北京四中---高中数学高考综合复习 专题十七 算术平.
北京市第四中2017届中考数学冲刺复习实1平方根(无答案)
平方根知识要点：一、1.算术平方根的定义= ,如果一个正数x的平方等于a，即2x a那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a的算术平方根”， a叫做被开方数.2.平方根的定义=，那么x叫做a的平方根.如果2x a求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a≥，a (a≥0)的平方根的符号表达为)0其中是a的算术平方根.二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）包含关系；（2）被开方数非负；（3）0的平方根和算术平方根均为0．说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根. 因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.三、算术平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或向左移动2位，其算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.例题分析1、若2m－4与3m－1是同一个正数的两个平方根，求m的值．2、x 为何值时，下列各式有意义？（13、求下列各式的值．（1（24、求下列各式中的x.（1）23610x -=（2）()21289x +=（3）9()232640x +-=5、已知a 、b 0b =解关于x 的方程：()221a x b a ++=-6、小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2 的长方形纸片，使它长宽之比为3:2，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.巩固练习1．下列说法中正确的有（）．①只有正数才有平方根．②-2是4的平方根．±．④2a的算术平方根是a．③的平方根是4=±．⑤（-2）²的平方根是-2．⑥3A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个2．若m4，则估计m的值所在的范围是（）A．1＜m＜2 B. 2＜m＜3C. 3＜m＜4D. 4＜m＜53.有一个数值转换器，原理如下：当输入的x＝64时，输出的y等于（）A.2B.8C.。
高考复习北京四中数学第三次统测(理科)
高考复习北京四中数学第三次统测(理科)一、选择题：（每小题5分）1. 在正实数集上定义一种运算*：当时，a*b=b3：当时，a*b=b2。
依照那个定义，满足3*x=27的x的值为（）A．3B．1或9C．1或D．3或2. 函数的部分图象大致是（）A. B. C. D.3. 在的展开式中，含项的系数是首项为－2公差为3的等差数列的（）A．第13项B．第18项C．第11项D．第20项4. 若将函数的图象按向量平移，使图象上点P的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后图象的解析式为（）A．B．C．D．5. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到那个平面的距离是4cm，则该球的体积是（）A．B．C．D．6. 已知函数在点处连续，则的值是（）A．2B．3C．－2D．－47. 已知，，点C在坐标轴上，若，则如此的点C的个数为（）A．1 B．2C．3D．48. 设数集，，且差不多上集合的子集，假如把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分）9. 若（m∈R+）是纯虚数，则的值为_____，的虚部是_____.10. 在数列中，若且对任意有则数列前项的和为_____，前项和最小时的等于_____.11. 若，则目标函数的取值范畴是_____.12. 向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于_____.13. 已知P是抛物线上的动点，定点A（0，-1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是_____，它的焦点坐标是_________．14. 若定义在区间D上的函数关于D上的任意n个值，总满足，则称为D上的凸函数. 现已知在上是凸函数，则锐角中，的最大值是_________．答案一、选择题：（每小题5分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案二、填空题：（每小题5分）9 1011 1213 14三、解答题15. （本小题满分13分）矩形ABCD，AB=4，BC=3，E为DC中点，沿AE将ΔAED折起，使二面角D-AE-B为60°。
北京四中---高中数学高考综合复习 专题十三 三角函数专题练习
