2016-2017学年湖南长郡中学高二上期中数学(理)试卷
湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)答案
一# 选择题$ 本大题共" 每小题$分% 共% #个小题% #分 ! " & '! ( & ) $ & *! % & +! # & ) , & +! & '! . & *! / & ) " 0 & + ! ! ! " ( & ) " $ & *! " % & '! " # & + " " & *! ! 二# 填空题$ 本大题共#小题% 每小题$分% 共" #分 ! (% $ " $ % $槡 ( ! % " " , ! ( 0 " ! 0 " " . ! " / ! ! ( 0 ! !$槡 ! ! ! ! " , ( ( ( ( 说明# 证明过程或演算步骤! & 解 析' ! 由! ( " ! "" 0 ! 0 0 (10 ! 0 0 /#10 ! 0 " "10 ! 0 " (#1"10 ! 0 0 #1 " % 0 ! 0 0 (# 2 ( 0 3 "得 $ "3 0 ! 0 0 -# 所以直方图中" 的值是0 ! 0 0 -# ! (分" ( 0 1 ( % 0 ! " 月平均用电量的众数为( % ( 3 ( $ 0 ( " % 4! 0 ! 0 0 ( 1 0 ! 0 0 /# 1 0 ! 0 " " 2 ( 0 3 0 ! % # 0 ! # # % " 内% 设中位数为 #% 由! 5月平均用电量的中位数在 ( ( ( 0 ( % 0 0 ! 0 0 (1 " " % 得#3 0 ! 0 0 /# 1 0 ! 0 " " 2 ( 0 1 0 ! 0 " ( # 2! #! ( ( 0 3 0 ! # ( ( % ! 即月平均用电量的中位数为( ( % ! ! #分" ! " 月平均用电量为( % " 的用户有 0 月 $ ( ( 0 ( % 0 ! 0 " (# 2 ( 0 2 " 0 0 3 ( # 户% 平均用电量为( % " 的用户有 0 月平均 ( % 0 ( , 0 ! 0 0 -#2( 02" 0 03" # 户% % " 的用户有0 月平均用电量 用电量为( ( , 0 ( . 0 ! 0 0 #2( 02" 0 03" 0 户% 为( % 的用户有0 抽取比例为 ( . 0 $ 0 0" ! 0 0 (#2( 02" 0 03# 户% " " " 3 % ( # 1 " # 1 " 0 1 # # % " 的用户中应抽取( 5月平均用电量为( ( ( 0 ( % 0 # 2 " 3 #户! #
【全国百强校】湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期第二次模块检测理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“数列{}n a 前n 项和是2n S An Bn =+的形式，则数列{}n a 为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0 【答案】C 【解析】考点：四种命题的真假判定． 2.下列说法正确的是（ ）A ．“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件B ．命题“0x R ∃∈，2010x +<”的否定是“2,10x R x ∀∈+>”C ．关于x 的方程()2120x a x a +++-=的两实根异号的充要条件是1a <D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，对于A 中，如“23>-”，而“222(3)<-”，所以不正确；对于B 中，命题“0x R ∃∈，2010x +<”的否定是“2,10x R x ∀∈+≥”，所以不正确；对于C 中，关于x 的方程()2120x a x a +++-=的两实根异号，则1220x x a =-<，即2a <，所以不正确， 对于D 中，“在ABC ∆中，由正弦定理可得，若sin sin A B a b A B >⇒>⇒>”是正确的，故选D ． 考点：命题的真假判定．3.某工厂生产A B C 、、三种不同型号的产品，其产品的数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为（ ）A ．100B ．90C ．80D ．60 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，三种型号的产品中，产品的数量之比依次为2:3:5，所以可得162235n =++，解得80n =，故选C ．考点：分层抽样．4.设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ） A ．14-B ．2C ．4D ．12- 【答案】C 【解析】考点：利用导数研究曲线在某点的切线的斜率．5.在Excel 中产生[]0,1区间上均匀随机数的函数为“()rand ”，在用计算机模拟估计函数sin y x =的图像、直线2x π=和x 轴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上部分围成的图形面积时，随机点()11,a b 与该区域内的点(),a b 的坐标变换公式为（ ） A ．11,2a ab b π=+= B ．()()1120.5,20.5a a b b =-=-C ．[]0,,0,12a b π⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦D ．11,2a a b b π== 【答案】D 【解析】试题分析：注意到0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的区间的长度为[]0,1的区间长度的2π倍，所以1a 与a 的关系式为12a a π=，因为10,2a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11sin b a =，所以1b 的取值范围为[]0,1，则1b b =，故选D ．考点：随机数的含义与应用．6.甲、乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲、乙两人的平均数与中位数分别相等，则:x y 为（ ）A ．3:2B ．2:3C ．3:1或5:3D ．3:2或7:5 【答案】D 【解析】考点：茎叶图的应用．7.已知命题*11:,23x xp x N ⎛⎫⎛⎫∀∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；命题*1:x N ,22x x q -∃∈+=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝ 【答案】C 【解析】试题分析：根据指数函数的图象可知，命题*11:,23x xp x N ⎛⎫⎛⎫∀∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是真命题，又122222x x x x -+=+≥=，当且仅当222xx =，即x =是等号是成立的，所以命题q 为假命题，则q ⌝为真命题，所以()p q ∧⌝为真命题，故选C ． 考点：复合命题的真假判定．8.已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x R ∈，都有()23x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()3f 的值是（ ） A ．3 B ．7 C ．9 D ．12 【答案】C 【解析】考点：抽象函数的应用及函数值的求解．9.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线与,A B 两点，若()22,FA FB OA OB OB ==，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 【答案】C 【解析】试题分析：因为()2OA OB OB =，所以()0OA OB OA -=，所以0OA AB = ,因为2FA FB = ，所以B 为FA 的中点，所以060BOF AOB AOx ∠=∠=∠=，所以0tan 60ba==，所以双曲线的离心率为2e ==，故选C ．考点：双曲线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质的求解，其中解答中涉及到双曲线的离心率的求解、向量的运算，正切函数的求值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，解答中根据向量的运算，得到060AOx ∠=，即ba=是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．10.已知函数()234201712342017x x x x f x x =+-+-++ 设()()4F x f x =+，且函数()F x 的零点均在区间[](),,,a b a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】A 【解析】考点：导数在函数中的应用． 11.关于曲线22:1C xy --+=的下列说法：（1）C 关于直线0x y +=对称；（2）C 是封闭图形，面积大于2π；（3）C 不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；（4）原点到曲线的距离的最小值为4；（5）C 与曲线:D x y += ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：将方程中的,x y 换成,y x --方程不变，所以曲线22:1C x y --+=关于直线0x y +=对称，所以①是正确的；因为曲线22:1C xy --+=不是封闭图形，与坐标轴没有公共点，所以②不正确；曲线22:1C x y --+=与圆222x y +=联立无解，所以没有公共点，所以③是正确的；由曲线上点(,)P x y 到原点的距离为2422222211x x PO x y x x x =+=+=--，可得最小值为2，所以④不正确；由0,0x y >>时，曲线:D x y +=与曲线22:1C xy --+=只有一个公共点，根据对称性可得与曲线:D x y +=B ．考点：曲线与方程．【方法点晴】本题主要考查了曲线与方程问题，其中解答中考查两点间的距离公式，曲线的对称性，两曲线的位置关系的判定，以及曲线的形状等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中紧紧把握曲线221x y --+=的特征，利用曲线的性质是解答的关键，试题抽象性强，思维难度大，属于中档试题．12.已知函数()()3lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的函数()()21y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．