2019年秋人教版九年级上学期数学课件：第22章-22.3-第1课时-二次函数与几何图形面积问题
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(人教版)最新九年级数学上册教材配套教学课件：22.3.1 实际问题与二次函数(一)——几何图形的最大面积
t/s
动中的最大高度是 45 m．
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化 而变化.当l是多少时，场地的面积S最Байду номын сангаас？
1.矩形面积公式是什么？ 2.如何用l表示另一边？ 3.面积S的函数关系式是什么？
l 30-l
S=l(30-l), 即 S=-l2+30l (0<l<30).
速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 3 秒，
C 四边形APQC的面积最小.
Q
A P 图1 B
3.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形
的面积最大？最大值是多少？
解：设一直角边长为x，则另一直角边长为 (8 x )，
依题意得：
S 1 x(8 x) 2
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
32
5.如何求最值？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x(14≤x＜30)
最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，
这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
1.变式2与变式1有什么异同？
当 x b 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ．
2a
4a
t
b 2a
2
30 （
5）
3，
h/m
40
h= 30t - 5t 2
h
4ac b2 4a
302 4 （ 5）
45．
20
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运 O 1 2 3 4 5 6
九年级上册数学(人教版)课件：22.3.2 二次函数与几何综合运用
一、引入新课 上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共 同研究二次函数与几何的综合应用．
二、教学过程 问题1：教材第49页探究1. 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l 的变化而变化．当l为多少米时，场地的面积S最大？ 分析： 提问1：矩形面积公式是什么？ 提问2：如何用l表示另一边？ 提问3：面积S的函数关系式是什么？
答案：x＝－2ba＝－2×（6－ 0 2）＝15 时，Smax＝450.
问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？ 提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？ 提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积 是多少？
分析： 提问1：问题2与问题1有什么不同？ 提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？ 提问3：面积S的函数关系式是什么？ 答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？
x＝18 时，Smax＝378. 小结：在实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象
顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题 2 与问题 3 的 对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以 及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．
三、回归教材 阅读教材第51页的探究3，讨论有没有其他“建系”的方法？哪 种“建系”更有利于题目的解答？ 四、基础练习 1．教材第51页的探究3，教材第57页第7题． 2．阅读教材第52～54页． 五、课堂小结与作业布置 课堂小结 1．利用求二次函数的最值问题可以解决实际几何问题． 2．实际问题的最值求解与函数图象的顶点、端点都有关系，特 别要注意最值的取得不一定在函数的顶点处． 作业布置 教材第52页 习题第4～7题，第9题
人教版九年级上册数学精品教学课件 第22章 二次函数 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题
1 令 x＝0 得 y＝− 45 ×(0 − 15)2 + 45＝40，
∴ 点 B 的坐标为 (0，40).
∴ 这名运动员起跳时的竖直高度为 40 米．
能力提升 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状 可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直 钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主 塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面 的高度为 0.5 m.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0). y 根据对称性，如果不计其它因素，
●B (1，2.25)
A●(0，1.25)
那么水池的半径至少要 2.5 m，才
能使喷出的水流不致落到池外.
●
D
O
●
C
x
例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距 离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行 的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时， 篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中 心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度 是多少？
OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面
直角坐标系，抛物线可以用 y＝ − 1 x2 + 2x + c 表示． (1)请写出该抛物线的函数解析式；6
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
∴
6
抛物线解析式为
y＝−
1
x2
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出
人教版九上数学精品教学课件 第二十二章 二次函数 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
2a
,
4a
。
2a
4a
二次函数 的一般表 达式
二次函数的 顶点式
对称轴为
x b 2a
。
因此，抛物线的对称轴是
x b 2a
b 4ac b2
，顶点是
2a
,
4a
。
二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标
b 2a
，4ac 4a
b2
y
增减性？
y
最大值
y ax2 bx c
y ax2 bx c
（3）会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.
推进新课
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系
思考 探索二次函数函数y 1 x2 - 6x 21的图象和性质。
2
解：y
1 2
x2
6x
21
配
12（x 6）2 3
方
有哪几种画
图方法？
y
1 2
x2
6x
21
12（x 6）2 3
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3
C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
综合运用
3.如图，抛物线y＝ax2－5ax＋4a(a是常数)与x轴相交于点A，B， 且过点C(5，4). (1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标； (2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二 象限，并写出平移后抛物线的解析式．
-4
顶点： (-1，-1)
-6
y
hO
k
x
y=a(x-h)2+k
怎么画二次函数 y=ax2+bx+c的图象?
