质数 合数 分解质因数
质数合数
质数合数（上）100以内质数有些质数，加上2或者减去2，得到的结果仍是质数。
那么100以内，请写出这些数。
两个质数的和是40，求这两个质数的乘积有几个。
两个质数的和是30，求这两个质数的乘积有几个。
判断247、227是否是质数。
判断101、159是否是质数。
分解质因数：360、999 分解质因数：240、10101课后作业：1、一个两位质数的两个数字交换位置后，仍然是一个质数，请写出一些这样的质数。
2、两个质数的和是99，那么这两个质数的积是多少？3、分解质因数：120、1080、1001质数合数（中）写出下面数的全部因数：24、36 写出下面数的全部因数：48、64 求360共有多少个因数？求280共有多少个因数？求下列自然数所有因数的和：9、72求下列自然数所有因数的和：240用1155个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？用105个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？作业：写出下面数的全部因数：56、81求252共有多少个因数？求下列自然数所有因数的和：360用56个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？质数合数（下）已知三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
已知五个连续自然数的乘积是55440，求这五个数。
用一个两位数除330，结果正好能整除。
请写出所有可能的两位数。
用一个两位数除140，结果正好能整除。
请写出所有可能的两位数。
975×935×972×（），要使这个连乘积的最后4个数字都是0，（）内最小应该填什么？168×86×760×（），要使这个连乘积的最后3个数字都是0，（）内最小应该填什么？1×2×3×4×......×149×150，这150个数相乘的积的末尾会出现多少个连续的零？1×2×3×4×......×49×50，这50个数相乘的积的末尾会出现多少个连续的零？作业：已知四个连续自然数的乘积是1680，求这四个数。
小学五年奥数-质数合数分解质因数
质数、合数和分解质因数【知能大展台】一个自然数，如果只有1和它本身这两个约数，这样的数叫做质数（或素数）一个自然数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
1既不是质数，也不是合数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
【试金石】例1：三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？【分析】由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。
另外两个质数的和是78，要使乘积尽可能的大，那么这两个质数的差值应尽可能的小。
显然，和是78的两个质数中，以41和37的差最小，即这两个数的积最大。
【解答】80=2+37+412×37×41=3034答：这三个质数的积最大是3034。
【智力加油站】【针对性训练】三个质数的和是62，这三个质数的积最大是多少？【试金石】例2：班主任李老师带领五年（一）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知李老师与学生共种了312棵树，老师与学生、每人种的树一样多，并且不超过10棵。
这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？【分析】种树总数=每人种树棵数×师生总人数即：312=每人种树棵数×（1+学生人数）由于学生人数是3的倍数，再加上李老师一人，则师生总人数被3除余1。
因此先将312分解质因数312=2×2×2×3×13，然后按题意进行组合使之成为两数之积。
【解答】312=2×2×2×3×13若312=24×13，13为师生总人数，则每人种树24棵，与题意不相符。
若312=6×52，52为师生总人数，则每人种树6棵。
答：这个班共有学生51人，每人种6棵。
【智力加油站】【针对性训练】小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号大6，小青买的电影票是几排几座？【试金石】例3在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．【解答】当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．答：原来的积为1755或1800．【智力加油站】【针对性训练】在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。
质数、合数和分解质因数
