截面法求内力完整版本
第二章 杆件的内力.截面法(第1、2、3节)
外 无外力段
力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变 无变化
FS 图
FS
特
征
x
FS >0
FS
FS
x
x
FS <0 增函数
FS
FS FS1
C
x
FS2
x
降函数 FS1–FS2=P
FS
C x
M
斜直线
曲线
自左向右折角 自左向右突变
图M
M
M
M
M
与 M M1
特
x
x
x
x
xm
x
求：外力偶矩Me ( N·m)
解：PMe
n 30
P1000Me3n0
由此求得外力偶矩：
Me
Me
P103 00 P
M e
n
954 (N .9 m) n
若传递功率单位为马力（PS)时, 由于PS=735.5N·m/s
Me
702P4(N.m) n
杆件的内力.截面法
对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般至少有一根对称 轴，因而整个杆件有一个包含轴线的纵向对称面。 若所有外力都作用在该纵向对称面内时，梁弯曲变 形后的轴线将是位于该平面内的一条曲线，这种弯 曲形式称为对称弯曲。
注意 1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正 的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为正 （拉力）； FN值为负，说明轴力为负（压力）。
2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖 面线形式；并注上 符号 或 。
第二章 杆件的内力.截面法(第1、2、3节)
1.截面法(Method of sections) （1）截 F 在求内力的截面m-m 处, 假想地将杆截为两部分. m m F
（2）取 取左部分部分作为研 究对象. （3）代 弃去部分对研究对象 的作用以截开面上的内力 F m F
M M M M 图 M x x x x x 特 征 增函数 降函数 盆状 伞状 折向与P反向
水平直线
斜直线
自左向右突变 FS F 1
无变化
与 m 同
MM 1
x
M2 M1 M 2 m
或
弯矩图 的特征
一般斜直线 下凸的二 次抛物线 或
在C处有突变
与 m 同
最大弯矩 所在截面 可能位置
在FS=0的截面
在剪力突变 的截面
在紧靠C的某 一侧截面
m
剪力、弯矩与外力间的关系 外 力 无外力段
q=0
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
P C
集中力偶
m C
FS FS FS FS FS FS S 图 C C 特 x x x x x x FS2 征 FS >0 FS <0 增函数 降函数 FS1–FS2=P 自左向右折角 自左向右突变 斜直线 曲线 M
m F m m FN
代替,合力为FN .
（4）平 对研究对象列平衡方程
式中：FN 为杆件任一横截面 mm上的内力.与杆的轴线重合，
即垂直于横截面并通过其形心,
称为轴力(axial force)。
FN = F
注意 1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正 的轴力，由平衡方程得出的FN值为正，说明轴力为
截面法求杆件的内力
截面法求杆件的内力教学目标：1、理解和掌握求杆件内力的方法——截面法；2、熟练运用截面法求不同杆件受到拉伸时的内力。
教学重点：截面法求杆件内力的步骤。
教学难点：如何运用截面法求内力的方法解决工程力学中求内力的实际问题。
教学方法：提出问题——实例演示——练习点拨——归纳总结教学过程：一、复习旧知1、杆件有哪几种基本变形？2、拉伸和压缩的受力特点是什么？3、拉伸和压缩的变形特点是什么？二、新课讲解思考：当杆件受到拉伸、压缩时，就会在杆件内部产生力的作用，怎样才能确定杆件的内部会产生多大的力？（引出课题）出示本节课的学习目标。
（一）、教学什么是杆件的内力？内力：杆件在外力作用下产生变形，其内部相互间的作用力称为内力。
一般情况下，内力将随外力增加而增大。
当内力增大到一定限度时，杆件就会发生破坏。
内力是与构件的强度密切相关的，拉压杆上的内力又称为轴力。
（二）、教学截面法求杆件的内力。
1、什么是截面法？截面法：将受外力作用的杆件假想地切开，用以显示内力的大小，并以平衡条件确定其合力的方法，称为截面法。
