4-3-4 任意四边形、梯形与相似模型(二).教师版
第5讲 平行四边形和梯形(教师版)(知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升)人教版
第5讲平行四边形和梯形知识点一：平行与垂直在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。
两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。
这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。
知识点二：平行与垂直的画法过直线上(外)一点画已知直线的垂线的方法：1. 把三角尺的一条直角边与已知直线重合；2. 沿直线移动三角尺，使三角尺的顶点(或边)与已知直线重合；3. 过已知点沿三角尺的另一条直角边画一条直线；4. 在垂足处标出垂直符号。
5.点到直线的距离与平行线间的距离（1）点到直线的距离从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
（2）平行线间的距离两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。
6.运用平行和垂直画长方形先画出一条线段，然后过这条线段的两个端点画与这条线段垂直的线段，最后连接这两条垂直线段的另外的端点。
知识点三：平行四边形与梯形1. 平行四边形的认识（1）两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
（2）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。
（3）平行四边形的两组对边分别平行并且相等。
两组对角分别相等。
（4）平行四边形有无数条高；对边之间的高长度相等；对边之间的高互相平行。
（5）平行四边形有不稳定性，容易变形。
2.梯形的认识（1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
（2）两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
（3）有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
（4）梯形只有一类高，为无数条。
（5）正方形是特殊的长方形；长方形和正方形是特殊的平行四边形。
（6）等腰梯形和直角梯形是特殊的梯形。
考点一：平行与垂直【例1】如图是学校的沙坑，A点是苹苹跳远时脚后跟落人沙坑的点，哪条线段的长度表示她的成绩比较合理？（）A．线段AB B．线段AC C．线段AD【思路分析】跳远时测定成绩是量踏板前端到身体接触沙坑最后一个痕迹的垂线段的长度．【规范解答】解：根据分析可得：用线段AC的长度表示她的成绩比较合理．故选：B．【名师点评】此题考查了学生对跳远成绩测定方法的理解．1．（2019秋•芙蓉区期末）在正方形中，相邻的两条边（）A．互相平行B．互相垂直C．相交【思路分析】正方形的特征：有4条边，4条边长度相等，4个角，都是直角；据此可知正方形的对边互相平行，相邻的两条边互相垂直．【规范解答】解：正方形中，相邻的两条边都互相垂直；故选：B．【名师点评】此题考查正方形的特征，也考查了垂直的意义．2．（2019秋•李沧区期末）一张圆形的纸对折两次后打开的折痕（）A．一定互相平行B．一定互相垂直C．可能互相平行，可能互相垂直【思路分析】把一张圆形纸对一次折后打开，有一条折痕，这条折痕就是圆的一条直径，对折两次打开后，有两条折痕，这两条折痕都是圆的直径，且互相垂直．【规范解答】解：如图：一张圆形的纸对折两次后打开的折痕一定互相垂直．故选：B．【名师点评】注意折痕虽然平行，但第二次不叫对折．3．（2019秋•历下区期末）过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（）条．A．1B．2C．3D．无数【思路分析】过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直．据此可解答．【规范解答】解：因过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直，所以过直线外一点画已知直线的垂线，可以画1条．故选：A．【名师点评】本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况．考点二：平行与垂直的画法【例2】（2019秋•白云区期末）在如图中找出一组平行线，用实线画出来．【思路分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，据此即可．【规范解答】解：【名师点评】此题主要考查了平行线的定义，正确把握相关定义是解题关键．1．（2019秋•绿园区期末）在图中画出和AB平行的线段，和DC垂直的线段．【思路分析】依据同一平面内，两条直线的位置关系，即垂直和平行的意义，即可进行画图．【规范解答】解：【名师点评】此题主要考查垂直与平行的意义．2．（2019秋•惠城区校级期中）过B点画出已知直线的垂线．【思路分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可．【规范解答】解：作图如下：【名师点评】本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线的能力．3．（2018秋•白云区期末）在图中找出一组平行线，用实线画出．【思路分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，据此即可．【规范解答】解：【名师点评】此题主要考查了平行线的定义，正确把握相关定义是解题关键．考点三：平行四边形与梯形【例3】（2019秋•武昌区期末）把一个四边形撕成了三部分，其中两部分如图，这个四边形可能是（）A．长方形B．正方形C．平行四边形D．梯形【思路分析】观察给出的这个四边形的两个角，一个是直角，另一个是锐角，首先排除正方形和长方形，它们的四个角都是直角；如果是平行四边形，那么有一个角是直角的平行四边形就是长方形或正方形，它的四个角都是直角，所以不是平行四边形，那么只可能是梯形，由此求解．【规范解答】解：长方形和正方形都有4个直角，而给出的图形有一个角不是直角，所以这个四边形不可能是长方形和正方形；平行四边形中有一个角是直角，那么这个平行四边形就是长方形或正方形，它的四个角都是直角，所以这个四边形不可能是平行四边形；这个图形可能是梯形，而且是直角梯形，如下图：故选：D．【名师点评】解决本题关键是熟练掌握四边形的分类以及平行四边形、长方形、正方形和梯形的特征．1．