第一讲质数和合数例1 两个质数的和是39，这两个质数的积是多少?例2 数d是质数，且a+10、a+14的和也都是质数，数a是多少?例3 三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少?练习：1.在20个连续自然数中最多有多少个质数?最少有几个质数?2.两个质数的和是1995，这两个质数的乘积是多少?3.两个连续自然数的积加上11，其和是一个合数，这两个自然数的和最小是多少?4.两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少?5.两个质数的和是99，这两个质数的积是多少?第二讲分解质因数例1 三个连续自然数的乘积是120，求这三个数。
例2 小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910。
”你能算出小明的名次、年龄与他这次考试的分数吗?例3 学校举行跳绳比赛，取得前4名的同学恰好一个比一个大一岁，四人年龄的乘积是11880，这四个同学的年龄各是多少?例4 下面算式中，不同的字母代表不同的数字。
求这个算式。
例5 1512乘以自然数a得到一个平方数，求a的最小值。
例6 有三个自然数，它们的和是338，积是1986，求这三个数。
例7 有24盆花，分成几堆(至少分2堆)，使每堆的盆数都相等，可以怎样分？例8 自然数151200的约数中有许多两位数，其中最大的是几？例9 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三个数的乘积是42560，求这三个自然数。
例10 有3个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c=10，贝a×b×c=?例11 用216元去买一种钢笔，正好将钱用完。
如果每支钢笔便宜1元，则可以多买3支钢笔，钱也正好用完。
共买了多少支钢笔?例12 将下面八个数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等。
例13 自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，则这两个连续奇数的和是多少?例14 在射箭运动中，每射一箭的环数是O(脱靶)或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数的积都是1764，但甲的总环数比乙的总环数多4环，求甲、乙两人的总环数各是多少?练习：1.相邻两个自然数的乘积是756，这两个自然数分别是多少?2.下面算式中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母的和，3.三个自然数的和是160，三个自然数的积是32118，这三个数是哪几个数?4.自然数a乘以2376，正好是一个平方数，求a的最小值。
2六年级上-质数、合数与分解质因数
解：1、74
解：2、7、31
• 练习 1
1、两个质数的乘积是62，这两个质数的是多少？ 2、三个互不相同的质数相加，和为30，那么这三个质数是多少？
解：1、2和31
解：2、11、17
•例 2
自然数N是一个两位质数，它的个位数字和十位数字都是质数， 且交换位置后，仍然是一个质数，这个自然数是多少？
• 小练习
用短除法分解质因数：252
5005
解：252=2×2×3×3×7 解：5005=5×7×11×13
•例 4
请把下面的数分解质因数：（1）360；（2）373；（3）17640
解：1、360=2×2×2×3×3×5 2、质数 3、17640=2×2×2×3×3×5×7×7
• 练习 4
请写出88的所有素因数． 解：88=2×2×2×11
100以内的质数：
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
•总 结
•例 1
1、两个质数的和是39，这两个质数的乘积是多少？ 2、三个互不相同的质数相加，和为40，那么这三个质数是多少？
1．小于10的素数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．几个素数的积一定是（ ）
A．素数 B．合数 C．奇数 D．偶数
3．下列说法中正确的是（ ）
A．一个正整数不是素数，就是合数 B．两个素数的乘积也可能是偶
数
C．所有的偶数都是合数
D．一个素数的因数肯定是素数
解：1.B 2.B 3.B
•小 总 结
解：37或73
第3讲质数合数分解质因数
100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、 17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97。
2、质因数： 一个数的因数是质数，就叫做这个数的质因数. 3、分解质因数： 把一个合数分解质因数，就是把这个合数用质 因数相乘的形式表示出来。 4、互质数： 公约数只有1的两个数，叫做互质数。 5、自然数按约数的个数可分为：质数、合数还 有1.
84=3×7×4 7=3+4 这三个数是：3，4，7.
