数列求和(教师版)

＝ 考点四：裂项法求和 1.求数列
n(n 1) 2 (n 2) 2
1 1 2
,
1 2 3 1
, ,
1 n n 1
, 的前 n 项和.
解：设 a n
n n 1 1
n 1 n 1 n n 1
则 Sn
1 2 3
1 2

＝ ( 2 1) ( 3 2 ) ( n 1 n ) ＝ n 1 1 2.在数列{an}中， an
2.错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项 和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 3.倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序） ，再把它与原数列 相加，就可以得到 n 个 (a1 an ) . 4.分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常 见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 5.裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新 组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） an f (n 1) f (n)
即 an 2n 对 n 2 成立，有 a1 S1 2 ，所以 an 2n 对 n N 成立 所以 an1 an 2 对 n N 成立。所以 an 是等差数列


所以有 S n
a1 an n n 2 n, n N 2
考点二：错位相减法求和 1.求和： S n 1 3x 5x 2 7 x 3 (2n 1) x n1 解：由题可知，{ (2n 1) x n1 }的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{ x 设 xSn 1x 3x 2 5x 3 7 x 4 (2n 1) x n ①－②得 (1 x)S n 1 2x 2x 2 2x 3 2x 4 2x n1 (2n 1) x n 再利用等比数列的求和公式得： (1 x) S n 1 2 x
2 2 2 2 2
将①式右边反序得
S sin 2 89 sin 2 88 sin 2 3 sin 2 2 sin 2 1 …………..②
又因为 sin x cos(90 x),sin x cos x 1
2 2
①+②得

k 1
n
k 3 3 k 2 k
k 1 k 1
n
n
＝ 2(13 23 n3 ) 3(12 22 n2 ) (1 2 n)
n 2 (n 1) 2 n(n 1)(2n 1) n(n 1) ＝ 2 2 2
①+②得 ∴
2 2
0 1 n1 n 2S n (2n 2)(Cn Cn Cn Cn ) 2(n 1) 2n
S n (n 1) 2 n
2 2 2
2.求 sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89 的值 解：设 S sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89 …………. ①
2n 1 }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 n 2 2 2 4 6 2n 设 S n 2 3 n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n 2 3 4 n 1 ………………………………② 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2n ①－②得 (1 ) S n 2 3 4 n n 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2n 2 n 1 n 1 2 2 n2 S n 4 n 1 ∴ 2
n n1 1 0 S n (2n 1)Cn (2n 1)Cn 3Cn Cn m n m 又由 Cn 可得 Cn 0 1 n1 n …………..…….. ② S n (2n 1)Cn (2n 1)Cn 3Cn Cn
解：由等差数列求和公式得 S n ∴ f ( n)
1 1 n(n 1) ， S n 1 n 1n 2 2 2
n Sn ＝ 2 (n 32) S n 1 n 34 n 64
＝
1 n 34 64 n
＝
( n
1 8 n

) 2 50
1 50
∴ 当
（2） a n
1 1 1 n(n 1) n n 1 1 1 1 1 [ ] n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2) 1 1 1 1 ( ) ( An B)( An C ) C B An B An C 1 n n 1 n 1 n
1 2 n 2 ，又 bn ，求数列{bn}的前 n 项的和. n 1 n 1 n 1 a n a n 1
解：
1 2 n n n 1 n 1 n 1 2 2 1 1 ∴ bn 8( ) n n 1 n n 1 2 2
（3） an
（4） a n
（5） an
二、典型例题
考点一：利用常用求和公式求和 1.已知 log3 x
1 2 3 n ，求 x x x x 的前 n 项和. log2 3 1 1 log3 x log3 2 x log2 3 2
∵ an 数列{bn}的前 n 项和
∴
1 1 1 1 1 1 1 S n 8[(1 ) ( ) ( ) ( )] 2 2 3 3 4 n n 1 8n 1 ) ＝ ＝ 8(1 n 1 n 1
三、小试牛刀
1.数列{a n}的通项公式是 a n = A．11 B．99
n 1
}的通项之积
1 x n 1 (2n 1) x n 1 x
∴
Sn
(2n 1) x n1 (2n 1) x n (1 x) (1 x) 2
2.求数列
2 4 6 2n , 2 , 3 , , n , 前 n 项的和. 2 2 2 2
解：由题可知，{
两式相加得：
所以
.
考点四：分组法求和 1.求数列的前 n 项和： 1 1,
1 1 1 4, 2 7, , n 1 3n 2 ，… a a a 1 1 1 解：设 S n (1 1) ( 4) ( 2 7) ( n 1 3n 2) a a a
2S (sin 2 1 cos2 1 ) (sin 2 2 cos2 2 ) (sin 2 89 cos2 89 ) ＝89
∴ S＝44.5
3. 已知函数 （1）证明： ；
（2）求
的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
专题题目：数列与不等式 重点 难点 高考占比
掌握公式法求通项，理解错位相减法和分组求和法，了解裂项相消法和倒序相加法。 灵活运用错位相加法
数列一般作为压轴题出现，在选择或填空中也会出现一道题，共计 18 分；不等式也是 高考一个热点，一般以选择或填空的形式出现，难度中等，所占分值约 10 分。
第四讲： 一、基础知识梳理
5n 1
(n为奇数)
n 2 2 （n为偶数）
n 1
则数列的前 2m 项的和 S2m = __________.
4.已知数列{an}的通项公式为 an= 2 5.{an}满足 an=
+3n，求这个数列的前 n 项和
2.求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和. 解：设 ak k (k 1)(2k 1) 2k 3 3k 2 k
∴
S n k (k 1)(2k 1) ＝ (2k 3 3k 2 k )
k 1 k 1
n
n
将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝ 2
n2 2n n 2 n. 2

4.数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 2 且 Sn Sn1 2n （ n 2 ， n N ）. ( I )求 Sn ；
解：因为 Sn Sn1 2n ，所以 n 2 ， n N 都有 Sn Sn1 2n 成立
考点三：倒序相加法求和 1.求证： Cn 3Cn 5Cn (2n 1)Cn (n 1)2
0 1 2 n n
0 1 2 n 证明： 设 S n Cn ………………………….. ① 3Cn 5Cn (2n 1)Cn
把①式右边倒转过来得
将其每一项拆开再重新组合得
1 1 1 2 n 1 ) (1 4 7 3n 2) a a a (3n 1)n (3n 1)n 当 a＝1 时， S n n ＝ 2 2 1 1 n (3n 1)n a a1n (3n 1)n a 当 a 1 时， S n ＝ 1 a 1 2 2 1 a S n (1
1 n n 1
(n∈N*),若前 n 项的和为 10,则项数为 D．121
（
）
C．120
2.若数列{an}是公差为 A．60
1 的等差数列,它的前 100 项和为 145, 则 a1 +a3+a5+…+a 99 的值是 2