N次根式PPT课件
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课件2：4.1.1 n次方根与分数指数幂
[解]
4 (
(x－1))4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0， ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
名师提醒 有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被 开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当 根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开 方数或被开方的表达式的正负．
题型三 有限制条件的根式化简 典例 3 设 x∈[1,2]，化简(4 x－1)4＋6 x2－4x＋43.
[解]
4 (
x－1)4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0. ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
变式 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件 不变，化简求值．
2．若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是________．
[解析] 要使4 x－2有意义，则需 x－2≥0，即 x≥2. 因此实数 x 的取值范围是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞)
题型二 简单根式的化简与求值 典例 2 化简下列各式： (1) 5 －25；(2) 4 －104； (3) 4 －92；(4) 4 a－b4.
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标 1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 2．正确运用根式运算性质化简、求值． 3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
要点梳理 1．根式的概念 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ，其 中 n>1，且 n∈N*. (1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号
第四章 4.1 4.1.1 4.1.2 第一课时 n次方根
规律方法 对于n a，当 n 为偶数时，要注意两点：(1)只有 a≥0 才有意义；(2)只 要n a有意义，n a必不为负.
【训练 1】 若 a2－2a＋1＝a－1，求 a 的取值范围. 解 ∵ a2－2a＋1＝|a－1|＝a－1， ∴a－1≥0，∴a≥1.
题型二 利用根式的性质化简或求值 【例2】化简：化简时要看清根指数的奇偶
答案 －2
5. （a－b）2＋5 （a－b）5的值是________.
解析 答案
（a－b）2＋5 （a－b）5＝|a－b|＋(a－b)＝02， （aa≤ －bb， ），a>b. 0或2(a－b)
题型一 由根式的意义求范围 利用 a2＝|a|进行讨论化简 【例 1】 求使等式 （a－3）（a2－9）＝(3－a) a＋3成立的实数 a 的取值范围.
解 （a－3）（a2－9）＝ （a－3）2（a＋3）＝|a－3| a＋3， 要使|a－3| a＋3＝(3－a) a＋3成立，需aa－ ＋33≤ ≥00， ，解得 a∈[－3，3].
二、素养训练 1.已知 x5＝6，则 x 等于( )
A. 6
B.5 6
C.－5 6 答案 B
D.±5 6
2.(4 2)4 运算的结果是( )
A.2
B.－2
C.±2
D.不确定
答案 A
3.m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.4 m2
B.3 m
C.6 m
D.5 －m
答案 C
3
4. －8的值是________.
(1)4 （3－π）4； (2) （a－b）2(a>b)；
3
(3)( a－1)2＋ （1－a）2＋ （1－a）3.
解 (1)4 （3－π）4＝|3－π|＝π－3.
初中数学八年级《n次根式》
）。
4、逻辑排除法 例5、顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形一
三、数形结合法
由已知条件作出相应的图形，再由图形的直观性得出正确 的结论。
例6.直线y=-x-2 和y=x+3 的交点在第（ ）象限。
A. 一
B. 二
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
要到玻璃店去配一块完全一样玻璃，最省事的办法是 （ ）。 A、带①去 B、带②去 C、带③去 D、带①和②去
③ ② ①
2.特殊值排除法 例3、已知：a＜b，则下列各式中正确的是（ ）。 A、a＜—b B、a-3＞b-8 C、a2＜b2 D、-3a＞-3b
3、逐步排除法 例4、能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是（ A、AB=CD、∠B=∠D B、∠A=∠B、∠C=∠D C、AB∥CD、AD=BC D、AD∥BC、AD=BC
方 根
的
性
1. = a , a≥0
质
a , n为奇数 2. = , n为偶数
是 什 么
？
3.
(a≥0,m、n、p
是正整数且n、p＞1)
二次根式的基本性质
1 a 2 a, a 0
2
a2
a
a, a 0 a, a0
3 a b a b (a 0, b 0)
≥0，此时- 也是f(x)的n次方根。即此时 f(x)有两个n次方根，它们互为相反数。
根式 (1)
【规律总结】 求解n次方根的注意事项 (1)当n为大于1的奇数时，n a 对任意a∈R有意义，它表示a 在实数范围内唯一的一个n次方根. (2)当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时有意义，当a＜0时 无意义.n a(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一 个是 n a.