高中数学高考综合复习专题十三三角函数专题练习一、选择题（每题4分，共32分）1、函数的值域是（）A. [－1，1]B.[-2,2]C. [0,2]D.[0,1]2、已知等于（）A. 1B. 2C. –1D. –23、函数k的取值是（）A. B. － C.2＋ D.－2＋4、为了得到函数的图象，可以将y＝cos2x的图象（）A.向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度5、6、函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是（）A.7、定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是，且当时f（x）＝sinx，则f（）的值为（）A. B. C. D.8、将函数y＝f(x)sinx的图象向右平移T＝个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数的图象，则f（x）可以是（）A. cosxB. 2cosxC. sinxD. 2sinx二、填空题（每题5分，共20分）1、已知的值为.2、已知可简化为.3、已知f（x）＝asinx－bcosx且x＝为f（x）的一条对称轴，则a：b的值为.4、若函数三、解答题（本大题共有4题，满分48分）1、（本题满分12分）已知2、（本题满分12分）已知3、（本题满分12分）已知函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）（3）在（2）的条件下，求满足f（x）＝1，的x的集合.4、（本题满分12分）已知函数的图象过点，且f（x）的最大值为2.（1）求f(x)的解析式，并写出其单调递增区间；（2）若函数f(x)的图象按向量作距离最小的平移后，所得图象关于y轴对称，试求向量的坐标以及平移后的图象对应的函数解析式.答案与解析一、选择题：1、选B.解析：对于含有绝对值的三角函数，基本解题策略之一是将其化为分段函数，而后分段考察，综合结论，在这里，当x≥0时，－2≤2sinx≤2即－2≤y≤2；当x<0时，y＝0包含于[－2，2].于是可知所求函数值域为[－2，2]，故应选B.2、选B.解析：考察目标①又由已知得②∴②代入①得，，故应选B.3、选A.解析：令∴由f（x）的图象关于点（，0）对称得f（）＝0即cos＝0，由此解得k＝.故应选A.4、选B.解析：令y＝f(x)＝cos2x，则f(x)=sin(2x+)①进而在保持①中的A、、“三不变”的原则下，变形目标函数：②于是由y＝f(x)图象变换出图象知：y＝f（x）图象应向右平移个单位得到，故应选B.5、选C.解析：由f(x)在区间[－，]上递增及f（x）为奇函数，知f(x)在区间[－，]上递增，该区间长度应小于或等于f（x）的半个周期.，应选C.6、选D.解析：由f(x)单调递减得∴应选D.7、选D.解析：由已知得应选D.8、选B.解法一：（正向考察）y＝f（x）sinx图象图象由题设得＝＝∴∴f(x)=2cosx解法二（逆向求索）：图象y＝－cos2x由题意得f(x)sinx=sin2x，故得f(x)=2cosx，本题应选B.解法三（代入检验）：请同学们练习.二、填空题1、答案：解析：由∴于是＝＝＝.2、答案：.解析：由题意得＝＝＝＝∵∴＝＝3、答案：a：b＝－1.解析：由题设得又x＝为f（x）的一条对称轴，∴当x＝时f(x)取得最值∴即∴a:b=－1.4、答案：.解析：∴由①注意到由①得：②再注意到当且仅当于是由②及得三、解答题1、分析：注意到目标中出现的角,而已知中出现的角为，显然，已知式容易变形出角的函数，故考虑首先从变形已知切入，让已知主动去靠拢目标，而后目标再视具体情况决定变形方向.解：由已知得∴利用倍角公式得化简得∴原式＝＝点评：一般地，（单）条件式求值，由目标式变形可了解“已知”延伸方向，由已知式的延伸又可了解目标的转化方向.如有可能，通过已知式的变形与目标式变形相互靠拢，总要比某一方单方面接近另一方更快捷、方便.本例便给出“已知”与“目标”相互靠拢的示范.2、分析：在三角条件求值问题中，已知某一个（或两个）角的三角函数值，要求另一个角的三角函数值，第一选择法：是从“已知”与“未知”中角的关系------有关角与特殊角之间的和差倍角关系入手.当然，当“已知”中的角与“未知”中的角关系复杂时，则要考虑“已知”与“目标”的延伸与靠拢.解法一（从角的关系式入手）：注意到：∴＝＝＝①∵∴又>0②∴∴③于是将②③代入①得＝解法二（目标的转换与追求）：注意到（目标）①（以下寻求的方向明确：由已知条件求）∵②∴∴∴③从而由②、③得＝④⑤于是将④⑤代入①得.点评：当目标比较复杂或比较抽象时，首先要明确或转换目标，使已知的延伸或下一步的寻求方向更加明确与准确.3、分析：有关三角函数性质的问题，若所给函数可化为或形式，则可利用公式或认知求解.故此题求解的首要问题是将f(x)化为上述形式之一.解：==(1)(2)由f(x)为偶函数得f(-x)＝f(x)对任意x∈R成立①在①中令∴注意到，故这里k＝0，由此解得.（3）当时，f(x)=2cos2x∴由f(x)=1得，2cos2x＝1②注意到，∴由②得，即∴所求x的集合为｛｝.点评：在解（2）时利用了下述充要条件：；在解决有关问题时这一充要条件会给我们带来方便.4.分析：这里仍是首先致力于将f(x)化为的形式，而后利用已知公式和原有认识求解.解：（1）f(x)=asin2x+bcos2x=由已知条件得∴于是由f(x)单调递增得∴所求f(x)的递增区间为.（2）注意到故函数y＝f(x)图象按向量平移后的图象对应的函数解析式为即①注意到函数①的图象关于y轴对称∴函数①为偶函数∴∴.②在②中令由此得③注意到当k为偶数时③无解，故由③得∴∴m的绝对值最小的取值为此时且由①得因此，所求向量，平移后的图象对应的函数解析式为y＝cos2x.点评：解决平移问题时，要注意识别与认知“点的平移”与“函数图象平移”的不同：.这一加一减，既展示了两种平移的区别，又反映了两种平移间的辩证关系.。
北京市第四中学高考数学：解析几何、立体几何篇第7讲立体几何——直线与平面的位置关系(2)
直线与平面的位置关系(2)
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直线与平面的位置关系(2)
一、常规解题思路方法的小结
两个重要计算
1、角(线面角、二面角)的计算
2、点到面的距离计算
二、例题分析与习题
例 1.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。
求证：（1）EF ∥平面ABC ；
（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .
