截面法求内力解析
第二节截面法求内力
作业：
1、有一低碳钢杆件受三力如图，F1=30KN, F2=10KN, F3=20KN,求杆件各截面处的内力。
F1 A F2
B
C F3
2、试求图中所示各杆件横截面1-1、2-2、3-3上 的轴力。F1=50KN，F2=40KN，F3=30KN。
讨论： 图示阶梯杆AD受三个集中力F 作用，设AB、 BC、CD段的横截面面积分别为A、2A、 3A，则三段杆的横截面上（） （A）轴力不等，应力相等； （B）轴力相等，应力不等； （C）轴力和应力都相等； （D）轴力和应力都不等。
m
1、确定要截开的次 数和位置
2、任选取一段为研 究对象 3、假设出截面上的 内力 4、用平衡方程求出 截面上的内力
F A
m
F B FN F FN 选左段时：∑Fx=O －F+FN＝0 FN＝F 选右段时：∑Fx=O F－FN＝0 FN＝F
F
例1：试求图3—1所示杆件指定各截面上的内力大 小。 解：(1)计算截面1—1的内力.
截面法求内力
学习目标：
1、掌握“截面法”的定义； 2、正确理解和应用截面法求内力的一
般步骤；
一、什么是截面法？
截面法：将受外力作用的杆件假想地切
开，用以显示内力的大小，并以平衡条 件确定其合力的方法，称为截面法。它
是分析杆件内力的唯一方法。
如图AB杆受两个力，一个向左，一个向右， 大小均为F。作用点分别为A和B。
3 F1 A
2 F2
2 C
1
F3 1 D
3 B
FN3
F1
Hale Waihona Puke F2 （c）F3练习：求杆件各处的内力。
F１＝
2
1
F2＝
浅探内力分析之截面法
浅探内力分析之截面法摘要: 材料力学离不开内力分析，截面法更是求内力的一般方法，在展开工程设计时，如果建筑的受力分析准确性得不到保障，那么建筑的安全性和耐久性等就会出现问题。
本文从截面法对不同种内力的具体应用进行初步研究寻找其计算方法。
关键词: 材料力学；内力；截面法引言在工程设计过程中会运用许多的理论力学知识，截面法便是其中至关重要的一种，且短时间内难以被取代，因此截面法受到广泛运用。
本文即从截面法对不同种内力的具体应用题展开计算分析。
1 截面法1.1 截面法的定义截面法：用截面假想地把构件分成两部分，以此来分析明确内力大小，并以平衡条件确定其合力的方法。
1.2 截面法的研究对象内力：物体在受到外力作用而变形时,其内部各质点间的相对位置将发生变化。
相应地,各质点间的相互作用力也将发生改变。
这种由外力作用而引起的质点间相互作用力的改变量,即为材料力学中所研究的内力。
1.3 截面法的步骤主要分以下三个步骤：1、截开：在需要求内力的截面处，假想地将杆分为两部分；2、代替：将两部分中的任意一部分留下，把弃去部分对留下部分的作用，以作用在截面上的内力（力或力偶）代替；3、平衡：对留下部分建立平衡方程，根据上面的已知外力来计算杆件在截开面上的未知内力。
注意，截开面上的内力对留下部分而言已属外力。
图 12 轴力与杆件轴线相重合的内力，称为轴力，用符号FN表示。
轴力的正负规定: 当轴力的指向离开截面时,杆受拉,规定轴力为正;反之,当轴力指向截面时,杆受压,规定轴力为负。
即拉为正,压为负。
2.1 轴力分析计算已知F1=4OKN，F2=-30KN，求AB杆的内力。
应用截面法求杆件横截面上的内力，如图2所示。
截开：用假想平面m-m将构件切开分为两部分。
代替：取出其中任一部分如I部分为研究对象,画出I部分的受力图平衡：列出Ⅰ部分的平衡方程式:由∑Fx=0，得Fx-F=0，得FN=F1=4OKN（背离横截面,拉力为正）求BC杆的内力。
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法1. 了解截面法哎，说到工程力学里的截面法，别让这些名字吓坏了，其实就是一种找出杆件内部力量的简单方法。
咱们平常接触的建筑物、桥梁，或者一些机械构件，都是通过这种方法来确保它们的稳固和安全的。
这个方法简单来说就是用“剪刀”切一刀，把杆件“分尸”，然后分析切面上受力的情况。
好比是咱们剥苹果皮，剥开之后看里面的果肉，这样能更清楚地了解苹果的质量。