它是分析杆件内力的唯一方法。
2、实例演示：如图AB 杆受两个力，一个向左，一个向右，大小均为F 。
作用点分别为A 和B 。
①、确定要截开的次数和位置（要根据杆件的受力情况而定） ②、选取一半截面为研究对象（一般选取受力较少的一段作为研究对象）③、假设出截面上的内力（取左段内力向右设，取右段内力向左设，方向跟坐标轴方向一致，左负右正、下负上正）④、用平衡方程求出截面上的内力（求出的内力为正值为拉力，负值为压力）取左段 ∑Fx=O －F ＋FN ＝0 取右段 ∑Fx=O F －FN ＝0FN ＝F FN ＝F 3、总结截面法求杆件内力的步骤：（1）截：在需求内力的截面处，沿该截面假想地把构件切开。
（2）取：选取其中一部分为研究对象。
（3）代：将截去部分对研究对象的作用，以截面上的未知内力F F N来代替。
（4）平：根据研究对象的平衡条件，建立平衡方程，以确定未知内力的大小和方向。
02截面法求内力基本方法
0 -33 34.8
19
19
Y 0 YNAD 11 kN YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5 X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0 -33
-33
34.8 -8
19
19
0 -33
-33
34.8
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
Mq
M+dM
dx
FN
dx
FN+d FN
FQ
FQ+dFQ
dM dx
FQ ,
dFQ q( x), dx
dFN p( x) dx
集中力
梁上 无外力 均布力作用 集中力作用 偶M作 铰处
情况
(q向下)
处(FP向下) 用处
斜直 剪力图 水平线 线(
)
为 零 处
有突 变(突 变值=
FP)
如 变 号
无 无变化 影
响
一般 抛物 有 有尖 有 有突变
弯矩图 为斜 线(
极 角(向 极 （突变 为零
直线 下凸) 值 下） 值 值=M）
曲杆微分关系
曲杆微段
dFN ds
=-qt+
FQ R
dFQ ds
=qn-
FN R
dM ds
=FQ-m
求内力基本方法：截面法
材料力学规定： 轴力FN --拉力为正 剪力FQ--绕隔离体顺时针方向转动者为正
弯矩M--使梁的下侧纤维受拉者为正
M
M+dM
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法
试述求杆件横截面上内力的截面法步骤和方法1. 了解截面法哎，说到工程力学里的截面法，别让这些名字吓坏了，其实就是一种找出杆件内部力量的简单方法。
咱们平常接触的建筑物、桥梁，或者一些机械构件，都是通过这种方法来确保它们的稳固和安全的。
这个方法简单来说就是用“剪刀”切一刀，把杆件“分尸”，然后分析切面上受力的情况。
好比是咱们剥苹果皮，剥开之后看里面的果肉，这样能更清楚地了解苹果的质量。
2. 截面法的步骤2.1 选取截面首先，挑选一个合适的截面，瞅准了方向之后，就下手了。
这个步骤就像在你脑子里画出一条切割线。
你得选择一个合适的位置，把杆件从中间“切开”。
这里要注意，选取的位置一定要使得切面上的力易于计算。
如果这个位置选错了，结果就像你在黑暗中找钥匙一样，费劲不讨好。
2.2 画出受力图接下来，别忘了给这片“切面”画上图。
要把杆件切开后，分离出的部分的受力情况画出来。
图上得标明各种内力，比如剪力、轴力和弯矩等等。
这些力就像是在打游戏时，你需要记录你的角色的状态和装备一样，你要准确记录这些力的情况，这样才能确保你计算的准确。
2.3 列出平衡方程然后，你就要写平衡方程了。
平衡方程是用来保证杆件在切开时的受力状态是平衡的，不会乱七八糟。
这些方程包括了力的平衡、力矩的平衡等。
就像你玩积木，如果要保持积木塔不倒，就得仔细计算每一块积木的放置位置。
2.4 解方程找内力最后，你要解这些方程，找出杆件内部的力量。
就像做数学题一样，把方程算出来，你就能得到具体的内力数值。
这个步骤可不能马虎，不然得到的结果就像是空话，没有实际意义。
3. 截面法的应用3.1 结构分析截面法在结构分析中的应用非常广泛。
无论是大桥、小楼，还是家里的门框，都是用这个方法来确保结构的安全性。
就像是大厨做菜，得先知道每种材料的用量和比例，才能做出美味的菜肴。