3、有四个孩子，恰好一个比一大一岁。它 们的年龄相乘的积等于3024，那么他们各 几岁？ 3024=2×2×2×2×3×3×3×7 因为7是质数，所以保留下来 2×2×2=8,2×3=6,3×3=9 所以分别是6，7,8，9岁
点击例题5 用216元钱去买一种拖鞋，正好将钱用完， 如果每双拖鞋便宜1元，则可多买3双，钱也正好 用完，求一共买了多少双拖鞋？ 216=2×2×2×3×3×3 216=（3×3）×（2×2×2×3） =9×24 =3×27 答：一共买了24双拖鞋。
第 3 讲
质数合数和分解质因数
研究目标：质数合数 分解质因数 一、质数与合数的概念 自然数可以按约数（即因数）的个数进行分类： ①质数：只能被1和自身整除的自然数叫质数，即质数只 有两个约数（即因数）：1和它本身。如2、3、5等 ②合数：除了能被1和自身整除外，还有能被其他整数整 除的自然数叫合数，即，合数的约数（即因数）多于2个， 除了1和它本身外，还有别的约数（即因数）。如4、6、8 等等 ③1 1不是质数也不是合数。既不是质数也不是合数的自 然数。 注意： 1不能质数也不是合数 2是最小的质数，也是质数中唯一的偶数 4是最小的合数
3、有这样一个质数，它分别加上2,8,14,26后， 得到的仍为质数，这个质数最小是多少？
奥数质数合数分解质因素讲义及答案
奥数质数合数分解质因素讲义及答案数的整除（2）质数、合数、分解质因数教室姓名学号【知识要点】1、质数与合数自然数按其因数的个数可以分成三类：（1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。
（2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。
（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。
）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。
（4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（5）因数个数定理：例如：1980=22×32×5×11所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理：例如：1980=22×32×5×11所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（011+111）=7×13×6×12=6552【典型例题】例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。
例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。
解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。
任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。
例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。
1.4质数合数分解质因数
1、3 3的因数：
4的因数： 1、2、4 5的因数：1、5
6的因数：1、2、3、6
12的因数： 1、2、3、4、6、12
例：写出下面每个数的所有的因数。 有一个因数的是： 1 有两个因数的是： 2、3、5、7、11
有两个以上因数的是： 4、6、8、9、10、12
一个正整数，如果只有1和它本身两 个因数，这样的数叫做素数（或质数）。 一个数，如果除了1和它本身还有别 的因数，这样的数叫做合数。
1.4 素数合数分解素因数
素数和合数、分解素因数
找规律
我们学过求一个数的因数，那么 每个数的因数个数有什么规律？
例：写出下面每个数的所有的因数。
1 1的因数：
1、2 2的因数：
7的因数： 1、7
8的因数： 1、2、4、8 9的因数： 1、3、9 1、2、5、10 10的因数： 1、11 11的因数：
6=2×3
2和3是6的素因数
28 = 2 × 2 × 7
2和7是28的素因数
例：6、28和60可以写成哪几个素数相乘的形式
60 6 10 60 = 2 × 2 × 3 × 5
2
3
2
5
把一个合数用素因数相乘的形式 表示出来，叫做分解素因数。
合数=素因数相乘
• • • • 分解素因数的方法： 1)逐步分解法： 利用树形图逐步把合数分解成素因数相乘的形式。 一般运用在能直接看出是哪两个因数相乘的（ 1）两个素数的和一定是偶数。 × （ 2）最小的素数是奇数。 ×
（3）一个自然数，不是奇数就是偶数。
√
判断数字
一个正方体 6个面上分别写着1、2、3、4、
5、6。根据下图摆放的三种情况，判断每个数字
质数合数分解质因数
(七)质数合数分解质因数闵识要点］若a能被b養除，b就是a的约数。
1. 质数与合数自然数按其约数的个数可以分成三类：⑴单位1:只含有1这一个约数的自然数。
⑵质数(也称为素数)：只含有1与它本身这两个约数的自然数。