【变式训练】 (1)若x6=2 014，则x是_______. (2)-2 013的五次方根是_________. 【解析】(1)因为x6=2 014，所以x是 6 2 014. 答案：6 2 014 (2)-2 013的五次方根是 5 2 013. 答案：5 2 013
绝对值的意义即可求出m的取值范围.
【解析】1.选B.因为 4a2 4a 1 3 1 2a 3 ,
所以|2a-1|=1-2a,则2a-1≤0，解得a≤ 1 , 故选B.
2
2.因为 3
3
6 m 4
5 m4 6 m 5 m 11,
所以|5-m|=5-m,所以5-m≥0,所以m≤5.
26 3 6 6 36 3.
3 20 1 3 3 3 3 0.216 9 3 0.6 2.4.
4
8
22
答案：(1)-3 (2)π-3 (3)2.4
2.因为 a 1 , 所以2a-1<0,所以
2
2a 12 2a 1 1 2a.
【探究总结】对n次方根的两点说明 (1)n次方根的存在:任何实数都存在奇次方根;负数没有偶次方 根,非负数才存在偶次方根. (2)n次方根的个数:任何实数的奇次方根只有一个;正数的偶次 方根有两个,且互为相反数;零的n次方根只有一个零.
二、根式的性质
探究1：求值与化简中常用到 n
4.1.1n次方根与分数指数幂(教学课件)—— 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
③若a<0，则a的n次方根不存在.
为什么负数没有偶
次方根？
一般地，如果x a，那
n
么x叫做a的n次方根( nth root )，
其中n 1，且n N
式子 a叫做根式(radical )
n
n 根指数，a 被开方数
例(1)27的立方根是
;16的4次方根是
(2)已知x6=2 019,则x=
____(
_____
> ,
=
____
> , , ∈ ∗ , > )
> .
分数指数幂
规定正数的正分数指数幂的意义是：
=
> , , ∈ ∗ , >
所以，在条件 > , , ∈ ∗ , > 的下，根式都可以写成分数指数
质推广到有理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值。（重点）
● 3. 通过具体的实例，说明n次根式表示为分数指数幂的过程中，保证指数幂的运算性质
仍然成立，说明了其合理性。（难点）
核心素养：
● 1.理解n次方根、根式的概念；理解分数指数幂的意义，培养学生数学抽象的核心素养。
● 2.通过分数指数幂的运算性质的推导，培养学生逻辑推理的核心素养。
第4章 指数函数与对数函数
4.1 指数 - 4.1.1 n次方根与分数指数幂
n次方根
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
x a;
n
x a
n
x a.
n
(当n是奇数)
(当n是偶数,且a＞0)
为什么负数没有偶
次方根？
一般地，如果x a，那
n
么x叫做a的n次方根( nth root )，
其中n 1，且n N
式子 a叫做根式(radical )
n
n 根指数，a 被开方数
例(1)27的立方根是
;16的4次方根是
(2)已知x6=2 019,则x=
____(
_____
> ,
=
____
> , , ∈ ∗ , > )
> .
分数指数幂
规定正数的正分数指数幂的意义是：
=
> , , ∈ ∗ , >
所以，在条件 > , , ∈ ∗ , > 的下，根式都可以写成分数指数
质推广到有理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值。（重点）
● 3. 通过具体的实例，说明n次根式表示为分数指数幂的过程中，保证指数幂的运算性质
仍然成立，说明了其合理性。（难点）
核心素养：
● 1.理解n次方根、根式的概念；理解分数指数幂的意义，培养学生数学抽象的核心素养。
● 2.通过分数指数幂的运算性质的推导，培养学生逻辑推理的核心素养。
第4章 指数函数与对数函数
4.1 指数 - 4.1.1 n次方根与分数指数幂
n次方根
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.
x a;
n
x a
n
x a.
