南京工业大学高等数学试题

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南京工业大学高数B(B)试卷含答案

南京工业大学高等数学B 试题（B ）卷（闭）2011--2012学年第一学期使用班级浦生工等班级学号姓名一、填空题（共18分，每小题3分）1. 1．设()()则,12xx x f += ()=∞→x f x lim2．设()x f 在1=x 处可导，且 ()21='f ，则 ()()=-+→hf h f h 121lim3．设函数()x y 是由方程 3=+xy e y所确定，则 ='|y4．如 ()422++=x x x f ，则适合等式 ()()()()0202-'=-ξf f f 的=ξ5．如()()=+=⎰x f C edx x xf x则,6．()⎰-=+113cosdx x x x二、选择题（共12分，每小题2分）1．当0→x 时，下列无穷小中与 x cos 1-等价的是（）A.xB. x 21 C. 2x D 221x .2.设 ()()⎩⎨⎧>+<+=0,0,1ln x a e x x x f x，是连续函数，则 ,a 满足:（）A.a 为任意实数，B.1-=aC. ,0=aD.1=a3.若()()(),R x x f x f ∈--= ，且在 ()∞,0内()(),0,0>''>'x f x f 则()x f 在()0,∞-内必有：（） A.()()0,0<''<'x f x f B.()()0,0>''<'x f x f C.()()0,0<''>'x f x f D.()()0,0>''>'x f x f4.在下列极限中，正确的是:( )A.22sin lim 0=→x x xB.1arctan lim =+∞→xx x C .e x xx =+→0lim D.∞=--→24lim22x x x 5.定积分 =⎰dx x π20sin （）A. 0B. 4C. 2D. 16.直线L 与x 轴平行，且与曲线 xe x y -=相切，则切点坐标是（）A.()1,1B.()1,1-C.()1,0-D.()1,0三、计算题（共48分，每小题6分）1.xe x x 1lim 20-→ 2.设 2222++=x x y ,求 y '3.设有参数方程()0sin 322>⎩⎨⎧=++=t tt y t t x ，求 dx dy4.()dx x x ⎰+1215.dx xx ⎰+1316.设 ()()⎰+=13sin dx x f x x x f ，求()x f 的表达式。

南京工业大学高等数学B 试卷(A)卷(闭)

南京工业大学高等数学 B 试卷（A ）卷（闭）学院班级学号姓名一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的横线上）1、方程132=-'-''y y y 的一个特解为2、设yoz 平面上曲线12222=-cz b y 绕z 轴旋转所得到的旋转面方程为 .3、设a x x a y D ≤≤-≤≤0,0:22，由二重积分的几何意义知⎰⎰=--Ddxdy y x a 222 .4、已知向量c 与(1,1,1)a =,(2,1,3)b =-都垂直，且向量a ，b ，c 构成右手系则c = . 5、曲面04x 8z xy 3x :2=--+-∑在)2,3,1(-P 处的切平面的法向量是二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，请将正确答案填在题后的括号内）1、下列微分方程中（）可以被称为是关于y 的贝努里微分方程（A ）xyy x dx dy 23+= （B ）22y )1x (dxdy+= （C ）x e xy dxdy=- （D ）222xy x dx dy += 2、设有直线22z 11y 11x :L 1-=-=--及41z 52y 33x :L 2+=+=-则21L ,L 的位置关系为（）.（A ）异面（B ）平行（C ）垂直（D ）相交3、对二元函数)y ,x (fz =在点)y ,x (P 000处的下列叙述中正确的是（）（A ）若在0P 处的偏导数)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则)y ,x (f在0P 处连续（B ）若)y ,x (f 00x ，)y ,x (f 00y 存在，则+=dx )y ,x (f dz 00x dy )y ,x (f 00y （C ）若)y ,x (f 在0P 处不连续，，则在0P 处的偏导数必不存在（Ｄ）若)y ,x (f在0P 处的两个偏导数连续，则)y ,x (f 在0P 处必可微分4、若区域D 为)1,1(，)1,1(--，)1,1(-三点围成的区域，1D 是D 在第一象限的部分，则dxdy y x D2⎰⎰＝（）)(A dxdy y x 21D 2⎰⎰ )(B dxdy y x 41D 2⎰⎰ )(C ０ )(D dxdy y x 1D 2⎰⎰5、下列关于数项级数的叙述中正确的是( ).)(A 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+1n 100n u 收敛 )(B 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛)(C 若1u u limn1n n <ρ=+∞→，则∑∞=1n n u 收敛 )(D 若)u u (1n 1n n ∑∞=++收敛，则∑∞=1n n u 收敛三、计算与解答题（本部分共有７小题，５５分，注意每小题的分数不完全相同）1、（７分）求微分方程5)1x (1x y2dx dy +=+-的通解。