2. 截面法的步骤2.1 选取截面首先，挑选一个合适的截面，瞅准了方向之后，就下手了。
这个步骤就像在你脑子里画出一条切割线。
你得选择一个合适的位置，把杆件从中间“切开”。
这里要注意，选取的位置一定要使得切面上的力易于计算。
如果这个位置选错了，结果就像你在黑暗中找钥匙一样，费劲不讨好。
2.2 画出受力图接下来，别忘了给这片“切面”画上图。
要把杆件切开后，分离出的部分的受力情况画出来。
图上得标明各种内力，比如剪力、轴力和弯矩等等。
这些力就像是在打游戏时，你需要记录你的角色的状态和装备一样，你要准确记录这些力的情况，这样才能确保你计算的准确。
2.3 列出平衡方程然后，你就要写平衡方程了。
平衡方程是用来保证杆件在切开时的受力状态是平衡的，不会乱七八糟。
这些方程包括了力的平衡、力矩的平衡等。
就像你玩积木，如果要保持积木塔不倒，就得仔细计算每一块积木的放置位置。
2.4 解方程找内力最后，你要解这些方程，找出杆件内部的力量。
就像做数学题一样，把方程算出来，你就能得到具体的内力数值。
这个步骤可不能马虎，不然得到的结果就像是空话，没有实际意义。
3. 截面法的应用3.1 结构分析截面法在结构分析中的应用非常广泛。
无论是大桥、小楼，还是家里的门框，都是用这个方法来确保结构的安全性。
就像是大厨做菜，得先知道每种材料的用量和比例，才能做出美味的菜肴。
工程师用截面法就像是这个大厨，通过计算内力，确保建筑的稳定性和安全性。
3.2 机械设计在机械设计中，截面法也是必不可少的。
第二章 杆件的内力·截面法讲解
F
FN （＋）FN
F
F
FN （－）FN
F
轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F
F
FN
轴力图的意义
+ x
① 直观反映轴力与截面位置变化关系； ② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
例 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆 的轴力图。
应变
一、正应变（线应变）定义
av
Du Ds
棱边 ka 的平均正应变
lim
Du k点沿棱边 ka 方向的正应变
Ds0 Ds
正应变特点
1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
二、切应变定义 微体相邻棱边所夹直角的
改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位
切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
BC
D
FN 2 FB FC FD 0
FB
FC
FD
FN2= –3F，
求BC段内力：
FN3
C
D
Fx 0 FN3 FC FD 0 FN3= 5F，
FC
FD
FN4
D
求CD段内力：
Fx 0 FN 4 FD 0
FN4= F
FD
FN1 2F, FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
M
M
取左段为研究对象：
M 0, T M 0 M x
Tx
T M
取右段为研究对象：
截面法是求杆件内力的基本方法
一、概述截面法是工程力学中用于求解杆件内力的基本方法之一。
在工程结构分析和设计中，了解截面法的原理和应用是至关重要的。
本文将深入探讨截面法的基本概念、原理和应用，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
二、截面法的基本概念1.1 概念简介截面法是工程力学中用于分析杆件内力的一种方法，它基于杆件内力平衡的原理，通过考察杆件的截面上的内力分布情况来求解杆件的内力。
1.2 截面法的基本原理截面法基于力的平衡原理，即在杆件的截面上，杆件的内力必须满足横向平衡和转矩平衡的条件。
通过分析截面上的内力分布情况，可以确定杆件内的弯矩、剪力和轴力。
1.3 截面法的应用范围截面法适用于各种杆件的内力分析，包括梁、柱、桁架等结构中的杆件。
