河南省洛阳市高二数学下学期期末考试试题(a卷)文(扫描版)
2019-2020学年河南省洛阳市高二(下)期末数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.5−i 1−i=( )A. 3+2iB. 2+2iC. 2+3iD. −2−2i2. 命题“对∀∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 02−3x 0+5≤0B. ∃x 0∈R ，x 02−3x 0+5>0 C. ∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0D. ∀x 0∈R ，x 02−3x 0+5>03. 从某大学随机选取8名女生，其身高x(cm)和体重y(kg)数据如下表所示．其回归直线方程为y ∧=0.85x −85，则下列结论错误的是( )A. x 与y 是正相关B. 随机误差e i (i =1,2，…，8)的均值为0C. 身高180 cm 的女生的体重估计为68 kgD. 身高175 cm 的残差为−0.254. 若x ，y 满足约束条件{x −2y ≤0x +y −4≥0y <4，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (163,8)B. (163,16)C. [163,16)D. [163,16]5. 以双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线( )A. 相交B. 相离C. 相切D. 不确定6. (√x +13x )10的展开式中常数项为( )A. 120B. 210C. 252D. 457. 已知正实数a ，b ，c 满足a 2−2ab +9b 2−c =0，则当abc 取得最大值时，3a +1b −12c的最大值为( ) A. 3B. 94C. 1D. 08. 设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，若P(ξ<−2)=0.1，则函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x 有极值点的概率为( )A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.59. 若f(x)={x3+sinx,−1≤x ≤121<x ≤2，则∫f 2−1(x)dx =( )A. 0B. 1C. 2D. 310.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则2n+1(n∈N ∗)位回文数的个数为()A. 9×10 n−1个B. 9×10 n个C. 9×10 n+1个D. 9×10 n+2个11.已知函数，则f(x)是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 非奇非偶函数12.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为()A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知曲线f(x)=x3，则过点P(1,1)的曲线f(x)的切线方程为________．14.观察下列等式：按此规律，第10个等式的右边等于______ ．15.2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题．为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计注射104050未注射203050总计3070100有关系．.】【参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82816.①函数f(−x+2)与y=f(x−2)的图象关于y轴对称②若函数f(x)=e x，则对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2③若函数f(x)=log a|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增，则f(−2)>f(a+1)④若函数f(x+2013)=x2−2x−1(x∈R)，则函数的最小值为−2其中正确的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ba+c =1−sinAsinC+sinB．(1)求角C的大小；(2)若S△ABC=2√3,a+b=6，求c．18.设S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n=λa n−1(λ为常数，n∈N∗).a3=a22，求λ的值；19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2√2，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√3,12)，离心率e=√32(1)求椭圆的方程：(2)若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围．21.某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止．(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)设所要测试的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．22.设函数f(x)=(2x2−4mx)lnx，m∈R．(1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(2)若∀x∈[1,+∞),f(x)+x2−m>0恒成立，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：5−i1−i =(5−i)(1+i)(1−i)(1+i)=6+4i2=3+2i，故选：A．直接由复数代数形式的乘除运算化简计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对∀∈R，x2−3x+5≤0”的否定是：∃x0∈R，x02−3x0+5>0．故选B．3.答案：D解析：【分析】本题考查回归直线方程及相关概念，属基础题目．【解答】解：因为0.85>0，故A正确．随机误差的均值为0，故B正确．当x=180时，y∧=0.85×180−85=68，故C正确．当x=175时，y∧=0.85×175−85=63.75.残差e=64−63.75=0.25.故D错误，故选D．4.答案：C解析：【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数的几何意义，然后求解目标函数的取值范围． 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键． 【解答】解：x ，y 满足约束条件{x −2y ≤0x +y −4≥0y <4的可行域如下图所示：则z =x +2y 经过可行域的C 点时，取得最小值． {x −2y =0x +y −4=0解得C(83,43) x =83，y =43时，z =x +2y =163，由{y =4x −2y =0解得B(8,4)，z =16 ∴z =x +2y 的取值范围为[163,16)． 故选：C ．5.答案：C解析：解：由题意，圆F 的方程为：(x +c)2+y 2=b 2，双曲线的渐近线方程为：bx ±ay =0 ∴F 到渐近线的距离为d =√a 2+b 2=b ∴圆F 与双曲线的渐近线相切 故选C ．确定圆F 的方程，双曲线的渐近线方程，求出圆心到直线的距离，即可得到结论． 本题考查双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．6.答案：B解析：解：(√x+13x )10的展开式的通项公式为Tr+1=C10r⋅x5−5r6，令5−5r6=0，解得r=6，∴(√x+13x)10的展开式中常数项为C106=210，故选：B．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7.答案：C解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，解决此类问题关键在于对代数式进行灵活配凑，属于中等题．由已知条件得出c=a2−2ab+9b2，代入abc，并在分式分子分母中同时除以ab，利用基本不等式可求出abc 的最大值，同时注意等号成立的条件a=3b，并得出c=12b2，代入3a+1b−12c并利用配方可求出该代数式的最大值．【解答】解：由a2−2ab+9b2−c=0，可得c=a2−2ab+9b2，∴abc =aba2−2ab+9b2=1a2+9b2−2abab=1ab+9ba−2≤2√b⋅a−2=14，当且仅当ab =9ba时，即当a=3b时，等号成立，此时c=a2−2ab+9b2=(3b)2−2×3b×b+9b2=12b2，所以，3a +1b−12c=33b+1b−1212b2=−1b2+2b=−(1b−1)2+1≤1，当且仅当b=1时，等号成立，所以，3a +1b−12c的最大值为1．故选C．8.答案：C解析：【分析】本题考查函数的极值点，考查正态分布曲线的对称性，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．函数f(x)=13x3+2x2+ξ2x有极值点，则f′(x)=x2+4x+ξ2=0有两个不同实数解，可得ξ的取值范围，再根据随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，由对称性即可求得答案．【解答】解：∵函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x ， ∴f′(x)=x 2+4x +ξ2，∵函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x 有极值点， ∴f′(x)=x 2+4x +ξ2=0有两个不同实数解， ∴△=16−4ξ2>0，即−2<ξ<2．∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)且P(ξ<−2)=0.1， ∴P(−2<ξ<2)=0.5−0.1=0.4．∴函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x 有极值点的概率为0.4． 故选C ．9.答案：C解析：解：∵f(x)={x 3+sinx,−1≤x ≤12, 1<x ≤2，∴∫f 2−1(x)dx =∫(1−1x 3+sinx)dx +∫221dx=(14x 4−cosx)|−11+2x|12=(14⋅14−cos1)−[14⋅(−1)4−cos(−1)]+(2×2−2×1)=2． 故选：C根据分段函数的积分法则，可得所求积分为：y =x 3+sinx 在[−1,1]上的积分值，再加上函数y =2在[1,2]上的积分值积所得的和．再由定积分计算公式求出被积函数的原函数，由微积分基本定理加以计算，可得答案．本题求一个函数的原函数并求定积分值，考查定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题．10.答案：B解析：解：第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n 、n +1个数字，共有10×10×10×…×10=10n 种选法， 故2n +1(n ∈N +)位回文数有9×10n 个 故选：B ．利用回文数的定义，结合分步计数原理即可计算2n +1(n ∈N +)位回文数的个数．本题主要考查了分步计数原理的运用，新定义数字问题的理解和运用，归纳推理的运用，属基础题11.答案：A解析： 【分析】本题考查函数奇偶性的判定，属于基础题．利用奇偶函数的定义判定即可．【解答】解：由题意知，f(x)的定义域为R，=xlg[(10x+1)×10−12x]=xlg(10x2+10−x2)，则f(−x)=−xlg(10−x2+10x2)=−f(x)，所以f(x)为奇函数．故选A．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，由中点坐标公式可得M的坐标，由此求得点M到抛物线准线的距离x1+x22+1的值．【解答】解：由抛物线的方程y2=4x可得它的焦点F(1,0)，准线方程为x=−1．由中点坐标公式可得PQ的中点M(x1+x22,y1+y22)由于x1+x2=6，则M到准线的距离为x1+x22+1=4，故选B．13.答案：y=3x−2或y=34x+14解析：【分析】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数腰间曲线上某点的切线方程．【解答】解：因为f′(x)=3x2，设切点为，所以切线方程为y−x03=3x02(x−x0)，将P(1,1)代入切线方程得(x0−1)2(2x0+1)=0，得x0=1或x0=−12，∴过点P(1,1)的f(x)的切线方程为y=3x−2或y=34x+14，故答案为y=3x−2或y=34x+14．14.答案：280解析：解：因为3−1=2，7−3=4，13−7=6，所以第5个式子的第一数与第4个式子的差为21−13=8，第6个式子的第一个数与第5个式子的第一个数差10，即31−21=10．…所以第10个式子的第一个数为19，后面是连续10个奇数的和．所以等式的左边为19+21+23+⋯+37．∵19+21+23+⋯+37=(19+37)×102=280，故答案为：280．根据前四个式子的规律，归纳出规律，进而可得第10个等式．本题考查归纳推理，涉及累加法求数列的通项公式，属基础题．15.答案：0.05解析：【分析】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，属于基础题．根据列联表中数据计算观测值，参照附表得出概率结论．【解答】解：根据列联表中数据，计算观测值为K2=100×(10×30−20×40)2 50×50×70×30=10021≈4.762>3.841，参照附表知，在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．故答案为：0.05．16.答案：②④解析：解：①设t=−x+2，∴x−2=−t，∴函数化为y=f(t)与y=f(−t)，两函数图象关于直线t=0对称，由t=−x+2=0得：x=2，∴y=f(−x+2)与y=f(x−2)的图象关于直线x=2对称；∴命题①错误；②∵f(x)=e x，对任意的x1，x2∈R，有f(x1)+f(x2)2f(x1+x22)=e x1+e x22ex1+x22=e x1−x222+ex2−x122≥2√ex1−x222⋅ex2−x122=2×12=1，∴f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，∴命题②正确；③当函数f(x)=log a|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增时，a>1，∴a+1>2，∴f(a+1)>f(2)；又f(−2)=f(2)，∴f(a+1)>f(−2)；∴命题③错误；④∵函数f(x+2013)=x2−2x−1(x∈R)，设x+2013=t，则x=t−2013；∴f(t)=(t−2013)2−2(t−2013)−1=(t−2013−1)2−1−1=(t−2014)2−2，即f(x)=(x−2014)2−2；∴函数f(x)的最小值为−2，∴命题④正确；综上知，正确命题的序号是②④；故答案为：②④．