高等数学试卷A-1期中试卷解答(14级)

南京工业大学高等数学A-1期中试题解答2014 - 2015 学年第1学期使用班级江浦2014级本科生一、填空题（本题共4小题，每小题2分，满分8分，请将正确答案填在题后的横线上） 1、极限1sin 3lim(2sin)x x x x x→∞+= 2_ . 2、作直线运动的质点的运动规律为233t t S -=，则它速度开始增加的时刻=t 1_ . 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点的个数为__2___ . 4、函数 ()y f x =在点x 处可导，且()2f x '=,则当0 x ∆→时，无穷小dy 与x ∆的比较结果是__ 同阶但不等价的无穷小量_.二、求下列函数或数列的极限（每题7分，共28分）（1）200221sin cos lim sin ()cos ]22x x x x xxx →→+-=2220021sin cos sin sin lim 2lim 4()cos ]2x x x x xx x xx x x →→+-+=== （2）tan sin sin tan sin 00(1)lim 1[ln(1)]2x x x x x x x e e x x x -→→-=+-0tan sin tan (1cos )2lim2lim [ln(1)][ln(1)]x x x x x x x x x x x x →→--==+-+- 222122lim21[()]2x x x x x x ο→==--+-（3） 2111lim (sin cos )lim [cos (12sin )]x xx x x x x x→∞→∞+=+211lim (cos )(12sin )x x x e x x→∞=+= 注：0211lim (cos )1,lim(12sin )x x x x e e x x→∞→∞==+=.本题也可利用对数转化求2121ln(sin cos )ln(sin cos )lim lim xx x x xx x x ee→∞++→∞=.（4）1lim(1)n n n n→∞++. 11(123)n n n n n n nn nn n n n=≤++++≤=ln 11limlim 1,lim lim 1x xxxnx nn x ee n →+∞→+∞→∞→∞===∴==由夹逼准则知原极限1lim(1)1n n n n→∞+=.三、求下列函数的导数或微分（每题6分，共24分）（1）设2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩，求dy dx ，22d ydx . 解：2222[ln(1)]12,1[arctan ]1tdy t t t dx t t '++==='+2221()(2)22(1)d y d d y d t t dt dx dx dx dxdx====+.（2）设tan 1xxy e=+，求dy . 解：22(1)sec tan (1)x xx e x x e dy dx e =+-⋅+.（3）2cos2y x x =，求()100y .解：利用Leibnize 公式：()()()()1001009998212221001001002(cos 2)(cos 2)()(cos 2)()2[cos 2100sin 22475cos 2]y x x C x x C x x x x x x x '''=⋅+⋅+⋅=+-注：.本题利用()(cos 2)2cos(2)2n n n x x π=+. （4）求由方程1sin 02x y y -+=所确定的隐函数的二阶导数22d ydx.解：方程1sin 02x y y -+=两边分别对x 求导，得 11cos 02y y y ''-+⋅=，解得2322(sin )4sin ,2cos (2cos )(2cos )y y yy y y y y '-⋅'''===----.四、解答下列各题（1）（8分）求函数23()x x y x x x -=-的间断点及其类型. 解：函数在0x =及1x =处无定义，故其间断点为0x =及1x =; 0x =处：230001lim ()lim lim ,()(1)x x x x x f x x x x x x +++→→→-===∞-+所以0x =是无穷间断点（第二类） 1x =处：2311111lim ()lim lim ,()(1)2x x x x x f x x x x x x →→→-===-+所以1x =是可去间断点（第一类）（2）（12分）问a 为何值时，函数1sin ,0()0,0ax x f x xx ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩在(),-∞+∞上（i ）连续；（ii ）可导；（iii ）一阶导数连续.解：本题只需考查函数在0x =处的性质即可（i ）由题意0lim ()(0)x f x f →=，即01lim sin 0a x x x+→=，此时0a >.（ii ）100()(0)1(0)limlim sin 0a x x f x f f x x x -→→-'==-,该极限存在，此时1a >,(0)0f '=. （iii ）当1a >时，1211sin cos ,0()0,0a a ax x x f x x xx --⎧->⎪'=⎨⎪≤⎩欲使0lim ()(0)x f x f →''=，即12011lim (sin cos )0a a x ax x x x+--→-=，此时2a >. （3）（10分）设数列{}n x 满足12x π=，1sin n n x x +=，1,2,3,...n =，（i ）试证明此数列极限存在，并求出lim n n x →∞；（ii ）试求211lim()n x n n nx x +→∞.（i ）证明：由归纳假设知，01,1,2,3,...n x n <≤=，又1sin ,n n n x x x +=≤由单调有界准则可知此数列极限存在；令lim ,n n a x →∞=则由1sin n n x x +=，得sin ,a a =故lim 0n n x a →∞==；（ii ）解：220sin ln()111sin cos 11lim limlim1360sin sin lim()lim()lim()x x x n n xx x x x x x n n x x xxn n x nn x x x e e e e x x x →→→---+→∞→∞→======.（4）（10分）以下两题任选其一（仅做一题）（i ）设()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，(0)0f =，(1)(2)0f f +=，证明：至少存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=。