在工程实践中，截面法常常用于分析结构内部的受力情况，为结构设计和分析提供重要依据。
三、截面法的具体步骤2.1 确定截面在应用截面法时，首先需要确定分析的截面位置。
通常情况下，选择距离受力部位较近的位置作为截面。
2.2 绘制内力图在截面上绘制出杆件内的剪力图和弯矩图，根据平衡条件和力学原理，确定内力的方向和大小。
2.3 计算内力根据绘制的剪力图和弯矩图，可以直接求解出截面上的剪力、弯矩和轴力大小。
这些内力是杆件在该截面上的受力情况的表示。
2.4 检验平衡通过检验内力图的平衡条件，验证所得的内力是否符合力学平衡定律。
如果内力满足平衡条件，则认为截面法计算是正确的。
四、截面法的应用举例3.1 梁的截面力分析以简支梁为例，说明如何利用截面法分析梁的内力情况。
根据距离支座较近的位置选择截面，绘制剪力图和弯矩图，并计算出截面上的内力情况。
3.2 柱的截面力分析以等截面柱为例，说明如何利用截面法分析柱的内力情况。
通过选择适当位置的截面，绘制出内力图，计算出截面上的轴力和弯矩。
五、截面法的优缺点4.1 优点截面法简单直观，易于理解和应用。
通过截面法可以直接得到截面上的内力分布情况，为结构的受力分析提供了重要依据。
02截面法求内力基本方法
ED杆内力如何求?
小结：
熟练掌握 计算桁架内力的基 本方法： 结点法和截面法
采取最简捷的途径计算桁架 内力
如何 计算？
FP
返 回 章
静定组合结构
特点 既有桁架杆，又有弯曲杆 一般有一些关键的联系杆
求解的关键点 选择恰当方法解决关键杆内力计算 选择截面时，必须注意区分两类杆
组合结构的计算
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
内力图-表示结构上各截面内力值的图形
横坐标--截面位置；纵坐标--内力的值
结构力学规定
正
MAB A端
FNAB
FQAB
一、根据维数分类 1. 平面（二维）桁架（plane truss） ——所有组成桁架的杆件以及荷载的作 用线都在同一平面内
2. 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
二、按外型分类 1. 平行弦桁架 2. 三角形桁架 3. 抛物线桁架 4. 梯形桁架
截面法求内力讲解
解： 1. 确定支座反力
B Fx 0 MA 0
FBy
Fy 0
FAx 0 2FPa FPa FBy 3a 0 FAy FBy 2FP 0
FBy
FP 3
FAy
5FP 3
2FP FQE
A 5FP
C E ME
3
Fy 0
2FP
FQE
5FP 3
0
C
a
FAy
b l
FPb l
+
FP a
-
l FQ图
FPab M图
l
B FBy
A FPb
l
FQ
M
MA 0
Fy 0
FBy
FP a l
FAy
FPb l
FQ
FQ
FPb l
(0 x a)
M
M FPb x (0 x a)
l
B
FQ
FP a l
(a x l)
FPa M FPa (l x)
平: 对留下部分写平衡方程求出内力的值
FQ(+)
FQ(+)
M(+)
M(+)
（1）平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 （2）取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量
例1 求E截面内力
A FAx
FAy
2FP FPa
C
D
1.5a E
a
a
a
2. 用截面法研究内力
M JK J
F QJK
M JK J
简述截面法求内力的步骤
截面法求内力的步骤简介截面法是一种用于计算结构内力的方法，广泛应用于工程领域。
它通过将结构切割成若干个截面，分析每个截面上的受力情况，从而确定结构中各个部分的内力分布。
本文将详细介绍截面法求内力的步骤，包括确定切割截面、计算受力平衡、绘制剪力图和弯矩图等内容。
步骤一：确定切割截面在进行截面法计算之前，首先需要确定切割截面的位置。
通常情况下，选择合适的切割截面位置可以简化计算，并且使得结果更加准确。
切割截面的位置应该选择在结构受力变化较大或者存在集中荷载作用的地方。
步骤二：计算受力平衡在确定了切割截面之后，需要对每个切割截面进行受力平衡计算。