（2019秋•越秀区期末）下面的图形中，属于平行四边形的共有（）个．A．1B．2C．3D．4【思路分析】根据平行四边形的含义：两组对边都平行的四边形是平行四边形．【规范解答】解：属于平行四边形的共有4个；故选：D．【名师点评】熟练掌握这些平行四边形的定义与性质是解答此题的关键．2．（2019秋•巨野县期末）下列哪一句话是错误的（）A．平行线延长也可能相交B．梯形有无数条高C．平行四边形两组对边分别平行【思路分析】A、根据在同一平面内，延长之后永不相交的两条直线叫做平行线判断；B、根据梯形的高的含义，在梯形上底上任取一点，过这一点向下底作垂线段即为梯形的高．这样的线段可以作无数条，因而一个梯形能画出无数条高；C、根据平行四边形的意义，有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形判断；据此解答即可．【规范解答】解：由分析得出：A、平行线延长之后永不相交，所以平行线延长也可能相交说法错误；B、梯形有无数条高说法正确；C、平行四边形两组对边分别平行说法正确．故选：A．【名师点评】此题主要考查平行和垂直的基本概念的掌握情况，要逐题分析．3．（2019秋•巨野县期末）延长梯形的上底和下底，它们（）A．永不相交B．相交C．无法判断【思路分析】因为梯形的上底和下底互相平行，所以延长后的两直线还是平行的，永远也不相交．据此得出答案．【规范解答】解：因为梯形的上底和下底互相平行，所以延长后的两直线还是平行的，永远也不相交；故选：A．【名师点评】解题关键是学生要理解梯形的特征：“梯形的两底平行”．一．选择题（共6小题）1．（2019秋•红安县期末）在同一平面内，若两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线（）A．互相垂直B．互相平行C．不能确定【思路分析】根据平行的性质：同一平面内两条直线同时垂直于一条直线，那么，这两条直线相互平行；据此解答．【规范解答】解：同一平面内两条直线同时垂直于一条直线，那么，这两条直线相互平行；故选：B．【名师点评】此题考查了垂直和平行的性质，应注意积累和理解．2．（2019秋•平山县期末）从平行四边形的一个顶点可以画这个平行四边形的（）条高．A．1B．2C．无数条【思路分析】在平行四边形中，一个顶点有两条对边，则过这个顶点向对边作垂线，有两条，这两条都是平行四边形的高．【规范解答】解：如图所示，从平行四边形的一个顶点可以画这个平行四边形的2条高．．故选：B．【名师点评】此题主要考查平行四边形的高的画法．3．（2019秋•西城区期末）有关平行四边形的描述错误的选项是（）A．用上面4根小棒可以围成不同的平行四边形．B．将长方形拉成平行四边形，对边依然平行且相等，周长也不变．C．两个完全相同的梯形一定能拼成一个平行四边形．D．以AB为底，OM为高，只能画出一个平行四边形．【思路分析】A、依据平行四边形的意义，即“两组对边分别平行或相等的四边形，叫做平行四边形”可知：只要是两组对边相等，就能围成一个平行四边形；如图的四根小棒，因为两组分别相等，所以可以围成平行四边形，因为平行四边形具有易变形的性质，所以能围成许多不同的平行四边形，所以A正确；B、把一个长方形拉成一个平行四边形后，两组对边依然分别平行或相等，长和宽没变，所以周长不变．所以B正确．C、根据梯形的面积推导过程可知：用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形上下底的和，高等于梯形的高，所以C正确．D、等底等高的平行四边形可以画出很多个，所以D错误．【规范解答】解：由分析可知，ABC都正确，D错误．故选：D．【名师点评】此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基础知识的积累．4．（2019秋•潍坊期末）用木条钉成一个长方形框架，沿对角线拉成一个平行四边形．这个平行四边形与原来的长方形相比，周长____，面积____，你认为正确的答案是（）A．不变不变B．不变变大C．变大变小D．不变变小【思路分析】当长方形被拉成平行四边形后，它的长和宽没变，所以周长不变，但是高变小了，根据长方形和平行四边形面积公式可解，所以面积就变小了．【规范解答】解：因为长方形被拉成平行四边形后，它的长和宽没变，所以周长不变，但是高变小了，所以面积就变小了；故选：D．【名师点评】此题主要考查平行四边形易变形的特征以及周长和面积公式的灵活应用．5．（2018秋•昆明期末）下面错误的是（）A．正方形相邻的两条边互相垂直B．平行四边形具有稳定性C．长方形是特殊的平行四边形D．平行四边形和梯形都有无数条高【思路分析】根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论．【规范解答】解：A、根据正方形的特征，正方形相邻的两条边互相垂直，说法正确；B、平行四边形容易变形，所以此题说法错误；C，当平行四边形的一个内角是90°时，则该平行四边形是长方形，所以长方形是特殊的平行四边形，说法正确；D、根据平行四边形高的含义和梯形高的含义：平行四边形的高是指对边之间的距离，那么，两组对边之间都可以画无数条垂直线段，所以，有无数条高；梯形虽然只有一组对边平行，但是，在这组对边里，也可以画无数条垂直线段，所以也有无数条高，所以在平行四边形和梯形内能画出无数条高，且都相等，所以平行四边形和梯形都有无数条高，说法正确；故选：B．【名师点评】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易解决，注意平时基础知识的积累．6．（2020春•周村区期末）两条平行线间可以画（）条垂直线段．A．1B．2C．无数【思路分析】根据平行的性质可知：两条平行线间可以画无数条垂直线段；据此解答．【规范解答】解：由分析可知：两条平行线间可以画无数条垂直线段；故选：C．【名师点评】此题考查了平行的性质，应注意灵活理解和掌握．二．填空题（共6小题）7．（2020春•周村区期末）平行四边形的对边互相平行，长方形的两条邻边互相垂直．【思路分析】根据长方形的特征，对边平行且相等，4个角都是直角，可知，长方形相邻的两条边互相垂直，相对的两边互相平行．【规范解答】解：平行四边形的对边互相平行，长方形的两条邻边互相垂直．故答案为：平行，垂直．【名师点评】此题主要考查长方形的特征．8．教室黑板的两组对边分别平行，且长度相等，邻边互相垂直．【思路分析】因为黑板是一个长方形，所以根据长方形的特征：对边平行且相等，4个角都是直角，可知，长方形相邻的两条边互相垂直，相对的两边互相平行；据此解答．【规范解答】解：根据长方形的特征可知：教室黑板面相对的两组对边分别平行且相等．相邻两边互相垂直；故答案为：平行，相等，垂直．【名师点评】此题主要考查长方形的特征．9．（2019秋•东城区期末）如图，春光小学的伸缩门应用了平行四边形易变形的特点．【思路分析】伸缩门是应用了平行四边形不稳定性，容易变形进行制作的，便于伸缩．