南京工业大学2012-2013高等数学期末试卷A及答案

南京工业大学2012-2013高等数学期末试卷A 及答案一、填空题（每小题3分，共36分）1.=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→x y x xy 11lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→⋅∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin =+x y e xz 确定，则=-=-=∂∂xz z y xe x y x F F y z cos 1xz ex x y 2cos - . 3.设函数222lnz y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33. 4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x z x y -==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为 212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==⎰⎰-dy y x f dx I x x 22020),(dx y x f dy y y ⎰⎰-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=⋅=⋅=+⎰⎰π2221211)(LLds ds y x π . 8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则⎰⎰∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(⎩⎨⎧<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + . 10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x x nn n .12.微分方程x xe y xy =-'1的通解为 x xe Cx + . 二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设),(xye xy f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,f 均为一阶可微函数，求dxdz . 解：)(221y x y e f xy x y f dx dz xy'+⋅'+-'⋅'= ))()(()()(221x x x e f xx x x f xyϕϕϕϕ'+⋅'+-'⋅'= 2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积 dxdy y x dxdy dxdy y x V D DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=)(2122)](214[2222 πππθππ4482122202202=-=-⨯=⎰⎰rdr r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==, 已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412 代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22y x z +=与半球面221y x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑∂∂+∂∂+∂∂=++)(dr r d d dv ϕϕθππsin 33122040⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ωππ)22(31)221(23-=⨯-⨯⨯= 2.写出级数++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于 21121221lim lim1=-+⋅=∞→+∞→n n u u n nn n ，由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs x xn x x n x s n n n n nn ，则xxx dt ntdt t s n xn n n x-===∑⎰∑⎰∞=∞=-1)(1111，于是2011)1(1)()(x dtt s dx d x s x -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰，又xxx x s n n -==∑∞=1)(12，所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x x x x x x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-==∞=∑x n n x x x n s .3.求微分方程x e y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为x Axe y =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为x x e C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f yx 得驻点,22⎩⎨⎧-==y x 又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ，则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域. 解：令 1-=x t ，则 nn nn n n t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于 212)1(2lim lim 11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n nn 收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n 发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(y x x xy z ϕ+=，其中),(v u ϕ具有二阶偏导数，求yx z∂∂∂2.解：),(1),()cos(21yxx y y x x xy y x z ϕϕ'+'+=∂∂，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yxy x x y y x x y y x y x x xy xy xy y x z -⋅''+'--⋅''+-=∂∂∂ϕϕϕ五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(⎩⎨⎧==y x f y x f y x 在D 内求得驻点)0,0(.在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=y x y x y x F λλ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F y x λλλλλλ当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得⎩⎨⎧=±=01y x ；同理当0≠y 得⎩⎨⎧±==20y x ；由于2)0,0(=f ， 3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，⎰⎰⎰----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y xLdxdyy x yfy x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=⎰⎰ （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f t ty tx f -=，即),(),(2ty tx f y x f t =上式两端对t 求导有),(),(),(221ty tx f y ty tx f x y x tf '+'= 特取1=t 得),(),(),(2y x yf y x xf y x f y x += 由（*）式既有0),(),(=-⎰dy y x xf dx y x yf L。