根据静力平衡原理，对于一个处于静止状态的结构，在任意一个切割截面上受到的外部作用力和内部反作用力之和应该为零。
可以利用受力平衡方程来计算切割截面上的内力。
步骤三：绘制剪力图剪力是指结构中某一截面上的内力，它与截面上的受力平衡有关。
在截面法求解内力时，常常需要绘制剪力图。
剪力图是以结构轴线为横坐标，剪力值为纵坐标的图形表示。
绘制剪力图的步骤如下：1.选择合适的坐标系，通常选取结构轴线作为横坐标。
2.根据受力平衡计算出每个切割截面上的剪力值。
3.将计算得到的剪力值绘制在相应位置上。
4.连接各个点，即可得到完整的剪力图。
步骤四：绘制弯矩图弯矩是指结构中某一截面上的内力，它与截面上的受力平衡和几何形状有关。
在截面法求解内力时，常常需要绘制弯矩图。
弯矩图是以结构轴线为横坐标，弯矩值为纵坐标的图形表示。
绘制弯矩图的步骤如下：1.选择合适的坐标系，通常选取结构轴线作为横坐标。
2.根据受力平衡和几何形状计算出每个切割截面上的弯矩值。
3.将计算得到的弯矩值绘制在相应位置上。
4.连接各个点，即可得到完整的弯矩图。
步骤五：计算其他内力除了剪力和弯矩之外，还有其他一些常见的内力需要计算，如轴力、扭矩等。
根据受力平衡和结构几何形状，可以通过类似的方法计算出这些内力，并绘制相应的图形。
步骤六：分析结果在完成内力计算之后，需要对结果进行分析。
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A
J
lJK
K
B 支梁，作出简支梁在外荷载作用下的弯矩 图，叠加到基线上（弯矩竖标叠加），最
后所得图线就是实际的弯矩图。
M JK J
F QJKMຫໍສະໝຸດ JK JF Jy1lJK
J M JK
截面法
q
M JK
lJK
K
M KJ 受力等效
J
F QKJ
F Jy
荷载叠加
M JK
M KJ K
J
JJ
K
M JK
FKy1 FJy2
M
L C
80 kN
m
（3）计算点C右截面的内力
C
M
R C
40kN FNRC 0 FQRC 40kN
M
R C
80 kN
m
内力图：表示结构上各截面的内力随横截面位置变化规律的图形。
列方程作内力图
FP x
A
Ca B
l
FP
+
FQ图 FP(l-a)
截面法
剪力方程 弯矩方程
FQ FQ x M Mx
FQ B
时，先分别作出各荷载单独作用 下的内力图，再将各个内力图的 竖标相叠加（代数和），便得到 各荷载共同作用下的内力图。
2FP FPa
AC
DB
a
a
a
2FP AC
DB
a
a
a
FPa
AC
DB
a
a
a
用分段叠加法绘弯矩图
对于直杆区段，用截面法求出该段两
端的截面弯矩后，将两个竖标的顶点以虚
FP
q
M 线相连，并以此为基线，再将该段作为简
x
q=20kN/m
F Ax
A
C
FP=40kN DB
FAx 0 FAy 70kN() FBy 50kN()
F Ay 70 +
A
A
4m
2m 2m
F By
A
EC D 10 10 -
B 70
50 50
FQ
FQ图（单位kN）
M
F EC D B
q FQ FQ 70 20x
M 70x 10x2
M
40 B
FQ 10
50 M 160 10x
(0 x 4) (0 x 4)
(4 x 6) (4 x 6)
100 120 100 122.5
M 图（单位kN.m）
FQ M
B
FQ 50 (6 x 8)
50 M 400 50x (6 x 8)
叠加法
条件：结构线弹性、小变形
荷载叠加法： 当结构上同时作用有许多荷载
3a 2
0
ME
3FP a 2
FQE FPa
D
B
ME E
FP
Fy 0
3
FQE FBy 0
FQE
FP 3
ME 0
ME
FP a
FP 3
3a 2
0
ME
3FP a 2
例2 图示为在截面C处承受一斜向集中力的简支梁。试求截面 C处左、 右两截面的内力。
（1）计算梁的支座反力
(a) (a)
F F
Ax Ax
平: 对留下部分写平衡方程求出内力的值
FQ(+)
FQ(+)
M(+)
M(+)
