训练4

常考问题4 导数的简单应用
(建议用时：50分钟)
1．函数f (x )＝12x 2
－ln x 的单调递减区间为
( )．
A ．(－1,1]
B ．(0,1]
C ．[1，＋∞)
D ．(0，＋∞)
解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1
x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]． 答案 B
2．(2013·江西卷)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121
x d x ，S 3＝⎠⎛1
2e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关
系为
( )．
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3<S 2<S 1
解析 S 1＝
⎪⎪⎪13x 3 ＝83－13＝73；S 2＝ln x ⎪⎪⎪
2
1＝ln 2<ln e ＝1；S 3＝e x ⎪⎪⎪
2
1＝e 2－
e ≈2.72－2.7＝4.59， 所以S 2<S 1<S 3. 答案 B
3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为
( )．
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，2
B.()－∞，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，＋∞ D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，12∪()2，＋∞ 解析 xf ′(x )<0⇒⎩⎨⎧ x >0，f ′(x )<0或⎩⎨⎧
x <0
f ′(x )>0.
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，2时，f (x )单调递减，此时f ′(x )<0.
当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递增，此时f ′(x )>0.故选B. 答案 B
4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是
( )．
A ．(0,2]
B ．(0,2)
C ．[3，2)
D ．(3，2)
解析 由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )
＝3x 2
＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝(2a )2－4×3×1>0，
－1<－2a 6<1，f ′(－1)＝3－2a ＋1>0，f ′(1)＝3＋2a ＋1>0，
又
a >0，解得3<a <2，故选D. 答案 D
5．(2013·潍坊模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3f (30.3)，b ＝log π3f (log π3)，c ＝log 319f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫log 319，
则a ，b ，c 间的大小关系是
( )．
A ．a >b >c
B ．c >b >a
C ．c >a >b
D ．a >c >b
解析 设g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0(x <0)，∴当x <0时，g (x )＝xf (x )
为减函数．
又g (x )为偶函数，∴当x >0时，g (x )为增函数． ∵1<30.3<2,0<log π3<1，log 31
9＝－2， ∴g (－2)>g (30.3)>g (log π3)，即c >a >b . 答案 C
6．设P 为曲线C ：f (x )＝x 2－x ＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线斜率的取值范围是[－1,3]，则点P 的纵坐标的取值范围是________． 解析 设P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝2x －1. ∴－1≤2x 0－1≤3，即0≤x 0≤2. ∵y 0＝f (x 0)＝x 20－x 0
＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋34， ∵x 0∈[0,2]，∴3
4≤y 0≤3，
故点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
34，3.
答案 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
34，3
7．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
解析 ∵f (x )＝a ln x ＋x .∴f ′(x )＝a
x ＋1.
又∵f (x )在[2,3]上单调递增，∴a
x ＋1≥0在x ∈[2,3]上恒成立，∴a ≥(－x )max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞)． 答案 [－2，＋∞)
8．(2013·盐城调研)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________． 解析 依题意知f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.
又a >0，b >0，∴ab ≤⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值为9.
9．已知f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；
(2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围．
解 (1)∵f (x )＝e x －ax －1(x ∈R )，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0，得e x ≥a .当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a ．综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)． (2)由(1)知f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增， ∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x 在R 上恒成立． ∵x ∈R 时，e x >0，∴a ≤0， 即a 的取值范围是(－∞，0]．
10．(2013·西安五校二次联考)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x ，a ∈R . (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间．
解 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2
x (x >0)． (1)由题意得f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝2
3. (2)f ′(x )＝
(ax －1)(x －2)
x
(x >0)．
①当a ≤0时，x >0，ax －1<0.在区间(0,2)上，f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上，f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． ②当0<a <12时，1a >2.在区间(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，1a 上，
f ′(x )<0.
故f (x )的单调递增区间是(0,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，1a .
③当a ＝1
2时，f ′(x )＝(x －2)2
2x ≥0， 故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)．
④当a >12时，0<1a <2，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，2上，
故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. 11．(2013·重庆卷)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6
x
.
令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)，
由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝1
2. (2)由(1)知，f (x )＝1
2(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)
x .
令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．
由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝9
2＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 备课札记：。