概率统计习题册答案
一、概率公式的题目
1、已知()
()()0.3,0.4,
0.5,P A P B P AB === 求
()
.P B A B ?
解:()
()
()
()()()()
()
0.70.51
0.70.60.54
P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --?==
=
=+-?+-
2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求()
.P A A B ?
解:()
()()
()
()()()
0.22
0.70.29
P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ??????=
=
=
=+?+-。
3、已知随机变量(1)X
P ,即X 有概率分布律{}1
(0,1,2)!
e P X k k k -==
=,
并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。 求:
(1)()P A B ?; (2) ()P A B -; (3) ()
P B A 。解:(1)()()
{}{}1
11()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -?=-?=-=-<≥=-==-;
(2)(){}{}{}{}1
()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==-
(3)()
()
()
{}{}{}{}{}111,201
.20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<==
====<=+=
.
4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,它是甲射中的概率是多少?
解: 设A=“甲射击一次命中目标”,B=“乙射击一次命中目标”, (())()
()()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB 侨=
=+-=
0.660.750.60.50.60.58
==+-
5、为了防止意外,在矿内同时设两种报警系统,A B ,每种系统单独使用时,其有效的概率系统A 为0.92,系统B 为0.93,在A 失灵的条件下,B 有效的概率为0.85,求: (1)发生意外时,这两个报警系统至少有一个有效的概率;(2)B 失灵的条件下,A 有效的概率。 解:设=A “系统A 有效”,=B “系统B 有效”,
()()()
0.92,0.93,0.85P A P B P B A ===,
()()()()()()()()()()1.0.988P A B P A P B P AB P A P AB P A P A P B A ?=+-=+=+=
()()()()()()()()()()0.070.080.152.0.8290.07P AB
P B P A P B A P B P AB P A B P B P B P B ---?=
====
6、由长期统计资料得知,某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4
15
,刮风(记作事件B )的概率为
715,既刮风又下雨的概率为110
,求()()()(1);(2);(3)P A B P B A P A B ?。 解:()()()1
3
10(1)714
15
P AB P A B P B ===; ()()()1
3
10(2)4815P AB P B A P A ===
()()()()47119(3)15151030
P A B P A P B P AB ?=+-=
+-=。
二、已知密度(函数)求概率的题目
1、某批晶体管的使用寿命X(小时)的密度函数 ???????<≥=100
0100100
)(2x x x x f , , ,
任取其中3只,求使用最初150小时内,无一晶体管损坏的概率。
解:任一晶体管使用寿命超过150小时的概率为
设Y 为任取的3只晶体管中使用寿命超过150小时的晶体管数,则)3
2
,
3(~B Y .故有
2、某城市每天耗电量不超过一百万千瓦小时,该城市每天耗电率(即每天耗电量/百万瓦小时)是一个
随机变量X ,它的分布密度为()()??
???<<-=其他
0101122
x x x x f ,
若每天供电量为80万千瓦小时,求任一天供电量不够需要的概率?
解:每天供电量80万千瓦小时,所以供给耗电率为:80万千瓦小时/百分千瓦小时=0.8,供电量不够需
要即实际耗电率大于供给耗电率。所以
{}()()11
2
0.8
0.8
0.81210.0272P X f x dx x x dx >==-=??。
3、某种型号的电子管的寿命X (以小时计)具有以下的概率密度
?????>=其它010001000)(2
x x x f ,
3
2
100100)()150(150
150
2150=-===>=∞+∞+∞+?
? x
dx x dx x f X P p 27
8)31()32()3(03
33=?==C Y P
现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立),任取5只,问其中至少有2只寿命大于 1500小时的概率是多少?
解:一个电子管寿命大于1500小时的概率为
3
2)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000
150010002
=-
-=??
????--=-
=≤-=>?
x dx x X P X P
令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则)3
2
,
5(~B Y ,
4、某些生化制品的有效成分如活性酶,其含量会随时间而衰减。当有效成分的含量降至实验室要求的有效计量下,该制品便被视为失效。制品能维持其有效剂量的时间为该制品的有效期,它显然是随机变量,记为X 。多数情况下,可以认为X 服从指数分布。设它的概率密度函数为:
???≥<=-0
,0,
0)(x e x x f x λλ (x 的单位为月)
(1)从一批产品中抽取样品,测得有50%的样品有效期大于34个月,求参数λ的值。 (2)若一件产品出厂12个月后还有效,再过12个月后它还有效的概率有多大?
