第十三讲 应用枚举法解应用题
小学奥数知识点趣味学习--枚举法
小学奥数知识点趣味学习——枚举法运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
【典型例题】【例1】：从小华家到学校有3条路可以走，从学校到岐江公园有4条路可以走，从小华家到岐江公园，有几种不同的走法？【试一试】1. 从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路可以直达，从甲地到丙地有多少种不同的走法？2. 新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售，小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同的买法？【例2】把4个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？【试一试】1．把5个同样的苹果放在两个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？2．把7个同样的苹果放在三个同样的盘子里，不允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？【例3】从1～6这六个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于7，能有多少种取法？【试一试】1．从1～9这九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于10，能有多少种取法？2．从1～19这十九个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于20，能有多少种取法？【例4】一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？【试一试】1．一个长方形的周长是30厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面积有多少种可能值？2．把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法？【例5】有4位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？【试一试】1．6个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？2．有8位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？。
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题(含答案)
小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题（含答案）知识要点我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。
我们可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。
这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。
解题指导11.枚举法在数字组合中的应用。
按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。
【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。
第一类：百位上为1的有：123 132第二类：百位上为2的有：213 231第三类：百位上为3的有：312 321答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。
【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？解题指导22.骰子中的点数掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。
一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。
在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。
【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。
出现7的情况共有6种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8的情况共有5种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
三年级数学 简单枚举
第十九周简单枚举专题简析：枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。
一般地，要根据问题要求，一一列举问题解答。
运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进行枚举。
运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏；二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。
例题1 从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。
从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？文峰公园小华家为了帮助理解题意，我们可以画出如上示意图。
我们把小华的不同走法一一列举如下：根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园，走①路有4种不同走法，走②路有4种不同走法，走③路也有4种不同走法，共有4×3=12种不同走法。
练习一1，从甲地到乙地，有3条公路直达，从乙地到丙地有2条铁路直达。
从甲地到丙地有多少种不同走法？2，新华书店有3种不同的英语书，4种不同的数学读物销售。
小明想买一种英语书和一种数学读物，共有多少种不同买法？3，明明有2件不同的上衣，3条不同的裤子，4双不同的鞋子。
最多可搭配成多少种不同的装束？例题2 用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？思路导航：要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举：红绿黄红绿黄红绿黄红绿黄红绿黄黄绿红从上面可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有两种不同的信号，因而共有3个2种不同排列方法，即2×3=6种。
练 习 二1，用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的涂法？○○○2，用数字1、2、3，可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？3，用2、3、5、7四个数字，可以组成多少个不同的四位数？例题3 一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？思路导航：由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。