172,4⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】考点：函数的零点的判定及应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点的判定及应用问题，其中解答中涉及到对数函数的图象与性质、二次函数的图象与性质的应用，试题思维量大，有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用，解答中正确作出分段函数的图象，合理转化为一元二次方程根的分别是解答的关键．第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．）13.如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为_____________．【答案】1 6【解析】考点：几何概型及其概率的计算．14.双曲线2213yx-=的右焦点为,F O，为坐标原点，以F为圆心，FO为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A B、（不同于O点），则AB=_____________．【答案】【解析】试题分析：由题意得，双曲线的右焦点(2,0)F，所以以F为圆心，FO为半径的圆的方程为22 (2)4 x y-+=，其中两条渐近线的方程为y=，联立22(2)4yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得A，同理得(1,B，所以AB=．考点：双曲线的几何性质；直线与圆的位置关系．15.已知函数()()233xf x x x e=-+ ，设2t>-，函数()f x在[]2,t-上为单调函数时，则t的最大值为_____________． 【答案】0 【解析】考点：利用导数研究函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查了导数的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、导数与函数的单调性的关系、导数的四则运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中正确求解函数的导数和掌握导数与函数的单调性的关系是解答的关键，属于中档试题．16.已知椭圆221,4y x A B +=、是椭圆的左右顶点，P 是椭圆上不与A B 、重合的一点，PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，则()()cos cos αβαβ-=+_____________．【答案】35- 【解析】试题分析：设(cos ,2sin )P θθ，所以2sin 2sin tan ,tan cos 1cos 1θθαβθθ==+-，所以 2sin 2sin tan tan 4cos 1cos 1θθαβθθ=⋅=+-，则()()cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-+=+- 1tan tan 1431tan tan 145αβαβ+-===-++．考点：椭圆的方程的应用；三角函数的化简求值．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程及三角函数的化简求值，其中解答中涉及到椭圆的参数方程的应用、三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据椭圆的参数方程，得出tan tan αβ的值是解答关键，试题涉及新颖，属于中档试题．三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题8分）设:p 实数a 满足不等式39a≤，:q 函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点．（1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）已知“p q ∧”为真命题，并记为r ，且211:2022t a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若r 是t ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}|15a a a <≤或2<；（2）312m ≤≤． 【解析】试题分析：（1）由题意得，求解命题:2p a ≤，命题:15q a ≤≤，根据“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，得命题p 与q 只有一个命题是真命题，分类讨论，即可求解实数a 的取值范围；（2）由“p q ∧”真命题，得出21215a a a ≤⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩，求得关于a 一元二次不等式的解集，再由r 是t ⌝的必要不充分条件，即可求解实数m 的取值范围．（1）∵“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，∴p 与q 只有一个命题是真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 若p 为真命题，q 为假命题，则215a a a ≤⎧⎨<>⎩或1a ⇒<；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分若q 为真命题，p 为假命题，则22515a a a >⎧⇒<≤⎨≤≤⎩，于是，实数a 的取值范围为{}|15a a a <≤或2<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分∵r 是t ⌝的必要不充分条件，即t ⌝是r 的充分不必要条件，∴1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得312m ≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 考点：命题的真假判定及应用． 18.（本小题8分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图2．（1）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）045． 【解析】试题分析：（1）由平面ADEF ⊥平面ABCD ，证得ED AD ⊥，得到ED ⊥平面ABCD ，进而得到ED BC ⊥，在直角梯形ABCD 中，利用勾股定理得BC BD ⊥，利用线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面BDE ．即可证明平面BDE ⊥平面BEC ；（也可建立空间直角坐标系利用向量法证明）（2）根据几何体的结构特征和线面位置关系，得到以EGD ∠是平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的平面角，即可求解平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小．（也可利用空间向量法，利用平面ABCD 与平面EFB 的法向量所成的角，求解二面角的大小）．所以222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又,ED BD ⊂平面,BDE ED BD D = ，所以BC ⊥平面BDE ．而BC ⊂平面EC B , …………………….4分.（法二）同法一，得ED ABCD ⊥ ， 以D 为原点，,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,1D B C E ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分所以()()()1,1,0,1,1,0,0,0,1BC DB DE =-==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分()1111000BC DB =-⨯+⨯+⨯= ，()1010010BC DE =-⨯+⨯+⨯= ，所以,BC DB BC DE ⊥⊥ ，．．．．．．．．．．．．．．．3分又,DB DE 不共线，,DE DB ⊂平面BDE ，所以BC ⊥平面BDE ，而BC ⊂平面BEC ，所以平面BDE ⊥平面BEC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分又//AB DG ，且1,2AB CD ==，所以G 为CD 中点，ABGD 也为正方形，易知BG ⊥平面ECD ，所以,BG EG BG DG ⊥⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以EGD ∠是平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的平面角，而045EGD ∠=，所以平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角为45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（法二）由（1）知，平面ABCD 的一个法向量是()0,0,1m =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 设平面EFB 的一个法向量为(),,n x y z =，考点：平面与平面垂直的判定；二面角的求解．19.（本小题10分）双曲线()22122:10,b 0x y C a a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =；点P 是圆222x y a +=上的动点，作PD x ⊥轴于D ，且DM DP = ． （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）设直线y kx m =+与轨迹2C 相交于不同的两点A B 、，是否存在过点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ，使得点A B 、关于l 对称，如果存在，求实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212015x y +=；（2）当0k =时，(m ∈，当0k ≠时，3,102m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）由题意得，列出方程组，求得a =，在由DM = 化简，即可求得求点M 的轨迹2C 的方程；（2）由2234600y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 整理得()()2223484150k x kmx m +++-=，由∴0∆>， 整理得222015k m >-，设AB 的中点()00,Q x y ，则02434km x k =-+，2334m y k =+，根据对称，化简得2234m k =+，代入上式，即可求解实数m 的取值范围．