解:指数分布的分布函数为{}??
?<≥-=≤=-00
1x x e x X P x F x λ)( (1){}34ln 2
341(34)0.5,0.0234
P X F e
λ
λ->=-===
≈解出 (2){}{}{}787.0122412421202.01202.024
02.0===>>=>>?-?-?-e e
e X P X P X X P
5、设K 在(-1,5)上服从均匀分布,求x 的方程2
4420x Kx K +++=有实根的概率。
解:要想x 有实根,则()22
4161620B AC K K ?=-=-?+≥则2K 1K ≥≤-或者,
又因为()~1,5K U -
三、分布函数、密度函数的题目
1、设随机变量X 的分布函数为0()arcsin
1x a x F x A B a x a
a x a
≤-?
??
=+-<≤??
>??
,
(1) 求系数A ,B ; (2) 求2
2a
a P X ??-
<???; (3) 求X 的分布密度。
解:(1)由F(x)在,a a -处的右连续性知?????
=+=-1202B A B A π
π 解之得??
??
?=
=π121B A (2)1
22223
a a a a P X F F ??????-
<<=--=?? ? ???????
(3)因为)()('x F x f =
,则()0x a
f x x a
<=≥?
2、设随机变量X 的分布函数为 ()0,
arctan ,1,
x a x F x A B a x a
a x a ≤-???
=+-<≤??
>??,
求:(1)常数,A B ; (2
)03P X ????
<?????
; (3)X 的密度函数()f x 。
解:(1)由分布函数的右连续性知:
()()()()0lim lim arctan 4arctan lim 14x a x a x a x F a F x A B A B a a F a A B A B F x a ππ+++
→-→-→?-===+=-????=+=+==??
,所以1124
204A A B B A B πππ??
=+=?????????=
-=????;
(2
)()1003P X F F ??<<
=-=???????
; (3) ()()222,
()0,
a a x a
a x f x F x π?
-<+'==??
?其它
。
3、设随机变量X 的分布函数为 ()2
0,0,
01
1,1
x F x Ax x x ≤??=<≤??>?
,
求:)1(常数A ; )2({}0.30.7P X <<; )3(X 的密度函数()f x 。
解:(1)由分布函数的右连续性知:()()1
1lim 1x F A F x +
→===,所以1A =; (2){}()()0.30.70.70.30.4P X F F <<=-=; (3) ()2,
01()0,
x x f x F x <'==??其它
。
4、设随机变量X 的分布函数为()??
???≤>+=-
00,2
2
x x e
B A x F x 求:(1)系数B A ,; (2){
}
9ln 4ln < 解: (1) 由于()x F 在()∞+∞-,内连续,()()00lim lim 2002 ==+=??? ? ??+=- →→+ +F B A Be A x F x x x 又 ()1lim lim 2 2==? ??? ? ? +=-+∞→+∞→A Be A x F x x x 故1-= B ()?????≤>-=-0 0,122 x x e x F x (2) { }9ln 4ln < =()() 4ln 9ln F F -=6 1 3121=- (3) X 的密度函数为 ()()?????≤>='=-0 002 2 x x e x x F x f x , , 5、设连续性随机变量X 的分布函数为 2,0 ()0,0.x A Be x F x x -?+>=?≤? , 求:(1)常数A ,B ; (2){11}P X -<<; (3) X 的密度函数()f x 。 解:(1)由分布函数的右连续性及性质知: ()()()()200 00lim lim 1lim x x x x F F x A Be A B F F x A ++-→→→+∞?===+=+?? +∞===?? ,所以0111A B A A B +==?????==-??; (2){}()()211111P X F F e --<<=--=-; (3) ()22, 0()0, x e x f x F x x -?>'==? ≤?。 6、设随机变量X 的概率密度函数为 ()?? ???≥<-=1 ,01,12 x x x A x f , (1) 求常数A ; (2) 求{}0.50.5P X -<≤; (3) 求X 的分布函数。 解: (1) ()()A x A dx x A dx x f π=?=-== ? ? -+∞ ∞ -101 1 2 arcsin 211 所以 π 1 = A (2) {}0.50.5P X -<≤()dx x dx x f ? ? ---==5 .05 .02 5 .05 .011 π()3 1 arcsin 2 5 .00= = x π (3)()()001===-≤? ? ∞ -∞ -dt dt t f x F x x x 时 当 ()()()()dt x dt t f dt t f dt t f x F x x x x ? ???