南京工业大学高数重点必看期中考试

2. 求极限（每题５分）
(1). lim (
n
1 n6 n

1 xa
2
2
n 6 2n

n
2
n6 n2
)
sin x (2). lim ( ) (a n ) x a sin a 1 x sin x 1 (3) lim x2 x 0 e 1
x xx (4). lim x 1 1 x ln x
d2y x ln 1 t 2 6. (7分) ,求 . 2 dx y arctan t
2
7.(7分)证明：当x 0, e 1 (1 x) ln( 1 x)
x
8.(7分) 设f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)上可导， f (a) f (b) 0, 证明 (a, b), 使f ( ) f ( ) 0. (为一实数）
(7)．已知 lim
x 0
1 f ( x) sin 2 x 1 2，则 lim f ( x) 。 3x x 0 e 1
x (8) 方程f ( x) ln x k 0(k 0)有个实根. e
(9) 函数y = x － sinx 在 [0 ，2π] 上的单调
cos x cos 2 x (1)若f ( x) x2 k 则k
期中考试试卷 1.选择与填空（每题３分）
2006.11
x0
在x 0连续， x0
(2)
f ( x) x( x 1)( x 2)( x 100), f (0)
.
2 x 0, b(1 x ) (3). f ( x) ax 在x 0处可导，则 x 0. e （A) a 1, b 1. ( B). a 2, b 1.

南京工业大学高等数学B 试卷(A)浦江学院11级第二学期(参考答案)

南京工业大学高等数学B 试卷（A ）(参考答案)2011--2012学年第二学期使用班级浦江学院11级一、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）1、31y -= 2、1c z b y b x 222222=-+ 3、361a π 4、)3,1,4(-- 5、)1,3,3(-二、选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）1、(A)2、(A )3、(D)4、(A )5、(A)三、计算与解答题（本部分基本是书上例题，如有错误，请各位查书） 1、(本题7分)解：解：因1x 2)x (P +-=⇒积分因子⎰dx )x (P e=2dx 1x 2)1x (1e +=⎰+- 方程两边乘2)1x (1+得到，212252)1x ()1x (1)1x ()y )1x (1(+=++='+，两边积分： dx )1x (y )1x (1212+=+⎰= C )1x (3223++通解为： ]C )1x (32[)1x (y 232+++=，-----------------------7分2、解：)y 2x sin(y xz--=∂∂ y x z 2∂∂∂=)xz(x ∂∂∂∂=)y 2x cos(21-+-------------------- 7分 3、解：平面法向量)4,2,3(n -=。