第2页例2.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F 、G 分
别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点E ，G 在平面11DCC D 内的正投影．
（1）求以E 为顶点，以四边形
FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线⊥1FG 平面1FEE ；
（3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.
例3如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC Δ是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．
（I ）设G 是OC 的中点，证明：
//FG 平面BOE ；（II ）证明：在ABO Δ内存在一点
M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．
z
y x
E 1
G 1。
北京市第四中学高考数学：解析几何、立体几何篇 第7讲 立体几何——直线与平面的位置关系(2)
直线与平面的位置关系(2)~ 第 1页 ~直线与平面的位置关系(2)一、常规解题思路方法的小结两个重要计算1、角(线面角、二面角)的计算2、点到面的距离计算二、例题分析与习题例 1.如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥。
求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面1AFD ⊥平面11BB C C .第 2页例2.如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，点E 是正方形11BCC B 的中心，点F 、G 分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点E ，G 在平面11DCC D 内的正投影． （1）求以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （2）证明：直线⊥1FG 平面1FEE ；（3）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值.例3如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC Δ是以AC 为斜边的等腰直角三角形，,,E F O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，16AC =，10PA PC ==．（I ）设G 是OC 的中点，证明：//FG 平面BOE ；（II ）证明：在ABO Δ内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．x~ 第 3页 ~例4. 在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离.例5、如图，已知四棱锥P - ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=°, E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为2，求二面角E — AF — C 的余弦值.DB。
北京市第四中学2016高考理科数学总复习例题讲解：数学热点3--“细节”是函数综合题得分的关键
高考热点3—“细节”是函数综合题得分的关键北京四中 苗金利一、注意问题1．牢固掌握函数相关的基础知识是求解函数综合题的关键;2．平时加强落实,良好的执行力是求解函数综合题的保障。
二、典型例题例1．已知函数a f x x ax x 1()ln(1)1-=+-++ (a 12≥). （Ⅰ）当曲线y f x ()=在f (1,(1))处的切线与直线l y x :21=-+平行时，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．评注：本题特别注意定义域，区间法表示,直线平行的充要条件等，失分点主要有：（1)斜率相等是直线平行的既不必要又不充分条件(2)分类讨论要注意使区间不能表示单元素集,空集等。
例2．记函数f(x)的定义域为D，若存在x D∈，使f(x0)=x0成立，则称以（x0,x0）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。
（1）若函数x af xx b3()+=+图象上有两个相异的关于原点对称的不动点，求a，b应满足的条件。
（2）在（1）的条件下，若a=8，记函数f(x)图象上的两个不动点分别为A、A'，P为函数f(x)图像上的另一点，且其纵坐标y p＞3，求点P到直线AA'的距离的最小值及取得最小值时P点的坐标。
解析：此题为综合性较强的一道探索性题目，需分析假设的条件并将其化归成熟知的问题来解决。
评注：本题特别注意ba30-=⎧⎨-<⎩是x af xx b3()+=+图象上有两个相异的关于原点对称不动点的必要不充分条件。
北京市第四中学2016高考理科数学总复习例题讲解：平面向量 05平面向量的应用举例
平面向量的应用举例
北京四中 苗金利
一、知识要点
平面向量是数学的基础和相关学科的工具,广泛应用于平面几何、
三角、函数、解析等内容。
二、典型例题
例1．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅， 则P 是△ABC 的（ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
解析:
例2．平面内△ABC 及一点O 满足0OA OB OC →→→→
++=,则点O
是△ABC 的（ )
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
解析：
例3．平面内△ABC 及一点O 满足AO AB BO BA →→→→⋅=⋅，
BO BC CO CB →→→→⋅=⋅，
则点O 是△ABC 的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
解析：
例4．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则⋅的值为________；DE DC
⋅的最大值为________。
DE CB
解析：
例5．利用平面向量证明三角形的余弦定理.
