题：贵溪一中 陈庆波 丁国富副命题:赣州三中 邓魁甲 王泽平 临川二中:周志如审核 苑娜娜一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填在答题卡相空格内。
） 1.复数1ii+在复平面内的对应点到原点的距离为 （ ）A ．12B C ．1D2.已知集合{}{}2(,)|,,(,)|||,A x y y x x R B x y y x x R ==∈==∈，则A B I 中的元素个数为 ( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 33.已知函数y=2sinx 的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则b-a 的值不可能是 （ ）A.65π B.πC.67π D.π24.已知数列{}n a 的通项公式为248(2)4n a n =+-，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则与98S 最接近的整数是 （ ） A 20 B 21 C 24 D 255.已知R b a ∈,，若关于x 的方程02=+-b ax x 的实根1x 和2x 满足-1≤1x ≤1,1≤2x ≤2，则在平面直角坐标系aOb 中，点(b a ,)所表示的区域内的点P 到曲线1)2()3(22=-++b a 上的点Q 的距离|PQ|的最小值为 ( ) A ．32-1 B ．22-1 C ．32+1 D ．22+16.在平行四边形ABCD 中,042,022=-+=•→→→→BD AB BD AB 且,沿BD 折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A-BCD 的外接球的表面积是 ( ) A.16π B. 8π C. 4π D. 2π7.给出下列命题：①若,,a b R a b +∈≠，则3322a b a b ab +>+.②若,,a b R a b +∈<，则a m ab m b+<+③若,,,a b c R +∈则bc ac aba b c a b c++≥++.④若31,x y +=则114x y +≥+ 其中正确命题的个数为 （ ） A.1个B.2个C.3个D.4个8.已知222lim 2x x cx a x →++=-，且函数ln by a x c x=++在(1,)e 上具有单调性，则b 的取值范围是( )A ．(,1][,)e -∞+∞UB ．(,0][,)e -∞+∞UC ．(,]e -∞D ．[1,]e9.已知集合{1,2,3,4}A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意i A ∈，i i f ≠)(.设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任意一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为 ( ) A ．216B ．108C ．48D ．2410.已知：如图：平面上两点P （0，1）、Q （3，6），在直线y = x 上取两点M 、N ，使||MN =（a > 0，a 为常数）且使||||||PM MN NQ ++的值取最小，则N 的坐标为 （ ）A ．） B ．（a ，a ）C ．（314a +，314a +）D ．（3324a +，3324a +）11.设2122601212(2)(2)...(2)(22)a a x a x a x x x +++++++=--,其中(0,1,2...12)i a i = 为常数，则234512261220...132a a a a a +++++= （ ） A. 492 B. 482 C. 452 D.472 12.定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：)1()()(xyy x f y f x f --=-；当)0,1(,-∈y x 时，有0)(>x f ； 若),21(),1200920091()11()111()51(22f Q f r r f f f P =-+++-++++=ΛΛ, x),21(),1200920091(2f Q f =-++ R ＝f(0)；则P,Q,R 的大小关系为 ( )A.R>Q>PB. P>R>QC. R>P>QD.不能确定二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
请将正确答案填写在答题卡相应横线上。
） 13.某中学高三年级共有学生1200人,一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100,δ2),统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的31,则此次考试成绩不低于120分的学生约有 人;14.设点O 在△ABC 的外部,且→→→→=--032OC OB OA ,则OBC ABC S S ∆∆:= ; 15.当θ取遍所有值时，直线cos sin 4)4x y πθθθ⋅+⋅=++所围成的图形面积为 ;16.正ABC ∆的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是AED ∆绕边DE 旋转过程中的一个图形，给出四个命题：①动点'A 在ABC 平面上的射影在线段AF 上； ②恒有BCED GF 平面平面⊥'A ; ③三棱锥FED A -'的体积有最大值; ④异面直线E A '与BD 不可能垂直． 以上正确的命题序号是 ;三、解答题（本大题共6小题，其中第17-21小题每题12分，第22小题14分，共74分） 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、的对边的边长分别为a c 、b 、且a c 、b 、成等比数列. 1)求角B 的取值范围;2)若关于B 的不等式0)24cos()24sin(42cos >+++-m B B B ππ恒成立，求m 的取值范围.18.(本小题满分12分)某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核。