①令t=−x+2，知y=f(t)与y=f(−t)的图象关于y轴对称，从而得出y=f(−x+2)与y=f(x−2)的图象的对称性；②利用作商法，结合基本不等式，判定f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2是否成立即可；③由函数f(x)的单调性与奇偶性判定命题是否正确；④利用换元法求出函数f(x)的解析式，再求出f(x)的最小值，即可判定命题是否正确．本题通过命题真假的判定考查了函数的单调性、奇偶性、对称轴以及最值问题，是综合题目．17.答案：解：(1)由ba+c =1−sinAsinC+sinB=sinC+sinB−sinAsinC+sinB，得：b a+c =b+c−a c+b，化简为b 2+a 2−c 2=ba ，再由余弦定理得cosC =b 2+a 2−c 22ba=12，∵C ∈(0,π)， ∴C =π3．(2)由(1)知C =π3，由S △ABC =2√3， 得：12ab ⋅√32=2√3，解得ab =8，∴由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2ab ×12=(a +b)2−3ab =12， ∴c =2√3．解析：(1)化简已知等式，由余弦定理可求cos C 的值，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值． (2)利用三角形的面积公式可求ab 的值，根据余弦定理可求c 的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：λ=0或λ=2解析：由S n =λa n −1得a 1=λa 1−1(即知λ≠1)，a 1+a 2=λa 2−1，a 1+a 2+a 3=λa 3−1.故 a 1=1λ−1，a 2=λ(λ−1)2，a 3=λ2(λ−1)3 于是由a 3=a 22得λ2(λ−1)3=λ2(λ−1)4解得λ=0或 λ=2 . 19.答案：解：∵四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP =AB =2，BC =2 √2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0，2)，A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2 √2，0)， D(0,2 √2，0)，E(0,√2,0)，F(1,√2,1)，证明：(1)由题意得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2 √2，−2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√2,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√2,1)，∵PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+4+0=0，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+4−2=0， ∴PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PC ⊥BE ，PC ⊥BF ， 又∵BE ∩BF =B ， ∴PC ⊥平面BEF ；解：(2)由已知可得向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2 √2，0)是平面BAP 的一个法向量， 由(1)得向量PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2 √2，−2)是平面BEF 的一个法向量， 设平面BEF 与平面BAP 所成二面角的大小为θ， 则cosθ=|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22，则θ=45°，即平面BEF 与平面BAP 所成二面角为45°．解析：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的求法，其中建立空间直角坐标系，将线面垂直问题和二面角问题转化为向量垂直及向量夹角问题是解答本题的关键．(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，进而求出PC ，BE ，BF 对应的方向向量，根据向量的数量积为0，则向量垂直，可证得PC ⊥BE ，PC ⊥BF ，再由线面垂直的判定定理得到答案；(2)由已知及(1)中结论，可得向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2 √2，0)是平面BAP 的一个法向量，向量PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2 √2，−2)是平面BEF 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得平面BEF 与平面BAP 所成二面角的大小．20.答案：解：(1)把点(√3,12)代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，得3a 2+14b 2=1，由ca =√32及c 2=a 2−b 2，可得a 2=4，b 2=1． 则椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，化简得，(4k 2+1)x 2+16kx +12=0根据题意，得△=(16k)2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 解得k >√32或k <−√32，则k 的取值范围是(−∞,−√32)∪(√32,+∞)．解析：(1)代入点得到关于a ，b 的方程，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解出a ，b ，得到椭圆方程；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，消去y ，得到关于x 的方程，由判别式大于0，即可得到k 的范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去一个未知数，运用判别式大于0，属于基础题．21.答案：解：(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A ，则P(A)=A 22A 62=115．(2)X 的所有可能取值为2，3，4，5． P(X =2)=115，P(X =3)=C 21C 41A 22A 53=215，P(X =4)=A 44A 54+C 21C 42A 33A 54=415，P(X =5)=C 21C 43A 44A 55+C 43C 21A 44A 55=815．X 的分布列为因此，E(X)=2×15×215+4×415+5×815=6415．解析：本题主要考查古典概型，以及离散型随机变量的分布列与数学期望． (1)由题意结合古典概型计算公式和排列组合公式求解概率值即可；(2)由题意可知X 的所有可能取值为2，3，4，5，据此计算相应的概率值，求得分布列，然后求解数学期望即可．22.答案：【解答】解：(1)m =0时，f(x)=2x 2lnx ，f′(x)=4xlnx +2x ，f′(e)=6e ，f(e)=2e 2， 所以y =f(x)在点(e,f(e))处的切线方程y =6ex −4e 2；(2)∀x ∈[1,+∞),f (x )+x 2−m >0恒成立，等价于(4xlnx +1)m <x 2(2lnx +1)恒成立， 由于y =4xlnx +1在[1,+∞)递增，可得y ≥1>0， 所以(4xlnx +1)m <x 2(2lnx +1)恒成立等价于m <x 2(2lnx+1)4xlnx+1在x ≥1恒成立，设g (x )=x 2(2lnx+1)4xlnx+1，x ≥1，则g′(x )=4x (lnx+1)(2xlnx−x+1)(4xlnx+1)2，由y =2xlnx +1−x 的导数为y′=2(1+lnx )−1=1+2lnx ≥1>0，可得2xlnx +1−x ≥0， 又lnx +1>0，可得g′(x )≥0，即g (x )在[1,+∞)递增， 所以g (x )的最小值为g (1)=1， 则m <1，即m 得取值范围为(−∞,1)．解析：本题考查利用导数求曲线在某点处的切线方程，和构造函数利用导数解决恒成立问题，属中档题．(1)利用导数的几何意义，求出f′(e)和f(e)，利用点斜式写出方程；(2)利用等价转化思想将∀x∈[1,+∞),f(x)+x2−m>0恒成立转化为m<x2(2lnx+1)在x≥1恒成立，4xlnx+1，利用导数g(x)求出最小值即得证．构造函数g(x)=x2(2lnx+1)4xlnx+1。
2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年河南省信阳市高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．复数112izi-=+（i为虚数单位）的共轭复数是A．135i+B．135i-+C．135i-D．135i--【答案】B【分析】根据复数除法运算，化简复数，再根据共轭复数概念得结果【详解】1i13i12i5z---==+，故z的共轭复数13i5z-+=.故选B.【点睛】本题考查复数除法运算以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（）A．事件“都是红色球”是随机事件B．事件“都是白色球”是不可能事件C．事件“至少有一个白色球”是必然事件D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件【答案】C【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可．【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确；事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误；事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确．故选：C3．如图是两个变量的散点图，y关于x的回归方程可能是（）A ．3ln 2y x =+B ．3e 1x y =-C ．322y x =-+D ．1210y x =+ 【答案】C【分析】有散点图可知y 与x 负相关，结合选项的单调性可得.【详解】由散点图可知，y 与x 负相关，易知，当0x >时，函数3ln 2y x =+单调递增，故A 错误；因为函数3e 1x y =-和1210y x =+单调递增，故BD 错误. 故选：C ．4．由曲线cos y x =，坐标轴x 轴、y 轴及直线2x π=围成的图形的面积等于（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【分析】根据所围成图形用定积分可求得阴影部分的面积，然后根据定积分的定义求出所求即可．【详解】曲线cos y x =，坐标轴x 轴、y 轴及直线2x π=围成的图形的面积，22001cos sin |S xdx x ππ===⎰，故选：A ．5．冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬奥综合性运动会，自1924年起，每四年举办一届．第24届由中国2022年2月在北京举办，分北京赛区、延庆赛区、张家口赛区三个赛区共15个比赛项目．为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下不正确的为（）A．甲社团众数小于乙社团众数B．甲社团的极差大于乙社团的极差C．甲社团的平均数大于乙社团的平均数D．甲社团的方差大于乙社团的方差【答案】C【分析】分析两社团的众数得大小，判断A;计算出两社团的极差，判断B；算出两社团的平均数，判断C，分析两社团频数的波动性，判断D.【详解】A选项，甲社团众数为2，乙社团众数为3，所以A正确；B选项，甲社团极差为3，乙社团的极差为2，所以B正确；C选项，甲社团平均数为223254337++++++=，乙社团的平均数为223433437++++++=，故两社团平均数相等，所以错误；D选项，由图可知，甲社团的频数的波动性较大，故其方差大于乙社团方差，D正确，故选：C．6．已知x y ，之间具有线性相关关系，若通过10组数据（i x ，i y ）（i =1，2， (10)得到的回归方程为ˆ 2.15yx =-+ ，且10120i i x ==∑，则101i i y =∑=（ ） A ．8 B ．0.8 C ．-2 D ．-2.1【答案】A【分析】依据回归方程ˆ 2.15yx =-+过点(,)x y ，即可求得101i i y =∑的值． 【详解】依题意知，20210x ==， 因为回归方程为ˆ 2.15yx =-+过点(,)x y ， 所以可以计算出： 2.1250.8y =-⨯+=， 所以101100.88i i y ==⨯=∑，故选：A ．7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”，合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每次讲一艺.讲座次序要求“数”不在第一次也不在第六次，“礼”和“乐”不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ） A ．480种 B ．336种 C ．144种 D ．96种【答案】B【分析】根据给定条件，求出“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数，去掉其中的“礼”和“乐”相邻的不同次序数即可计算作答.【详解】依题意，“数”不在第一次也不在第六次的不同次序数有：1545A A ，“数”不在第一次也不在第六次时，“礼”和“乐”相邻的不同次序数有：142342A A A ，所以所求“六艺”讲座不同的次序数共有：1514245342A A A A A 336-=.故选：B8．A ，B ，C 三名员工在参加了公司的某项技能比武后，都知道了自己的和他人的名次（无并列名次），随后A ，B ，C 三人一起到了车间告诉主管比赛的成绩，A 说：我不为第1名；B 说：A 没说谎；C 说：我不为第3名，公司公布了三人的名次后主管发现：B 说了假话，C 说了真话，则A ，B ，C 的比赛名次依次为（ ） A ．1，2，3 B ．1，3，2C ．2，3，1D ．3，2，1【答案】B【分析】根据主管发现B 说了假话，可知A 说谎了，从而判断A 的名次，根据C 说了真话可判断C 的名次，进而判断B 的名次.【详解】因为B 说：A 没说谎，又主管发现B 说了假话，所以A 为说谎者，所以A 为第1名．又C 说：我不为第3名，且已知C 说了真话，所以C 为第1名或第2名，又A 为第1名，所以C 为第2名， 从而B 为第3名， 故选：B ．9．某人射击一次命中目标的概率为12，且每次射击相互独立，则此人射击 7次，有4次命中且恰有3次连续命中的概率为A ．3761()2C B ．2741()2A C ．2741()2C D ．1741()2C 【答案】B【分析】由于射击一次命中目标的概率为12，所以关键先求出射击7次有4次命中且恰有3次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果.【详解】因为射击7次有4次命中且恰有3次连续命中有24A 种情况，所以所求概率为7241A 2⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.选B.【点睛】本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题.10．定义1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()int x 为不超过x 的最大整数，例如()int 3.13=，()int 11=，()int 1.62-=-，若区间[],m n （n m -为正整数）在数轴上任意滑动，则区间[],m n 取盖数轴上整数的个数为（ ） A ．