（2）由2234600y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩， 消去y 整理得()()2223484150k x kmx m +++-=．．．．．．．．．．．．．．．5分∴()()()22284344150km k m ∆=-+⨯->，整理得：222015k m >-，①令()()1122,,,A x y B x y ，则()122212283441534km x x k m x x k ⎧+==-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设AB 的中点()00,Q x y ，则()012214234km x x x k =+=-+， ()()1212021132234m y y y kx m kx m m kx k =+=+++=+=+， ①当0k =时，由题知，(m ∈．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ②当0k ≠时，直线l 的方程为112y x k+=-， 由()00,Q x y 在直线l 上，得2231434234m m k k +=++， 化简得2234m k =+，②把②式代入①中，可得()252315m m ->-，解得010m <<， 又由②得22340m k -=>，解得32m >，所以3102m <<．．．．．．．．．．．．．．9分 综上，当0k =时，(m ∈；当0k ≠时，3,102m ⎛⎫∈⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系的应用． 【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆锥曲线的位置关系、以及中点公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，解答中把直线的方程和圆锥曲线的方程联立，转化为利用方程的根与系数的关系是解答的关键，试题运算量大，思维深度大，属于难题．20.（本小题10分）已知函数()()2ln 1f x ax x =++．（1）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在00x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围； （3）求证：()()1248211112335592121n n n e -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（其中*,n N e ∈，是自然对数的底数）．【答案】（1）单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,+∞；（2）(],0-∞；（3）证明见解析．【解析】知，当0a =时，ln(1)x x +≤在[0,)+∞上恒成立，利用次不等式，对所要证明的不是进行放缩，从而进行证明．试题解析：（1）当14a =-时，()()()21ln 114f x x x x =-++>-， ()()()()()211112121x x f x x x x x +-'=-+=->-++， 由()0f x '>解得11x -<<，由()0f x '<解得1x >，故函数()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．2分②当0a >时，由()()22101x ax a g x x +-⎡⎤⎣⎦'==+， 因为[)0,x ∈+∞，所以0x =或112x a =-， ①若1102a -≤，即12a ≥时，在区间()0,+∞上，()0g x '>，则函数()g x 在()0,+∞上单调递增，()g x 在[)0,+∞上无最大值（或：当x →+∞时，()g x →+∞），此时不满足条件；②若1102a ->，即102a <<时，函数()g x 在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，同样()g x 在[)0,+∞上无最大值，不满足条件．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分③当0a <时，由()()2211x ax a g x x +-⎡⎤⎣⎦'=+，∵[)0,x ∈+∞，∴()2210ax a +-<，∴()0g x '<，故函数()g x 在[)0,+∞上单调递减，故()()00g x g ≤=成立，综上所述，实数a 的取值范围是(],0-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．7分.()()124822335592121nn n -<++++⨯⨯⨯++ ， 111111111112212335592121221n n n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， ∴()()1248211112335592121n n n e -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 考点：导数在函数中的综合应用；不等式的证明．【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用及不等式的证明，其中解答中涉及到导数的运算、利用导数研究函数的单调性以及求解函数的极值与最值、函数的恒成立问题的求解——分离参数和新函数的构造与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与分离、构造思想的应用，试题难度较大，属于难题，此类问题解答中多次用到转化思想和构造新函数的应用，平时注意总结和积累．：。
【全国百强校】湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期第二次模块检测理数试题(原卷版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“数列{}n a 前n 项和是2n S An Bn =+的形式，则数列{}n a 为等差数列”的逆命题，否命题，逆否命题这三个命题中，真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0 2.下列说法正确的是（ ）A ．“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件B ．命题“0x R ∃∈，2010x +<”的否定是“2,10x R x ∀∈+>”C ．关于x 的方程()2120x a x a +++-=的两实根异号的充要条件是1a <D ．命题“在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >”的逆命题为真命题3.某工厂生产A B C 、、三种不同型号的产品，其产品的数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为（ ）A ．100B ．90C ．80D ．604.设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ） A ．14-B ．2C ．4D ．12- 5.在Excel 中产生[]0,1区间上均匀随机数的函数为“()rand ”，在用计算机模拟估计函数sin y x =的图像、直线2x π=和x 轴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上部分围成的图形面积时，随机点()11,a b 与该区域内的点(),a b 的坐标变换公式为（ ） A ．11,2a ab b π=+= B ．()()1120.5,20.5a a b b =-=-C ．[]0,,0,12a b π⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦D ．11,2a a b b π== 6.甲、乙两名篮球运动员近几场比赛得分统计成茎叶图如图，甲、乙两人的平均数与中位数分别相等，则:x y为（ ）A ．3:2B ．2:3C ．3:1或5:3D ．3:2或7:57.已知命题*11:,23x xp x N ⎛⎫⎛⎫∀∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；命题*1:x N ,22x x q -∃∈+=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8.已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x R ∈，都有()23xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()3f 的值是（ ） A ．3 B ．7 C ．9 D ．129.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作直线交双曲线的两条渐近线与,A B 两点，若()22,FA FB OA OB OB ==，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D10.已知函数()234201712342017x x x x f x x =+-+-++设()()4F x f x =+，且函数()F x 的零点均在区间[](),,,a b a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 11.关于曲线22:1C xy --+=的下列说法：（1）C 关于直线0x y +=对称；（2）C 是封闭图形，面积大于2π；（3）C 不是封闭图形，与圆222x y+=无公共点；（4）原点到曲线的距离的最小值为4；（5）C 与曲线:D x y += ）A ．2B ．3C ．4D ．512.已知函数()()3lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的函数()()21y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．172,4⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，满分16分．）13.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为_____________．14.双曲线2213y x -=的右焦点为,F O ，为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与此双曲线的两条渐近线分别交于点A B 、（不同于O 点），则AB =_____________．15.