解析：。
人教A版高中数学选修北京四中同步复习向量知识讲解平面向量的线性运算基础,
平面向量的线性运算编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量. 2．能结合图形进行向量的计算．3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算． 4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算． 5．掌握向量共线的条件． 【要点梳理】要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.向量加法的概念及三角形法则已知向量,a b r r ，在平面内任取一点A ，作,AB a BC b ==u u u r r u u u r r，再作向量AC u u u r ，则向量AC u u u r 叫做a r 与b r 的和，记作a b +r r ，即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r．如图本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2．向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量,a b r r ，作,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ，则,,A B D 三点不共线，以,AB AD u u u r u u u r为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线AC a b =+u u u r r r．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．求两个向量和的运算，叫做向量的加法．对于零向量与任一向量a r ，我们规定00a a a +=+=r r r r r．要点诠释：两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1.向量求和的多边形法则的概念已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．112231n n n A A A A A A A A -=++⋅⋅⋅+u u u u r u u u u r u u u u r u u u u u u r特别地，当1A 与n A 重合，即一个图形为封闭图形时，有1223110n n n A A A A A A A A -++⋅⋅⋅++=u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u r r2．向量加法的运算律（1）交换律：a b b a +=+r r r r；（2）结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r要点三：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到(1)当,a b r r 不共线时，||||||a b a b +<+r r u u r r ；(2)当,a b r r 同向且共线时，,,a b a b +r r r r 同向，则||||||a b a b +=+r r u u r r ；(3) 当,a b r r 反向且共线时，若||||a b >u u r r ，则a b a +r r r 与同向，||||||a b a b +=-r r u u r r ；若||||a b <u u r r，则a b b +r r r 与同向，||||||a b b a +=-r r u u r r ．要点四：向量的减法 1．向量的减法（1）如果b x a +=r r r ，则向量x r 叫做a r 与b r 的差，记作a b -r r，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．相反向量：与向量a r 方向相反且等长的向量叫做a r的相反向量．（2）向量a r 加上b r 的相反向量，叫做a r 与b r 的差，即()a b a b -=+-r r r r．求两个向量差的运算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．要点诠释：（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．（2）对于相反向量有()0a a +-=r r r ；若a r ，b r 互为相反向量，则,0a b a b =-+=r r r r r．（3）两个向量的差仍是一个向量． 2．向量减法的作图方法（1）已知向量a r ，b r （如图），作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r，则BA a b =-u u u r r r =OA OB -u u u r u u u r ,即向量BA u u u r 等于终点向量（OA u u u r ）减去起点向量（OB u u u r ）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a b -r r．作,,OA a OB b AC b ===-u u u r r u u u r r u u u r r ，则()OC a b =+-u u u r r r，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．要点五：数乘向量 1.向量数乘的定义实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：a λr(1)||||||a a λλ=r r ；(2)①当0>λ时，a ρλ的方向与a ρ的方向相同；②当0<λ时.a ρλ的方向与a ρ的方向相反；③当0=λ时，0ρρ=a λ.2．向量数乘的几何意义由实数与向量积的定义知，实数与向量的积a ρλ的几何意义是：a ρλ可以由a r同向或反向伸缩得到．当||1λ>时，表示向量a r的有向线段在原方向（0λ>）或反方向（0λ<）上伸长为原来的||λ倍得到a ρλ；当0||1λ<<时，表示向量a r的有向线段在原方向（0λ>）或反方向（0λ<）上缩短为原来的||λ倍得到a ρλ；当1λ=时，a ρλ=a r ；当1λ=-时，a ρλ=-a r，与a r互为相反向量；当0λ=时，a ρλ=0r ．实数与向量的积得几何意义也是求作向量a ρλ的作法．3.向量数乘的运算律设λμ、为实数结合律：()()a a λμλμ=r r；分配律：a a a ρρρμλμλ+=+)(，b a b a ρρρρλλλ+=+)(要点六：向量共线的条件 1．向量共线的条件（1）当向量0a =r r 时，a r 与任一向量b r共线．（2）当向量0a ≠r r 时，对于向量b r ．