()()()1int sgn n m n n -+-- B ．()()()int sgn n m n n -+- C ．()()()1sgn int n m n n -+-- D ．()()()1sgn int n m n n -++-【答案】C【分析】先分析出区间[],m n 上整数的可能个数，结合sgn()x 与()int x 的定义可得答案.. 【详解】因为n m -为整数，所以当n 为整数时，m 也为整数，所以此时[],m n 覆盖数轴上1n m -+个整数， 当n 不是整数时，m 也不是整数，所以此时[],m n 数轴上覆盖n m -个整数.可以验证：区间[],m n 覆盖数轴上整数的个数为()()–1sgn i )t (n n m n n +--， 故选: C.11．用红、黄、蓝，紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“恰有一个面上的三个顶点同色”的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．316【答案】D【分析】求得每个顶点各有四种涂色方法总数为256n =，再求得 “恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基本事件个数m ，结合古典摡型的概率公式，即可求解. 【详解】用红、黄、蓝、紫四种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色， 基本事件总数44256n ==，恰有一个面上的三个顶点同色“包含的基本事件个数111443C C C 48m ==，则“恰有一个面上的三个顶点同色“的概率为48325616m p n === 故选：D.12．二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二制数()0122k a a a a ⋯(*k N ∈）对应的十进制数记为k m ，即1001122...22k k k k k m a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯ ，其中01a =， {}01123i a i k ∈=⋯，（，，，，），则在0128a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的所有二进制数0182(...)a a a 对应的十进制数的总和为（ ） A ．1910 B ．1990 C ．12252 D ．12523【答案】D【分析】利用等比数列前n 项和以及组合数问题可解【详解】根据题意得 8760812812222m a a a =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ，因为在0128a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的有28C =28种可能，即所有符合条件的二进制数()01282 a a a a ⋯ 的个数为28．所以所有二进制数()01282 a a a a ⋯对应的十进制数的和中，82出现28C =28次，72，62…，2，02均出现27C =21次，所以满足0128a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的所有二进制数()01282 a a a a ⋯对应的十进制数的和为27602878C 2+2+...+2+2+C 2=21255+28256=12523⨯⨯（）故选：D ．二、填空题13．若一组观测值()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （10n ≥）对应的点位于同一直线上，则x ，y 的相关系数为______． 【答案】±1【分析】根据相关系数的定义可得答案.【详解】由已知条件和相关系数的定义得，x ，y 的相关系数为±1． 故答案为：±114．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式子中各项系数之和为___________．【答案】1【分析】求二项展开式中各项系数之和，令1x =代入运算求解．【详解】令62112x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，的展开式中各项系数之和为621211⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=1 故答案为：1.15．在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n （3n ≥）行左起第3个数为_______．【答案】262n n -+ 【分析】根据题意先确定每行最后一个数，再求结果【详解】依排列规律得，数表中第1n -行最后一个数为(1)123(1)2n n n -++++-=第()3n n ≥行左起第3个数为2(1)6322n n n n --++=. 【点睛】本题考查归纳推理，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．已知函数43e x y -=的图象与函数ln(1)14x y --=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．【分析】整体代换求解直线l 的解析式，利用导数的几何意义求解函数43e x y -=的图象上到直线l 距离最短的点，即为点P ，即可求解,P Q 两点间的最短距离. 【详解】解：令1t x =-，则1x t =+，4341e =e x t y -+=，ln(1)1ln 144x t y ---==． 因为41e t y +=与ln 14t y -=关于直线y t =对称， 所以函数43e x y -=与函数ln(1)14x y --=关于直线1y x =-对称， 所以P ，Q 两点之间距离的最小值等于P 到直线1y x =-距离最小值的2倍， 函数43e x y -=在00(,)P x y 点处的切线斜率为0434e x k -=， 令0434e 1x -=得，032ln 24x -=，014y =， 所以点P 到直线1y x =-距离的最小值为d ==所以这两点之间距离的最小值为)1ln 222d +=．故答案为：ln 2)2+.三、解答题17．在复平面内，复数222(34)z a a a a i =--+-- （其中a R ∈）. （1）若复数z 为实数，求a 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求a 的值；（3）对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1a =-或4；（2）2a =；（3）()2,4【分析】（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果【详解】（1）因为复数z 为实数，所以2340a a --=， 所以1a =-或4；（2）因为复数z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，所以2a =（3）因为z 对应的点在第四象限，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--<⎩ 解不等式组得，24a <<， 即a 的取值范围是()2,4.【点睛】本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题. 18．人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型．为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标是否“质量优等”进行测量，由测量结果绘成如下频率分布直方图． 其中质量指数值分组区间是 [20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．当指标测量值不低于35时，记为“质量优等”.(1)请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关； 甲有机肥料 乙有机肥料 合计 质量优等 质量非优等 合计(2)在乙种有机肥料的测试中，根据数据分析，可以认为质量指数值Y 服从正态分布(,)N μσ，其中μ近似等于样本平均数x ， 5.6σ≈．请估计质量指数值落在区间（38.1，49.3）内的概率．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值代替））附∶ ①()()()()()22n ad bc x a b c d a c b d -=++++②若Y 服从正态分布(,)N μσ，则()0.683P Y μσμσ-<<+=，(22)0.954P Y μσμσ-<<+=，(33)0.997P Y μσμσ-<<+=．【答案】(1)填表见解析；有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关 (2)0.157【分析】（1）根据直方图先求得“质量优等”的频率，然后不全列联表，结合独立性检验公式，即可求解（2）根据直方图先求平均数，然后结合正态分布的对称性即可求解. 【详解】(1)由直方图可知，使用甲有机肥料的“质量优等”频数为(0.1100.010)510060+⨯⨯=，使用乙有机肥料的“质量优等”频数为(0.0400.020)510030+⨯⨯=， 由上可得2⨯2列联表为()()()()()()2222004200120018.18210010011090n ad bc x a b c d a c b d -⨯-==≈++++⨯⨯⨯2 10.8280.001P x ≥≈（）∴有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关(2)22.50.127.50.232.50.437.50.242.50.132.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=于是Y 近似服从正态分布2(32.5,5.6)N由题知，(38.149.3)(3)P Y P Y μσμσ<<=+<<+1[(33)()]2P Y P Y μσμσμσμσ=-<<+--<<+ 1(0.9970.683)0.1572=-=19．设关于某产品的明星代言费x （百万元）和其销售额y （千万元），有如下表的统计表格：i 1 2 3 4 5 合计 ix （百万元）1.261.441.591.711.827.82iw （百万元）2.00 2.99 4.02 5.00 6.03 20.04iy （百万元）3.204.80 6.50 7.508.00 30.001.56x =， 4.01w =，6y =，5148.66i i i x y ==∑，51132.62i i i w y ==∑，()5210.20i i x x=-=∑，()52110.14i i w w=-=∑表中3(1,2,3,4,5)i i w x i ==．(1)在坐标系中，作出销售额y 关于广告费x 的回归方程的散点图；(2)根据散点图指出：ln y a b x =+，3y c dx =+哪一个适合作销售额y 关于明星代言费x 的回归方程（不需要说明理由），并求出此回归方程．附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，……，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()211niii ni iu v uun u vβ==-⋅-⋅=⋅∑∑，v u αβ=-．【答案】(1)答案见解析(2)3y c dx =+适合，31.15 1.21y x =+【分析】（1）根据表中的数据，在坐标系中作出散点图即可；（2）根据散点图可看出销售额y 关于明星代言费x ，呈指数形式增长，故3y c dx =+适合作销售额y 关于明星代言费x 的回归类方程，利用最小二乘法求回归方程即可. 【详解】(1)解：散点图如下：(2)根据散点图可知，3y c dx =+适合作销售额y 关于明星代言费x 的回归类方程； 令3w x =，则y c dw =+是y 关于w 的线性回归方程，由已知条件得，()515215 1.21iii ii w y w yd w w ==⋅-⋅⋅==-∑∑，1.15c y d w =-⋅=，所以31.15 1.21 1.15 1.21y w x =+=+，故回归方程为：31.15 1.21y x =+20．如图，曲线BRA 是一段二次函数的图象，B 在y 轴上，A 在x 轴上，R 为抛物线段上一动点，以R 为切点的抛物线的切线与x 轴交于P 点，与y 轴交于Q 点，已知抛物线段上存在一点D 到x ，y 轴的距离分别为32，12，且OA ＝1，OB ＝2．过B 作BC x ∥轴，与PQ 交于C ．(1)求抛物线段BRA 的方程；(2)求图中阴影部分的面积取得最小值时，R 点到y 轴的距离．【答案】(1)()22201y x x =-≤≤2【分析】（1）根据题意可得1,0A ，()0,2B -，13,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线方程上，待定系数法求解抛物线方程即可；（2）设()200,22R x x -，利用导数求解直线PQ 的方程，进而得到,C P 坐标，即可求得四边形OBCP 的面积，x ，y 轴与抛物线路段BRA 所围成的面积为定值，利用基本不等式求解四边形OBCP 的面积最小值即可.【详解】(1)解：设抛物线段BRA 的方程为()20y ax bx c a =++≠，由已知得，1,0A ，()0,2B -，13,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入()20y ax bx c a =++≠得，23112420c a b c a b c -=⎧⎪⎪-=++⎨⎪=++⎪⎩，解得202a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以抛物线段的方程为()22201y x x =-≤≤.(2)解：设R 点到y 轴的距离为()00(0,1)x x ∈，由已知得，()200,22R x x -，则PQ 的斜率为()200224x x '-=，所以PQ 的方程为()()2000224y x x x x --=-，令0y =得，00122x x x =+，即001,022x P x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令2y =-得，02x x =，即0,22x C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为x ，y 轴与抛物线路段BRA 所围成的面积为定值，所以图中阴影部分的面积取得最小值等价于直角梯形OBCP 的面积S 取得最小值．四边形OBCP 的面积为0000122212222x xx OP BC S OB x x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=⋅=⋅=+， 因为()00,1x ∈，所以0012S x x ≥=+= 当且仅当0012x x =，即0x = 所以图中阴影部分的面积取得最小值时，R 点到y轴的距离为2. 21．刷抖音是现在不少人喜爱的娱乐方式，既可以在工作之余借助其消除疲劳，还可以学会不少知识，现在抖音里有一款“生活常识答题”程序游戏，其规则如下：每次点击开始答题后，需连续依次回答A ，B ，C 三类题，当回答一类题结束时会根据正确率出现“优秀”或“加油”图标，若三类题答题结束后出现一个或两个“优秀”图标，则最后会显示80分，出现三个“优秀”图标，则显示200分，否则会显示-20分.