---∞ -∞ --=+==≤<-1 2 1 1 11 11π时 当 ()2 1 arcsin 1 arcsin 2 1+ = =-x t x π π ()()()()()111 11 1 2 1 1 1 1 =-=++==>? ??? ? ---∞ -∞ -dt x dt t f dt t f dt t f dt t f x F x x x π时 当 所以()???? ???>≤<-+-≤=1 1 11arcsin 12110x x x x x F π 7、设连续型随机变量X 的密度函数为()cos ,2 0,2 a x x f x x π π ? ? =? ?≥ ?? , 求:()1系数a ; ()2X 的分布函数; ()304P X π?? << ??? ? 。 解:(1)由222 2 1()cos sin 2f x dx a xdx a x a π π ππ +∞ -∞ -- = ===? ?,12 a =; (2 )440 0110cos sin 4224 P X xdx x ππ π? ?<<=== ??? ??; (3)2002 2 1 sin 1()()cos 2222 2 21 12 2x x x x x F x f t dt tdt x x x x ππ π πππ π π π -∞ - ? ?<- <-???? +??= =-≤<=- ≤?????≥ ≥???? ? ? 8、设随机变量X 的密度函数为 ()2, 010, Ax x f x ?<<=? ?其它 , 求:(1)常数A ; (2)1 12 4P X ??- <???; (3)X 的分布函数()F x 。 解:(1)由3 1 2 10 01()3 3 x A f x dx Ax dx A +∞ -∞ = === ? ?,3A =; (2)1 123 440 01 11 32 464 P X x dx x ??-<<=== ?????; (3)2 300,0 0, 0()()3, 01, 011, 1 1, 1x x x x F x f t dt t dt x x x x x -∞ ?? ?= =≤<=≤???≥≥? ??? ? 9、设随机变量X 的密度函数为 (), 010, Ax x f x <=? ?其它 ,求 (1)常数A ; (2){}0.50.5P X -<<; (3)X 的分布函数()F x 。 解:(1)由2 1 1 01()2 2 x A f x dx Axdx A +∞ -∞ = === ? ?,2A =; (2){}112220 10.50.524 P X xdx x -<<= == ? ; (3)200,0 0, 0()()2, 01, 011, 1 1, 1x x x x F x f t dt tdt x x x x x -∞ ?? ?= =≤<=≤???≥≥? ??? ? 四、变一般正态为标准正态分布求概率 1、调查某地方考生的外语成绩X 近似服从正态分布,平均成绩为72分, 96分以上的占考生总数的2.3% 。试求: (1)考生的外语成绩在60分至84分之间的概率; (2)该地外语考试的及格率; (3)若已知第三名的成绩是96分,求不及格的人数。( ()8413.01=Φ, 977.0)2(=Φ ) 解:依题意,{}2~(72,)960.023X N P X σ≥=且 {}9672 0.0231961( )12P X σσ -=-≤=-Φ?=查表得 (1){}60842(1)10.6826P X ≤≤=Φ-= (2) {}60(1)0.8413P X ≥=Φ= (3)设全班人数为n , 由(2) 知不及格率为0.1587, 则023 .02 =n ,则不及格人数为141587.0≈n 2、某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布()65,100N ,如果85分以上为“优秀”,问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几。()() 20.9772Φ= 解:依题意,~(65,100)X N ,85分以上学生为优秀,则 {}{}()6585658518511210.97720.0228 2.28% 10 10X P X P X P --?? ≥=-<=-<=-Φ=-==???? 所以优秀学生为2.28%。 3、设某工程队完成某项工程所需时间X (天)近似服从2 (100,5)N 。工程队上级规定:若工程在100天内完工,可获得奖金7万元;在100~115天内完工可获得奖金3万元;超过115天完工,罚款4万元。求该工程队在完成此项工程时,所获奖金的分布律。 (参考数据:()()5 .009987 .03=Φ=Φ) 解:设所获奖金为Y 万元,Y 是X 的函数,可取值为 -4,3,7 {}{}(){}{}()()4987 .05.09987.00311510030013 .031510011511154=-=Φ-Φ=≤<===Φ-=?? ? ??