已知函数()()233x f x x x e =-+，设2t >-，函数()f x 在[]2,t -上为单调函数时，则t 的最大值为_____________．16.已知椭圆221,4y x A B +=、是椭圆的左右顶点，P 是椭圆上不与A B 、重合的一点，PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，则()()cos cos αβαβ-=+_____________．三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题8分）设:p 实数a 满足不等式39a ≤，:q 函数()()32331932a f x x x x -=++无极值点． （1）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）已知“p q ∧”为真命题，并记为r ，且211:2022t a m a m m ⎛⎫⎛⎫-+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若r 是t ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18.（本小题8分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直，如图2．（1）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；（2）求平面ABCD 与平面EFB 所成锐二面角的大小．19.（本小题10分）双曲线()22122:10,b 0x y C a a b -=>>的一条渐近线方程为12y x =；点P 是圆222x y a +=上的动点，作PD x ⊥轴于D ，且3DM DP =． （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）设直线y kx m =+与轨迹2C 相交于不同的两点A B 、，是否存在过点10,2N ⎛⎫-⎪⎝⎭的直线l ，使得点A B 、关于l 对称，如果存在，求实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．20.（本小题10分）已知函数()()2ln 1f x ax x =++．（1）当14a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当[)0,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在00x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围；（3）求证：()()1248211112335592121n n n e -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++++< ⎪⎪⎪⨯⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（其中*,n N e ∈，是自然对数的底数）．：。
长沙市长郡中学数学高二上期中经典练习题(课后培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：13005]设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A ．1936B ．1136C ．712D ．122．(0分)[ID ：13004]在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的概率为 ( )A ．11347250C C C B ．20347250C C C C ．1233250C C C +D ．1120347347250C C C C C + 3．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．144．(0分)[ID ：12996]一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ）A ．这组新数据的平均数为mB ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为an D．这组新数据的标准差为5．(0分)[ID ：12988]甲、乙两名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位：环）如下：甲：7，8，8，8，9 乙：6，6，7，7，10；若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12,x x 表示，方差分别为2212,S S 表示，则（ ）A ．221212,x x s s >> B ．221212,x x s s >< C ．221212,x x s s << D ．221212,x x s s <> 6．(0分)[ID ：12987]已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示：则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.87．(0分)[ID ：12983]AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1008．(0分)[ID ：12975]有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．159．(0分)[ID ：12965]微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（ ）A ．1.19B ．1.23C ．1.26D ．1.3110．(0分)[ID ：12953]三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的24n =，则p 的值可以是( )(参考数据: sin150.2588︒≈，sin7.50.1305︒≈，sin3.750.0654︒≈)A．2.6B．3C．3.1D．1411．(0分)[ID：12936]《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．1112．(0分)[ID：12929]若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（）A．16B．112C．536D．51813．(0分)[ID：13021]抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（）A．23B．13C．12D．5614．(0分)[ID：13016]同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（）A．78B．58C．38D．1815．(0分)[ID：13015]某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元二、填空题16．(0分)[ID ：13110]在区间[-3，5]上随机取一个实数x ，则事件“11422x≤≤（）”发生的概率为____________．17．(0分)[ID ：13095]在可行域1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，内任取一点(),M x y ，则满足20x y ->的概率是______．18．(0分)[ID ：13087]甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________. 19．(0分)[ID ：13079]下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件；③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为na mb m n+； ④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交． 其中真命题的序号是__________．20．(0分)[ID ：13077]以下四个命题错误的序号为_______ (1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=. (3) 若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.21．(0分)[ID ：13066]以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.22．(0分)[ID ：13041]如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.23．(0分)[ID ：13037]在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2，3，4，5}内取值的点中任取一个点，此点正好在直线y x =上的概率为________． 24．(0分)[ID ：13104]在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________．25．(0分)[ID ：13062]某班全体学生参加英语成绩的频率分布直方图如图，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是__________．三、解答题26．(0分)[ID ：13194]己知集合()[][]{},0,2,1,1M x y x y =∈∈-.（1）若, x y M ∈，且, x y 为整数，求0x y +≥的概率； （2）若,x y M ∈，求0x y +≥的概率.27．(0分)[ID ：13193]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：∑y i 7i=1=9.32，∑t i y i 7i=1=40.17，√∑(y i −y ̅)27i=1=0.55，√7≈2.646.参考公式：相关系数r =∑(t −t )(y −y ̅)ni=1√∑(t i −t )2∑(y i −¯)2ni=1i=1回归方程y ̂=a ̂+b ̂ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=∑(t i −t )(y i −y ̅)ni=1∑(t i −t )2ni=1，a ̂=y ̅−b̂ t . 28．(0分)[ID ：13181]随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表： 年份x 2014 2015 2016 2017 2018 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）56789（1）求y 关于t 的回归方程y bt a =+；（2）试预测该地区在建国一百周年时的的储蓄存款，并求y 关于x 的回归方程.