(质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2,而且2履质数中唯一的偶数。
100之内有25个质数。
)(3)合数：含有三个或三个以上约数的自然数。
2. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
如：12 = 2X2X3；70 = 2X5X7; 126 = 2X3X3X7; ............................若校大的自然数要进行分解质因数往往用短除法。
练习：把21六、107八、504()写成质因数连乘的形式：例 1 ：a、b、c 是质数，c 是一名数，且aXb+c=1993o 那么a+b+c=()。
例2:用一.二、3、4、五、六、7、八、9这九个数字组成质数, 若是每一个数字都要用到，而且只能用一次，那么这九个数字最多能1组成多少个质数?例3: 1500的约数有（）个。
这些约数的和是（）。
例4:有8个不同约数的自然数中，最小的一个是（）。
例5: 504乘以一个自然数a,取得一个平方数，求a的最小值和这个平方数。
练习：1.36（）的约数有 __ 个，这些约数的和是________ 。
2.找出1992所有不同的的质因数，它们的和是 ______ o3.若a、b、c、d是四个互不相等的自然数，且aXbXcXd= 1988,那么a+b+c+d的最大值是 ______ 。
24.3780乘以一个自然数的积是一个完全平方数，这个自然数最小是______ o5.在有12个约数的自然数中，最小的一个是______ o6.四个小于1()的自然数，它们的积是360。
已知这四个数中只有一个是合数，那么这四个数别离是_______ O7.在下面的算式里，四个小纸片各盖住一个数字，被盖住的四个数字之和是____ O□ 口X □□19 9 28.31-( )=( )余7,要在算式的括号内填入适当的数使等式成立，共有______ 种不同的填法。
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质数合数分解质因数
在自然数中，一个数除1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数．例如2，3，5，7，11，……都是质数．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数．例如4，6，8，9，12，……都是合数．1既不是质数，也不是合数．这样，自然数在按约数个数分类，可以分成：质数、合数和1．
偶数中只有2是质数，而且是全部质数中最小的一个．除2以外全部的偶数都是合数，除2以外全部的质数都是奇数．
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数．例如，因为70=2&215;5&215;7，所以2，5，7是70的质因数．把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．例如，60=2&215;2&215;3&215;5=22&215;3&215;5，把60这个合数用2&215;2&215;3&215;5或22&215;3&215;5的形式来表示，就是把60分解质因数．
例1 两个质数的积是46，求这两个质数的和．
分析：两个质数的积是46，46是偶数，只能是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，因此很简单得出其它的质数，从而问题得以解决．解：因为46是偶数，因此它必是一个奇质数与一个偶质数的积，而偶质数只有2，另一质数46&247;2=23，所以2与23的和为25．
例2 用2，3，4，5中的三个数能组成哪些三位质数？
分析：首先考虑个位数字是几，如果个位数字是2或4，这样的三位数必能被2整除，因此这样的三位数不会是质数，如果个位数字是5，这样的三位数必能被5整除，这样的三位数也不会是质数，所以个位数字只能是3，再由剩下的三个数字组成百位、十位，得出个位数字是3的三位数为：243，423，253，523，453，543，最后依据质数的推断方法，得到所求的质数．
解：如果组成的三位数的个位数字是2、4、5时，这个数必能被2或5整除，因此个位数字只能是3，而个位数字是3的三位数有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，所以只有523是质数．
质数的推断方法是，当一个数比拟小时，用定义直接推断，但这个数比拟大时，通常采纳查质数表，最好记住100以内的全部质数．在没有质数表的情况下，可以用质数从小到大的顺序逐个地去试除．如果能被其中某一个质数整除，就说明这个数是合数，如果除到商已比试除的质数小，还不能被这些质数中的任何一个整除，那么这个数肯定是质数．
例如，推断100以内的数是否是质数，只需用2、3、5、7这四个质数去试除，如果没有一个能整除它，这个数肯定是质数，否则不是质数．推断97是不是质数，因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，因此97是质数．为什么不必去试除比97小的全部的质数呢？因为97不能被2，3，5，7中的任何一个整除，它就肯定不能被4，6，8，9，10等数〔分别为2，3，5的倍数〕整除，又因为，如果用11或大于11的质数去试除， 97&247;11=8…9，97&247;13=7…6，其商为8、7，比除数还小，都已试除过，因此推断100以内的数是否是质数只需用2，3，5，7去试除．