-Φ-=>=-=X P Y P X P Y P {}5.07==Y P 所以,可获奖金Y 的分布律为 : 4、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的,设男子的身高() 2 ~170,6X N , 问车门的高度应如何确定?(()2.330.99Φ=) 解:设车门的高度为x 厘米,则 {}17017010.010.996 6X x X x P X x P P μμσσ----????≤=≤=≤≥-=????????, ()2.330.99Φ= 所以170 2.33,18 3.986 x x -=。即车门的高度至少要183.98厘米。 5、公共汽车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的,设男子的身高()2168,7X N , 问车门的高度应如何确定?(()2.330.99Φ=) 解:设车门的高度为x 厘米,则 {}16816810.010.997 7X x X x P X x P P μμσσ----???? ≤=≤=≤≥-=????????, ()2.330.99Φ= 所以 168 2.33,184.317 x x -=。即车门的高度至少要184.31厘米。 6、某地区18岁的女青年的血压(以mm-Hg 计)服从)10,110(2 N ,在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X 。求:(1)P (X ≤105);(2)P (100 解:3085.06915.01)5.0(1)5.0()10 110 105( )105()1(=-=Φ-=-Φ=-Φ=≤X P (2) 6826 .018413.021)1(2) 1()1()10 110 100()10110120()120100(=-?=-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤ 五、数学期望、方差的题目 1、 设随机变量X 的概率密度为:?? ? ??≤≤-<≤-+=其它 ,010 ,101 ,1)(x x x x x f , 求:)(),(X D X E 解: ()()()()01 10 110E X xf x dx x x dx x x dx ∞-∞-==++-=??? ()()()0 1 2 2 221 1()116 E X x f x dx x x dx x x dx ∞ -∞ -==++-= ? ?? 所以 ()()()[]6 122=-=X E X E X D 2、一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计) 服从指数分布, X 的密度函数为 41, 0()4 0,0 x e x f x x -?>?=??≤? 工厂规定,出售的设备若售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费200元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 解:设Y 表示厂方出售一台设备净赢利,有 ()?? ?<<-≥==1 0200 1001 100 X X X g Y ()()()()1 44 011110010044 x x E Y E g X g x f x dx e dx e dx +∞ +∞---∞ ===-?+?????? ?? 1002004 1 -=- e 所以每台的净赢利的数学期望为1002004 1--e 元 3、假设有10只同种电器元件,其中有两只废品,从这批元件中任取一只,如是废品则扔掉重取一只,如仍是废品则扔掉再取一只,求:在取到正品之前,已取出的废品数的期望和方差。 解:设X 为取到正品之前已取出的废品数,则X 的分布为 故 ()45459E X = += 2()454545 E X =+= 2212488 ()()[()]4581405 D X E X E X =-=-= 4、一袋中有n 张卡片,分别记为1,2,n ,从中有放回的抽取k 张来,以X 表示取出的k 张卡 片的号码之和,求()E X 。 解:设m X 表示第m 次取出的号码,则m X 的分布律为 {}1 ,1,2, ,1,2 m P X i i n m k n ====, 所以()1 1 2 n i i i n E X n =+== ∑ ,12k X X X X =+++, 则()()121 2 k n E X E X X X k +=+++= 5、已知随机变量X 的密度函数为()1 cos ,2 2 0,2 x x f x x π π ?≤??=? ?> ?? , 对X 独立观察3次,用Y 表示观察值大于6 π 的次数。求:(1)Y 的分布律; (2)Y 的分布函数; (3)()2E Y 解:令22 66 111 cos sin 6224 p P X xdx x πππππ? ?=>=== ??? ?? (1)Y 的分布律为:{}3313,0,1,2,3.44k k k P Y k C k -???? === ? ? ???? (2) ()0,027,016427, 1232 63,23641.3 y y y F y y y ??