如果有一个实数λ，使b a λ=r r，那么由实数与向量的积的定义知b r 与a r共线．反之，已知向量b r 与a r （0a ≠r r ）共线且向量b r 的长度是向量a r的长度的λ倍，即||||b a λ=r r，那么当b r 与a r 同向时，b a λ=r r ；当b r 与a r 反向时，b a λ=-r r ．2．向量共线的判定定理a ρ是一个非零向量，若存在一个实数λ，使b a λ=r r ，则向量b r 与非零向量a ρ共线．3．向量共线的性质定理若向量b r 与非零向量a ρ共线，则存在一个实数λ，使b a λ=r r ．要点诠释：（1）两个向量定理中向量a ρ均为非零向量，即两定理均不包括0r 与0r 共线的情况；（2）0a ≠r r 是必要条件，否则0a =r r ，0b ≠r r时，虽然b r 与a r 共线但不存在λ使b a λ=r r ；（3）有且只有一个实数λ，使b a λ=r r．（4）//(0)a b a b b λ⇔=≠r r r r r r是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.【典型例题】类型一：向量加法的几何运算例1．如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +u u u r u u u r ；（2）BC FE +u u u r u u u r ；（3）OA FE +u u u r u u u r ．【解析】（1）由图知，OABC 为平行四边形，∴OA OC OB +=u u u r u u u r u u u r （2）由图知BC FE OD AO ===u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴BC FE AO OD AD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． （3）∵OD FE =u u u r u u u r ，∴OA FE OA OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r． 又OA DO =u u u r u u u r ，∴0OA FE DO OD +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r．【总结升华】利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求两个向量的和向量，注意当两个向量共线时，三角形法则仍适用，而平行四边形法则不适用．举一反三：【变式1】在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a =u u u r ，BD b =u u u r ，则AF =u u u r（ ）A ．1142a b + B ．2133a b + C ．1124a b + D ．1233a b + 【答案】B类型二：向量减法的几何运算例2．如图，解答下列各题：（1）用a r ，d ，e 表示DB u u u r ；（2）用b r ，c 表示DB u u u r； （3）用a r ，b r ，e 表示EC u u u r ；（4）用d ，c r 表示EC u u u r ．【答案】（1）d e a ++u r r r （2）b c --r r【解析】 ∵AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，CD c =u u u r r ，DE d =u u u r u r ，EA e =u u u r r ， ∴（1）DB DE EA AB d e a =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u r r r． （2）DB CB CD BC CD b c =-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ． （3）EC EA AB BC a b e =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r r r r ．（4）()EC CE CD DE c d =-=-+=--u u u r u u u r u u u r u u u r r u r ．【总结升华】在本题中，我们看到DB u u u r ，EC u u ur 这两个向量的表示并不唯一．在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用．当运用三角形法则时，要注意两向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法．举一反三： 【高清课堂：向量的线性运算 395568 例1】【变式1】O 为正六边形ABCDEF 的中心，设OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r ，则DE u u u r等于（ ）． （Ａ）a b +r r （Ｂ）a b -r r （Ｃ）b a -r r （Ｄ）a b --r r【答案】Ｂ【变式2】如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设 AB a =u u u r r，DA b =u u u r r ，OC c =u u u r r ．求证：b c a OA +-=r r r u u u r ．【解析】∵b c DA OC OC CB OB +=+=++r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，OA a OA AB OB +=+=u u u r r u u u r u u u r u u u r，∴b c OA a +=+r r u u u r r ，即b c a OA +-=r r r u u u r ．类型三：与向量的模有关的问题例3． 已知非零向量a r ，b r 满足||71a =+r ，||71b =-r，且|a r －b r |=4，求|a r +b r |的值．【解析】 如图，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则||BA a b =-u u u r r r．以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则||||OC a b =+u u u r r r．由于222(71)(71)4++-=．故222||||||OA OB BA +=u u u r u u u r u u u r ，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形，从而OA ⊥OB ，所以Y OACB 是矩形．根据矩形的对角线相等有||||4OC BA ==u u u r u u u r，即|a r +b r |=4．