推断200以内的数是否是质数，只需用2，3，5，7，11，13，17这七个质数去试除；推断300以内的质数，只需用2到17这七个质数去试除；推断400以内的质数，只需用20以内的八个质数与去试除；推断500以内的质数，只需2到23的质数去试除．其余可用类似的方法推出，你可以思考一下1000以内的质数如何推断？
例3 将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等．
分析：如果采纳观察、计算调整的方法是比拟麻烦的．要使两组数的乘积
相等，只有两组数中的质因数相同，而且质因数的个数也相同，就可以了，所以从这八个数分解质因数入手，依据各质因数的个数，进行适当的搭配，便能找出问题的答案．
解：将八个数分解成质因数：
40=23&215;5 44=22&215;11
45=32&215;5 63=32&215;7
65=5&215;13 78=2&215;3&215;13
99=32&215;11 105=3&215;5&215;7
这八个数分解质因数后一共有6个2，8个3，4个5，2个7，2个11，2个13．因此，这八个数被分成两组后，每一组应含有3个2，4个3，2个5，1个7，1个11，1个13，这样可以得到两组分别为：40，63，65，99和44，45，78，105．
例4 360有多少个约数？
分析：如果先求360的全部约数，再数出它们的个数，显然比拟麻烦．为此，先将360分解质因数：360=23&215;32&215;5，360的任意一个约数均由假设干个2或3或5组成，我们将360的全部约数列成下面的数阵：
1 2 22 23
3 2&215;3 22&215;3 23&215;3
32 2&215;32 22&215;32 23&215;32
5 2&215;5 22&215;5 23&215;5
3&215;5 2&215;3&215;5 22&215;3&215;5 23&215;3&215;5
32&215;52&215;32&215;522&215;32&215;5 23&215;32&215;5
这个数阵共6行，每行4个约数，所以360共有4&215;6=24个，而
24=〔3+1〕&215;〔2+1〕&215;〔1+1〕，这里3，2，1恰好是360分解质数式子中2，3，5的个数，从而得到下面关于约数个数的一个重要结论：一个大于1的整数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积．用数字式子表示为：
如果A分解质因数为：
则A的全体约数的个数为：
〔r1+1〕&215;〔r2+1〕&215;…&215;〔rn+1〕
例5 有30个约数的最小自然数是多少？
分析：设所求的数为A，则A有30个约数，因为30= 30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5，要使A最小，一般使A的质因数的幂指数尽可能小，质因数的个数尽可能少，所以A必为以下形式：
其中a1，a2，a3为互不相同的质数．
要使A最小，a1，a2，a3尽可能小，显然a3=2，a2=3，a1=5，这样
A=24&215;32&215;5=720
解：因为30=30&215;1=2&215;15=6&215;5=10&215;3=2&215;3&215;5，而且题中要求
a2、a3为互不相等的质数，为了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24&215;32&215;5=720．
例6 九个连续自然数中至多有四个质数，例如1至9中有2、3、5、7四个质数．请在200以内再找出五组这样的质数．
分析：9个连续自然数中至多有5个奇数．在两位数中，个位是5的数必能被5整除，而且三个连续的奇数必有一个能被3整除，所以只有当个位数字为5的两位数又能被3整除时，其余的四个奇数才有可能是质数．当找到一组这样的两位以上的质数时，另一组与这组对应的数的差必定是30的倍数．按
照上述方法找出后，再依据质数的推断方法去筛选就可得出结果．
首先简单得出3，5，7，11；5，7，11，13；在两位数中，按照上面的方法可得出以下各组数：
11，13，15，17，19；
41，43，45，47，49；
71，73，75，77，79；
101，103，105，107，109；
131，133，135，137，139；
161，163，165，167，169；
191，193，195，197，199；
依据质数的推断方法可以得出两位数中还有11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199这三组符合条件．
解：200以内其它五组这样的质数为：3，5，7，11；5，7，11，13；11，13，17，19；101，103，107，109；191，193，197，199．。