【规范解答】解：如图，春光小学的伸缩门应用了平行四边形易变形的特点．故答案为：易变形．【名师点评】大门做成的伸缩门，这是应用了平行四边形不稳定性制作的，考查了平行四边形的特征．10．（2019秋•白云区期末）如图．（1）如果把梯形记作：梯形ABDC，那么请你在图中再找一个梯形，用这种表达方式记作：梯形AEFC．（2）如果把梯形AEFC的上底记作：AE，那么下底记作CF，高记作EF．这是一个直角梯形．【思路分析】根据梯形的含义和特征：只有一组对边平行的四边形叫做梯形；梯形只有一组对边平行，把相互平行的一组边叫做梯形的底，其中上面的叫做上底，下面的叫下底；上下底之间的距离叫做梯形的高；由此解答．【规范解答】解：（1）如果把梯形记作：梯形ABDC，那么请你在图中再找一个梯形，用这种表达方式记作：梯形AEFC．（2）如果把梯形AEFC的上底记作：AE，那么下底记作CF，高记作EF．这是一个直角梯形．故答案为：AEFC；CF，EF，直角．【名师点评】明确梯形的含义和特征，是解答此题的关键．11．（2019秋•高平市期末）图形中有两组平行线，3组垂线．【思路分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫做垂足；据此解答即可．【规范解答】解：图形中有两组平行线，3组垂线．故答案为：两，3．【名师点评】明确平行和垂直的性质可知，是解答此题的关键．12．两个面积相等的平行四边形，它们的形状B，周长B．A．相同B．不一定相同C．相等D．不一定相等【思路分析】根据平行四边行的面积＝底×高，两个平行四边形的面积相等，也就是底和高的乘积相等，但是两个长方形的底不一定相等，高也不一定相等，所以这两个平行四边行的形状不一定相同，周长也不一定相同，由此可以解答．【规范解答】解：由平行四边行的面积公式知，只要底和高的乘积相等就说明面积相等，但是两个长方形的底不一定相等，高也不一定相等，所以这两个平行四边行的形状不一定相同，周长也不一定相同．故答案为：B．【名师点评】此题考查了平行四边行的面积公式的灵活应用．三．判断题（共5小题）13．如图中共有3组平行线．×（判断对错）【思路分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；据此解答．【规范解答】解：根据平行线的定义可知，如图中共有7组平行线．原题说法错误．故答案为：×．【名师点评】此题考查了对平行线的掌握．14．平行四边形具有稳定，不易变形的特性．×（判断对错）【思路分析】由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形．【规范解答】解：因为平行四边形具有不稳定性，所以容易变形；原说法错误．故答案为：×．【名师点评】此题主要考查平行四边形的特性．15．画边长3厘米的正方形时，只用量角器就可以画出来．×（判断对错）【思路分析】画边长3厘米的正方形时，需要确定边的长度，量角器无法测量或绘制线段的长度，据此判断．【规范解答】解：画边长3厘米的正方形时，需要确定边的长度，量角器无法测量或绘制线段的长度，所以原题说法错误．故答案为：×．【名师点评】本题主要考查了画指定边长的正方形，需要学生熟知各种工具的使用．16．（2019秋•郓城县期末）这样的四根小棒可以围成许多不同的平行四边形．√（判断对错）【思路分析】依据平行四边形的意义，即两组对边分别平行或相等的四边形，叫做平行四边形；据此可知：只要是两组对边相等，就能围成一个平行四边形；据此判断即可．【规范解答】解：如图的四根小棒，因为两组分别相等，所以可以围成平行四边形，因为平行四边形具有易变形的性质，所以能围成许多不同的平行四边形，所以本题说法正确；故答案为：√．【名师点评】此题关键是根据四边形的特征进行分析、解答．17．（2019秋•唐县期末）我们平常见到的电动伸缩门就是利用了平行四边形稳定性的特点．×（判断对错）【思路分析】由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门运用了平行四边形易变形的特性．【规范解答】解：我们平常见到的电动伸缩门就是利用了平行四边形易变性的特点，所以本题说法错误；故答案为：×．【名师点评】此题主要考查了平行四边形的特性是容易变形．四．操作题（共3小题）18．画出如图各图形所给底边上的高．【思路分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线段，用三角板的直角可以画出平行四形的高；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角可以画出梯形的一条高．【规范解答】解：画法如下：【名师点评】本题是考查作平行四边形、梯形的高．注意作高用虚线，并标出垂足．19．（2019秋•大田县期末）按要求完成下面各题．①先从如图中任意选出两点画出一条直线．②再通过第三点画出它的平行线和垂线【思路分析】①、把其中的两个点直接连起来就是一条直线．②、用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和已知点重合，用直尺靠紧和已知点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过已知点画直线就是平行线．用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和已知点重合，过已知点沿直角边向已知直线画直线就是垂线．【规范解答】解：【名师点评】本题考查了学生画平行线和垂线的能力．20．（2020•海淀区）过A点作对边的垂线和平行线．【思路分析】过A点作对边的垂线和平行线，把点A的对边看作一条直线的一部分，即过直线外一点作已知直线的垂线和平行线．过A点作对边的垂线：把三角板的一直角边靠紧点A的对边，沿这条线段滑动三角板，当另一直角边经过点A时，沿这条直角边画的直线就是过A点作对边的垂线；过A点作对边的平行线：把三角板的一边靠紧点A的对边，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与点A的对边重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过点A点作的对边的平行线．【规范解答】解：过A点作对边的垂线（红色）和平行线（绿色）．【名师点评】过直线外一点作已知直线的垂线和平行线，三角板、三角板与直尺（或另一三角板）正确、熟练使用的配合使用是关键．五．解答题（共2小题）21．（2020春•邛崃市期末）在点子图上画出一个平行四边形．【思路分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，在点子图中画出即可．【规范解答】解：画图如下：【名师点评】本题考查了学生根据平行四边形的定义在点子图上画图的能力．22．（2019秋•皇姑区期末）若你把一个梯形两腰的中点进行连结，得到的这条线段就是这个梯形的中位线．（1）试画出这个梯形的中位线．（用铅笔和直尺作图）（2）量一量中位线的长度，再量一量这个梯形上底和下底的长度，你发现了什么？把你的发现写在下面？【思路分析】（1）先找到两腰的中点，再连结即可求解；（2）根据线段的测量方法量出中位线的长度，上底和下底的长度，再依此找到它们的规律即可求解．【规范解答】解：（1）如图所示：（2）我的发现：梯形中位线＝上底和下底的和的一半．【名师点评】考查了梯形的特征及分类，关键是熟悉梯形中位线＝上底和下底的和的一半．。