第十三讲枚举法(讲义)
第十三讲数学问题常用方法（二）——枚举法我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。
但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。
但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。
所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。
例1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
【分析与解】：将两枚骰子的点数和分别为7 与8 的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。
用a＋b 表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b 的情况。
出现7 的情况共有6 种，它们是：1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现8 的情况共有5 种，它们是：2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现7 的情况有1＋6，2＋5，3＋4 三种，出现8 的情况有2＋6，3＋5，4＋4 也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
练习11.将6 拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？【分析与解】：10 种。
6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3＝1+1+2+2 ＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。
2.小明有10 块糖，如果每天至少吃3 块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？【分析与解】：9 种。
一天吃完有1 种：（10）。
两天吃完有5 种：（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3）。
三天吃完有3 种：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。
共1+5+3=9（种）。
例2 数一数，右图中有多少个三角形。
【分析与解】：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。
枚举问题
枚举问题在生活、生产和科学研究中，常常需要计算“完成一件事情，共有多少种不同的方法”的问题，这就要求我们根据题目的要求，把问题的答案一一列举出来，或者为了解决问题的方便，把问题分为不重复的有限种情况，一一列举各种情况加以解决，最终达到解决整个问题的目的，这种分析、解决问题的方法叫做枚举法。
枚举问题是分类计数进行解答的问题，利用枚举法解题的关键是合理分类。
正确分类可以促进问题的解决，利用正确分类把难点分散达到解决问题的目的。
在日常生活和生产实际中，我们还经常遇到这样一些问题：小红有白、黄两种衬衫，花、黑两种裙子，问小红有几种不同的打扮方法？3个人开会，每人都要和他人握手，共要握几次？解答这类问题，我们可以运用列举的方法，并从中找出一些解题的规律。
例题解析1、李娜、王蕾和吕丹并排在一起照相，共有几种不同的站法？2、用2、5、8三个数字，可以组成几个不同的三位数，其中最大的三位数是多少？最小的三位数是哪一个数？3、五个同学参加学校乒乓球决赛，每两人要赛一场，一共要赛多少场？4、王小明要从家到学校，共有几种不同的走法？（只准向上向右走，不准向下向左行）学校小明家5、从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地经过乙地到丙地共有多少条不同的路可走呢？6、从1~~9这9个数字中，每次取2个数字，这两个数字的和都必须大于10，能有多少种取法？7、从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车；从乙地到丙地可以坐飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经过乙地到丙地共有几种走法？8、兰兰向妈妈要6分钱买一块橡皮。
妈妈叫兰兰从袋子里取硬币。
袋子里有1分、2分、5分硬币各6枚。
兰兰要拿6分钱，可以有几种拿法，用算式表示出来。
9、有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？10、三个圆A、B、C在同一条线上。
如图所示。
一只青蛙在这三个圆之间跳来跳去，它从A开始，跳了4次之后又回到A。
五年级奥数竞赛之枚举法
枚举法
1、A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球（作为第一次传球），这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共有 种。
2、有一楼梯共10级，规定每次只能跨上二级或三级，要登上第10级，共有 种不同的走法。
3、两个分母不大于24的异分母分数的和是12
11。
这样的最简分数有多少对？ 4、昌江商场采购了一批玻璃鱼缸，经预算，每只应卖A 元（A 为整数），总收入则为630元。
但在运输中损坏了3只鱼缸，为了不影响收入，每只鱼缸的价格增加1元。
问原来的售价是多少元？
5、用1分、2分和5分的硬币凑成一元钱。
共有多少种不同的凑法？
6、从1至9这九个数字中挑出六个不同的数，填在右图所示的六个圆圈
内，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数。
那么最多能找出多少中
不同的挑法来。
(六个数字相同，排列次序不同算同一种)
7、一次射击比赛中，5个泥制的靶子挂成3列，一射手按下列
规则去击碎靶子：先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未
被击碎的靶子中最低的一个。
若每次都遵循这一原则，击
碎五个靶子可以有 种不同的次序。
8、有30个贰分硬币和8个伍分硬币。
用这些用比不能构成的1分到1元之间的币值有多少种？
9、将自然数N 接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N 整除，那么N 称为魔术数，今问小于1996的自然数中有多少个魔术数？。
小学数学 枚举法 PPT+作业(带答案)
例1
（2）数一数，下图中一共有多少条线段？
分析： 横向有4条长线段 纵向有5条长线段
（1）横向：（4+3+2+1）×4=40（条） （2）纵向：（3+2+1）×5=30（条） （3）一共：40+30=70（条）
图（1）
图（2）
图（3）
作业2:
在下图中，由1 个图形构成的三角形有___3___ 个，由2 个图形构成的三角形有____4__ 个，由 3 个图形构成的三角形有___1___ 个，由4 个图形构成的三角形有____1__ 个，由5 个图形构成 的三角形有__0____ 个，由6 个图形构成的三角形有____1__ 个，一共有___1_0__ 个三角形。