附：()()()1122211n ni i i ii in ni ii it t y y t y nt ybt t t nt====---==--∑∑∑∑，a y bt=-.29．(0分)[ID：13178]每年七月份，我国J地区有25天左右的降雨时间，如图是J地区S 镇2000-2018年降雨量（单位：mm）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S镇未来三年里至少有两年的降雨量超过350mm的概率；（2）在S镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m（kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m（元/kg），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；降雨量[100，200）[200，300）[300，400）[400，500）亩产量50070060040030．(0分)[ID：13152]2019年的流感来得要比往年更猛烈一些.据四川电视台4SCTV-“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上.这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院.某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：日期1月20日2月20日3月20日4月20日5月20日6月20日昼夜温差()x℃1011131286就诊人数(y人222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．()1若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；()2若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？(参考公式：b()1122211()()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxyx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y bx=-)【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．A2．D3．C4．D5．B6．D7．C8．C9．C10．C11．C12．C13．A14．A15．B二、填空题16．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的17．【解析】【分析】画出可行域求出面积满足的区域为图形中的红色直线的下方的四边形其面积为由几何概型的公式可得的概率为：；【详解】约束条件的可行域如图：由解得可行域d面积为由解得满足的区域为图形中的红色直18．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种19．①④【解析】分析：根据方差定义互斥与对立概念平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是Ω＝{123456}若事20．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关21．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不22．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可23．【解析】【分析】试验发生包含的事件是横纵坐标都在内任取一个点共有种结果满足条件的事件是点正好在直线上可以列举出结果数得到概率【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率∵试验发生包含的事件是横纵坐标都24．【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：25．【解析】由图可知低于分的频率为故该班人数为故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．A解析：A【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，方程x2+mx+n=0有实根要满足m2−4n⩾0，当m=2，n=1m=3，n=1，2m=4，n=1，2，3，4m=5，n=1，2，3，4，5，6，m=6，n=1，2，3，4，5，6综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果∴方程x2+mx+n=0有实根的概率是19 36；本题选择A选项.2．D解析：D【解析】【分析】由题意，恰好两件都是次品，共有23C种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C种不同的取法，即可求解．【详解】由题意，从含有3件次品的50件产品中，任取2件，共有250C种不同的取法，恰好两件都是次品，共有20347C C种不同的取法，恰好两件中一件是次品、一件是正品，共有11347C C种不同的取法，所以至少取到1件次品的概率为1120347347250C C C CC+，故选D．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中正确理解题意，合理分类讨论，利用组合数的公式是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．3．C解析：C【解析】【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果.【详解】总的可选答案有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，共11个，而正确的答案只有1个，即得5分的概率为111 p=.故选：C.【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题. 4．D解析：D【解析】【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为. 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.5．B解析：B 【解析】 【分析】计算18x =，27.2x =，210.4s =，22 2.16s =得到答案.【详解】17888985x ++++==，26677107.25x ++++==，故12x x >.()()()()()222222178888888980.45s -+-+-+-+-==；()()()()()222222267.267.277.277.2107.2 2.165s -+-+-+-+-==，故2212s s <.故选：B. 【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和观察能力.6．D解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m my +++==+， 线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-， 解得：8.1=m . 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+= ，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确. 故选 C ．8．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.10．C解析：C 【解析】模拟执行程序，可得：6n =，3sin 60S =︒=，不满足条件S p ≥，12n =，6sin303S =⨯︒=，不满足条件S p ≥，24n =，12sin15120.2588 3.1056S =⨯︒=⨯=，满足条件S p ≥，退出循环，输出n 的值为24.故 3.1p =. 故选C ．11．C解析：C 【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-； 3i =，()282131645m a a =--=-； 4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束； 令329367a -=，解得5a =. 故选C.12．C解析：C 【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝．13．A解析：A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件B 发生的概率，又通过列举可得事件A 和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)2163==，P(B)2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)112 333 =+=，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．14．A解析：A【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：4235492639543.5,4244x y++++++====，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ∴42=9．4×3．5+a ， ∴ˆa=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程二、填空题16．【解析】【分析】解不等式可得出所求事件的区域长度又可求出所有基本事件构成的区域长度由几何概型可求出概率【详解】设事件表示由得则即构成事件的区域的长度为又因为所有的基本事件构成的区域的长度为所以事件的解析：38【解析】 【分析】解不等式11422x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，可得出所求事件的区域长度，又可求出所有基本事件构成的区域长度，由几何概型可求出概率． 【详解】设事件A 表示11|422xx ⎧⎫⎪⎪⎛⎫≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由11422x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭得2111222x -⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21x -≤≤， 即构成事件A 的区域的长度为12=3+.