4.3.3静定平面桁架(结点法和截面法的联合应用)
平面简单桁架内力计算
截面法
假想用一截面截取出桁架的某一部分作为研究对象求解方法
1. 被截开杆件的内力成为该研究对象外力，可应用平面一
求
解
般力系的平衡条件求出这些被截开杆件的内力。
要 2. 由于平面一般力系只有三个独立平衡方程，所以一般说 点
来，被截杆件应不超出三个。
适用于求桁架中某些指定杆件的内力
平面简单桁架内力计算
平面简单桁架内力计算
1.桁架：一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构。
按 平面桁架：所有杆件的轴
空间桁架：杆件轴线不
空 间
线都在同一平面内的桁架；
在同一平面内的桁架。
形
式
分
类
所有杆件、结点、荷载和反力都共面。
平面简单桁架内力计算
按内力计算分类 静定桁架:杆件的内力可用静力平衡方程全部求得的桁架。 超静定桁架:杆件的内力不能用静力平衡方程全部求得的桁架。
即表示该杆受压。
节点法适用于求解全部杆件内力的情况
平面简单桁架内力计算
1.节点法：逐一取桁架节点 为研究对象，利用平面汇交 力系的平衡条件求解桁架杆 件内力的方法。
F1
3
5
R1X 1
4
6
ห้องสมุดไป่ตู้
R1y
F2
7
2 8
R2y
N13 R1X
N14
R1y
F1
3
N35
N31
N36
N34
N43
N41
N46
4
平面简单桁架内力计算桁架的内力计算
2.截面法
3 F1 N355
F2 7
R1X 1
4 R1y
N36 N46 6
应用平面一般力系平衡条件
结构力学 静定结构的受力分析
第1节 静定平面桁架一、桁架的内力计算方法1、结点法取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。
该法最适用于计算简单桁架。
根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化：（1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。
（2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。
（3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。
推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。
F N3F N3=0F N1=F N2=0F N3=F N4(a)(b)(c)F N4(d)F N3=F PF PN1F F N2F N1F N2F N1F N2F N1F N2F N3F N3F N1=F N2，F N1=F N2，F N1=F N2，图2-2-1（4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。
例如图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。
1A2F PF PAF PF PBF PF PBA(b)(a)X =0图2-2-2 图2-2-3（5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。
如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。
（6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。
如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。
其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。
§3-5 静定平面桁架
FNDE = −5.4 KN ⇒ FNDF = 37.5 KN
E
-33KN -5.4KN
∑F ∑F
x y
=0 =0
【例3.8】 试求桁架的内力图
4 4
O
7
O O O
2
3m
1 9
7 6 8 3 2
O O O6 N1 N1 N1 1 9 8 3 O N2 P
5
2m
P
5
Step2：求各杆内力
4m 4m 0