例5
数一数，下图中一共有多少个长方形？ 把图形分成两块分别算，再考虑重合部分
（1）（6+5+4+3+2+1）×（3+2+1）=126（个）
（2）（6+5+4+3+2+1）×（3+2+1）=126（个）
（3）（3+2+1）×（3+2+1）=36（个） （4）一共：126+126-36=216（个）
容斥原理
例7
如图：在由边长是1个单位长度的小正方形组成的4×4方格表中，一共有25 个格点。在 以格点为顶点的直角三角形中，一共有多少个两条直角边长分别是1个单位长度和3个单 位长度的直角三角形？
数出图中1×3的长方形即可
（1）4×2×2=16（个） （2）4×16=64（个）
初中数学培优辅导资料(13讲) - 用枚举法解题
初中数学竞赛辅导资料（13）用枚举法解题甲内容提要有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。
列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行；② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。
乙例题例1 如图由西向东走， 从A 处到B 处有几 种走法？ 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从A 到C 有三种走法，在C 处标上3， 从A 到M （N ）有3＋1＝4种， 从A 到P 有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B ，可得1＋1＋11＝13（种走法）例2 写出由字母X ，Y ，Z 中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。
解法一：按X 4，X 3，X 2，X ，以及不含X 的项的顺序列出（如左） 解法二：按X →Y →Z →X 的顺序轮换写出（如右）X 4 ， X 4 ， Y 4 ， Z 4X 3Y ， X 3Z ， X 3Y ， Y 3Z ， Z 3X X 2Y 2， X 2Z 2， X 2YZ ， X 3Z ， Y 3X ， Z 3Y XY 3， XZ 3， XY 2Z ， XYZ 2， X 2Y 2， Y 2Z 2 ， Z 2X 2 Y 4， Z 4 Y 3Z ， Y 2Z 2， YZ 3。
X 2YZ ， Y 2ZX ， Z 2XY 解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略) 例3 讨论不等式ax<b 的解集。
解：把a 、b 、c 都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表 当a>0时，解集是x<a , 当a<0时，解集是x>a, 当a=0,b>0时，解集是所有学过的数，当a=0,b ≤0时，解集是空集(即无解)例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数 解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位， 边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=613A B边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6边长2单位，顶点在下的▽有：1边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3边长4单位，顶点在上的△有：1合计共27个丙练习131．己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿2．a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3．xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿4．如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。
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第十三讲应用枚举法解应用题
在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法．即将问题的所有可能的答案一一列举，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃。
枚举法具备以下几个特点：
1、得到的结果肯定是正确的；
2、可能做了很多的无用功，浪费了宝贵的时间，效率低下。
3、通常会涉及到求极值（如最大，最小，最重等）。
4、数据量大的话，可能会需要很多的时间。
例1、用数字1、2、3可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？
例2. 小明有面值为5角、8角的邮票各两枚，他用这些邮票能付出多少种不同的邮资？
例3. 用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个，当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？
例4. 课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数，第一次报数后，单数全都站出来，以后每次余下的人中，从第一个人开始，隔一人站出来一人，到第几次，这些人全都站出来了？
例5. 如图所示，数字1处有一颗棋子，现移动这颗棋子到5处，规定每次只能移到邻近的一格，且总是向右移，。
问有多少种不同的移法？
例6. 商店出售饼干，现存10箱5千克重的，4箱2千克重的，5箱1千克重的。
一顾客要买9千克饼干，为了便于携带要求不开箱，营业员有多少种发货方法？
二、课后练习：
1.用1、2、4、0可组成多少个不同的三位数？
2. 现有1克、3克、9克的砝码各一个和一台天平，你最多能称出多少种不同重量的物体？
3. 用3张10元、2张50元一共可组成多少种不同的币值？
4. 从A城到B城可乘火车、汽车、轮船；从B城到C城可乘火车、汽车、轮船和飞机；某人从A城开始游览，经B城到C城共有多少种不同的走法？
5. 从甲到乙有3条不同的路可走，从乙到丙有5条不同的路可走，从甲经乙到丙有多少种不同的路可走？
6. 把7只相同的笔分成3份，有多少种不同的分法？
7. 一个整数除以7所得的商和余数相同，这个数是多少？
8. 有甲、乙、丙、丁、戊五个足球代表队进行比赛，每个队都要和其他的队赛一场，总共要赛几场？
9. 用3、4、7三张数字卡片，可以排成几个不同的三位数？其中最小的是几，最大的是几？
10. A、B、C三个自然数的乘积是6，求A、B、C三个数分别可能是几？（A、B、C可以相同，也可以不同）
11. 两个自然数的乘积是96，它们的和是22，这两个自然数分别是多少？
12. 甲、乙、丙三个小朋友都有一些图书，如果甲把自己的一部分书给乙、丙两人，使乙、丙两人的书各增加一倍；然后乙把自己的一部分书给甲、丙两人，使甲、丙两人的书各增加一倍；接着丙也把自己的一部分书给甲、乙两人，使甲、乙两人的书各增加一倍。
这时，三人的图书都是48本，甲、乙、丙三个小朋友原来各有图书多少本？。