小张同学正确回答A ，B ，C 三类题出现“优秀”的概率依次分别为45，34，23.(1)记小张同学答题活动结束出现“优秀”的图标个数为X ，求X 的分布列与数学期望； (2)小张同学如果答题4次，求4次中至少有2次获得200分的概率. 【答案】(1)分布列见解析，13360； (2)328625. 【分析】（1）求出X 的所有可能值，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算各个取值的概率，列出分布列并计算期望作答.（2）利用（1）中信息，利用对立事件概率、独立重复试验的概率列式计算作答. 【详解】(1)依题意，X 的所有可能值为0，1，2，3，11114111311123(0),(1)5436054354354320P X P X ==⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，431412132134322(2),(3)543543543305435P X P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯=，所以X 的分布列为：数学期望为13132133()0123602030560E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)由（1）知，小张每次获得200分的概率为25，设小张获得200分的次数为Y ，于是得041344323328(2)1(1)1(0)(1)1C ()C ()()555625P Y P Y P Y P Y ≥=-≤=-=-==--=，所以4次中至少有2次获得200分的概率为328625. 22．已知函数()21e 2x f x x =-，()()1R g x ax a =+∈．(1)求()f x 的图象在x =0处的切线方程；(2)当[)0,x ∈+∞时，()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围．（结论：当1a > 时，函数e x y x a =--在[)0,∞+上存在唯一的零点） 【答案】(1)1y x =+ (2)(],1-∞【分析】（1）求出函数的导数，从而求出切线的斜率，根据导数的几何意义即可求得答案;（2）构造函数()()()h x f x g x =-，将[)0,x ∈+∞时，()()f x g x ≥成立的问题，转化为函数的最值问题，进而求出函数导数，根据导数的最值，分类讨论，判断导数的正负，从而判断函数的单调性，解得答案.【详解】(1)()e xf x x '=-，所以切线的斜率为()01,(0)1f f '==，所以()f x 的图象在0x =处的切线方程为()()00y f f x '-=，即1y x =+；(2)令()()()h x f x g x =-，所以21()e 12x h x x ax =---，所以，()e x h x x a '=--，设()e ,()e 1x x m x x a m x '=--∴=-， 因为[)0,x ∈+∞，所以()0m x '≥，所以()h x '在[)0,∞+上单调递增，所以()()01h x h a ''≥=-，当1a ≤时，()10h x a '≥-≥，所以21()e 12xh x x ax =---在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=，所以当[)0,x ∞∀∈+，()()f x g x ≥成立；当1a >时，因为()e x h x x a '=--在()0,∞+上存在唯一的零点，不妨设为0x ，又()h x '的导函数为e 10x -≥在[)0,∞+上恒成立，所以()h x '在[)0,∞+上单调递增， 所以[]00,x x ∈时，()0h x '≤，所以()h x 在[]00,x 上单调递减，所以()()000h x h <=， 即当1a >时，存在()00,x ∈+∞，()()00f x g x <，与题意不符， 所以a 的取值范围为(],1-∞.。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
河南省豫西名校2013-2014学年高二数学下学期第二次联考试题 文(扫描版)新人教A版
河南省豫西名校2013-2014学年高二数学下学期第二次联考试题文（扫描版）新人教A版（2）==11. 538＞10.828……10分∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系。
………12分19. 解：（1）C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：64x2＋9y2＝1C 1：为圆心是，半径是1的圆。
C 2：为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
………4分21．解：（1）当a ＝0时， f (x )＝x 2－ln x ∴ f ＇(x )＝2x －x 1…………1分 ∴ f ＇(1)＝1，f (1)＝1函数y ＝f (x )在点（1，f (1)）处的切线方程为x －y ＝0…………3分 （2）函数f (x )在 [1，2]上是减函数f ＇(x )＝2x ＋a －x 1＝x 2x2＋ax －1≤0在 [1，2]上恒成立…………4分 令h (x )＝2x 2＋ax －1，有2≤0得272…………6分 ∴ a ≤－27…………7分（3）假设存在实数a ，使g (x )＝ax －ln x 在x ∈(0，e ]上的最小值是3g ＇(x )＝a －x 1＝x ax －1…………8分①当a ≤0时，g ＇(x )＜0，∴ g (x )在(0，e ]上单调递减，g (x )min ＝g (e )＝ae －1＝3 ∴a ＝e 4(舍去)②当a ＞0且a 1≥e 时，即0＜a ≤e 1，g ＇ (x ) ＜0在(0，e ]上恒成立， ∴ g (x )在(0，e ]上单调递减，g (x )min ＝g (e )＝ae －1＝3 ∴a ＝e 4(舍去) …………11分③当a ＞0且a 1＜e 时，即a ＞e 1，令g ＇(x ) ＜0，得0＜x ＜a 1；g ＇(x )＞0，得a 1＜x ≤e ；∴ g (x )在(0，a 1)上单调递减，在(e ，a 1]上单调递增 ∴ g (x )min ＝g (a 1)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2满足条件综上所述，存在实数a ＝e 2，使g (x )＝ax －ln x 在x ∈(0，e ]上的最小值是3…………12分 22. 解：（1）设椭圆C 的方程为a2x2＋b2y2＝1（a ＞0，b ＞0），由2a =2得 a =由e ＝a c ＝a a2－b2＝55，得b 2=1，∴椭圆C 的方程为5x2＋y 2＝1．…………………………4分。
河南高二上学期期末数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．若的展开式中的常数项为－20，则a =（ ） 6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．2B ．－2C ．1D ．－1 【答案】D【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项. 【详解】已知的展开式中的通项公式为：，令，求得：，6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621r r r r T C a x -+=⋅⋅620r -=3r =可得展开式的常数项为：，解得：. 63320C a ⋅-=1a =-故选：D.2．设某医院仓库中有10盒同样规格的X 光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一111,,101520盒，再从这盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为（ ）A ．0.08B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】A【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以A 1，A 2，A 3分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B 表示取得的X 光片为次品，P =，P =，P =， ()1A 510()2A 310()3A 210P =，P =，P =； ()1|B A 110()2|B A 115()3|B A 120则由全概率公式，所求概率为P =P +P +P()B ()()11|A P B A ()()22|A P B A ()()33|A P B A =×+×+×=0.08. 510110310115210120故选：A3．的值等于0121834521C C C C ++⋯++A ．7351B ．7355C ．7513D ．7315【答案】D 【详解】原式等于，故选D.433344452122......7315C C C C C ++++==4．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）()2a =12b ⎛= ⎝ a b A ． B ． C ． D ．)()(14⎛ ⎝【答案】A【分析】根据投影向量的公式求解即可【详解】在上投影向量 a b)212a b a b b b⋅=⋅===r r r r r r 故选：A5．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为C 22221x y a b+=0a b >>()00,P x y ．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C C 心率为（ ）A ．BCD12【答案】C【分析】根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.【详解】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大， (),0a ±2minb R a =()0,b ±则，因为，所以，所以，2max a R b =max min 8R R =228a b b a =⨯2a b =e =故选：C.6．已知抛物线的焦点为， 点为抛物线上一点，点，则的最小2:4C y x =F PC ()2,2A PA PF +值为 （ ）A B ．2 C D ．3【答案】D【分析】求出抛物线C 的准线l 的方程，过A 作l 的垂线段，结合几何意义及抛物线定义即可得解.【详解】抛物线的准线l ：，显然点A 在抛物线C 内，过A 作AM ⊥l 于M ，交抛2:4C y x ==1x -物线C 于P ，如图，在抛物线C 上任取不同于点P 的点，过作于点N ，连PF ，AN ，， P 'P 'P N l '⊥,P A P F ''由抛物线定义知，，||||||||||||||||||||PA PF PA PM AM AN P A P N P A P F ''''+=+=<<+=+于是得，即点P 是过A 作准线l 的垂线与抛物线C 的交点时，min (||||)||2(1)3PA PF AM +==--=取最小值，PA PF +所以的最小值为3.PA PF +故选：D7．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 16141312【答案】A 【分析】分别求出所有的安排情况，再求甲乙两人安排在同一个舱内的情况，最后用古典概率公式可求解.【详解】从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能，2242=62=12C A ⋅⨯要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能. 22=2A所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率. 21126P ==故选：A 8．现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（ ）A ．种B ．种 10201280C ．种D ．种15601680【答案】C【分析】先对志愿者进行分组，然后安排到四个场馆，由此计算出正确答案.【详解】根据题意，若名志愿者以形式分为四个服务小组，6"2,2,1,1"共有种分配方法； 22464422C C A 1080A ⨯=若名志愿者以形式分为四个服务小组，6"3,1,1,1"共有种分配方法.3464C A 480⨯=故共有种分配方法.10804801560+=故选：C9．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动221:2440C x y x y ++++=222:4210C x y x y +-++=M N 1C 2C 点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）P :2l y x =+MP NP+A ．B ． CD333-3【答案】A【解析】分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点1C 2C 1C l C 'C '与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问M '1C M P C '2C 题，据此分析可得答案．【详解】圆，即，圆心为，半径， 221:2440C x y x y ++++=()()22121x y +++=()1,2--1R =圆，即，圆心为，半径， 222:4210C x y x y +-++=()()22214x y -++=()2,1-2r =设点关于直线对称的点为()1,2--:2l y x =+(),a b 则 ，解得：， 21121222b a b a +⎧=-⎪⎪+⎨--⎪=+⎪⎩41a b =-⎧⎨=⎩圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为1C :2l y x =+C '()4,1-1R '=， ()()22411x y ++-=设圆上的点与圆上点对称，则有，C 'M '1C M PM PM '=原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，P C '2C连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，2C C 'l P P PN PM '+此时，即的最小值为，233PN PM C C ''+=-=MP NP +3故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆1C :2l y x =+()()22411x y ++-=P 和圆上的动点距离之和最小值问题.C '2C 10．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k 份核酸再逐份检测，此时，这k 份核酸的检测次数总共为次.假1k +设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下面哪个p 值能使得混合检测方式()01p p <<10k =优于逐份检测方式.（参考数据：）（ ）lg 0.7940.1≈-A ．0.1B ．0.3C ．0.4D ．0.5【答案】A【分析】计算混合检测方式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要Y ()E Y 检测的总次数，知，利用求解可得p 的范围，即可得出选项. X ()10E X =()()E Y E X <【详解】设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y 可能取值为1，11.