第5单元：平行与垂直—平行四边形与梯形综合作图专项练习-四年级数学上册典型例题系列(解析版)人教版
四年级数学上册典型例题系列第五单元：平行与垂直—平行四边形与梯形综合作图专项练习一：平行与垂直作图1．过点O分别作两条已知直线的垂线。
【答案】见详解【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和O点重合，过O沿直角边向已知直线画直线即可。
据此画图即可。
【详解】【点睛】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力。
2．刘家村为了方便，需要从河边铺设水管把水引到村里，怎样铺设水管最节约材料，请在下图上画出来。
【答案】见详解【分析】根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，作图即可。
【详解】如图：【点睛】此题主要考查了垂线段的认识及画法。
3．画一画。
画出线段AB的一条垂线。
【答案】见详解【分析】过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。
再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。
这条直线就是已知直线的垂线。
【详解】【点睛】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线的方法，旨在考查学生利用三角尺作图的能力。
4．过点p分别画出直线L1的平行线和L2的垂线。
【答案】见详解【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线L重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后1沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。
，沿这条直线滑动过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线L2三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。
【详解】画图如下：【点睛】此题考查的是过直线外一点作垂线、画平行线，熟练掌握垂直与平行的特点，是解答此题的关键。
5．过点A作已知直线的平行线和垂直线。
【答案】见详解【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。
空间几何体的结构(教师版) (2)
空间几何体的结构____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征．掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征．概括简单组合体的结构特征．1．几何体只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．2．构成空间几何体的基本元素(1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素．(2)平面及其表示方法：①平面的概念：平面是处处平直的面，它是向四面八方无限延展的．②平面的表示方法：图形表示：在立体几何中，通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的符号表示：平面一般用希腊字母α，β，γ…来命名，还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名．深刻理解平面的概念，搞清平面与平面图形的区别与联系是解决相关问题的关键．平面与平面图形的区别与联系为：平面是没有厚度、绝对平展且无边界的，也就是说平面是无限延展的，无厚薄，无大小的一种理想的图形．平面可以用三角形、梯形、圆等平面图形来表示．但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形是平面，只能说平面可以用平面图形来表示．(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系：①点动成线：运动方向始终不变得到直线或线段；运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲线的一段．②线动成面：直线平行移动可以得到平面或者曲面；固定射线的端点，让其绕一个圆弧转动，可以形成锥面．③面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体． 3．棱柱 (1)棱柱的定义一般地，由一个平面多边形（凸多边形）沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱。
相似图形导学案(教师版)
第三章 相似图形第一节 线段的比（一） ◆导学目标1、了解线段的比、成比例线段的概念，会判断已知线段是否成比例。
2、掌握比例的基本性质。
3、通过画图、推理等方法，加强探索和合情推理。
◆课前预习预习课本P76~P78。
完成下列各题：1、在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠30A ，则A C ︰AB= ，AC ︰BC= 。
2、已知M 是线段AB 延长线上一点，且AM ：BM ＝5：2则AB ：BM 为（ ） A.3：2 B ．2：3 C ．3：5 D ．5：23、两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？4、什么是两条线段的比？比值有单位吗？5、什么是成比例线段（简称：比例线段）？比例的基本性质是什么？6、请提出预习过程中不能理解的问题？◆课堂导学若选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别为m 、n ，那么就说这两条线段的比AB ︰CD=m ︰n ，或写成nmCD AB =。
AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。
（注意：两条线段的比不仅单位要统一、而且要有顺序）。
若把n m 表示为比值k ，那么k CDAB=，或CD k AB ∙= 例1：在某县比例尺为1︰400 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是4cm 出甲乙两地的实际距离。
分析：比例尺=图上距离︰实际距离四条线段d c b a ,,,中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a:b=c:d,或dc b a =，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段。
这四条线段是有顺序的，其中a 和d 叫做比例外项，b 与c 叫做比例内项。
如果比例内项是相等的线段，即cbb a =，那么b 叫做a 和c 的比例中项。
比例的基本性质： 如果dcb a =，则有bc ad =。
即比例的外项之积等于比例的内项之积。
如果bc ad =（d c b a ,,,都不等于0），那么dcb a =他的比例式）。
高一数学 课时跟踪检测(全一册) 苏教版必修
高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABCA′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCDA1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二） 圆柱、圆锥、圆台和球层级一 学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图． 解：作法：(1)画六棱锥P ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ABCDEF 的直观图六棱锥P A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二 应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。
4-3-4任意四边形、梯形与相似模型(二)教师版.docx
板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:① S {:S 3=a 2:b 2② S 、: S y :S 2:S 4=a 2:b 2:ab:cibi ③ S 的对应份数为+・梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结 论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答【解析】设5为/份，S?为戸份，根据梯形蝴蝶定理，53=4 = /?,所以/? = 2 ；又因为S 2=2 = axb f 所以 a =]:那么 S }=a 2= \ , S 4 =axb = 2f 所以梯形面积 S = &+S?+禺+S4 =1 + 2 + 4 + 2 = 9 ,或者根 据梯形蝴蝶定理，S =（a + b ）2=（l + 2）2=9.【答案】9【巩固】如下图，梯形ABCD 的平行于CD,对角线AC , BD 交于0 ,已知△AOB 与△BOC 的面积分 别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是 ___________________________ 平方厘米.【考点】梯形模型【难度】2星【题型】填空【解析】根据梯形蝴蝶定理，S AOti :S liOC .=a 2:ab = 25:35 ,可得a:b = 5:7 ,再根据梯形蝴蝶定理，S Q /S 驱=圧“2 =5^72=25:49 ,所以S 驱=49（平方厘米）.那么梯形ABCL 的面积为b25 + 35 + 35 + 49 = 144（平方厘米）.【答案】144【巩固】如图所示，在梯形ABCD 中，AB//CD,对角线AC, “D 相交于点0。
已知AB=5f CD=3f 且梯形 ABCD 的面积为4,求三角形的面积。
【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，15分，第3大题第，1题 【解析】根据题意，二5, CD=3, CD:AB=3:5,则根据蝴蝶模型：S ca =："：夕：“ =9:15:25:15,令S 初=25份，1 125则梯形ABCD 共有:9+15+25+15=64份。
小学奥数教程-任意四边形、梯形与相似模型
板块三 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FE DCBA【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以410814FC =⨯=+．【答案】8【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？例题精讲任意四边形、梯形与相似模型605040302010EA D C B【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米． 【答案】10【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．A ED CB【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】填空【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷⨯=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△．【答案】4:15【例 4】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【答案】1:3:5【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【答案】10【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．Q E GNMF PA D CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列．【答案】1:3:5:7:9【例 5】 已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．