n
(当n是奇数)
(当n是偶数,且a＞0)
1.2.1《n次方根 》-根式的概念-高职数学
(2) 当 n 为奇数时， n an = a；
当 n 为偶数时， n an = | a | =
a (a≥0)
－a (a＜0)
P11-13 习题 1-2
则 －5 是 －125 的三次方根（立方根）; (3) 6 4 = 1 296，
则 6 是 1 296 的 4 次方根．
结论：
(1) 当 n 为奇数时： 正数的 n 次方根为正数，负数的 n 次方根为负数．
记作 x = n a
(2) 当 n 为偶数时: 正数的 n 次方根有两个（互为相反数）．
记作 x = ± n a
练习：求值
（2）x2 144 解：因为（12）2 144，所以x 12
（1））4 54
（4）(5)2
1．方根：x n = a（ n ＞ 1，n N ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
2．根式
n a 叫做根式，n 叫根指数，a叫做被开方数.
根式的性质：
(1) ( n a ) n = a．
1.2.1 根式的概念
一、根式 1．n次方根
一般地，若 x n = a（ n ＞ 1，n R ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
例如： (1) 3 2 = 9 ，
则 3 是 9 的二次方根（平方根）； (－3) 2 = 9，
则 －3 也是 9 的二次方根（平方根）； (2) (－5) 3 = －125，
根式的性质：
(2) 当 n 为奇数时， n an = a； 当 n 为偶数时， n an = | a | =
例如
a (a≥0)
－a (a＜0)
3 (2)3 = －2； 4 34 = 3；
5 25 = 2； (3)2 = 3．
当 n 为偶数时， n an = | a | =
a (a≥0)
－a (a＜0)
P11-13 习题 1-2
则 －5 是 －125 的三次方根（立方根）; (3) 6 4 = 1 296，
则 6 是 1 296 的 4 次方根．
结论：
(1) 当 n 为奇数时： 正数的 n 次方根为正数，负数的 n 次方根为负数．
记作 x = n a
(2) 当 n 为偶数时: 正数的 n 次方根有两个（互为相反数）．
记作 x = ± n a
练习：求值
（2）x2 144 解：因为（12）2 144，所以x 12
（1））4 54
（4）(5)2
1．方根：x n = a（ n ＞ 1，n N ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
2．根式
n a 叫做根式，n 叫根指数，a叫做被开方数.
根式的性质：
(1) ( n a ) n = a．
1.2.1 根式的概念
一、根式 1．n次方根
一般地，若 x n = a（ n ＞ 1，n R ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
例如： (1) 3 2 = 9 ，
则 3 是 9 的二次方根（平方根）； (－3) 2 = 9，
则 －3 也是 9 的二次方根（平方根）； (2) (－5) 3 = －125，
根式的性质：
(2) 当 n 为奇数时， n an = a； 当 n 为偶数时， n an = | a | =
例如
a (a≥0)
－a (a＜0)
3 (2)3 = －2； 4 34 = 3；
5 25 = 2； (3)2 = 3．
《n次根式》课件
n次根式的发展历程
早期起源
n次根式最早可追溯到古希腊数 学家，他们开始探索多边形的面 积和体积的计算方法，从而引入
了n次根式的概念。
中世纪发展
在中世纪，阿拉伯数学家进一步 发展了n次根式，将其应用于代
数和三角学等领域。
01
03
02 04
文艺复兴时期
欧洲文艺复兴时期，多位数学家 如笛卡尔、牛顿等都对n次根式 进行了深入研究，推动了其理论 的发展。
详细描述
对于根号内的复杂因式，我们可以尝 试将其有理化，以便更容易地处理。 例如，我们可以将$sqrt{a+b}$有理 化为$sqrt{a}+sqrt{b}$，从而简化表 达式。
03
n次根式的应用
解决实际问题
01
02
03
计算物理问题
在解决物理问题时，经常 需要使用n次根式来计算 速度、加速度、力等物理 量。
02
n次根式的化简
根号内的因式分解
总结词
通过因式分解，将根号内的表达式转换为易于处理的简单形 式。
详细描述
对于根号内的复杂表达式，我们可以尝试将其因式分解，以 便更容易地处理。例如，我们可以将$sqrt{a^2+b^2}$分解 为$sqrt{a^2}+sqrt{b^2}$，从而简化表达式。
根号内的有理化分母
金融计算
在金融领域，n次根式常 用于计算复利、折现率等 金融指标。
化学计算
在化学领域，n次根式用 于计算化学反应速率、平 衡常数等化学指标。
在数学其他领域的应用
代数方程求解
在求解代数方程时，n次根 式常用于求解一元或多元 方程。
微积分
在微积分中，n次根式用于 计算定积分、不定积分等 。
高中数学第二章基本初等函数I2.1.1.1根式课件新人教版必修1
n 的奇偶性
a 的 n 次方根的 表示符号
a 的取值范围
n 为奇数
பைடு நூலகம்
n a
a∈R
n 为偶数
n
±a
[0，＋∞)
(3)根式 n
式子__a__叫做根式，这里 n 叫做_根__指__数__，a 叫做被开方数.