由平面的点法式方程可知，所求的平面方程为0)1z (4)3y (2)1x (3=++---⇒07z 4y 2x 3=++------------------------------------7分4、解：原式=⎰⎰yy 102dx yysin dy= =⎰-10dy )y sin y y (sin =⎰10ydy sin -⎰10ydy sin y=1sin 1-------------------------------------------------------------------7分5、解：因)x (u )x (u lim n 1b n +∞→ =x x 1n 1x 2n 1lim 1n 2n n =++++∞→所以，当1x <，即1x 1<<-时，幂级数绝对收敛当1x -=时，级数为∑∞=+-0n 1n 1，此时发散；当1x =时，级数为∑∞=+-0n n1n 1)1(，此时收敛，所以收敛域为]1,1(---------------------------------------------------------------4分设∑∞=++-=0n 1n n1n x )1()x (s 1x 1≤<-，)1n x ()1()x (s 0n 1n n'+-='∑∞=+=x 11x )1(0n n n +=-∑∞= 1x 1<<-，所以⎰⎰+='x0xdx x 11dx )x (s 1x 1≤<-⇒)x 1ln()0(s )x (s+=- ⇒)x 1ln()x (s +=-------------------5分6、解：设=)z ,y ,x (G )xzy ,y z x (F ++则 )xz(F F G 221x -+=，221y F )y z (F G +-=，x 1F y 1F G 21z += 所以z x G G x z -=∂∂=21221F x1F y 1F x z F +--，z y G G y z -=∂∂=21212F x 1F y 1F F y z ++--dz =dx F x1F y 1F x zF 21221+--dy F x 1F y 1F F y z 21212++----------------------------------9分（若用其他方法解，自己掌握）7、解：令p y ='，则 dx dp y =''，方程化为 2x1xp2dx dp += 分离变量并两边积分得到 12C ln )x 1ln(p ln ++= ⇒)x 1(C y 21+='---------------------------------------------------5分231C )x 31x (C y ++= ---------------------------------------9分四、应用题（8分）解：设长方体的长、宽、高分别为z ,y ,x 则表面积为yz 2xz 2xy 2++，体积为xyz V =设乘数函数： )a yz 2xz 2xy 2(xyz )z ,y ,x (F 2-++λ+= 则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+λ+==+λ+==+λ+=2z y x a yz 2xz2xy 20)y x (2xy F 0)z x (2xz F 0)z y (2yz F ⇒唯一驻点6a z y x ===由实际问题可知，体积的最大值确实存在，因此当长方体的长宽高都为6a 时，可使体积最大五、（本题7分）解法一：利用极坐标计算：令θ=θ=sin r y ,cos r x ，则⎰⎰+D222dxdy y x x =⎰⎰θθD222rdrd r cos r =⎰⎰θθπa 0220rdr cos d =⎰πθθ+20a02d r 2122cos 1=2a 2π---------------------------4分解法二：利用对称性：⎰⎰+D222dxdy y x x =⎰⎰+D 222dxdy yx y ，因此，⎰⎰+D222dxdy y x x =21【⎰⎰+D 222dxdy y x x +⎰⎰+D222dxdy y x y 】 =21⎰⎰++D2222dxdy yx y x =2a 2π-------------------------------3分。

高等数学A试卷A解答

南京工业大学高等数学A-2试卷（A ）解答2012--2013学年第二学期使用班级江浦12级一、选择题(本大题共5小题, 每小题3分, 总计15分)1、)(C2、()A3、)(B4、()D5、)(B 二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分，总计15分) 1、221x x y -+= ⒉、 1 3、2π 4、43-5、 2π 三、解答下列各题(本大题共4小题，每小题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设函数6),,(+---++=z y x yz zx xy z y x f ，问在点)0,4,3(P 处沿怎样的方向l ，f 的变化率最大？并求其最大的变化率。

解:)6,2,3()1,1,1()0,4,3(=-+-+-+=P y x z x z y gradff 沿方向(3,2,6)l =的变化率最大； ……4分其最大的变化率为(3,4,0)7Pf gradf l∂==∂。

……3分2、设22(,)y z f x y x =+，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2。

解:1222z yx f f x x∂''=⋅-⋅∂， ……3分2111222122221112(2)(2)z y x yf f f yf f x y x x x x∂'''''''''=+--+∂∂ 22111222223142(1)y yf xyf f f x x x'''''''=-++-- ……4分 3、计算二次积分11sinxxdx y dy y⎰⎰。

解：111000sinsin y xx xdx y dy dy y dx y y=⎰⎰⎰⎰（交换积分顺序） ……2分120(1cos1)y dy =-⎰……3分1(1cos1)3=- ……2分 4、计算Lxds ⎰，其中L 为由直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界。

南京工业大学高等数学(下)期中试卷

南京工业大学高等数学（下）期中考试试卷班级___________ 学号___ ______姓名_______________成绩 ____（请考生注意：本试卷共 4 页）大题一二三四五六得分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点（）。

（A ）极限不存在（B ）不连续（C ）可微分（D ）均存在)0,0(),0,0(y x f f2、椭球面163222=++z y x 上点)3,2,1(--处的切平面与平面1=z 的夹角为（）。