工程师用截面法就像是这个大厨，通过计算内力，确保建筑的稳定性和安全性。
3.2 机械设计在机械设计中，截面法也是必不可少的。
截面法求桁架杆件内力
截面法1截面法可以快速求出某一内力，通常取结构 的一部分为隔离体，其上力系为平面一般力系。
每个隔离体上有3个独立平衡方程。
一般表示 为： ∑ FX = 0 投影法 ∑ FY = 0 力矩法 ∑M = 0 计算要点： 尽量使一个方程解一个未知数，避免求解 联立方程。
一. 力矩法例：求图示桁架1、2、3杆的轴力。
2VAVB解：由整体平衡条件求得支座反力 VA=VB HA=0作Ⅰ--Ⅰ截面,截开1、2、3杆的轴力 取截面以左为隔离体。
Ⅰ3Ⅰ（1）求1杆轴力N1K14选取未知力N2和N3 延长线的交点K1作 为取矩点。
N1 对K1点取矩，由 ∑MK1 = 0 从而求出所求未知 力N1。
VA（2）求2杆轴力N2N2 K2 VAY252X2由∑MK2 = 0 ,比例关系从而求出所求未知力Y2。
2杆轴力N2（3）求3杆轴力N3Y3 N3 X3K3 VA6由 ∑MK3 = 0比例关系从而求出所求未知力X3。
3杆轴力N3力矩法要点：7欲求某指定杆内力，则作一截面，截开待求 杆； 隔离体上除所求未知力外，其余未知力的延 长线均交于某一点K。
对K点取矩，从而求出所求未知力 。
（1）选择其余未知力延长线的交点K作为取矩 点，从而用∑MK=0，求出指定杆内力。
（2）将斜杆的内力放在某一个合适的点上分 解，使其一个分力通过取矩点K。
例1. 求图示桁架杆件a、b、c的轴力890kN30kN作Ⅰ—Ⅰ截面Ⅰ9Ⅰ求NaNa 求Na时，对另 外两个未知力的 交点C取矩，10C由 ΣMc＝0，得 Na×4＋30×8＝030kN解得： Na =－ 60kN求NbD Xb E Yb Nb30kN11求Nb时，对点D取矩。
将Nb 其在E点处分解 为水平和竖向分量。
由ΣMD＝0，得 Yb×12＋40×4 － 30×12＝0 解得 Yb＝16.67 kN由比例关系得到：N b = 2Yb = 2 × 16.67 = 23.57kN求NcYc XcD Nc12求Nc时，对点E取矩。
截面法计算内力的步骤
截面法计算内力的步骤截面法计算内力的步骤如下：1.确定截面：根据结构的几何形状和所需计算的截面位置，确定需要计算的截面。
2.建立截面坐标系：在确定的截面处，建立适当的坐标系，通常使用弯矩轴线和剪力轴线作为坐标轴。
3.计算剪力：在截面上计算受力情况，包括剪力和轴向力。
剪力可以通过受力平衡或应力分布方法进行计算。
4.计算弯矩：在截面上计算受力情况，包括弯矩和轴向力。
弯矩可以通过剪力和轴向力的计算结果进行进一步计算。
5.建立平衡方程：根据截面上的剪力和弯矩的计算结果，建立平衡方程。
平衡方程可以根据结构的具体情况建立，通常需要考虑截面上的所有力和力矩的平衡条件。
6.解平衡方程：解平衡方程以确定未知内力。
解方程时可能需要考虑结构的刚度和惯性等物理特性。
7.确定内力值：根据解出的未知内力和已知的剪力和弯矩的计算结果，确定内力值。
内力可以是拉力或压力，也可以是弯矩。
以上步骤可以帮助您使用截面法计算内力。
需要注意的是，具体的计算步骤可能会因结构的不同而有所差异，因此在进行内力分析时需要结合具体情况灵活运用各种方法。
截面法计算内力的优点和缺点如下：优点：1.简单易行：截面法是一种简单直观的方法，易于理解和计算。
2.可适用于多种结构形式：截面法可以适用于多种结构形式，如梁、板、柱等，因此在工程实践中得到广泛应用。
3.可以考虑多种内力：截面法不仅可以计算剪力和弯矩，还可以考虑拉力、压力等其他内力。
4.可用于静力分析和动力分析：截面法不仅可用于静力分析，即求结构在恒定载荷下的内力，还可用于动力分析，即求结构在动载荷下的内力。
缺点：1.精度有限：截面法是一种近似方法，其精度取决于所取的截面和所用的简化假定。
对于复杂结构，可能需要采用更精确的方法进行内力分析。
2.对经验要求高：使用截面法进行内力分析需要具备一定的工程经验和对结构的理解，否则可能会出现误差或遗漏。
3.对初始条件敏感：截面法的计算结果对初始条件（如初始剪力和弯矩）较为敏感，因此在进行内力分析时需要注意初始条件的设定。
截面法求内力讲解
解： 1. 确定支座反力
B Fx 0 MA 0
FBy
Fy 0
FAx 0 2FPa FPa FBy 3a 0 FAy FBy 2FP 0
FBy
FP 3
FAy
5FP 3