A ED CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据金字塔模型::2:(23)2:5AD AB DE BC ==+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，25421D B C E S =-=梯形份，D B C E S 梯形比ADE S △大17份，恰好是28.5c m ，所以212.5c m ABC S =△【答案】12.5【例 6】 如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度NMPA C B【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 在沙漏模型中，因为:4:9MPN BCP S S =△△，所以:2:3MN BC =，在金字塔模型中有：::2:3AM AB MN BC ==，因为4cm AM =，4236AB =÷⨯=cm ，所以642cm BM =-=【答案】2【巩固】如图，已知DE 平行BC ，:3:2BO EO =，那么:AD AB =________．OED C BA【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由沙漏模型得::3:2BO EO BC DE ==，再由金字塔模型得::2:3AD AB DE BC ==． 【答案】2:3【例 7】 如图，ABC ∆中，14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行，EOD ∆的面积是1平方厘米．那么AED ∆的面积是 平方厘米．A B CDEO【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 因为14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行，根据相似模型可知:1:4ED BC =，:1:4EO OC =，44COD EOD S S ∆∆==平方厘米，则415CDE S ∆=+=平方厘米，又因为::1:3AED CDE S S AD DC ∆∆==，所以15533AED S ∆=⨯=(平方厘米)．【答案】53【例 8】 如下图，正方形ABCD 边长为l0厘米，BO 长8厘米。
福建省宁德市2023-2024学年四上数学第五单元《平行四边形和梯形》部编版基础掌握过关卷
福建省宁德市2023-2024学年四上数学第五单元《平行四边形和梯形》部编版基础掌握过关卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（考试分数：100分时间：90分钟）注意事项：1.答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
3.考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、选择题(共16分)1.将长方形纸和三角形纸交又摆放（如图），重叠部分是（）。
A．平行四边形B．长方形C．正方形D．梯形2.下图①、②、③是三位同学玩“寻宝”游戏的路线，如果他们奔跑的速度相同，最快拿到宝物的是（）。
A．①B．②C．③3.下面说法正确的是（）。
A．一条线段长1000米B．平行四边形都是长方形C．同一平面内的两条直线不是平行就是垂直D．没有最小的自然数，也没有最大的自然数4.一个平行四边形的高有（）。
A．1条B．2条C．4条D．无数条5.课外活动时，老师带领大家玩“夺宝”游戏。
下图是①、②、③三位同学夺宝路线，如果他们奔跑的速度相同，最快拿到宝物的是（）。
A．①B．②C．③6.如下图，小明要从点A过河，到达对岸，最近的路线是（）。
A．AQ B．AM C．AN D．MQ7.如图，学校大门口的伸缩门做成这样，是根据平行四边形（）。
A．容易变形B．两组对边分别平行C．对边相等D．稳定性8.一张平行四边形的纸片（如图），如果用剪刀把它沿直线剪成两个图形，下面（）种情况不可能出现。
A．两个三角形B．两个平行四边形C．一个平行四边形和一个梯形D．两个梯形评卷人得分二、填空题(共16分)1.a取正整数 时，方程3x=a﹣7的解是负整数．2.下图中( )是莫比乌斯带。
3.在( )，两条直线不是平行就是相交。
4.在下图的平行四边形中，有____组线段互相平行，有____组线段互相垂直。
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板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 1】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设1S 为2a 份，3S 为2b 份，根据梯形蝴蝶定理，234S b ==，所以2b =；又因为22S a b ==⨯，所以1a =；那么211S a ==，42S a b =⨯=，所以梯形面积123412429S S S S S =+++=+++=，或者根据梯形蝴蝶定理，()()22129S a b =+=+=．【答案】9【巩固】 如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOB BOC S S a ab == ，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::5:725:49AOB DOC S S a b === ，所以49DOC S = (平方厘米)．那么梯形A B C D 的面积为例题精讲任意四边形、梯形与相似模型25353549144+++=(平方厘米)．【答案】144【巩固】 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。
已知AB =5，CD =3，且梯形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积。
A BCDO【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，15分，第3大题第，1题 【解析】 根据题意，AB =5，CD =3，CD :AB =3:5，则根据蝴蝶模型22::::::9:15:25:15DOC AOD AOB COB S S S S a ab b ab == ，令AOB S =25份，则梯形ABCD 共有：9+15+25+15=64份。
所以1份为：4÷64=116，则三角形OAB 的面积为116×25=2516。