（1）平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 （2）取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量
例1 求E截面内力
A FAx
FAy
2FP FPa
C
D
1.5a E
a
a
a
2. 用截面法研究内力
6600FkkNNAy
2m
A
6044k00NkkNN A
CCMMMFFCLCCLLQQ2LLCCmFFF
L NLC NC
L NC
F By
40kN FFACCRR
F
CRMM
R CR C
C CCFFFFQQQRQRRCCCLC
BB B4400kkNN
（2）计算点C左截面的内力
FNLC 60kN
FQLC 40kN
A
B
l
ql
+
FQ图
1 ql 2 2
1 ql 2 8
M图
FQ q M
FQ＝qx 0 x l
B
M＝ 1 qx2 2
0 x l
x FP
A
C
a
FAy
b l
FPb l
+
FP a
-
l FQ图
FPab M图
l
B FBy
A FPb
l
FQ
M
MA 0
Fy 0
FBy
FP a l
FAy
FPb l
FQ
FQ
FPb l
(0 x a)
M
M FPb x (0 x a)
l
B
FQ
FP a l
(a x l)
FPa M FPa (l x)
l
l
(a x l)
x A FAy
M0
C
B
a l
b FBy
MA 0
Fy 0
FBy
M0 l
FAy
M0 l
M0 l
+
FQ图
M 0b l
M 0a l
M图
A M0 l
FQ
M
FQ
lJK
FKy2 F Jy
M KJ
K+
ql2 8
=J M JK
q M KJ
K
lJK q
ql2 lJK8
FQ
M0 l
M M M0 x
l
(0 x a) (0 x a)
B
FQ
M0 l
(a x l)
M 0 M M 0 (l x) (a x l)
l
l
x
A FAy
ql 2
+
q l
FQ图
ql 2 8
M图
B
MA 0
FBy
ql 2
FBy
Fy 0
FAy
ql 2
-
q FQ
ql FQ 2 qx
解： 1. 确定支座反力
B Fx 0 MA 0
FBy
Fy 0
FAx 0 2FPa FPa FBy 3a 0 FAy FBy 2FP 0
FBy
FP 3
FAy
5FP 3
2FP FQE
A 5FP
C E ME
3
Fy 0
2FP
FQE
5FP 3
0
FQE
FP 3
ME 0
ME
2FP
a 2
5F 3
受弯构件
M
M
梁：以弯曲变形为主的构件
纯弯曲
P/2
P/2
P
剪切和弯曲
静定梁的基本形式
(a)
简支梁
(b)
伸臂梁
(c)
悬臂梁
计算杆件内力的基本方法：截面法
m
A
m
l
M FN
FQ
FN(+)
FN(+)
切: 假想沿指定横截面将杆切开
B 留: 留下左半段或右半段，标注荷载和反力
代: 将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替
M
FQ＝0
M＝0
0 x a
0 x a
FQ FP B
C M
FQ＝FP a x l
M＝ FP (x a) a x l
M图
M0 x
A
C
B a
l
FQ图 M0 M图
FQ B
M
FQ＝0
M＝0
0 x a
0 x a
FQ M0 B
C M
FQ＝0 a x l
M＝M0 a x l
x q
AA
FFF44PPP33===1CC11000000kkkNNN
BB
(a)
F Ax A
FF
Ay Ay
22mm43 C
22mm
B
FF
By By
Fx 0 : FAx 60kN( ) MB 0: FAy 40kN()
Fy 0 : FBy 40kN()
((bb)) (b) ((cc)) (c)
(0 x l)
ql
A
2
ql
2
M
M ql x q x2
(0 x l)
22
FP
M0
FP
FQ图
+
FP(l-a)
M图
M0
FP 内力图形状特征 M0
FPb l
+
FQ图 FPa
-
l
M0 l
+
M 0b l
M图
FP ab l
M 0a l
q
ql
+
1 ql 2 2
1 ql 2 8
q
ql 2
+ ql -
2
ql 2 8