又因为所有的基本事件构成的区域的长度为53=8+， 所以事件A 的概率3()8P A =. 故答案为38．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属基础题．17．【解析】【分析】画出可行域求出面积满足的区域为图形中的红色直线的下方的四边形其面积为由几何概型的公式可得的概率为：；【详解】约束条件的可行域如图：由解得可行域d 面积为由解得满足的区域为图形中的红色直解析：58【解析】 【分析】画出可行域，求出面积，满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=，由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；【详解】约束条件1030x y x y x --≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩的可行域如图：由103x y x y --=⎧+=⎨⎩解得()2,1A ， 可行域d 面积为12442⨯⨯=， 由32x y y x +=⎧=⎨⎩，解得()1.2B ． 满足20x y ->的区域为图形中的红色直线的下方的四边形，其面积为1541322-⨯⨯=， 由几何概型的公式可得20x y ->的概率为：55248=；故答案为58．【点睛】本题考查了可行域的画法以及几何概型的概率公式的运用.考查数形结合以及计算能力．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．18．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种解析：16 【解析】 【分析】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．【详解】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 33554466616A A A A ⋅⋅=⋅， 故答案为 16． 【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．19．①④【解析】分析：根据方差定义互斥与对立概念平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是Ω＝{123456}若事解析：①④. 【解析】分析：根据方差定义、互斥与对立概念、平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假. 详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对 因为基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 不为互斥事件，所以②错；因为某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为ma nbm n++，所以③错； 因为如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行（同侧时）或相交（异侧时），所以④对. 因此真命题的序号是①④.点睛：对命题真假的判断，主要要明确概念或公式.20．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----，，， 又200|33k y x x x ='==-，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错； 对于(3)，若样本1210,,x x x 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..21．③④【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式即可判断；③利用线性相关指数的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断详解：对于①类比推理是合情推理的重要形式则不解析：③④ 【解析】分析：①根据类比推理与演绎推理的定义即可判断；②根据回归方程的表达式，即可判断；③利用线性相关指数r 的意义即可判断；④根据复数的乘法运算律即可判断. 详解：对于①，类比推理是合情推理的重要形式，则不属于演绎推理，故①错误；对于②，根据回归方程为ˆ23yx =-，可得当变量每增加1个单位，y 平均减少3个单位，故②错误；对于③，在回归分析中，r 具有以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱，故③正确；对于④，根据复数的乘法运算律，对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅，故④正确.故答案为③④.点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，考查相关关系及复数的运算，是一个考查的知识点比较多的题目，解题本题的关键是理解概念及掌握运算公式，如在回归分析中，r 具有的性质，复数遵循的运算律等．22．46【解析】第一次执行程序执行第二次程序执行第三次程序执行第四次程序符合判断框条件退出循环输出故填46点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题属于中档题处理此类问题时一般模拟程序的运行经过几次运算即可解析：46 【解析】第一次执行程序2,2(11)4i s ==⨯+=，执行第二次程序3,2(41)10i s ==⨯+=，执行第三次程序4,2(101)22i s ==⨯+=，执行第四次程序5,2(221)46i s ==⨯+=，符合判断框条件，退出循环，输出46s =，故填46．点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。
长郡中学2017年高二第一学期期中考试数学试卷与答案
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长郡中学2016年高二第一学期期中考试数学试卷与答案
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【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高二上学期第一次模块检测理数试题(原卷版)
湖南省长沙市长郡中学2016-2017学年高二第一次模块检测数学（理）试题第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 要完成下列两项调查:（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A. (1)用系统抽样法， (2)用简单随机抽样法B. (1)用分层抽样法,(2)用系统袖样法C. (1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D. (1)(2)都用分层抽样法2. 某校共有1200名学生，现采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到男生比女生多10人，则该校男生共有（）A. 700名B. 600名C. 630名D. 610名3. 利用系统抽样从含有45个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中每个个体被抽到的可能性是（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 与第几次被抽取有关4. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数利中位数分别（）A. 23与26B. 31与26C. 24与30D. 26与305. 从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A. 480B. 481C. 482D. 4836. 某校高三(1)班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间错误！未找到引用源。
内，将该班所有同学的考试分数分为七组：错误！未找到引用源。
，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112 分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A. 10B. 12C. 20D. 407. 数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A. 8B. 4C. 2D. 18. 已知错误！未找到引用源。
数学-高二-湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中数学试卷(理科)
2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为( ) A． B． C． D．02．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为( ) A． B．C．D．3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°4．设a∈R，则a＞1是＜1的( )A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( )A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样6．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是( )A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11？7．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足•=2，||•||=0，则该双曲线的方程是( )A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a前两次未被抽到，第三次被抽到的机率为( )A．B． C．D．10．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，则爆炸点所在曲线为( )A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支 C．.线段D．圆11．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是( ) A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠12．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( )A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生13．