若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为81的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过21，且他直到第二次考核才合格的概率为329。
1）求小李第一次参加考核就合格的概率1p ；2）求小李参加考核的次数ξ的分布列和数学期望。
19.（本小题满分12分）如图，棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于2，60ABC ∠=o ，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=o 。
（1）证明：1BD AA ⊥；（2）求二面角1D AA C --的平面角的余弦值； （3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由。
20.（本小题满分12分）已知函数221()ln(1),().1f x xg x a x =+=+- 1)求()g x 在2,(2))P g 处的切线方程;l 2)求方程()()f x g x =的根的个数.21.(本小题满分12分)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B两点. 1）若点A 在圆222c y x=+（c 为椭圆的半焦距）上，且|F 1A |=c ，求椭圆的离心率；2）若函数)10(log 2≠>+=m m x y m 且的图象，无论m 为何值时恒过定点（b ，a ），求F F 22⋅的取值范围。
22.(本小题满分14分)已知数列}{n a 中，)20(2cos 1πθθ≤≤=a ，*)(211N n a a nn ∈+=+. (1)求32,a a ;(2)求}{n a 的通项公式; (3)设S n 为数列}2{n a -π的前n 项和,证明:2θ≥n S .江西省十所重点中学2010届高三年级第一次联考（理科）数学试卷答题卡一、选择题二、填空题13、 ；14、 ；15、 ；16、 ； 三、解答题17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、的对边的边长分别为a c 、b 、且a c 、b 、成等比数列. 1)求角B 的取值范围;2)若关于B 的不等式0)24cos()24sin(42cos >+++-m B B B ππ恒成立，求m 的取值范围.18.(本小题满分12分)某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核。
若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为81的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过21，且他直到第二次考核才合格的概率为329。
1）求小李第一次参加考核就合格的概率1p ；2）求小李参加考核的次数ξ的分布列和数学期望。
如图，棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都等于2，60ABC ∠=o ，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=o 。
（1）证明：1BD AA ⊥；（2）求二面角1D AA C --的平面角的余弦值； （3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由。
20.（本小题满分12分）已知函数221()ln(1),().1f x xg x a x =+=+- 1)求()g x 在2,(2))P g 处的切线方程;l 2)求方程()()f x g x =的根的个数.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 与椭圆交于A 、B两点. 1）若点A 在圆222c y x=+（c 为椭圆的半焦距）上，且|F 1A |=c ，求椭圆的离心率；2）若函数)10(log 2≠>+=m m x y m 且的图象，无论m 为何值时恒过定点（b ，a ），求F F 22⋅的取值范围。
22.(本小题满分14分)已知数列}{n a 中，)20(2cos 1πθθ≤≤=a ，*)(211N n a a nn ∈+=+. (1)求32,a a ;(2)求}{n a 的通项公式; (3)设S n 为数列}2{n a -π的前n 项和,证明:2θ≥n S .江西省十所重点中学2010届高三年级第一次联考(理科）数学试卷答案主命题：贵溪一中 陈庆波 丁国富 副命题:赣州三中 邓魁甲 王泽平 临川二中:周志如 一、选择题 BDDDA CBAAD AC1.答案:B 解析：i i i i i i 21211122+=--=+对应点为)21,21( 2.答案:D解析：A （0，0） B （-1，1） C （1，1）3.答案:D 解析:值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选D4.答案:D 解析:9811111112()2512()499100101102n a s n n =-∴=-++++5.答案:A解析:;022;01;0)1()1(222≥+-≤+-≥+---b a b a b a 由线性规划求出距离的最小值；6.答案:C 解析:折成直二面角后，AC 为外接球直径，42)2(2222222=+=++==BD AB CD BD AB AC R ，R 2=1，S=4πr 2=4π； 7.答案:B 解析:;0)()()()(22233>+-=+-+b a b a ab b a b a 所以①为真； m 的正负未知故②不能确定；a cab b ac b c ab a bc c b ac a bc 2;2;2≥+≥+≥+，三式相加故③为真；x,y 正负未知，故④不成立；8.答案:A解析: 由222lim 2x x cx a x →++=-得c=-3,a=1; 由ln b y a x c x=++求导：),1(012e b x xbx ∉=⇒=-，故选A 9.答案:A解析:4321a a a a 共有44A 种排列，对其中任意一种排列)(i a f 都有9种情况。