九年级数学上册人教版(课件)：22.3.2 二次函数与几何综合运用
问题2：如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长32 m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积 是多少？
分析： 提问1：问题2与问题1有什么不同？ 提问2：我们可以设面积为S，如何设自变量？ 提问3：面积S的函数关系式是什么？ 答案：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 提问4：如何求解自变量x的取值范围？墙长32 m对此题有什么作用？ 答案：0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 提问5：如何求最值？
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与几何综合运用
能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式，并能 应用二次函数的相关性质解决实际几何问题，体会二次函数是刻画 现实世界的有效数学模型．
重点 应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题． 难点 函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得．
答案：设矩形面积为 S m2，与墙平行的一边为 x 米，则 S＝
60－ 2 x·x＝－x22＋30x. 提问 4：当 x＝30 时，S 取最大值．此结论是否正确？ 提问 5：如何求自变量的取值范围？ 答案：0＜x≤18. 提问 6：如何求最值？ 答案：由于 30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值．当
答案：x＝－2ba＝－2×（6－ 0 2）＝15 时，Smax＝450.
问题3：将问题2中“墙长为32 m”改为“墙长为18 m”，求这个矩 形的ห้องสมุดไป่ตู้、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
提问1：问题3与问题2有什么异同？ 提问2：可否模仿问题2设未知数、列函数关系式？ 提问3：可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
一、引入新课 上节课我们一起研究用二次函数解决利润等代数问题，这节课我们共 同研究二次函数与几何的综合应用．
人教版九年级上册数学第22章22.1.1 二次函数 课件(共21张PPT)
二、温故知新
小结： 若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的
每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们就说y是x 的函数，x叫做自变量．
我们之前学过一次函数，它的形式是y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）．
三、合作探究
思考： 如果改变正方体的棱长x，那么 正方体的表面积y也会随之改变， y与x之间有什么关系？
6．某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为x m，宽为y m， 面积为S m2（x＞y）． （1）如果用18 m的建筑材料来修建绿地的边缘（即周长）， 求S与x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18 m2， 在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各为多少米？
B．y=x2－50x
C．y=－x2＋25x
D．y=－2x2＋25
五、练习巩固
3．若函数 y (m 4) xm2 9m22 是二次函数，则m的值是__3___． 4．函数 y (m 2) x2 mx 3 （m为常数）， （1）当 m __≠__2__时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=__2__时，这个函数为一次函数．
五、练习巩固
1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是( C )
A．y=(m－1)2x2
B．y=(m＋1)2x2
C．y=(m2＋1)x2
D．y=(m2－1)x2
2．把一根长为50 cm的铁丝弯成一个长方形．设这个长方形的一边
长为x cm，面积为y cm2，则y与x之间的函数关系式为( C )
A．y=－x2＋50x
函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a，b，c 分别是 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
人教版九年级上册数学第二十二章二次函数课件PPT(1)
1．探究二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象和性质
2
问题1 如何研究二次函数
y
1
x2
6x
21
的图象和性质？
2
1．探究二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象和性质
2
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成 y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax2 的图象和 性质的？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 3，4 题．
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第3课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax2 的基础上， 继续进行二次函数的学习，这是对二次函数图象和性 质研究的延续．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
课件说明
• 本节课是在讨论了二次函数 y =a（x - h）2 +k 的图象和 性质的基础上对二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 进行研究．主要的研究方法是通过配方将 y=ax2+bx+c 向 y =a（x - h）2 +k 转化，体会知识之间内在联系．在 具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究 a＞0 和 a＜0 的情况，再从特殊到一般，得出 y=ax2+bx+c 的图象和性质．
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第一课时课件
(2)当x是多少时，菱形风筝的面积S最大？最大面积是多 少？
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝ －2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关 系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因 变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值， 要注意函数自变量的 取值范围 ．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500
解：(1)S＝12·x(60－x)＝－12x2＋30x
(2)∵S＝－12x2＋30x，a＝－12＜0，∴S 有最大值，∴当 x＝－2ba＝ －2×（30－12）＝30 时，S 有最大值为4ac4－a b2＝4×（4×－（12）－×12）0－302＝ 450.∴当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的的面积最大，为 450 cm2
(1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数关 系式，并写出x的取值范围．
(2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值．
由题意，得 AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝12PB·BQ＝12(22－2x)x ＝－x2＋11x.∵S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝12×22×20－(－x2 ＋11x)＝x2－11x＋220(0≤x≤11)
最大(小)值__4_a_．
2．面积最值问题应设图形的一边长为 自变量 ，所求面积为因 变量，建立 二次函数 的模型，利用二次函数有关知识求得最值， 要注意函数自变量的 取值范围 ．
知识点1 求二次函数的最值问题
1．(4分)关于二次函数y＝x2－8x＋c的最小值为0，那么c的
值等于( D )
A．4 B. 8
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式； (2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由．
解：(1)∵OA＝12，OB＝6，由题意得 BQ＝t，OP＝t.∴OQ＝6 －t，∴y＝12·OP·OQ＝12t(6－t)＝－12t2＋3t(0≤t≤6)
解：根据题意，得 y＝20x·(1280－x)，整理得 y＝－20x2＋1 800x ＝－20(x2－90x＋2 025)＋40 500＝－20(x－45)2＋40 500，∵a＝－20 ＜0，∴当 x＝45 时，函数 y 有最大值，y 最大＝40 500