设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是( )A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞514．今年是我校成立111周年的一年，那么十进制的111化为二进制是( )A．1 101 101 B．11 011 011 C．1 101 111 D．1 011 10015．已知向量=（﹣2，1），=（x，y），x∈，y∈则满足•＜0的概率是( )A．B．C． D．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）16．若关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根，则实数a的取值范围__________．17．抛物线y2=4x的弦AB垂直x轴，若，则焦点到AB的距离为__________．18．在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组，1，61，6a，b）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|a﹣b|=．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，则组距等于频率除以高，建立关系即可解得．【解答】解：小矩形的面积等于这一组的频率，小矩形的高等于每一组的，则组距等于频率除以高，故答案为．【点评】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．19．在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】所有的两位数（10﹣99）共有90个，求得其中被2整除的有45个，被3整除的有30个，被6整除的有15个，可得能被2或3整除的数有60个，由此求得这个数能被2或3整除的概率．【解答】解：在所有的两位数（10﹣99）共有90个，其中被2整除的有10，12，14，…，98，共计45个．被3整除的有12，15，18，…，99，共计30个，被6整除的有12，18，24，…，96，共计15个，故能被2或3整除的数有45+30﹣15=60个．故任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为P==故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，等差数列的通项公式，求得被2或3整除的数有60个，是解题的关键，属于基础题．20．已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O1．圆柱的底面中心为O，则∠OAB=60°，可得a=O1A，b==4，可得，即可得出．．【解答】解：如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O1．圆柱的底面中心为O，则∠OAB=60°，可得a=O1A=8，b==4，∴=．∴这个椭圆的离心率===．故答案为：．【点评】本题考查了二面角的平面角、圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分）21．已知命题p：﹣2≤x≤10，命题q：（x+m﹣1）（x﹣m﹣1）≤0（其中m＞0），且￢p是￢q 的必要条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】已知命题p和q，然后求出￢p是￢q，根据￢p是￢q的必要条件，所以p是q的充分条件，从而求出实数m的取值范围；【解答】解：∵¬p是¬q的必要条件∴¬p⇒¬q即p⇒q由p：﹣2≤x≤10q：1﹣m≤x≤m+1得解得m≥9【点评】此题主要考查以不等式的求解问题为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．22．已知抛物线的顶点在原点，其准线过双曲线﹣=1的一个焦点，又若抛物线与双曲线相交于点A（，），B（，﹣），求此两曲线的方程．【考点】抛物线的标准方程；双曲线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线与双曲线相交于点A（，），B（，﹣），先求出抛物线方程为y2=4x，从而得到a2+b2=1，由此能求出双曲线的方程．【解答】解：由题意可设抛物线方程为y2=2px，p＞0，将，y=代入得p=2，所求抛物线的方程为y2=4x，…其准线方程为x=﹣1，即双曲线的半焦距c=1，∴a2+b2=1，①，又，②，由①②可得，b2=，所求双曲线的方程为4x2﹣=1．…【点评】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线和抛物线的性质的合理运用．23．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．【解答】解：（I）由题意得，当X∈130，150120，150hslx3y3h的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义．24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=4，CB=4，CC1=，∠ACB=90°，点M 在线段A1B1上．（1）若A1M=3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】（1）以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．算出向量、的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求出异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；（2）利用垂直向量数量积为零的方程，建立方程组解出=（1，1，）是平面ABC1的一个法向量，设A1M=x，则=（x﹣4，4﹣x，2），结合题意可得与所成角为60°或120°，利用空间向量夹角公式建立关于x的方程解出x的值，即可得到点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．【解答】解：（1）分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则C（0，0，0），A（4，0，0），A1（4，0，2），B1（0，4，2）∵A1M=3MB1，∴M（1，3，2），可得=（﹣4，0，﹣2），=（﹣3，3，2），∴cos＜，＞===所以异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；（2）由（1）得B（0，4，0），B1（0，4，2）∴=（﹣4，4，0），=（﹣4，0，2）设=（a，b，c）是平面ABC1的一个法向量，可得，取a=1，得b=1，c=∴=（1，1，），而直线AM与平面ABC1所成角为30°，可得与所成角为60°或120°∴|cos＜、＞|=，设点M的横坐标为x，则=（x﹣4，4﹣x，2）即===解之得x=2或6，由于M在A1B1上可得x＜6，故x=2即点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．【点评】本题建立空间坐标系，求异面直线所成角和直线与平面所成角．着重考查了空间向量的夹角公式、平面法向量的求法和利用空间坐标系研究空间角等知识点，属于中档题．25．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；转化思想．【分析】（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，得．结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．即，将其整理为k2=﹣=﹣1﹣因为，所以，12≤a2＜18．所以，即．（13分）【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。
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【解析】
试题分析：要使方程 表示双曲线，应有 ，解得 或 ，故选C.
考点：双曲线的标准方程．
3．D
【解析】
试题分析：命题的逆否命题是条件和结论同时换位、换质，所以命题“若 ，则 且 ”的逆否命题是“若 或 ，则 ”，故选D.
考点：逆否命题．
4．A
【解析】
试题分析：样本中心点坐标 在回归直线上，所以 ，解得 ，故选A.
∴ .
若 真， ∴ ，
由 消去 ，得 ，
由条件 ，且 ，∴ 且 ，
又 ，∴ ，解得 或 （舍）.
∴ .
考点：抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系.
24． .
【解析】
试题分析：若 是真命题，则 为假命题且 为真命题.分别求出 为真时，参数 的范围，取其补集即得 为假时，参数 的范围，取交集即得实数 的取值范围.
试题解析：若 真，则 即
考点：求曲线的轨迹.
10．A
【解析】
试题分析：因为 ，所以
，所以 ，故选A.
考点：空间向量的应用.
【方法点睛】本题主要考查了空间向量的应用，属于基础题.要求平行六面体的对角线长，如果直接求解运算量较大，而且准确率低，可考虑利用空间向量来求解.解答的关键是建立空间的基底，通过向量的线性运算把对角线向量用基向量表示出来，利用向量数量积的性质——向量的平方等于模的平方，结合数量积运算求得结果.
A. B.
C. D.
13．双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，渐近线分别为 ， ，点 在第一象限内且在 上，若 ， ，则该双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.2
14．椭圆 与直线 相交于 ， 两点，过 中点 与坐标原点的直线的斜率为 ，则 的值为（）
A. B.
C. D.2
15．设集合 ， ，如果命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是（）
2．如果方程 表示双曲线，则 的取值范围是（）
A． B．
C． D．
3．命题“若 ，则 且 ”的逆否命题是（）
A．若 ，则 且
B．若 ，则 或
C．若 且 ，则
D．若 或 ，则
4．已知具有线性相关的两个变量 ， 之间的一组数据如表：
且回归线方程是 ，则 （）
A.6.7B.6.6
C.6.5D.6.4
5．在正方体 中，点 是 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为（）
试题解析：（1）由 得： ，
所以直方图中 的值是0.0075.
（2）月平均用电量的众数为 ，
，
∴月平均用电量的中位数在 内，设中位数为 ，由 ，得 .