【总结升华】 （1）向量a r +b r ，a r －b r的几何意义在证明、运算中具有重要的应用．对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用．（2）关于向量的加减法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量、共线向量等．要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模不一定等于这两个向量的模的和．因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量，模的加法是数量的加法．举一反三：【变式1】若||9AB =u u u r ，||4AC =u u u r ，则||BC u u u r的取值范围是多少？ 【答案】5||13BC ≤≤u u u r【解析】BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r．当AB u u u r ，AC u u u r 同向时，|||94|5BC =-=u u u r ，当AB u u u r ，AC u u u r 反向时，|||94|13BC =+=u u u r；当AB u u u r ，AC u u u r 不共线时，5||13BC <<u u u r．类型四：向量的数乘运算例4． 计算下列各式：（1）4(a r +b r )―3(a r ―b r)；（2）3(a r ―2b r +c r )―(2a r +b r ―3c r)；（3）212()(24)(213)5315a b a b a b --+++r r r r rr ．【解析】（1）原式=4a r ―3a r +4b r +3b r =a r +7b r．（2）原式=3a r ―6b r +3c r ―2a r ―b r +3c r =a r ―7b r +6c r ．（3）原式222442655331515a b a b a b =---++r r r r r r22424260000053155315a b a b ⎛⎫⎛⎫=-++--+=⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r rr r ．【总结升华】 数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是一个数，λ＞0时，λa r 与a r 同向；λ＜0时，λa r 与a r 反向；λ=0时，λa r =0；故λa r 与a r一定共线．应用实数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解．举一反三：【变式1】计算：（1）6(3a r ―2b r )+9(―2a r +b r)；（2）127137(32)236276a b a b a b a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦rr r r r r r ；（3）6(a r ―b r +c r )―4(a r ―2b r +c r )―2(―2a r +c r )． 【解析】 （1）原式=18a r ―12b r ―18a r +9b r =―3b r． （2）127137(32)236276a b a b a b a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+---++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦rr r r r r r12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r rr r r r r 17732367a b a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r 717106262a b a b =+--=r r r r． （3）原式=6a r ―6b r +6c r ―4a r +8b r ―4c r +4a r ―2c r=(6a r ―4a r +4a r )+(8b r ―6b r )+(6c r ―4c r ―2c r ) =6a r +2b r ．例 5.如图所示，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且,,AB a AD b ==u u u r r u u u r r 用,a b r r 表示,,,.MA MB MC MD u u u r u u u r u u u u r u u u u r【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是,a b r r，由它可以“生”成,,AC DB u u u r u u u rL L .【解析】在ABCD 中,,111111,222222AC AB AD a b DB AB AD a b MA AC a b MB DB a b=+=+=-=-∴=-=--==-u u u r u u u r u u u r r r u u u r u u u r u u u r r r Q u u u r u u u r r r u u u r u u u r r r 111111,.222222MC AC a b MD MB DB a b ==+=-=-=-+u u u u r u u u r r r u u u u r u u u r u u u r r r【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.举一反三：【变式1】如图，四边形OADB 是以向量OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r为邻边的平行四边形，又13BM BC =，13CN CN =，试用向量a r 、b r 表示OM u u u u r ，ON u u u r ，MN u u u u r ．【解析】 ∵1111()()3666BM BC BA OA OB a b ===-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r，∴11156666OM OB BM b a b a b =+=+-=+u u u u r u u u r u u u u r r r r r r ，∵1136CN CD OD ==u u u r u u u r u u u r ，∴11222()()26333ON OC CN OD OD OD OA OB a b =+=+==+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ，21511()36626MN ON OM a b a b a b =-=+--=-u u u u r u u u r u u u u r r r r r r r ．