【答案】2516【例 2】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA B CD【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOB BOC S S ab b == ，可以求出:2:3a b =，再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AOD BOC S S a b === ．通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．【答案】4:9【例 3】 如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ABCDO【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】华杯赛【解析】 根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以53CO =．【答案】53【例4】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是29cm，问三角形AOD的面积是多少？AB CDO【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答【解析】根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3a b==，2222::2:34:9AOD BOCS S a b∆∆===，所以()24cmAODS∆=．【答案】4【巩固】如图，梯形ABCD中，AOB∆、COD∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD的面积．OD CBA【考点】梯形模型【难度】2星【题型】解答【解析】根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOB ACODS S a b==，所以:2:3a b=，2:::3:2AOD AOBS S ab a b a===，31.2 1.82AOD COBS S==⨯=，1.2 1.8 1.82.77.5ABCDS=+++=梯形．【答案】7.5【例5】在梯形ABCD中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=∆BOCS平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米。
【考点】梯形模型【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛，决赛，第4题，10分【解析】因为AD∥BC，故BODOCOAOBCAD==又21105==BCAD，故21==BODOCOAO在BOC∆与DOC∆中，因其高相等，且BO:DO=2:1，故BOCS∆:DOCS∆=2:1而220cmSBOC=∆，故210cmSDOC=∆。
同理，在COD∆与AOD∆中，因CO:AO=2:1，且在相应边上的高相等，故CODS∆:AODS∆=2:1即251021cmSAOD=⨯=∆.在BOCAOB与∆中，因AO:CO=1:2，且其在相应边上的高相等，故AOBS∆:BOCS∆=1:2。
即210cmSAO B=∆综上，AODCODBOCAOBSSSSS∆∆∆∆+++=梯形=10+20+10+5=452cm【答案】45【例 6】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH 的面积是23，求四边形EGFH 的面积．HG FE DCB AHG FEDCB A【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图，连结EF ，显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG 的面积等于三角形ADG 的面积；三角形BCH 的面积等于三角形EFH 的面积，所以四边形EGFH 的面积是112334+=．【答案】34【巩固】如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36，则三角形1的面积为________．321 321【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空【关键词】人大附中，入学测试题 【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角形3，所以1的面积就是4361645⨯=+，3的面积就是5362045⨯=+．【答案】20【例 7】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．BA【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AG M S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．【答案】1【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．A BCDEF【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD S = (平方厘米)． 【答案】12【例 8】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．DA【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为,E F 是DC 边上的三等分点，所以:1:3EF AB =，设1OEF S =△份，根据梯形蝴蝶定理可以知道3AOE OFB S S ==△△份，9AOB S =△份，(13)ADE BCF S S ==+△△份，因此正方形的面积为244(13)24+++=份，6S =阴影，所以:6:241:4S S ==阴影正方形，所以3S =阴影平方厘米．【答案】3【例 9】 如图，在长方形ABCD 中，6AB =厘米，2AD =厘米，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．DD【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为26322⨯÷÷=平方厘米．由于:1:3EF DC =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEO EFO S S = ，所以34DEO DEF S S = ，而2D E F A D E S S ==平方厘米，所以32 1.54DEO S =⨯= 平方厘米，阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=平方厘米．