，， ()()1011P Y p ==-()()101111P Y p ==--故Y 的分布列为： Y1 11 P()101p -()1011p --()()()()10101011111111101E Y p p p ∴=⨯-+⨯--=-⨯⎦-⎡⎤⎣设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X ，则()10E X =要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需()()E Y E X <即，即，即 ()101110110p -⨯-<()101110p ->0.1011p -->又，lg 0.7940.1≈-，lg0.7941010.794p >=∴-，.0.79.140206p ∴=<-00.206p <<∴故选：A.二、多选题11．已知在直三棱柱中，底面是一个等腰直角三角形，且，E 、F 、G 、111ABC A B C -1AB BC BB ==M 分别为的中点．则（ ）1111B C A B AB BC ，，，A ．与平面B ．与所成角为 1GB 11ACC A 1AB 1BC 3πC ．平面EFBD ．平面⊥平面 1//A M 1AB C 1A MC 【答案】BCD【分析】建系，利用坐标法，根据线面角，线线角的向量求法可判断AB ，根据线面平行的判定定理可判断C ，利用线面垂直的判定定理先证平面，可得，再证平面BC ⊥11ABB A 1BC AB ⊥1AB ⊥，然后根据面面垂直的判定定理即得．1A BC 【详解】如图1，建立空间之间坐标系，设，则有：2AB =，()()()()()()110,2,00,0,02,0,00,1,02,0,20,0,2A B C G C B ，，，，， ∴，，，，，()10,1,2GB =- ()2,2,0AC =- ()10,0,2CC = ()12,0,2BC = ()10,2,2AB =- 设平面ACC 1A 1的法向量为(),,n x y z = 则有，令x ＝1，则， 122020n AC x y n CC z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ()1,1,0n =r 则，111cos ,n GB n GB n GB ⋅=== ∴与平面，A 错误； 1GB 11ACC A∵， 1111111cos ,2BC AB BC AB BC AB ⋅=== ∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为，则夹角为，B 正确； 12π3如图2：连接，设，连接OF ，1EF BE B M ，，1BE B M O =E 、M 分别为的中点，则且，11B C BC ，1//B E BM 1B E BM =∴为平行四边形，则O 为的中点，1EMBB 1MB 又∵F 为的中点，则，11A B 1//OF A M平面EFB ，平面EFB ，OF ⊂1A M Ë∴平面EFB ，C 正确；1//A M 由题可知平面即为平面，1A MC 1A BC 由题意可得：，1BC AB BC BB ⊥⊥，又，平面， 1AB BB B Ç=AB ，1BB ⊂11ABB A ∴平面，BC ⊥11ABB A 平面，则，1AB ⊂11ABB A 1BC AB ⊥又∵为正方形，则，11ABB A 11A B AB ⊥又，平面，1BC A B B ⋂=,BC 1A B ⊂1A BC 所以平面，平面，1AB ⊥1A BC 1AB ⊂1AB C ∴平面⊥平面，即平面⊥平面，D 正确.1AB C 1A BC 1AB C 1A MC 故选：BCD ．12．月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A ，与半椭圆()3,0F ()0y t t =>交于点B ，则下列结论正确的是（ ）A B ．点关于直线的对称点在半圆上 F 12y x =C ．面积的最大值是 ABF △)914D ．线段AB 长度的取值范围是(0,3+【答案】ACD【分析】由题意可求出半圆和椭圆的方程，即可求得椭圆离心率，判断A ；求出关于直线F的对称点即可判断B ；设坐标，表示出面积，利用基本不等式求得其最大值，12y x =,A B ABF △判断C ；结合半圆的半径以及椭圆的长半轴长，可确定线段AB 长度的取值范围，判断D ；【详解】由题意得半圆的方程为，()22+90x y x =≤设椭圆的方程为， ()222210,0x y a b x a b+=>>≥所以 ，所以， 33b c =⎧⎨=⎩218a =a =所以椭圆的方程为． ()2210189x y x +=≥A ．椭圆的离心率是，故A 正确； c e a ===B ．设关于直线的对称点为， ()3,0F 12y x =(),m n 可得且， 23n m =--113222m n +=⨯解得，即对称点为， 912,55m n ==912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭因为半圆的方程为，()22+90x y x =≤所以对称点为不在半圆上，故B 错误； 912,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．由题得面积， ABF △1||2S AB t =⨯设，())22111,,9,03A x t x t x t ∴+=∴=<<设 ()22222,,1,189x t B x t x ∴+=∴所以，||AB =所以12S t t =⨯=，当且仅当时等号成立，故C 正确； )914≤=t =D ．当时，时，，0t →||3AB →+3t →||0AB →所以线段AB 长度的取值范围是，故D 正确；(0,3+故选：ACD.三、填空题13．已知双曲线的一条渐近线方程为，且其右焦点为，则双()2222:10,0x y C a b a b-=>>43y x =()5,0曲线的标准方程为__________.C 【答案】 221916x y -=【分析】依题意可得，，即可求出、的值，从而得解. 43b a =5c =a b 【详解】双曲线的渐近线方程为， ()2222:10,0x y C a b a b-=>>43y x =可得，其右焦点为，可得，又， 43b a =()5,05c =222c a b =+解得，，3a =4b =则双曲线的方程为：． C 221916x y -=故答案为：． 221916x y -=14．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面恰好过112AA =AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点.当底面ABC 水平放置时，液面高为__________.【答案】9【分析】先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面ABC 水平放置时，液面高度.【详解】设的面积为x ，底面ABC 水平放置时，液面高为hABC A 则水的体积为 1121294V x x x =-⨯=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，解得9V x h x =⋅=9h =故答案为:9 15．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.【答案】 67【分析】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件A B C D为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.D B C =⋃【详解】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件A B C D 为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，D B C =⋃B C 又，，， ()11223225710C C C P A C +==()122515C P AB C ==()11222525C C P AC C ==故. ()()()()()()()()()67P AB P AC P D A P B C A P B A P C A P A P A =⋃=+=+=故答案为：. 67【点睛】方法点睛：求条件概率的常用方法： （1）；()()()P AB P B A P A =（2）；()()()n AB P B A n A =（3）转化为古典概型求解.四、双空题16．已知的展开式中前三项的二项式系数之和为46，_____；展开式中系数()2nn x *⎫+∈⎪⎭N n =最大的项________． 【答案】 9925376x -【分析】由题意得：，得，又二项式的展开式通项为：()0121C C C 1462n n n n n n -++=++=9n =，得即可解决. 9192C rrrr T x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭11991199C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩【详解】由题意得：，解得：或，()0121C C C 1462n n n n n n -++=++=9n=10-因为，n *∈N 所以（舍去），从而， 10n =-9n =因为二项式的展开式通项为：， 9192C rrrr T x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭所以系数为，要求其最大值，9C 2rr⋅所以只要满足，即， 11991199C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩()()()()()()119!9!22!9!1!10!9!9!22!9!1!8!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+-⎩解得：， 172033r ≤≤因为， r ∈N 所以，6r =所以系数最大项为69362792C 5376T x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭故答案为：9；925376x -五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知圆：．xOy C 22(1)(2)9x y ++-=(1)若直线：恒过圆内一定点，求过点的最短弦所在直线的方程； l 10kx y k -+-=C M M (2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有，求的最小值． C ()11,P x y C Q PQ PO=PQ 【答案】(1)； 210x y --=【分析】（1）首先求出直线所过定点，然后分析出最短弦与垂直，求出斜率，写出直l ()1,1M CM 线即可；（2）根据题意得到，即，即，化简22||9PQ PC =-22||9PO PC =-22221111(1)(2)9x y x y +=++--得到的轨迹方程为，求出点到上述直线的距离即为 最小值. P 220x y --=O PO 【详解】（1）直线的方程变形为，l ()()110k x y -+-=令，解得，1010x y -=⎧⎨-=⎩11x y =⎧⎨=⎩所以无论取何值，直线过定点， k l ()1,1M 又因为圆的圆心，C ()1,2C -因为过点的最短弦与垂直，且直线CM 的斜率， M CM 211112CM k -==---所以最短弦所在直线的斜率为，2故最短弦的直线方程为，即；()121y x -=-210x y --=（2）由于，2222||||9PC PQ r PQ =+=+所以，22||9PQ PC =-又，PQ PO =所以，22||9PO PC =-所以，化简得，22221111(1)(2)9x y x y +=++--11220x y --=所以点的轨迹方程为， P 220x y --=因为，PQ PO =所以取得最小值，即取得最小值， PQ PO点到直线的距离 O 220x y --=d即的最小值为．PQ 18．甲，乙，丙三名同学相约一起打乒乓球，已知丙与甲，乙比赛，丙每局获胜的概率分别为，23，每局比赛的结果互不影响，若乙，丙采用“三局两胜制”进行比赛，丙获胜的概率为()01p p <<. 295p (1)求的值；p (2)在甲，乙两名同学中用抽签法随机选择一名同学与丙进行一局比赛，求丙获胜的概率.【答案】(1)35(2) 1930【分析】（1）分情况，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，或者前两局乙，丙各胜一局且第三局丙胜，再根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得； （2）根据全概率公式计算可得.【详解】（1）由题知，乙，丙进行比赛，丙每局获胜的概率为，若乙，丙采用“三局两()01p p <<胜制”进行比赛，丙获胜有两种可能：丙前两局连胜，概率为；或者前两局乙，丙各胜一局21=p p 且第三局丙胜，概率为，所以丙获胜的概率为，计算得1222(1)p p p =-C 2122C (1)p p p +-=295p p =. 35（2）设事件为：甲与丙进行比赛，事件为：乙与丙进行比赛，事件为：丙比赛获胜，则1A 2A B ，，，，所以()112P A =()212P A =()123P A B =()235P A B =.()()()()()1122121319==232530P B P A P B A P A P B A =+⨯+⨯19．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为，，且X Y 和的分布列如下表：X YX 0 1 2P 35 110 310Y 012P1231015试对这两名工人的技术水平进行比较． 【答案】乙的技术更稳定．【分析】根据分布列分别求甲和乙的期望和方差，再进行比较. 【详解】【解】工人甲生产出次品数的均值和方差分别为 X ，()3130120.751010E X =⨯+⨯+⨯=．()()()()22231300.710.720.70.8151010D X =-⨯+-⨯+-⨯=工人乙生产出次品数的均值和方差分别为 Y ，()1310120.72105E Y =⨯+⨯+⨯=．()()()()22213100.710.720.70.612105D Y =-⨯+-⨯+-⨯=由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技()()E X E Y =()()D X Y D >术更稳定．20．如图，在四棱锥中，平面平面，是P ABCD -PAD ⊥,2,4,ABCD PA AD BD AB ====BD的平分线，且.ADC ∠BD BC ⊥(1)若点为棱的中点，证明：平面；E PC BE A PAD (2)已知二面角的大小为，求平面和平面的夹角的余弦值. P AB D --60 PBD PCD 【答案】(1)证明见解析.(2). 35【分析】(1)延长交于点，连接,证明即可；,CB DA F PF BE PF ∥(2)以的中点为为原点 ，建立空间直角坐标系，用向量法解决问题.AD O 【详解】（1）延长交于点，连接， ,CB DA F PF 在中，CDF A 是的平分线，且， BD Q ADC ∠BD BC ⊥是等腰三角形，点是的中点，∴CDF A B CF 又是的中点，E PC ，BE PF ∴∥又平面平面，PF ⊂,PAD BE ⊄PAD 直线平面.