根据以上假设，理想桁架中各杆 均为二力杆（轴力杆、链杆） 实际桁架 理想桁架
按理想平面桁架计 算得到的应力 实际桁架与理想桁 架间的差异引 起的 附加内力
主内力
次内力
弦杆
上弦杆 下弦杆 竖杆 斜杆
2 桁架的组成
腹杆
节间长度、跨度、桁高 3 桁架的分类
平行弦桁架 按外形分 折弦桁架 三角形桁架 梁式桁架 (无推力桁架) 按支座反力 的性质分 拱式桁架 (有推力桁架)
综上所求，得： FNa = −16 .67 KN
FNb = −26 .67 KN FNc = 16 .67 KN
【例3.10】 试求1、2、3、4杆
的内力
P
I
Step2： 截面法求指 定杆内力
Ⅰ—Ⅰ截面
P
J 4 Ⅰ a
Ⅰ
H G 3 1 A a B a
Ⅱ P Ⅲ P
a F 2 E I
P
J
∑ MG = 0 ⇒
1 桁架定义及其特点
实际桁架 结点 轴线 荷载 材料 介于铰于刚结之间 不能绝对平、直；各杆也不一定完 全相交于一点。有个结合区 非结点荷载：自重、荷载、支反力 弹塑性材料 理想桁架（计算简图） 所有结点为理想铰，光滑、无摩擦 绝对平直、一平面内、通过铰的中心 （理想轴） 结点荷载 线弹性材料，小变形
403建筑结构与建筑设备【讲义】 (11)静定结构的内力分析
第五节静定结构的内力分析四、静定平面桁架静定桁架是由若干根直杆在其两端用铰连接而成的静定结构。
在结点荷载作用下，桁架各杆均为只受轴力的二力杆。
静定桁架架内力分析的一般步骤是先求支座反力，再计算杆件内力。
计算杆件内力（轴力）的基本方法是结点法和截面法。
1 ．节点法和截面法截取析架的结点为隔离体，利用各结点的静力平衡条件来计算各杆件内力的方法，称为结点法。
对每一结点，可列出两个独立的投影平衡方程进行解算。
桁架计算中的截面法与其他结构计算的截面法原理相同。
截面法截取的隔离体上的各力（包括荷载、反力和杆件轴力）通常组成一个平面任意力系，因此只要未知力不多于三个，就可直接由三个平衡方程求出各未知力。
截面法中的平衡方程可以是力矩方程，也可以是投影方程。
【例 3 一18 】求图3 一47 （a ）所示桁架 1 、2 杆的内力。
该桁架是从一个基本铰接三角形ACF 开始，依次增加二元体FGC 、FDC 、GHD 、GED 、HIE 、H 刀E 和IJB 所组成，这种桁架称为简单桁架。
对于简单桁架，在求出支座反力后，如果采用结点法，则按照撤除二元体的顺序依次选取结点（本例可按J , I , B , H , E , G , D , C 顺序取），即可顺利求出所有杆件的内力。
本例只需求两根指定杆件的内力，为简化计算，可以联合应用结点法和截面法。
利用结点法，由结点I 可直接求出腹杆IE 的内力，再由结点 E 可求得1 杆的内力。
有了 1 杆的内力，在该杆所在节间截开，利用截面法可求得 2 杆的内力。
（ 1 ）求支座反力由整体结构的∑M A=0和∑M B=0 ，可得由∑Y=0校核计算无误。
（2 ）求2 杆内力取出结点I （图 3 -47b ），根据∑Y=0，有再取结点E （图3 -47c ），由∑Y=0得（3 ）求1 杆内力作截面m-m，并取左半部分为隔离体（图3 -47 d），根据∑Y=0。
有结点法和截面法是析架内力计算的通用方法。
静定结构的内力—静定平面桁架(建筑力学)
截断的五根杆件中，除杆ED外，其余 四杆均汇交于结点C，由力矩方程 ΣMC=0即可求得FNED。
静定平面桁架的内力计算
（2）欲求图复杂桁架中杆CB的轴力 可用Ⅰ-Ⅰ截面将桁架截开，在
被截断的四根杆件中，除杆CB外，
其余三杆互相平行，选取y轴与此三
静定平面桁架的工程实例和计算简图
1 静定平面桁架的工程实例
桁架是由直杆组成，全部由铰结点连接而成的结构。
屋架
桥梁
静定平面桁架的工程实例和计算简图
纵梁
横梁 主桁架
工业厂房
静定平面桁架的工程实例和计算简图
2 静定平面桁架的计算简图
（1）桁架各部分名称
斜杆 Diagonal chard
弦杆
上弦杆 Top chard
静定平面桁架的内力计算
MD 0 Fx 0
FNc 4 FAy 3 20 3 0 FNc 52.5kN FNbx FNa FNc 0
FNbx FNa FNc 15kN
由比例关系可得
FNb
lb lbxy
FNbx
3.61m 3m
15kN
18.05kN
静定平面桁架的内力计算
