2020版数学人教B版必修5课件：2.2.2 等差数列的前n项和
(完整版)数列公式汇总.doc
人教版数学必修五
第二章 数列 重难点解析
第二章 课文目录 2． 1 数列的概念与简单表示法 2． 2 等差数列
2． 3 等差数列的前 n 项和 2． 4 等比数列
2． 5 等比数列前 n 项和
【重点】 1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前 n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式
【难点】
1、根据数列的前 n 项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法
⒈ 数列的定义 ：按一定次序排列的一列数叫做 数列 .
注意 ：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么
它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现 .
⒉ 数列的项 ：数列中的每一个数都叫做这个数列的 项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第
2 项， ，第 n 项， .
⒊数列的一般形式 ：
a1 , a2 , a3 , , an , ，或简记为 an ，其中 an 是数列的第 n 项
高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和第2课时等差数列的前n项和习题课练习新人教A版5讲解
1 2.3 第2课时 等差数列的前n项和(习题课)
A级 基础巩固
一、选择题
1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为( )
A．30 B．31 C．32 D．33
解析：中间项为an＋1.
S奇＝（a1＋a2n＋1）2·(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝512.
S偶＝a2＋a2n2·n＝n·an＋1＝480.
所以an＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.
答案：C
2．等差数列{an}的公差d＝12且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( )
A．52.5 B．72.5 C．60 D．85
解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得x＝60，y＝85.
答案：C
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12为( )
A.310 B.13 C.18 D.19
解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，因为S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4.
所以S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.
所以S6S12＝310.
答案：A
4．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( )
A．15 B．35 C．66 D．100
解析：易得an＝－1，n＝1，2n－5，n≥2.
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1， 2 令an>0则2n－5>0，所以n≥3.
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝－(a1＋a2)＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]
＝66.
答案：C
人教版高中数学必修五教案：2.3等差数列的前n项和(一)
课题 2.3等差数列的前n项和（一）
课型
新授课 [来源:]
课时：
1
授课时间：
教 学
目 标
知识与技能：
1、等差数列前n项和公式．
2、等差数列前n项和公式及其获取思路；
3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
过程与方法：
通过对等差数列前n项和公式的学习，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
情感态度与价值观：
会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
教学
重点 等差数列前n项和公式的理解、推导及应用．
教学
难点 灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题．
教学
手段 多媒体辅助教学
教学方法 先学后教，讲练结合
教 二次备课 学
过
程 一、复习引入：1．等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）2．等差数列的通项公式：（1） （2） （3）
=pn+q (p、q是常数)3．几种计算公差d的方法：① － ② ③
4．等差中项：成等差数列5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )
6．数列的前n项和：数列中，称为数列“小故事”1、2、3目,老师说: “现在给大家出道题目:过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法． 二、讲解新课：
1．等差数列的前项和公式1：
高二数学必修5等差数列的前n项和练习卷
高二数学必修5《等差数列的前n项和》练习卷
知识点：
1、等差数列的前n项和的公式：①12nnnaaS；②112nnnSnad．
2、等差数列的前n项和的性质：①若项数为*2nn，则21nnnSnaa，且SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶．
②若项数为*21nn，则2121nnSna，且nSSa奇偶，1SnSn奇偶（其中nSna奇，1nSna偶）．
同步练习：
1、首项为0的等差数列na的前n项和为nS，则nS与na的关系是（ ）
A．2nnnSa B．nnSna C．nnSa D．2nnSna
2、已知等差数列na，150a，2d，0nS，则n等于（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
3、已知等差数列na满足22383829aaaa，且0na，则其前10项之和为（ ）
A．9 B．11 C．13 D．15
4、等差数列na中，12aa…50200a，5152aa…1002900a，则1a为（ ）
A．12.21 B．21.5 C．20.5 D．20
5、已知等差数列na的首项为23，公差是整数，从第7项开始为负值，则公差为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6、若等差数列共有21nn项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
等差数列的前n项和公式(2)教学设计- (人教A版 高二 选择性必修第二册)
4.2.2等差数列的前n项和公式（2）
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（2）
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。
数列是培养学生数学能力的良好题材。等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
课程目标 学科素养
A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用.