∴BE A PAD（2）在中，， ABD △2,4,AD BD AB ===则，即，90BAD ∠=BA AD ⊥由已知得， 60,8BDC BDA CD ∠∠=== 又平面平面平面 PAD ⊥,ABCD BA ⊂ABCD 所以平面，即，BA ⊥PAD BA PA ⊥所以以为二面角的平面角，PAD ∠P AB D --所以，60PAD ∠= 又，所以为正三角形，2PA AD ==PAD A 取的中点为，连，则平面 AD O OP ,OP AD OP ⊥⊥,ABCD 如图建立空间直角坐标系，则，()()()()(1,0,0,1,,5,,1,0,0,A B C D P --所以，(()(),2,,4,DP BD DC ==--=- 设分别为平面和平面的法向量，则()()111222,,,,,m x y z n x y z ==PBD PCD ，即，取，则，00m DP m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩1111020x x ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩11y =-)1,1m =-- ，即，取，则，00n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩2222040x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩21y=)1n =- 所以.3cos ,5m n m n m n ⋅==⋅则平面和平面所成夹角的余弦值为.PBD PCD 3521．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表： 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数 38 39 40 41 42 天数 51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；X X （2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.【解析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为，然后依次求出、、a 38a =39a =40a =、、时的工资以及概率，即可列出的分布列并求出数学期望；41a =42a =X p X （2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果.【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为， a 当时，，； 38a =386228X =⨯=515010p ==当时，，； 39a =396234X =⨯=101505p ==当时，，； 40a =406240X =⨯=101505p ==当时，，； 41a =40617247X =⨯+⨯=202505p ==当时，，， 42a =40627254X =⨯+⨯=515010p ==故的所有可能取值为、、、、， X 228234240247254故的分布列为：XX 228 234 240 247 254P 110 15 1525110故. 11121()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：，380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=则甲公司送餐员日平均工资为元，80439.7238.8+⨯=因为乙公司送餐员日平均工资为元，， 241.8238.8241.8<所以推荐小王去乙公司应聘. 【点睛】关键点点睛：（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.22．已知点，点M 是圆A ：上任意一点，线段MB 的垂直平分线交半径MA()10B ,()22116x y ++=于点P ，当点M 在圆A 上运动时，记P 点的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；(2)作轴，交轨迹E 于点Q （Q 点在x 轴的上方），直线与轨迹E 交于BQ x ⊥():,l x my n m n =+∈R C 、D （l 不过Q 点）两点，若CQ 和DQ 关于直线BQ 对称，试求m 的值.【答案】(1)22143x y +=(2) 2m =【分析】（1）利用椭圆定义即可求得轨迹E 的方程；（2）先将直线的方程与轨迹E 的方程联立，再利用设而不求的方法表示，进而得到l 0CQ DQ k k +=的关系式，从而求得m 的值.m n 、【详解】（1）圆的圆心，半径，()22:116A x y ++=()1,0A -4r =点为线段的垂直平分线与半径的交点，，P MB MA PM PB ∴=，42PA PB PA PM AM AB ∴+=+==>=点的轨迹是以､为焦点的椭圆，设其方程为，P ∴E A B ()222210x y a b a b +=>>则，，所以，，24a =22c =2a =1c =b =因此，轨迹的方程为.E 22143x y +=（2）设、，轴，点在轴的上方，()11,C x y ()22,D x y BQ x ⊥ Q x 将代入方程，可得，则， 1x =22143x y +=32y =±31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立可得， 223412x my n x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mny n +++-=，可得，()()222236123440m n m n ∆=-+->2234n m <+由韦达定可得，. 122634mn y y m +=-+212231234n y y m -=+因为、关于直线对称，则，CQ DQ BQ 0CQ DQ k k +=则，()()1212211233332201101122y y x y x y x x --⎛⎫⎛⎫+=⇒--+--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又，，11x my n =+22x my n =+则，()12123213302my y n m y y n ⎛⎫+--+-+= ⎪⎝⎭即， 222312362133034234n mn m n m n m m -⎛⎫⎛⎫⋅+--⋅--+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭化简得： ，即()2328440m n m n +--+=()()23220m m n -+-=则或，2m =3220m n +-=当时，，3220m n +-=312n m =-此时，直线的方程为，l 331122x my m m y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭直线过点，不合题意.l 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭综上所述，.2m =。
河南省洛阳市高二数学下学期期末考试 理 新人教A版
河南省洛阳市2012-2013学年第二学期期末考试高二理科数学第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数Z 满足Zi =2-i ，则复数Z 在复平面所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如果随机变量X ～N(2，ς2)，若P(X<a )=0．2，则P(X<4-a )= A ．0．2 B ．0．4 C ．0．6 D ．0．83．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2 a n -2(n ∈N *)，则a 2等于 A ．4 B ．2 C ．1 D ．-2 4．下列命题错误的是A ．命题“若x 2-5x +6=0，则x =2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2-5x 2+6≠O ” B ．“a >1且b >1”是“ab >1”的充分不必要条件C ．已知命题p ，q ，若p ∨q 为假，则命题p ，q 中必定是一真一假D ．命题p ：∃x 0∈R ，使x 02+ x 0+1<0；则﹁P ：∀ x ∈R ，x 2+ 0+1≥O5．设直线y=-3x +m 是曲线y=x 3-3 x 2的一条切线，则实数m 的值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．下列几个说法：①由样本数据得到的线性回归方程y ^=b ^x +a^，则回归直线必过样本点的中心(x ，y )；②对于随机变量ξ，η，若η=2ξ-l ，则E(η)=2E(ξ)-1，D(η)=2D(ξ)；③袋里有5个红球，4个黑球，从中任取4个．若X 表示其中的红球个数，则随机变量X服从超几何分布，且P(X=k)=49k -44k 5C C C (k=0，1，2，3，4)． 其中正确命题的个数是A ．3 8．2 C ．1 D ．0 7．已知(x +xa )6(a >0)展开式中的常数项为240，则(x+a )(x-2 a )2展开式中含x 2项的系数为A ．-8B ．-6C ．8D ．108．如图，E 是边长为2的正方形ABCD 的中心，曲线y=a x 2+bx +c 过点C ，D ，E ，则正方形内的点在曲线上方区域的概率为A ．43 B ．32 C ．31 D ．419．双曲线3x 2-2y =1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线上，且|P F 1|+|P F 2|=25，则△PF 1F 2的面积为 A ．21B ．1C ．3D ．5 10．若函数y=log a (x +3)-1(a >0且a≠1)的图象恒过定点A ，且点A 在直线m x -ny+1=0(m>0，n>0)上，则m 1+n1的最小值等于 A ．16 B ．12 C ．9 D ．811．观察下列各式：a+b=1，a 2+b 2=3，a 3+b 3=4，a 4+b 4=7，a 5+b 5=11，…，则a 10+b 10= A ．28 B ．76 C ．123 D ．19912．函数f （x )的定义域为D ，若存在区间[m ，n]⊆D ，使得函数f （x )满足：①在[m ，n]内是单调函数；②在[m ，n]上的值域为[2m ，2n]，则称区间[m ，n]为函数f(x )的“和谐区间”．下列结论错误的是A ．函数f(x )= x 2(x ≥0)存在“和谐区间”B ．函数f （x )=e x(x ∈R)不存在“和谐区间” C ．函数f(x )=142+x x( x ≥0)存在“和谐区间” D ．函数f(x )= log a (a x -81)(a >0且a ≠1)不存在“和谐区间”第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222y x y x x ，则y x z 3-=的最小值是 .14．若一个三位数的十位数字均小于个位和百位数字，我们称这个数是“凹形”三位数．现用0，1，2,…，9这十个数字组成没有重复数字的三位数，其中是“凹形”三位数有 个(用数值作答)．15．已知数列{a n }是等差数列，a 1+ a 3+ a 5=105，a 2+ a 4+ a 6=99，S n 是{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n= ．16．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量 m =(3，-1)，n =(cosA ，sinA)．若m ⊥n ，且acosB+bcosA=csinC ，则B= ．三、解答题：本大题共6小题．满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos （C+4π）+sin （C-4π）=22．（1）求角C ；（2）若c=23，且sinA=2sinB ，求△ABC 的面积.18．(本题满分12分)甲乙两所学校高二年级分别有1200名、1000名学生．为了了解这两所学校全体高二学生在该地区五校联考的数学成绩情况，现采用分层抽样方式从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，频率分布统计表如下： 分组 [70,80) [80,90) [90,100) [100，1l0) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 频数 3481515x 3 2分组 [70,80) [80,90) [90,100) [100，1l0) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] 频数12891010y 3机抽2人，求抽取的两人在[70，80)，[80，90)各一人的概率；(2)若规定成绩在[120，150]内为优秀，由以上统计数据填写下面的2×2列联表，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为数学成绩与学校有关系?优秀 不优秀 合计 甲校 乙校 合计参考公式：K 2=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-(其中n=a+b+c+d)独立性检验临界值表： P(k 2≥k 0)0.1O 0．O5 0.010 k 02.7063.8416.63519．(本题满分12分)如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD ⊥CD ，AB∥CD ，AB=AD=21CD=2． (1)证明：平面BDE ⊥平面BEC ；(2)求平面BEC 与平面ADEF 所成二面角的余弦值． 20．(本题满分12分)已知圆2x +2y -2x-2y=0经过椭圆T ：22x a +22y b=1(a >b >0)的右焦点F 及上顶点B ．(1)求椭圆T 的方程；(2)过椭圆T 外一点M(m ，0)且倾斜角为65π的直线l 交椭圆T 于C ，D 两点，若以CD 为直径的圆经过点F ，求实数m 的值． 21．(本题满分12分)甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次．已知甲击中目标的概率为53．乙与丙击中目标的概率分别为m ，n(m>n)，每个人击中目标与否是相互独立的．记目标被击中的次数为ξ0 1 2 3 P151 101 ab(1)求m ，n 的值；(2)求ξ的数学期望E ξ．22．(本题满分l2分)已知函数f(x )=ax 2-ln x （x>0）在x =2处的切线与直线y=23x+1平行. (1)求a 的值及f(x)的单调区间； (2)令g(x) =x 2-2mx+23，若对任意x 1∈[0，e]，均存在x 2∈[0，2]，使得f(x 1)>g(x 2)，求实数m 的取值范围．。
河南省洛阳市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷A卷