类型五：共线向量与三点共线问题例6.设两非零向量1e u r 和2e u u r不共线，(1)如果121212,28,3(),AB e e BC e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r求证D B A ,,三点共线.(2)试确定实数k ，使12ke e +u r u u r 和12e ke +u r u u r共线.【思路点拨】要证明D B A ,,三点共线，须证存在λ使12()BD e e λ=+u u u r u r u u r 即可.而若12ke e +u r u u r和12e ke +u r u u r 共线，则一定存在λ，使1212()ke e e ke λ+=+u r u u r u r u u r .【解析】(1)证明 12121212,283()5()5,AB e e BD BC CD e e e e e e AB =+=+=++-=+=u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r u u u r Q,AB BD ∴u u u r u u u r共线，又有公共点B ， ∴D B A ,,三点共线.(2)解 ∵12ke e +u r u u r 和12e ke +u r u u r共线，∴存在λ，使1212()ke e e ke λ+=+u r u u r u r u u r，则12()(1),k e k e λλ-=-u r u u r 由于1e u r 和2e u u r不共线，只能有⎩⎨⎧=-=-010k k λλ 则1k =±.【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即,a b r r共线⇔存在λ使b a λ=r r (正用与逆用)举一反三：【变式1】设1e u r 和2e u u r是两个不共线的非零向量，若向量1232AB e e =-u u u r u r u u r ，1224BC e e =-+u u u r u r u u r ， 1224CD e e =--u u u r u r u u r，试证明：A 、C 、D 三点共线.证明：12121232(24)2,AC AB BC e e e e e e =+=-+-+=+u u u r u u u r u u u r u r u u r u r u u r u r u u r∴122,CA e e =--u u u r u r u u r 又1224,CD e e =--u u u r u r u u r∴2,CD CA =u u u r u u u r∴CD u u u r 与CA u u u r共线，∴A 、C 、D 三点共线.【变式2】设e 1，e 2是两个不共线的向量，122AB e ke =+u u u r ，123CB e e =+u u u r ，122CD e e =-u u u r，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．【解析】124BD CD CB e e =-=-u u u r u u u r u u u r ，若A ，B ，D 三点共线，则AB u u u r 与BD u u u r共线，则2∶1=k ∶(―4)，k=―8．类型六：向量在证明平面几何问题中的应用例7． 如图，已知任意平面四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ．【证明】取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求，如下图．∵E 是AD 的中点，∴12AE AD =u u u r u u u r．∵F 是BC 的中点，∴1()2AF AB AC =+u u u r u u u r u u u r，又∵AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，∴1()2AF AB AD DC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 11()22AB DC AD =++u u ur u u u r u u u r ．∴1111()()2222EF AF AE AB DC AD AD AB DC =-=++-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．【总结升华】 掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到． 举一反三：【变式1】 已知：如图所示，在四边形ABCD 中，对角AC 与BD 交于O ，且AO=OC ，DO=OB ．求证：四边形ABCD 是平行四边形（要求用向量的方法证明）． 【证明】根据向量加法的三角形法则，有AB AO OB =+u u u r u u u r u u u r ，DC DO OC =+u u u r u u u r u u u r ，又∵AO OC =u u u r u u u r ，DO OB =u u u r u u u r ，∴AO OB DO OC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r ． ∴AB DC =u u u r u u u r．∴AB ∥DC ，AB=DC ．即AB 与DC 平行且相等．∴四边形ABCD 是平行四边形． 【总结升华】（1）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．（2）注意以下两个问题： ①法则的灵活应用；②要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等．。
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1 高中数学高考综合复习 专题十七 算术平均数与几何平均数 一、知识网络
二、高考考点 1、运用重要不等式a2+b2≥2ab（a、b∈R）或 （a、b∈R+）判断或证明所给不等式的命题是否成立； 2、在给定条件下求有关式的取值范围； 3、在给定条件下求有关函数的最大值或最小值； 4、解决实际应用问题，以最优化问题为主要题型。 三、知识要点 （一）不等式的性质 不等式的性质是证明与求解不等式的基本依据，为了便于记忆和运用，我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质”两个类别。 1、 关于不等式的“基本性质” （1）对称性：a>b b
（2）传递性：a>b,b>c a>c （3）“数加“法则：a>b a+c>b+c 推论：a+b>c a>c-b（移项法则）
（4）“数乘”法则： a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac
2、关于不等式“两边运算”的性质 1