B.会求等差数列前n项和的最值. 1.数学抽象：等差数列前n项和公式
2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数
3.数学运算：等差数列前n项的应用
4.数学建模：等差数列前n项的具体应用
重点： 求等差数列前n项和的最值
难点： 等差数列前n项和的性质及应用
多媒体
教学过程 教学设计意图
核心素养目标
一、 课前小测
1．思考辨析
(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Snn也是等差数列．( )
(2)若a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．( )
(3)在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n－1＝(2n－1)an.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )
A．9 B．10 C．11 D．12
B [∵S奇S偶＝n＋1n，∴165150＝n＋1n.∴n＝10.故选B项．]
3．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________.
15 [由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列得2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)解得S6＝15.]
2020年高三总复习数学人教旧版-必修5[第5讲 等差数列的前n项和公式]讲义(教师版)
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第1
页第5讲等差数列的前n项和公式
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的
与前n项和有关的问题.
2.会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S
n的最值.
3.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，
初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
1.熟练掌握等差数列的求和公式.灵活应用求和公式解决问题.
2.熟练利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S
n的最值.
第2
页等差数列前n项和的公式及其应用
一、等差数列{a
n}的前n项和公式的两种不同形式
①当已知首项1a和末项
na时，用
ns＝2)(
1naan；
②当已知首项1a和公差d时，用
ns＝2)1(
1dnn
na
.
二、等差数列的前n项和公式的推导
1．等差数列的前n项和公式1：
2)(
1n
naan
S
证明：nnnaaaaaS
1321①
1221aaaaaS
nnnn
②
①+②：)()()()(2
23121nnnnnnaaaaaaaaS
∵
23121nnnaaaaaa
∴)(2
1nnaanS由此得：
2)(
1n
naan
S
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2．等差数列的前n项和公式2：
2)1(
1dnn
naS
n
用上述公式要求nS必须具备三个条件：
naan,,
1
但dnaa
n)1(
1代入公式1即得：
2)1(
1dnn
naS
n
此公式要求nS必须已知三个条件：dan,,1
例1.已知{a
n}为等差数列，S
n为其前n项和．若a
1＝6，a
3＋a
5＝0，则S
6＝________．
【答案】6
【解析】设等差数列{a
n}的公差为d，因为a
3＋a
5＝0，所以6＋2d＋6＋4d＝0，解得d＝－2，
所以S
6＝6×6＋6×5
2×(－2)＝36－30＝6.
人教A版必修五讲义(2020) 2.2 等差数列及其前n项和1
1 等差数列及其前n项和
一、等差数列的相关概念
（一）等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差．．．．．．．．．．．．．．．．
等于同一个常数
．．．．．．．，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。
利用：“
1na
－
na
＝d
(d
为常数)”判断一个数列是否是等差数列。
注意：
（1）如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，那么此数列不是
等差数列；（2）等差数列要求这个常数必须相同；（3）公差d
： d
＝
1na
－
na
＝
na
－
1na
(n≥2)；（4）当d
＝0时，数列为常数数列；当d
＞0，数列为递增数列；当d
＜0，数列为
递减数列；（5）公差必须为后一项减前一项，不能颠倒。
（二）、等差数列的通项公式
如果等差数列{
na
}的首项为
1a
，公差为d
，那么它的通项公式是
na
＝
．
1a
＋
．(
．n
－
．1)
．．d
，或
者通项公式的变形：
na
＝
．
ma
＋
．(
．n
－
．m
)
． d
。
（三）、等差中项： （
．1
．）由三个数．．．．．a，
．A
．，
．b组成的等差数列，
．．．．．．．．A
．叫做
．．a和
．b的等差中项，则
．．．．．．．2A
．．＝
．a＋
．
b；
．
（2）若在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中
项，即2
na
＝
1na
＋
1na
。
（
．3．）
． 特别地：在△
．．．．．．ABC
．．．中，
．．A
．、
．B
．、
．C
．成等差数列，则
．．．．．．．B
．＝
．60
．．o
．。
．
例1：已知数列{
na
}为等差数列
3a
＝
45
，
7a
＝－
47
，则
15a
＝____________。【基本量法】
【解析】 －31
4.