≤?≤=??≤??≥?? ; (3) ()()()2222 2 21319334448 E Y D Y E Y npq n p =+=+??=??+?= ??? 6、某车间生产的圆盘直径在区间(),a b 服从均匀分布,试求圆盘面积的数学期望。 解:设X 为圆的直径,S 为圆的面积,则 24 S X π = ,因为()~,X U a b 所以 X 的密度函数为 ()1 ,0,a x b f x b a ?< =-???其它 所以 ()()()223 2 2144 1212 b b a a E S E X x dx x a a b b b a b a ππ ππ ??==?== ++ ?--??? 7、某厂生产一种化工产品,这种产品每月的市场需求量X (吨)服从区间[ 0 ,5 ]上的均匀 分布.这种产品生产出来后,在市场上每售出1吨可获利6万元。如果产量大于需求量,则每多生产1吨要亏损4万元.如果产量小于需求量,则不亏损,但只有生产出来的那一部分产品能获利。问:为了使每月的平均利润达到最大,这种产品的月产量 a 应该定为多少吨? 解:因为X ~)5,0(U ,X 的概率密度为 105 ()0 x f x ≤≤?=??其它。 设Y 为该厂每月获得的利润(单位:万元),根据题意 ()Y g X =64()1046X a X X a X a a X a --=-≤?=?>? 当时 当时 。 该厂平均每月利润为: )(Y E =(())()()E f X f x g x dx +∞-∞ =? ??+-=50d 56d 5410a a x a x a x 22 265 665a a a a a -=-+= 。 由 =a Y E d )(d 026)6(d d 2=-=-a a a a 可解得 3=a (吨)。 可见,要使得每月的平均利润达到最大,月产量应定为3吨。 8、设随机变量X 的概率密度为,02,(),24,0,ax x f x cx b x ?< =+≤≤???其他. 已知 3 ()2,(13)4 E X P X =<<= 求:(1),,a b c 的值; (2)随机变量X Y e =的数学期望。 解:(1) 24 2 1()()f x dx axdx cx b dx +∞-∞ ==++? ?? 244 22202226,22a c x x bx a b c = ++=++ 2 4 2 022()()xf x dx ax dx cx b xdx +∞-∞ ==++? ??856 633 a c b =++ 2312335 ()422 axdx cx b dx a c b =++=++??, 解方程组 1132481856613132524a b c a a b c b a b c c ?? ++==???? ++=?=??????++==- ?? ; (2) 242202111 ()()()(1)(1)444 X x x x E Y E e e f x dx xe dx x e dx e +∞-∞===+-+=-??? 9、设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工 作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障可获利润5万元,发生两次故障获利0万元,发生三次或三次以上故障则亏损2万元,求一周内的利润期望。 解:设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则()~5,0.2X B ,设T 为一周内获得的利润, 则T 为离散型随机变量,其所有可能取 值为10,5,0,2-(万元)其分布律为: {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}0551 1452 2 3 5 1000.20.80.328 510.20.80.410 020.20.80.205 23110500.057 P T P X C P T P X C P T P X C P T P X T T T ====??=====??=====??==-=≥=-=-=-== 即可获利润T 的分布律为 : ()20.05700.20550.410100.328 5.216E T =-?+?+?+?=。 六、点估计(矩估计和极大似然估计)的题目 1、设总体X 概率密度为:()?????≤≤=-其他, 01 0,1x x x f θθ,其中参数0>θ且未知,设n X X X ,,,21 为 总体的一个样本, n x x x ,,,21 是样本值,求θ的矩估计量和极大似然估计量。 2、已知随机变量X 的密度函数为 (1)01()(1)0 x x f x θ θθ?+<<=>-? ?其他 , 其中θ为未知参数,求θ的矩估计量与极大似然估计量。 3、设总体X 概率密度为???<<-=-其他 ,01 0 ,)1()(1x x x f θθ,其中θ为未知参数,n X X X ,,,21 为总体的 一个样本, n x x x ,,,21 是样本值,求参数θ的矩估计量和极大似然估计量。 