（1）同向不等式两边“相加”：a>b,c>d a+c>b+d; （2）同向的正数不等式两边“相乘”：a>b>0，c>d>0 ac>bd； （3）正数不等式两边“乘方”：a>b>0 an>bn>0(n N*);
（4） 正数不等式两边“开方” 认知：上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式，但只有部分不等式的性质，可应用于解不等式，可应用于求解不等式（保证等价变形）的性质为1（1）；1（3）；1（4）及其2（3）；2（4）
（二）基本定理及其推论 定理1：如果a,b R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时等号成立）
推论（平方和不等式）： （当且仅当a=b时等号成立）
定理2：如果a,b R+，那么 （当且仅当a=b时等号成立） 推论1（和的平方不等式）：若a,b R+,则（a+b）2≥4ab（当且仅当a=b时等号成立）
推论2（最值定理）：设x,y均为正数，则 （1）当积xy为定值P时，和x+y有最小值 （当且仅当x=y时取得）；
（2）当和x+y为定值S时，积有最大值 （当且仅当x=y时取得）； 四、经典例题 例1
（1）若x,y R+且 的最大值. （2）若x,y∈R且xy>0，x2y＝2，求u＝xy＋x2的最小值.
分析：注意运用最值定理解题的要领：一正二定三相等 （1）欲求积 的最大值，首先致力于“凑因子”，为凑出已知条件下“和为定值”的正数之积而变形u，若u的表达式的部分因子在根号外，则可考虑使这一部分进入根号或考察u2： 1
（2）欲求和xy+x2的最小值，首先致力于“凑项”，为凑出已知条件下“积为定值”的正数之和而变形u，若有可能，将u化为一元函数，问题分析会更明朗一些。
解： （1）注意到这里x>0，u>0，
∴
= （当且仅当 ） 时等号成立）。 （2）由已知得 =3(当且仅当 时成立) ∴umin=3（当且仅当x=1且y=2时取得）
点评：遇“积”凑因子，在主体部分凑出“若干因子之和为定值”的形式； 遇“和”则凑项，在主体部分凑出“若干项之积为定值”的形成，完成此番设想后，进而再考察有关各数“相等”的可能性。
例2
（1）若x,y,a,b R+，a≠b，且 ，求u＝x+y的最小值； 1
（2）若00，求 的最小值. 分析： 对于（1）如何利用 ,这一条件通常用法多是作“1的替换”或作“三角替换”； 对于（2），注意到这里0
解： （1） 解法一（利用“1的替换”）： ∵x,y,a,b R+
∴
解法二（运用“三角替换”）：注意到 令 则有x=asec2θ，y=bcsc2θ
∴u= asec2θ+bcsc2θ
=(atan2θ+bcot2θ)+(a+b)
(当且仅当atan2θ＝bcot2θ
时等号成立) 1
(2)注意到这里0∴令x=cos2θ,则1-x=sin2θ( )
(当且仅当 时等号成立） ∴ymin=(a+b)2(当且仅当 时取得)
点评:对于(1), 是明显的;对于(2),x+(1-x)=1是隐蔽的，今后解决函数或代数的其它问题,也要注意认知并利用问题中隐蔽的等量关系或不等关系。
例3 （1）设a,b,c是RtΔABC的三边，c为斜边之长，且a+b+c=4,试求C的取值范围； （2）设三个数a,b,c成等比数列，且a+b+c=1，试求b的取值范围。
分析：在一定条件下求某个变量的取值范围，基本解题思路有二： (i)由已知条件与重要不等式导出关于 的不等式，而后由这一不等式解出 的取值范围；
（ii）立足于已知条件中的等式（内因），借助已知的重要不等式（外因），内外结合推导 的取值范围。
解： （1）由已知得c2=a2+b2 (利用三角形的特殊性) ① 4-c=a+b （以c为主元整理或变形） ② 注意到a,b R+且满足 2（a2+b2）≥(a+b)2 ③ ∴将①，②代入③得 2c2≥(4-c)2
④ 再注意到这里a+b>c (利用三角形的普通性质) a+b+c>2c 又a+b+c=4 ∴c<2 ⑤
于是由④、⑤得
∴所求C的取值范围为 1
（2）由已知得 b2=ac ① 1-b=a+c ② (以b为主元整理或变形) 为利用重要不等式而讨论：由题设知a、c同号
（i）当a,c同为正数时， (当且仅当a=c时等号成立) ∴由①得a+c≥2|b| ∴再由②得1-b≥2|b| 2|b|+b≤1 ③
∴若b>0，则由③得 ； 若b<0， 则由③得 -1≤b<0
∴由③解得-1≤b<0或
(ii)当a,c 同为负数时， ④ ∴由②、④得 1-b≤-2|b| 2|b|-b≤-1无解
于是综合（i）（ii）得所求b的取值范围为[-1，0）∪（0， ] 点评：（1）、（2）解题的共同之处，是立足于已知的等式，借助算术平均数与几何平均数大小的不等式导出有关变量β的取值范围，这也展示了这一类问题的基本解法。
例4．
（1）已知a>b>c，不等式 恒成立，求k的最大值 （2）已知x,y R+,且不等式 恒成立，求a的最小值 分析：此恒等式问题与最值有着千丝万缕的联系，而寻求有关式子的最值的基本手段之一是利用重要不等式。 解： （1）∵a>b>c
∴原不等式恒成立 恒成立 ① 1
令 则① k≤u的最小值 ②
又 (分子主动与分母沟通联系)
≥4 （当且仅当 时等号成立） ∴umin=4(当且仅当a+c=2b时取得) ③ 于是由②、③得 k≤4，即k的最大值为4
（2）不等式 恒成立 恒成立 恒成立(为便于利用重要不等式而变形) 恒成立(化生为熟转化成功) ④ 令 则④ a≥u的最大值 ⑤
∵x，y∈R+
(当且仅当x=y时等号成立)
(当且仅当x=y时等号成立) (当且仅当x=y时取得) ⑥ 1
于是由⑤、⑥得 ，即a的最小值为 例5． 已知a,b R+，且a+b=1，求证：
（1）
（2） （3） （4） （5） （6） 分析：对于条件不等式的证明，条件的适当运用是证明的关键环节，对于题设条件中的等式的应用，主要有三个方面 （i） 直接代入：以a+b=1或（a+b）2=1代入；
（ii） 换元转化：令a=cos2α ,
（iii）借助“外因”联合推理：由已知等式联想有关的重要不等式，二者联合导出已知条件的延伸。
联想1：由已知等式本身联想重要不等式： a,b R+，且
（1）由左边a+b联想重要不等式 ∴ （当且仅当a=b时等号成立） 1
（当且仅当a=b时等号成立） （当且仅当a=b时等号成立）
（2） （当且仅当a=b时等号成立） 联想2：由已知等式的等价变形联想重要不等式
∴ （当且仅当a=b时等号成立） （当且仅当a=b时等号成立）
∴ 这与联想1中推出的结果殊途同归. 对已知条件作以上挖掘延伸之后,再证明所给例题便是水到渠成。
证明：（1） 证法一(分析转化、化生为熟)：
原不等式 1
又 ∴不等式（*）成立， ∴原不等式成立。
证法二：（化整为零，化隐为明）；
注意到 当且仅当 时等号成立 同理 (当且仅当 时等号成立) (当且仅当 时等号成立)
(2)利用前面的推论，左边 (3)略
(4)利用前面的结论,左边
(当且仅当 时等号成立) (5)利用前面的推论得 为了构造同向不等式,对左边配方:
左边