变式练习1：
若等差数列{
na
}的公差d
≠0，且
1a
，
2a
是关于x
的方程2
x
－
3ax
＋
4a
＝
0的两根，求数列{
na
}的通项公式。
【解】 由题意知
a
1＋a
2＝a
3，
a
1a
2＝a
4，∴
2a
1＋d＝a
1＋2d，
a
1a
1＋d＝a
1＋3d，解得
人教A版高中数学必修五 2.3等差数列的前n项和 教案
2.3 等差数列的前n项和
一、教学目标：
知识技能目标：1.掌握等差数列前n项和公式； 2.掌握等差数列前n项和公式的推导过程;
3.会简单运用等差数列前n项和公式.
过程与方法： 1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；
2. 通过公式的运用体会方程的思想。
情 感 态 度： 结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化.
二、教学重点难点：
教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.
教学难点：在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法.
三、教学策略及设计
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
四. 教法、学法
本课采用“探究——发现”教学模式． 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导.
学生的学法突出探究、发现与交流.
五.教学过程
教学过程设计为六个教学环节：（如下图）
指导思想：就是从特殊到一般，由具体到抽象，类比归纳总结出指导等差数列前n项和公式的倒序相加法，然后引导学生认识和熟记公式并活应用，同时在应用过程中体会方程的思想方法。
四、教学过程： 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
复习旧知识，引入新知
归纳抽象形成概念
温故知新，提出问题
1.明确数列前n项和的定义，开门见山确定本节课中心任务:
对于数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用sn表示，记 sn=a1+a2+a3+…+an，
如 S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7
学生回答，引导温故知新。 由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。
高中数学 必修5 12.等差数列前n项和的应用
1 12.等差数列前n项和的应用
教学目标 班级________ 姓名______________
1.掌握等差数列前n项和的相关性质.
2.能够熟练应用等差数列的性质进行计算.
教学过程
一、等差数列前n项和的最值问题.
例1：设等差数列na满足53a，910a.
（1）求na的通项公式；
（2）求na的前n项和nS及使得nS取最大值的序号n.
练1：数列na是首项231a，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负.
（1）求数列的公差；
（2）求数列前n项和nS的最大值；
（3）求0nS时，n的最大值.
规律总结
（1）BnAnSn2，利用二次函数求最值，注意n取正整数；
（2）利用邻项变号法来求解：
当0,01da时，满足0na且01na的项数n，使nS取最大值；
当0,01da时，满足0na且01na的项数n，使nS取最小值.
（3）使nS取最值得n可能不止一个（当na有一项为零时）.
2 二、数列na的前n项和问题.
设数列na为等差数列，将数列na各项取绝对值构成数列na.将数列na的前n项和记为nT，即||...||||||321nnaaaaT.
1.当0,01da（或0,01da）时，
数列na各项都为负（或正）：数列na的前n项和为nS（或nS）.
2.当0,01da时，存在m，使得0ma，且01ma.
则 nT
nS， mn,
mnSS2， mn.
3.3.当0,01da时，存在m，使得0ma，且01ma.
则 nT nS， mn，
mnSS2， mn.
高中数学《2.3等差数列的前n项和》导学案 新人教A版必修5
1 2．3等差数列的前n项和
【学习目标】
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
【研讨互动 问题生成】
1.等差数列的前n项和公式1
2.等差数列的前n项和公式2
【合作探究 问题解决】
1.一般地，如果一个数列,na的前n项和为2nSpnqnr，其中p、q、r为常数，且0p，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
2.对等差数列的前n项和公式2：2)1(1dnnnaSn可化成式子：
n)2da(n2dS12n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式
【点睛师例 巩固提高】
例1． 一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
例2．差数列{na}中, 4a＝－15, 公差d＝3, 求数列{na}的前n项和nS的最小值。
【要点归纳 反思总结】
1．前n项和为2nSpnqnr，其中p、q、r为常数，且0p，一定是等差数列，该数列的首项是1apqr； 公差是d=2p
通项公式是111,12(),2nnnSapqrnaSSpnpqn当时当时
2．等差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当na>0，d<0，前n项和有最大值可由na≥0，且1na≤0，求得n的值。
2 当na<0，d>0，前n项和有最小值可由na≤0，且1na≥0，求得n的值。
（2）由n)2da(n2dS12n利用二次函数配方法求得最值时n的值
【多元评价】
自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:
学科长评价: 学术助理评价:
【课后训练】
1．在等差数列{an}中，Sm=Sn,则Sm+n的值为（ ）
（A）0 （B）Sm+Sn （C）2(Sm+Sn) （D）)(21nmSS