河南省洛阳市2019-2020学年数学高二下学期理数期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·延边月考) 从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高x/cm160165170175180体重y/kg6366707274根据上表可得回归直线方程 =0.56x+ ,据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为（）A . 70.09 kgB . 70.12 kgC . 70.55 kgD . 71.05 kg2. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 某球星在三分球大赛中命中率为，假设三分球大赛中总计投出8球，投中一球得3分，投丢一球扣一分，则该球星得分的期望与方差分别为（）A . 16，32B . 8，32C . 8，8D . 32，323. （2分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程＝ x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A . 63.6万元B . 65.5万元C . 67.7万元D . 72.0万元4. （2分）一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（）A .B .C .D .5. （2分）给定两个命题p，q．若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2018高二下·通许期末) 口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列，如果为数列前项和，则的概率等于（）A .B .C .D .7. （2分）“a≥0”是“函数在区间（－∞，0）内单调递减”的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 即不充分也不必要条件8. （2分）为了迎接校运会，某班从5名男生和4名女生组成的田径运动员中选出4人参加比赛，则男、女生都有，且男生甲与女生乙至少有1人入选的选法有（）种A . 120B . 86C . 82D . 809. （2分） (2016高二下·通榆期中) 对标有不同编号的16件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出次品的条件下，第二次也摸到次品的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·孝感期末) 湖心有四座小岛，其中任何三座都不在一条直线上．拟在它们之间修建3座桥，以便从其中任何一座小岛出发皆可通过这三座桥到达其它小岛．则不同的修桥方案有（）A . 4种B . 16种C . 20种D . 24种11. （2分） (2018高二下·通许期末) 若，则的值为（）A . 1B . －1C . 0D . 212. （2分）对，若，且，，则（）A .B .C .D . 的大小关系不能确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若随机变量ξ的分布列如下表：ξ01xP p且E（ξ）＝1.1，则D（ξ）＝________．14. （1分）用数学归纳法证明“ n3+5n 能被6整除”的过程中，当 n=k+1 时，式子(k+1)3+5(k+1) 应变形为________．15. （1分）“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是________16. （1分） (2018高二下·通许期末) 将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个小球，则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是________.三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2018高二下·河池月考) 复数，，，若是实数，（1）求实数的值；（2）求的模.18. （5分）(2017·成都模拟) 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分[20，40）[40，60）[60，80）[80，100]频数6a24b（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈．现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；（Ⅲ）某评估机构以指标M（M= ，其中D（ξ）表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动五校，应调整安全教育方案．在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？19. （10分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”附：X2= ，P（X2≥k）0.050.01k 3.841 6.635（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷“与性别有关？（注：0.95以上把握说明有关）非体育迷体育迷合计男女1055合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）20. （10分） (2017高二下·红桥期末) 已知（3x+ ）n的展开式中各二项式系数之和为16．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中x项的系数．21. （5分）求曲线y=2x﹣x2 ， y=2x2﹣4x所围成图形的面积．22. （10分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 在极坐标系中,曲线极坐标方程为 ,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为参数（1）写出曲线的参数方程和直线的普通方程;（2）已知点是曲线上一点,求点到直线的最小距离.23. （10分） (2019高一上·鄞州期中) 已知函数，函数，其中实数．（1）当时，对恒成立，求实数的取值范围；（2）设，若不等式在上有解，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
河南省高二下学期2月月考数学试题(解析版)
一、单选题1．，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，则一100122100333=++⋯+a a a x 1a 2a ⋯100a x 定不属于 ()A ．，B ．，C ．D ． [01)(01]12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】运用特殊值法，逐个排除、、，即可得出答案为．A B D C 【详解】解：本题可以用特殊值法进行排除，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，1a 2a ⋯100a 当得，，故错误，1231000a a a a ===⋯==0x =A 当，，，故、错误， 12a =231000a a a ==⋯==23x =B D 故选：．C 【点睛】本题根据选择题的特点，可以运用特例法进行排除得出结论，考查学生灵活运用数学方法解决问题的能力，属于基础题．2．已知公差不为0的等差数列，前项和为，满足，且成等比数列，则{}n a n n S 3110S S -=124,,a a a （ ）3a =A ．B ．C ．或D ．265612【答案】B【解析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求. 3a 【详解】设等差数列的公差为，则 ， d ()()11211133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得或（舍），故， 122a d =⎧⎨=⎩150a d =⎧⎨=⎩()322316a =+⨯-=故选：B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．3．已知等比数列满足，，则 {}n a 118a =35421a a a =-2a =A ． B ． C ．1 D ．21412【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式及，代入首项即可求得公比q ，进而求得的值．35421a a a =-2a 【详解】由等比数列通项公式及，可得 ，代入 35421a a a =-24311121a q a q a q ⋅=-118a =化简得 ，即 6316640q q -+=()2380q -=所以2q =由等比数列通项公式可得 2111284a a q ==⨯=所以选A【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，属于基础题．4．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为{}n a {}n b n n S n T 1n n S n T n =+87a b （ ）A ．B ．C ．D ． 1312141315141615【答案】C【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首{}n a {}n b 1d 2d 项、公差之间的关系,可得结论. 【详解】设等差数列的公差分别为和{}{},n n a b 1d 2.d ,即 11111,12n n S S a n T n T b =∴==+1112a b =,即 ① 2112122223S a d T b d +∴==+11232b d d =-,即 ② 311312333334S a d T b d +∴==+21143d d b =-由①②解得1211,.d d b d == 11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++故选：C5．已知为等差数列，公差，，则（ ）{}n a 2d =24618a a a ++=57a a +=A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】利用等差数列的性质求解.【详解】， 24618a a a ++=，4318a ∴=解得，46a =，64210a a d ∴=+=.576220a a a ∴+==故选：D6．四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若P ABCD -，则等于（ ）23AE x AB yBC z AP =++ x y z ++A ．1B ．C ．D ．21112116【答案】B 【解析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可111222AE AB BC AP =++ ,,x y z 得选项.【详解】因为， ()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE =++=++=++- 所以，所以，所以 ， 2AE AB BC AP =++ 111222AE AB BC AP =++ 111,2,3222x y z ===解得，所以， 111,,246x y z ===11111++24612x y z ++==故选：B.7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下（n a n ）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4*9,≤∈n n N {}n a 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数个圆环所需的最少移动次数为 （ ）A ．7B ．10C ．12D ．22【答案】A【分析】由递推式依次计算．【详解】由题意知，，， 21212111=-=⨯-=a a 32222124=+=⨯+=a a 43212417=-=⨯-=a a 故选：A.【点睛】本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得．8．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）A ．545B ．547C ．549D ．551【答案】C【解析】观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有个数，可求出前行共有个数，根据12m -m 21m -以上特征，即可求解.【详解】由题意可得该数阵中第行有个数，m 12m -所以前行共有个数，所以前8行共255个数.m 21m -因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是.()127512549+-⨯=故选:C.【点睛】本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前项和，认真审题，注意观察找出规律n 是解题的关键，属于中档题.二、多选题9．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，1F 2F C 221y x b -=2F x C A B 若为正三角形，则下列结论正确的是（ ）1ABF AA ．B ．的焦距是2b =CC ．D ．的面积为C1ABF A 【答案】ACD【分析】设，则，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心2||AF t =1||2AF t =率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】设，则，离心率C 正确， 2||AF t =1||2AF t =1212||||F F e AF AF ==-∴，，选项A正确，e =2b =，选项B 错误，12F F ==设，将，()AA A x y ，A x =的面积为D 正确，1ABF A 12122A S F F y =⋅⋅=故选:ACD.10．已知数列满足，下列说法中正确的有（）{}n a ()*,01N n n a n k n k =⋅∈<<A ．当时，数列为递减数列12k ={}n a B ．当时，数列不一定有最大项112k <<{}n a C ．当时，数列为递减数列 102k <<{}n a D ．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项1kk -{}n a 【答案】CD【分析】由于，再根据k 的条件讨论即可得出. ()()1111n n n n n kn k a a n k n +++⋅+==⋅【详解】选项A ，当时，，12k =12nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∴，当时，，()111112212n n n n n a n a n n ++⎛⎫+⋅⎪+⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭1n =12a a =因此数列不是递减数列，故A 不正确．{}n a 选项B ，当时，，112k <<()()1111n n n n n k n ka a n k n +++⋅+==⋅∵随n 的增大逐渐减小，当时，， 111n n n +=+1n =()121n kk n +⋅=>当时，，且小于1， n →+∞()1n k k n+⋅→∴数列一定有最大项，故B 不正确． {}n a 选项C ．当时，，102k <<()()1111112n n n n n k n k a n a n k n n +++⋅++==<≤⋅∴，因此数列为递减数列，故C 正确．1n n a a +<{}n a 选项D ，∵为正整数，∴，∴． 1k k -1k k ≥-112k ≤<， ()()1111n n n n n k n k a a n k n+++⋅+==⋅当时，， 12k =1234a a a a =>>> 当时，令，则， 112k <<()*N 1k m m k =∈-1m k m =+∴，又，，总有成立， ()()111n n n m a a n m ++=+*N m ∈*N n ∈m n =∴， 11n na a +=因此数列必有两项相等的最大项，故D 正确．{}n a 综上可知，只有CD 正确．故选：CD.11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为{}n a n n S ，则下面对该数列描述正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．