方法二：如图，连接DE ，FC ，由于:1:3EF DC =，设1O E F S =△份，根据梯形蝴蝶定理，3OED S =△份，2(13)16EFCD S =+=梯形份，134ADE BCF S S ==+=△△份，因此416424ABCD S =++=长方形份，437S =+=阴影份，而6212ABCD S =⨯=长方形平方厘米，所以 3.5S =阴影平方厘米【答案】3.5【例 10】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．B B【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，六年级【解析】连接AC．由于ABCD是平行四边形，:3:2BC CE=，所以:2:3CE AD=，根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AODS S S S=⨯⨯=，所以6AOCS=(平方厘米)，9AODS=(平方厘米)，又6915ABC ACDS S==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．【答案】21【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．BB【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空【解析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCD OAES S∆∆=．根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OADS S S S∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCDS∆=，所以6OCDS∆=(平方厘米)．【答案】6【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．B B【考点】梯形模型【难度】3星【题型】填空【关键词】三帆中学【解析】连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCD OAES S∆∆=．根据蝴蝶定理，2816OCD OAE OCE OADS S S S∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCDS∆=，所以4OCDS∆=(平方厘米)．另解：在平行四边形ABED中，()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=(平方厘米)，所以1284AOE ADE AODS S S∆∆∆=-=-=(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．【答案】4【巩固】 E 是平行四边形ABCD 的CD 边上的一点，BD 、AE 相交于点F ，已知三角形AFD 的面积是6，三角形DEF 的面积是4，求四边形BCEF 的面积为多少？46FEDCBA【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】希望杯，5年级，复赛，第15题 【解析】 如图，在平行线中的蝴蝶中，蝴蝶翅膀相等都为6，而顶上的三角形为6×6÷4=9，“？”处的三角形面积为9+6-6-4=5从而所求四边形面积为5=6=11.4966?【答案】11【例 11】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是5平方厘米，CED ∆的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？FABCD E105 FAB CDE105【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BF ，根据梯形模型，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是10平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为1010520⨯÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为()2010260+⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为605102025---=(平方厘米)．【答案】25【巩固】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ∆的面积是4平方厘米，CED ∆的面积是6平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？64AB CDEF64AB C DEF【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法1)连接BF ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为6649⨯÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为()96230+⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)．(法2)由题意可知，4263EF EC ==，根据相似三角形性质，23ED EF EB EC ==，所以三角形BCE 的面积为：2693÷=(平方厘米)．则三角形CBD 面积为15平方厘米，长方形面积为15230⨯=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)．【答案】11【巩固】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A B CDEF?852O A BC DEF【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级组，初赛，4题 【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆= ，又根据蝴蝶定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC 的面积为245289---=(平方厘米)．【答案】9【巩固】 正方形ABCD 的边长为6，E 是BC 的中点（如图）。