2FP FQE
A 5FP
C E ME
3
Fy 0
2FP
FQE
5FP 3
0
C
a
FAy
b l
FPb l
+
FP a
-
l FQ图
FPab M图
l
B FBy
A FPb
l
FQ
M
MA 0
Fy 0
FBy
FP a l
FAy
FPb l
FQ
FQ
FPb l
(0 x a)
M
M FPb x (0 x a)
l
B
FQ
FP a l
(a x l)
FPa M FPa (l x)
平: 对留下部分写平衡方程求出内力的值
FQ(+)
FQ(+)
M(+)
M(+)
（1）平衡方程的正负和内力的正负是完全不同性质的两套符号系统。 （2）取简单部分作为隔离体，列平衡方程时，尽量使一个方程含有一个未知量
例1 求E截面内力
A FAx
FAy
2FP FPa
C
D
1.5a E
a
a
a
2. 用截面法研究内力
M JK J
F QJK
M JK J
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§7－2 拉 伸 和 压 缩 时 截 面 上 的 内 力
二、截面法求内力
前面学过的方法已经不能求内力了， 为了确定在外力作用下构件所产的内 力的大小和方向，我们采用了一种新 的方法——截面法
截
1、确定外力个数及作用点
面
法
求
内
力 如图AB杆受两个力，一个向左，一个向右，大小均为 的 F。作用点分别为A和B。
当杆件受外力作用时，各颗粒间的相对位置将 会发生改变，引发颗粒间内力也要变化。我们把这 种杆件内部由于外力作用而产生的相互作用力的改 变量称为内力。而且内力与外力的关系是：内力是 因外力而产生的（当外力解除时，内力也随之消失） 外力越大，内力越大，当内力超过一定限度，工件 就会产生破坏。
其大小和分部情况与杆件变形、破坏有密切联 系，所以我们必须把内力求出。
注：外力有两种
步 一、载荷：在图上用“→”标出，并注明大小的那个。 骤 二、约束反力：图上未标出，要自己分析。有约束反
力的地方必画有除研究对象以外的物体。
截
2、确定要截开的次数和位置
面
法
求
1
内
力
1
的 以外力的作用点为分界点，将杆件分段。每段必须也
步 骤
只需截开一次。在截开前我们在原图上标出截面， 并按1－1、2－2、3－3……命名。
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力 解：－F＋FN1＝0 的 FN1＝F（拉） 步 注： 骤 1 、力正负的规定：
列方程时，左负右正，下负上正。和坐标轴的 规定一致。
2 、求出的结果为正值表示受拉伸，负值表示压缩。
练习题
练 习 题
作业
布 第七章：
置 ➢ 一、1-5
作 业
➢ 二、1-5 ➢ 三、1-5 ➢ 四、1-4
➢ 五、1、5、6
截
4、假设出截面上的正应力
面
法
求
内
力 为了保证所截部分仍然保持静止，必须假设出截面上 的 的内力。并以其所在截面的名称对其命名。
步 注：内力的假设原则
骤 1、拉、压时内力垂直于截面。 2、选左边为研究对象，内力向右设；选右边为研究
对象，内力向左设。
截
5、用平衡方程求出截面上的内力
面
法
求
内 列出平衡方程，求出横截面上的内力。
拉伸和压缩的概念和截面法求内力
课件
新乡市高级技工学校（三技校） 赵志强
复习提问
1、材料力学的内容、研究对象和任务 分别是什么？
2、什么是承载能力？它有哪三个衡量 面？分别表示什么意义？
3、杆件有哪几种基本变形？
§7－1 拉
拉伸和压缩的受力特的特点：作用在杆端的两外力（或外力的合力） 念 大小相等，方向相反，力的作用线与杆件的轴线重
截
3、假设截面截开选一半为研究对象
面
法
求
内 按顺序从1－1截面开始，假设截面截开，选一半为研 力 究对象，并另行画出所选部分的视图。
的 注：选哪一半为研究对象的原则 步 1、哪一半无约束反力（在原图上不和其它物体接
触），选哪一半为研究对象。
骤 2、哪一半受力简单（受力少），选哪一半为研究对 象。
3、如果以上两条两边都一样，那么随便选哪一边都 可以。
合。
§7－1 拉
拉伸和压缩的变形特点
伸
和
压
缩
的
概 变形的特点：杆件沿轴线方向伸长（拉伸时）或缩短 念 （压缩时）。
§7－2 拉 伸 和 压 缩 时 截 面 上 的 内 力
一、内力的定义
物体是由无数颗粒（原子）组成的，在其未受 外力作用时就存在相互作用力（引力和斥力），以 维持它们之间的联系及物体的原有形状。