（A ）4π（B ）223arccos （C ） 227arccos （D ）167arccos3、z x y x (,)000=和z x y y (,)000=是函数z z x y =(,)在点(,)x y 00处取得极大值或极小值的（）。

（A ）必要条件但非充分条件（B ）充分条件但非必要条件（C ）充要条件（D ）既非必要条件也非充分条件 4、曲线积分ds y x c⎰+)(22，其中c 是圆心在原点、半径为a 的圆周，则积分为（）。

（A ）22a π （B ）3a π （C ） 32a π（D ）π5、曲线积分,422⎰++-=c y x xdy ydx I 其中c 是椭圆1422=+y x ，并取正向，则I 为（）。

（A ）π （B ）π2 （C ）π2- （D ）0二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)1、设函数zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，则)1,1,1(du = ____________________________.2、曲面3=++xy z e z在点)0,1,2(M 处的切平面方程是______________________. 3、交换积分次序⎰⎰--=1112______________________________),(x x dy y x f dx4、设则I =_______________.5、设),(y x F 为可微函数，则曲线积分)(),(xdy ydx y x F AB+⎰与路径无关的充要条件是______________________________.三、解答下列各题(本大题共5小题，总计44分) 1、(本小题10分)求函数222222cz b y a x u ++=在点),,(z y x P 处沿此点的向径},,{z y x r = 的方向导数；在什么条件下，此方向导数等于u grad ？2、(本小题10分)(1)设),,ln (2y x y x f z -=f 具有二阶连续偏导数，求,x z ∂∂yx z∂∂∂2。

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南京工业大学高等数学试题（A ）卷（闭）
2014-2015学年第一学期期中考试试卷
班级学号姓名
一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1、下列极限正确的是（）
A. 01lim(1)x x e x
→+= B. 11lim(1)x x e x →∞+=
C. 1lim sin 1x x x →∞=
D. 01lim sin 1x x x →=
2、若11
12()1x x e
f x e -=+，则0x =是()f x 的（）
A. 可去间断点
B. 跳跃间断点
C. 无穷间断点
D. 连续点
3、已知函数sin ,
0()2,01ln(13),0ax x x f x x x x bx
⎧>⎪⎪==⎨⎪⎪-<⎩为连续函数，则,a b 满足（）
A. 2a =，b 为任意实数
B. 12
a b += C. 32,2
a b ==- D. 1a b == 4、已知()f x 是可导函数，则0
()()lim h f h f h h →--=（） A.()f x ' B. (0)f ' C. 2(0)f ' D. 2()f x '
5、若()()f x f x =-，且在(0,)+∞内：()0,()0f x f x '''>>，
则()f x 在(,0)-∞内必有（）
A. ()0,()0f x f x '''<<
B. ()0,()0f x f x '''<>
C. ()0,()0f x f x '''><
D. ()0,()0f x f x '''>>
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案的结果填在划线上）。

6、设参数方程为22t x te y t t
⎧=⎪⎨=+⎪⎩；则0t dy dx == 。

7、函数()x
x f x e =的单调增加区间为。

8
、已知ln(12)cos
5x y π=++，dy = 。

9、求抛物线2y ax =(0)a >在0x =处的曲率为。

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
10、121cos 0lim(1)x x x -→+
11、求函数2(1)sin ()(1)
x x f x x x -=
-的间断点，并指出其类型。

12、已知2ln y y x x =+，求11
x y dy dx ==。

13、已知曲线()y f x =经过原点，并且在原点的切线平行于直线230x y +-=，若2()3f x ax b '=+，且()f x 在1x =处取得极值，试确定,a b 的值，并求出函数()y f x =的表达式。

14、设1(1),0(),0x x x f x k
x ⎧⎪+≠=⎨⎪=⎩，且()f x 在0x =点连续。

求（1）k 的值；（2）()f x '。

15、设函数()0()0f x x g x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f =，（1）求a ，
使得()g x 在0x =连续；（2）求(0)g '。

16、证明方程3310x x -+=在[-1,1]上有且仅有一个实根。

17、证明：当||2x ≤时，3|3|2x x -≤。