2.根式的性质
n
(1) 0＝_0_ (n∈N*，且 n＞1)；
n
(2)( a)n＝_a_ (n∈N*，且 n＞1)；
3.掌握两个公式：(1)(n a)n＝a，n 为奇数；(2)n an＝a，n 为偶
数，n an＝|a|＝a－a
（a≥0）， （a＜0）.
1.若 m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A.4 m2
B.3 m
C.6 m
5
D.
－m
解析 C 中，6 m隐含 m≥0；当 m<0 时，没有意义.
编后语
常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已 经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
(2)设 m＜0，则( －m)2＝________.
解析 (1)依题意，x 是 3 的 4 次方根，∴x＝±4 3.
(2)∵m＜0，∴－m＞0，∴( －m)2＝－m.
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也 是如此。 即此时f(x)只有一个n次方根，其符号 与f(x)相同。
当n为奇数时， g(x)可取任何实数，
a≥0
-a , a＜0
1. = a , a≥0 a , n为奇数 , n为偶数
2.
=
3. (a≥0,m、n、p 是正整数且n、p＞1)
算 术 平 方 根 的 性 质 是 什 么 ？
指出下列代数式中哪些是无理式：
3a a 2 b 2b
2 3x xy y 2 2
2
Y N N
3
5 2 x
练习：
1 如果 x 2 2 xy y 2 x 3 0, 求y 2 x的算术平方根。
2 写出下列各等式成立的 条件：
1
4 x 2 x
2
一般地，如果 x2=a，则x就叫做 a的平方根。
n 在实数范围内，如果 x =a ，n
是大于1的整数，则称x为a的n次方根。 如果有理式f(x)与g(x)满足 [f(x)]n=g(x)，则称f(x)是g(x)的n次方根， 记为 ， 称为n次根式。
（1）∵23 =8 , ∴2是8的三次方根（立方根） 8的三次方根是2 ；
二次根式的基本性质
1
2
a
2
2
a, a 0
a, a 0 a a a, a0
3 a b a b (a 0, b 0)
4
a b
a b
(a 0, b 0)
含有数字与变元的加、减、乘、除、 乘方、开方运算，并一定含有变元开方运 算的算式称为无理式。
（2）∵(-3)3 = -27， ∴-3是-27的三次方根 -27的立方根是-3；
（3）∵24 =16 ， ∴2是16的四次方根 16的四次方根是2 16的四次方根是±2。
×
有 （1）只有非负实数有平方根和算术平方根。 什 么平 （2）一个正数有两个平方根，它们互为相 联 方 反数；而算术平方根是其中正的一个。 系根 与与 区算 别术 当n为偶数时，要求g(x) ≥0，规定 ？ 平 ≥0，此时也是f(x)的n次方根。即此时 方 f(x)有两个n次方根，它们互为相反数。 根
2 x 22
x2 x3
2 x
3
x 9 x 3 x 3
2
4
x2 x 3
3.化简下列各式： 1 x 2 2 xy y 2
2
4
x
2
2
1
2
3
0.01a 2 b 6 (a 0, b 0)
2
a 2n (n是自然数）
4已知 x 10x 25 4 4 x x 7，求x的取值范围。