主内力：按理想桁架算出的内力，各杆只有轴力。 次内力：实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲，由此引起的内力。
实际桁架不完全符合上述假定, 但次内力的影响是次要的。
静定平面桁架的工程实例和计算简图
3 静定平面桁架的分类
（1）按几何组成规律分类 简单桁架 由基础或一个铰接三角形开始，依
次增加二元体而组成的桁架 联合桁架 由几个简单桁架按照几何不变体系
第五章 静定桁架
4m
a
D
A
60kN
b
M
A
0, VB 6 60 9 0
VB 90kN ()
c
B
3m 3m VB
HA
3m 3m VA
Y 0, X 0,
VA VB 60 0
VA 30kN ()
HA 0
第五章 静定桁架
[例5-3]用截面法求图示桁 架a、b、c三杆的内力。 4m
1)判别零杆 2)由结点法求内力
D
P
图5-10
B
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆 p p
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
P P P
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
P
第五章 静定桁架
思考/讨论：试判断下图所示桁架结构中的零杆
F 2
30
o
NAD NAC
RA 2F
N AD 3F N AC 2.598 F
(压力） (拉力）
x
第五章 静定桁架
练习：试求图示桁架的各杆内力
(2)求各杆内力
取D结点为脱离体，列结 点平衡方程： Y 0,
- F cos 30 N DC 0
2F
y
2F
x
N DC 0.866 F
第五章 静定桁架
3、按桁架受竖向荷载作用有否水平反力分为
a、梁式桁架
b、拱式桁架
第五章 静定桁架
§5-2 静定平面桁架的计算
一、结点法： 以结点作为研究对象来计算结构内力的方法 结点法的计算要点：
节点法和截面法
F
0, NDF
NDA
P
2 / 2 2应2把P 轴力标在杆件旁.
F
0, NDE
2P / 2
结点法列力矩方程
P
P
H
P
P / 2 N AD
Y AD P / 2 N AD
3a P / 2 P F D
JP L
XA A YA
C EG 6a
IK
X A 0 YA 3P YB 3P
结点单杆:利用结点的一个平衡方程可求出内力的杆件
单杆
单杆
零杆:轴力为零的杆
0 0
例:试指出零杆
P
受力分析时可以去掉零杆, 是否说P该杆在结构中是可 有可无的?
0 0
练习:试指出零杆
P
P
0 0
P 0
0
练习:试指出零杆
P P
P
P P
P
P
P
P
P
P P P
P
P
结点法的计算步骤:
1.去掉零杆
2.逐个截取具有单杆的结点,由结点平衡方程求轴力.
简单桁架
联合桁架
简单桁架
复杂桁架
二、结点法
取隔离体时,每个隔离体只包含一个结点的方法. 隔离体上的力是平面汇交力系,只有两个独立的平衡方程 可以利用,固一般应先截取只包含两个未知轴力杆件的结点.
P
PHP
3a P/ 2 D P F
JP L P/2
B
XA A
C EG IK
6a YA
YB
1.求支座反力
P
P
P
P
对称荷载
反对称荷载
四、对称性的利用
桁架求解的几种方法
FA=40kN
a A G III 20kN II H III 20kN I 20kN
6x3m =18m F B= 20kN
C
隔离体，由ΣMF=0，得： F ×4-20×3-40×3 = 0，
图5-12
4m
B
(2) 取结点H为隔离体，由ΣFx = 0， 得：FNGH =FNHC = 45 kN (3) 作截面Ⅱ-Ⅱ，仍取左部分为隔离体，由ΣMF = 0，得 FNa×3/ 13 ×4+45×4-40×3 = 0， FNa = -513 = -18.0 kN 在该题中，若取截面Ⅲ-Ⅲ所截取的一部分为隔离体(图 5-12)，由于ED杆为零，FNED = 0。 由平衡方程ΣMC = 0，可得 FNa×2/ 13 ×3+FNa×3/ ×2+20×3 = 0， 13 FNa = -513 = -18.0 kN 可见，按后一种方法计算更简单。
E
G
(a)
2m
A
D
2kN
C
4kN
F
2kN