即月平均用电量的中位数为224.
（3）月平均用电量为 的用户有 户，用平均用电量为 的用户有 户，用平均用电量为 的用户有 户，用平均用电量为 的用户有 户，抽取比例为 ，
A. B.
C. D.
6．已知 为双曲线 ： 的一个焦点，则点 到 的一条渐近线距离为（）
A. B.3
C. D.
7．某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差 （）
A. B.3
C. D.
8．双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 （）
A. B.
C.2D.4
9．与圆 及圆 都外切的圆的圆心在（）
25．已知椭圆 的两个焦点坐标分别是 、 ，并且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与圆 ： 相切，并与椭圆 交于不同的两点 、 .当 ，且满足 时，求 面积 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以既要否定量词，又要否定结论，因此 ： ， ，故选C．
考点：命题的否定．
A.一个椭圆上B.双曲线的一支上
C.一条抛物线上D.一个圆上
10．如图，在平行六面体 中，底面是边长为2的正方形，若 ，且 ，则 的长为（）
A. B. C. D.
11．若 ， 为实数，则“ ”是“ ”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
12．柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对的概率是（）
④“平面向量 与 的夹角是钝角”的要条件是“ ”.
其中正确命题的序号是.（把所有正确命题的序号都写上）
19．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两
艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是.
20．若曲线 和曲线 有三个不同的பைடு நூலகம்点，则 的取值范围是.
21．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以 分组的频率分布直方图如图所示.
考点：回归直线方程.
5．B
【解析】
试题分析：设正方体的棱长为 以 为坐标原点， 为 轴建立空间直角坐标系，则 ,所以 ,因此 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故选B.
考点：异面直线成角.
6．A
【解析】
试题分析：双曲线 ： 化标准方程为 ，双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 ，故选A.
考点：双曲线的简单几何性质.
（1）求直方图中 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 的用户中应抽取多少户？
22．设关于 的一元二次方程 .
（1）若 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数， 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
20．
【解析】
试题分析：由题意可得，当 时， ，当 时， ，渐近线方程为 ，如图所示，由 可得 ，解得 ，结合图象可得实数 的取值范围是 .
考点：直线与圆锥曲线的位置关系.
【方法点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的思想和学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是通过讨论 的符号，把曲线方程转化为标准方程，画出曲线，通过方程组求出满足条件的参数 的范围，研究直线与双曲线的交点个数，要注意双曲线的渐近线的性质.
2016-2017学年湖南长郡中学高二上期中数学（理）试卷
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
1．设 ，集合 是奇数集，集合 是偶数集.若命题 ： ， ，则（）
A． ： ，
B． ： ，
C． ： ，
D． ： ，
考点：充要条件.
19．
【解析】
试题分析：设甲到达的时刻为 ，乙到达的时刻为 ，则所有的基本事件构成的区域 满足 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等到包含的基本事件 满足 作出对应的平面区域如图，所以这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率
考点：几何概型.
【方法点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.几何概型是指用实验包含基本事件空间的几何度量来表示概率，通常涉及到几何图形的长度、面积、体积等.本题的难点是根据题意进行转化，分别把甲、乙两船到达的时间用 表示，在平面直角坐标系中，用平面区域的面积表示事件发生的概率，求面积的比即可.
（2）若 是从区间 任取的一个数， 是从区间 任取的一个数，求上述方程有根的概率.
23．已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且抛物线上有一点 到焦点的距离为6.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若抛物线 与直线 相交于不同的两点 、 ，且 中点横坐标为2，求 的值.
24．已知 ，设命题 ：函数 在区间 上与 轴有两个不同的交点；命题 ： 有最小值.若 是真命题，求实数 的取值范围.
15．A
【解析】
试题分析：集合 表示平面内以 为圆心， 为半径的圆， 表示以 为圆心， 为半径的圆，且其圆心在直线 上，如图所示，如果命题“ ”是真命题，即两圆有公共点，所以圆心 到直线 的距离不大于 ，即 ，故选A.
考点：圆与圆的位置关系.
【方法点睛】本题以集合语言考查了圆与圆的位置关系，属于中档题.在解答过程充分体现了集合知识、圆的知识及命题的真假判断，同时考查了转化的思想.解答时首先进行转化，把命题“ ”是真命题，转化为两圆有公共点，进一步转化为直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出参数范围.
16．
【解析】
试题分析：根据系统抽样的规则，应分成 组，每组抽取 个，所以分段间隔为 .
考点：系统抽样法.
17．
【解析】
试题分析：抛物线 的标准方程为 ，所以其焦点为 .
考点：抛物线的标准方程.
18．①②
【解析】
试题分析：①因为“ ”可以推出“ ”，但“ ”不能推出“ ”，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故①正确；②“ ”不能推出“ ”，但“ ”可以推出“ ”，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故②正确；③因为 ，所以若其最小正周期为 ，则 ，因此“函数 的最小正周期为 ”是“ ”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量 与 的夹角是钝角”可以推出“ ”，但“ ”，平面向量 与 的夹角是钝角或平角，所以“ ”是“平面向量 与 的夹角是钝角”必要不充分条件，故④错误，正确答案为①②.
试题解析：设事件 为“方程 有实根”.
（1）当 ， 时，方程 有实根的充要条件为 .
基本事件共12个： .其中第一个数表示 的取值，第二个数表示 的取值.
事件 中包含9个基本事件，事件发生的概率为 .
（2）试验的全部结果所构成的区域为 ，构成事件 的区域为 ，
所以所求的概率为 .
考点：古典概型与几何概率.
7．C
【解析】
试题分析：样本平均数为 ，所以方差为
故选C.
考点：样本平均数与方差.
8．D
【解析】
试题分析：双曲线 的标准方程为 ，所以 ，左焦点坐标为 ，抛物线 的准线方程为 ，所以 ，解得 ，故选D.