共有202项11a =333S =437a a -=【答案】AB【分析】利用等差数列的定义、通项公式、前项和公式进行逐一判断即可.n 【详解】将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列为：1，11，21，31 ，2021，该数列是以1为首项，10为公差的等差数列， L 所以，所以，因此选项A 正确；109n a n =-11a =，因此选项B 正确； 31313210332S =⨯+⨯⨯⨯=，所以选项C 不正确；4310a a -=，∴．∴共有203项，所以选项D 不正确，1092021n -≤203n ≤故选：AB12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则n a n 数列满足：，记，则下列结论正确的是（ ）{}n a 12211,n n n a a a a a ++===+121ni n i a a a a ==+++∑ A ．B ．C ．D ．1055a =()2233n n n a a a n -+=+≥201920211i i a a ==∑20212202120221i i a a a ==∑A 【答案】ABD【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答.【详解】依题意，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A 正{}n a 1055a =确；依题意，当时，，得，B 正3n ≥12n n n a a a --=+21213n n n n n n n n a a a a a a a a ---+=+++=++22n n a a -+=+确；由给定的递推公式得：，，…，，累加得321a a a -=432a a a -=202120202019a a a -=，20212122019a a a a a -=+++ 于是有，即，C 错误；1220192021220211a a a a a a +++=-=- 2019202111i i a a ==-∑，，，…，2121a a a =⋅()222312321a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅()233423432a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅ ()22021202120222020a a a a =⋅-，因此，，D 正确.2021202220212020a a a a =⋅-⋅22212202120212022a a a a a +++=⋅ 故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题13．记为等差数列的前n 项和，已知，，则______n S {}n a 40S =510a =n n a S +=【答案】22410n n --【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件列方程组可求出，从而可求出答案.d 1,a d 【详解】设等差数列的公差为，d 因为，，40S =510a =所以，解得， 1143402410a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩164a d =-⎧⎨=⎩所以， 2(1)64(1)6424102n n n n a S n n n n -+=-+--+⨯=--故答案为： 22410n n --14．已知数列满足则___.{}n a 111,2(1),n n a na n a +==+8a =【答案】1024【分析】由可得，从而可得数列是以2为公比，1为首项的111,2(1),n n a na n a +==+121n n a a n n +=⋅+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等比数列，可求出通项公式，进而可求出8a 【详解】因为111,2(1),n n a na n a +==+所以， 121n n a a n n+=⋅+所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，所以， 112n n a n-=⨯12n n a n -=⋅所以，8137108822221024a -=⨯=⨯==故答案为：102415．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．【答案】9【分析】由橘子个数组成等差数列，且公差为3求解.【详解】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列，{}n a 其公差为3，所以，解得， 515453602S a ⨯=+⨯=16a =所以，即第二等诸侯分得的橘子个数是9．29a =故答案为：916．已知数列的首项，则_________． {}n a 1111,12n na a a +==-2021a =【答案】1-【分析】根据题意，分别求得，得出数列是以为周期的周期数列，结合周期1234,,,,a a a a {}n a 3性，即可求解.【详解】由，则， 1111,12n n a a a +==-234123111111,12,1,2a a a a a a =-=-=-==-= 以此类推可知，对任意的，都有，*n ∈N 3n n a a +=即数列是以为周期的周期数列，{}n a 3因为，所以.202136732=⨯+202121a a ==-故答案为：.1-四、解答题17．记是等差数列的前项和，若，n S {}n a n 535S =-721S =-(1)求的通项公式，{}n a (2)求的最小值n S 【答案】(1)419n a n =-(2)-36【分析】（1）设的公差为d ，由等差数列的前项和公式建立方程组，然后可得公差和首项，{}n a n 从而根据等差数列的通项公式即可得答案；（2）由解得，再根据等差数列的前项和公式及二次函数的性质即可求解. 0n a ≥194n ≥n 【详解】（1）解：设的公差为d ，则，， ()1{}n a 1545352a d ⨯+=-1767212a d ⨯+=-，，；115a ∴=-4d =()1541419n a n n ∴=-+-=-（2）解：由得， 4190n a n =-≥194n ≥，，，时，时，，1n ∴=2340n a <5n ≥0n a >的最小值为. n S ∴41434362S a d ⨯=+=-18．已知数列是等差数列，且，求：{}n a 11a =1028a a -=(1)的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值． 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S ()12n m S m N +≤∈n N +∈m 【答案】(1)n a n =(2)9【分析】（1）根据等差数列的定义以及题中所给条件求出公差，即求出了通项公式； d （2）写出数列的前项和，再通过裂项相减法化简，放缩法求出的范围，最后结合所给条件n n S n S 数轴法求出的取值范围并求得最小值.m 【详解】（1）设数列公差为，则，{}n a d 1019a a d =+21a a d =+则，解得.102119()8a a a d a d -=+-+=1d =∴的通项公式为：{}n a 1(1)1n a n n =+-⋅=（2）根据题意， 1324221111111324n n n n n a a a a a a S a a ++=+++=+++⨯⨯ 21111111111111112324223342n n a a n n +⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ . ()()111132331221242124n n n n n ⎡⎤+⎛⎫=⨯+-+=-< ⎪⎢⎥++⋅+⋅+⎝⎭⎣⎦若对任意恒成立，则，解得. ()12n m S m N +≤∈N n +∈3124m ≥9m ≥∴的最小值为9.m 19．在数列中，，对，．{}n a 11a =*n N ∀∈1(1)(1)n n na n a n n +-+=+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和． n b ={}n b n n S 【答案】（1）；（2） . 2n a n =1n n +【解析】（1）先由，进而说明数列是首项、公差均为11(1)(1)11n n n n a a na n a n n n n ++-+=+⇒-=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1的等差数列，求出，即可求得； n a n n a （2）先由（1）中求得的求出，再利用裂项相消法即可求得其前项和．n a n b n n S 【详解】（1），1(1)(1)n n na n a n n +-+=+ ，又， ∴111n n a a n n +-=+111a =数列是首项、公差均为1的等差数列． ∴{)n a n ，所以； ∴()111n a n n n=+-⨯=2n a n =（2）由（1）得，2n a n =， 111(1)1n b n n n n ∴===-++． 111111(1()()1223111n n S n n n n ∴=-+-+⋯+-=-=+++【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．20．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为{}n a 13a =n n S {}n b 11b =，且. (1)≠q q 222212S b S q b +==，(1)求与；n a n b (2)证明：. 1211123n S S S +++< 【答案】(1)；13,3n n n a n b -==(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差d ，公比q 的方程组，解方程组即可计算作答. （2）由（1）的结论，求出，再利用裂项相消法求和推理作答.n S 【详解】（1）设的公差为，因，，，则，而，解{}n a d 13a =11b =222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩6126q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩0q >得：，，3q =3d =于是得，3(1)33n a n n +-⨯==11133n n n b --=⨯=所以，.3n a n =13n n b -=（2）由（1）知，则，， (33)3(1)22n n n n n S ++==12211()3(1)31n S n n n n ==-++*N n ∈于是得， 12111211111111[()((()]31223341n S S S n n +++=-+-+-++-+ 212(1)313n =-<+所以. 1211123n S S S +++< 21．已知数列的前项和满足，．{}1n a +n n S 3n n S a =*n ∈N （1）求证数列为等比数列，并求关于的表达式；{}1n a +n a n （2）若，求数列的前项和． ()32log 1n n b a =+(){}1n n a b +n n T 【答案】（1）证明详见解析；;（2）．312n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）因为，即，当时()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=12...3n n a a a n a ++++=2n ≥，两式相减再配凑得到数列是首项为，公比为的等比数1211...13n n a a a n a --++++-={}1n a +3232列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式；{1}n a +{}n a （2）根据（1）的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，根据{}n b {(1)}n n a b +通项公式的特点运用错位相减法计算出前项和．n n T 【详解】（1）由题设，()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=即①12...3n n a a a n a ++++=当时，，解得， 1n =1113a a +=112a =当时②2n ≥1211...13n n a a a n a --++++-=①－②得，即 1133n n n a a a -+=-13122n n a a -=+又 ()()131122n n a a n -+=+≥1312a +=所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 {}1n a +3232312n n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故． 312nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1），则， ()33223log 1log 2n n n b a n ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭()312n n n a b n ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭ ()123133333123...+122222n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2341333333123...1222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得123111333333...+2222222n n n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1333122n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和，考查学生逻辑推理能力n 和数学运算能力．属中档题．22．已知为等差数列的前项和，，.n S {}n a n 5134a a a =+416S =（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和. 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）；（2）. 21n a n =-21n n T n =+【分析】（1）设数列的首项为，公差为.代入已知条件解得后可得通项公式； {}n a 1a d 1,a d （2）用裂项相消法求和．n T 【详解】（1）设数列的首项为，公差为.{}n a 1a d 由题意得 11141442,4616,a d a a d S a d +=++⎧⎨=+=⎩解得 11,2.a d =⎧⎨=⎩∴数列的通项公式{}n a ()121n a n =+-.21n =-（2）由（1）得， ()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+∴． 1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和．数列求和除需掌握等差数列和等比数列的前项和公式外还需掌握错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等n 求和方法．。