B
解：该桁架为简单桁架， 由
于桁架及荷载都对称，故可计 算其中的一半杆件的内力，最 后由结点C的平衡条件进行校 核。 1.计算支座反力。 ΣFx = 0, FAx = 0
(d) (b)
4X 2m =8 m
F A Y = 4kN F B Y = 4kN
FNDE F NAE
60×3-10×3-FNa×3 = 0， FNa = 50 kN
(2) 求上弦杆c的内力时，以a、b两杆的交点D为矩心， 此时要计算FNc的力臂不太方便，为此将FNc分解为水平和
竖直方向的两个分力。则各分力的力臂均为已知。 10 10
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P
P 5N 1 N 5 N2 N1
3、竖杆 1 取结点7为分离体。由于对称：N3=N5 由∑Y=0 得： P N1 N Y5+Y3+ P+N2=0 N5 N3 ∴N2=－P/2
N2
1
2P 2P 2
N6 N3 N4 2
N4
先求斜杆轴力再 求中竖杆轴力！
求 a、b 杆轴力 解：1、由内部X形结点知：P 位于同一斜线上的腹杆内力 相等。 2、由周边上的K形结点 知各腹杆内力值相等，但正 负号交替变化。所有右上斜 杆同号（设为N），所有右 下斜杆同号（设为－N）。 3、取图示分离体：
4.3 静定 平面桁架的内力计算 学习目标：学会用结点法和截面法计算桁 架杆的内力
基本要求：
理解桁架的受力特点及按几何组成分类。 了解几种梁式桁架的受力特点。 熟练运用结点法和截面法及其联合应用， 计算桁架内力。 掌握对称条件的利用、零杆判定及组合结 构的计算。 理解根据结构的几何组成确定计算方法。
sin 1/ 5, cos 2 / 5
a —N N β N N
F
E
—N N
N —N
N N
—N ND
N
d
N —N —N d N 2d
N —N —N
—N N b 2d
N —N N H d
X P 5 N cos 0 4、取F点为分离体
5 N P 10
F Na
X Na 2N cos 0 2 Na P 5
例1、求指定杆的轴力。 先求出反力。
P/2
P 5 Ⅰ1
6
P Ⅱ 7 5 6
2 3
P
P/2
4
1、弦杆
N1= －P N4= P
1
4 2 Ⅰ Ⅱ3 4m
P/2 4m P/2 5 4 6 4m 2P
4m 2、斜杆 2P ∵结点6为K型结点。 ∑M2=N1×6+（2P－P/2）×4=0 ∴N6=－N5 N 1 = －P 再由∑Y=0 （2P－ －Y6+2P－ ∑M5=N4×6 －得：Y5P/2）×4=0 P －P/2=0 N =P ∴ Y64=P/4 ∴ N6=－N5=5P/12
-3.0
梁式桁架的受力特点： 0
0.5
1
1
1Байду номын сангаас
1
1
0.5
M0
1
1
1
1
0.5
-4 -1.5 2.5
1
-4.5 -1.0 4.0 1 2.0
1 1
-2.5
0.5
0
7.5
1
0.5 6.0 1 0
1
1
0.5
0 0 0 4.5 4.5
几类简支桁架的共同特点是：上弦受压，下弦受拉， 竖杆、斜杆内力符号相反。
两 种 方 法 的 联 合 应 用
零 结 桁 点 架 的 杆 法 特 和 点 判 截 和 面 组 定 法 成
3 结点法和截面法的联合应用
单独使用结点法或截面法有时并不简洁。为了 寻找有效的解题途径，可综合应用结点法和截面法。 那就是要注意： ①选择合适的出发点，即从哪里计算最易达到 计算目标； ②选择合适的截面，即巧取分离体，使出现的 未知力较少。 ③选用合适的平衡方程，即巧取矩心和投影轴， 并注意列方程的先后顺序，力求使每个方程中只含 一个未知力。
5、取H点为分离体 N 2 X 0 N b 5 P
—N
弦杆轴力: N=±M /r, 上弦压,下弦拉。 1、平行弦桁架：r=h=常数， Q0 弦杆内力两端小，中间大；腹杆 内力： Y=±Q0，两端大，中间小。 0.5-2.51 斜杆拉，竖杆压。 2、三角形桁架：r自跨中向两 0 端按直线规律变化比M 减少的快， 0.0 1 弦杆内力两端大，中间小；腹杆 0.5 内力两端小中间大。斜杆压，竖 7.5 杆拉。 0 1 、抛物线形桁架： r、M 都按 3 0.5 抛物线规律变化，各上弦杆内力 0 4.5 的水平分力相等等于各下弦杆内 力；腹杆不受力。