4、设总体X 具有分布律 : 其中)10(<<θθ为未知参数,已知取得了样本值121321===x x x ,,。 试求θ的矩估计值和极大似然估计值。 5、设总体X 的密度函数为:()??? ??≤>=-0, 00,1x x e x f x θθ,其中0>θ为未知参数, n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,求参数θ的矩估计量和极大似然估计量。 6、设12,,,n X X X ???为总体X 的一个样本, X 的密度函数1,01 ()0, x x f x ββ-?<<=??其他(其中未知参数 0β>),n x x x ,,,21 是样本值,求参数β的矩估计量和最大似然估计量。 7、设12,,,n X X X ???为总体X 的一个样本, X 的密度函数,0 ()0, x e x f x x λλ-?>=?≤?0, 其中未知参数0>λ,n x x x ,,,21 是样本值,求参数λ的矩估计量和最大似然估计量。 8、已知随机变量X 的密度函数为 (1)(5)56()(1)0 x x f x θ θθ?+-<<=>-? ?其他 , 其中θ为未知参数,设n X X X ,,,21 为总体的一个样本, n x x x ,,,21 是样本值,求参数θ的矩估计量和极大似然估计量 七、区间估计 1、为考察某大学成年男性的胆固醇水平,现抽取了样本容量为25的一个样本,并测得样本均值为186=x , 样本标准差为12=s 。假定胆固醇水平),(~2 σμN X ,μ与2σ均未知,求总体标准差σ的置信度为 90%的置信区间。( 20.05(24)36.415χ=,()848.13242 95.0=χ ) 2、设某异常区磁场强度服从正态分布2(,)N μσ,现对该地区进行磁测,今抽测16个点,算得样本均值 12.7,x =样本方差003.02=s ,求出2σ的置信度为95%的置信区间。参考数据: () 2222 0.025 0.9750.0250.975(15)27.5,(15) 6.26,(16)28.845,(16)7.564χ χχχ==== 3、某单位职工每天的医疗费服从正态分布2(,)N μσ,现抽查了25天,得170x =,30s =求职工每天 医疗费均值μ的置信水平为0.95的置信区间。 (()()711.124064 .22405.0025.0==t t ) 4、某超市抽查80人,调查他们每月在酱菜上的平均花87费,发现平均值为 5.9x =元,样本标准差 1.2s =元。求到超市人群每月在酱菜上的平均花费μ的置信度为95% 的区间估计。 (96.1)180(025.0025.0=≈-u t ,65.1)180(05.005.0=≈-u t ) 5、随机地取某种炮弹9发做试验,测得炮口速度的样本标准差()11s m s =,设炮口速度服从正态分布,求 这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为0.95的置信区间。 ()2222 0.975 0.0250.9750.025(8) 2.18,(8)17.535,(9) 2.7,(9)19.023χ χχχ==== 6、从某商店一年来的发票存根中随机抽取26张,算得平均金额为78.5元,样本标准差为20元。假定发 票金额服从正态分布,求该商店一年来发票平均金额的置信度为90%的置信区间。 ()0.050.050.0250.025(25) 1.7081,(26) 1.7056,(25) 2.0595,(26) 2.0555t t t t ==== 八、假设检验 1、设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取25位考生的成绩,算得平均成绩为x =66分,标准差=s 20分,问在显著性水平05.0=α下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为71分?并给出检验过程。(参考数据:0639.2)24(025.0=t ,7109.1)24(05.0=t ) 2、机器自动包装食盐,设每袋盐的净重服从正态分布,要求每袋盐的标准重量为500克。某天开工后,为了检验机器是否正常工作,从已经包装好的食盐中随机取9袋,测得样本均值499, x =样本方差 2216.03S =. 问这天自动包装机工作是否正常(0.05α=)?(参考数据: ()()8595.18306.2805.0025.0==t t ) 3、设有正态分布总体() 2 ~,X N μσ的容量为100的样本,样本均值22.7,,x μσ=均未知,而 ()100 2 1 225i i X X =-=∑,在0.05α=水平下,是否可以认为总体方差为2.5? ()()()220.025 0.975 99129.56,9974.22χχ== 4、设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,从中抽取一个容量为16的样本,测得样本标准差10S =,取显著性水平0.05α=,是否可以认为总体方差为80? (20.025(15)27.488χ=;210.025(15) 6.262χ-=;20.025(16)28.845χ=;210.025(16) 6.908χ-=) 5、设某次概率统计课程期末考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为72x = 分,样本标准差为9.3s =分,问在显著性水平0.1α=下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。 ()0.0250.050.0250.05(35) 2.0301,(35) 1.6896,(36) 2.0281,(36) 1.6883t t t t ==== 6、某百货商场的日销售额服从正态分布,去年的日均销售额为53.6万元,方差为36.今年随机抽查了10个日销售额,算得样本均值57.7x =万元,根据经验,今年日销售额的方差没有变化。问:今年的日平均销售额与去年相比有无显著性变化(05.0=α)? (()2622.29,96.1025.0025.0==t u ) 7、某广告公司在广播电台做流行歌曲磁带广告,它的广告是针对平均年龄为21岁的年轻 人。广告公司想了解其节目是否为目标听众所接受。假定听众的年龄服从正态分布,现随机抽取400 位听众进行调查,得25x =岁,2 16s =,以显著性水平0.05α=判断广告公司的广告策划是否符合 实际? 检验假设0010:21;:H H μμμμ==≠ (0.0250.025(4001) 1.96t u -≈=) 六、点估计(矩估计、极大似然估计)的答案 1、解:1 )(10 1 += = ? -θθθθdx x x X E , 令X =+1θθ ,得θ的矩估计量2 1???? ? ? ?-=X X θ 似然函数为1 /2 1 1 1 1 ()())(n n n n i i i i i L f x x θθ ==== ==∏∏∏ ∑=-+=n i i x n L 1 ln )1(ln 2ln θθ.由 0ln 212ln 1 =+ =∑=n i i x n d L d θθθ 得θ的极大似然估计量 2 12)ln (?∑==n i i X n θ 。 2、解:6 66 115 5 5 1 (1)(5)(5)6(5)62 EX x x dx xd x x dx θθθθθ++= +-=-=--=- +? ?? 故θ 的矩估计量为 1 ?26X θ =-- 似然函数1 1 ()(;)(1)(5)n n n i i i i L f x x θθθθ=== =+-∏∏, 故 1 1 5 1 ln ()ln(1)ln(5) ln ()ln(5)01?1 ln(5) n i i n i i i i L n x d L n x d n X θθθθθθθθ ====++-=+-=+=---∑∑∑的极大似然估计量为 3、解:?? ----=-= 1 11 1 )1(1) 1()(dt t t x t dx x x X E θθθθ令1 1 += θ 令 X =+11θ,得θ的矩估计量为 11?-=X θ。 似然函数为 1 11 1 1 ()()((1) )((1))n n n n i i i i i i L f x x x θθθθθ--==== =-=-∏∏∏ ∑=--+=n i i x n L 1 )1ln()1(ln ln θθ.由 0)1ln(ln 1=-+=∑=n i i x n d L d θθ 得θ的极大似然估计量为 ∑=--=n i i X n 1 ) 1ln(?θ 。 4、解 :()()()2 2 1214 12213132, 33 E X x θθθθθ++=?+?-+?-=-= = ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P(A)=, P(B) = , 则 P(A-B)=()。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为,乙击 中敌机的概率为.求敌机被击中的概率为()。 3.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可 表示为(AB AC BC ++)。 4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障 的概率依次为,,,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为()。 5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立射击4次,则击中二 次的概率为()。 6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为 (ABC)。 7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可 表示为(AB AC BC); 8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=, P(B) = , 则 P(A|B)= (); 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为,乙击中敌机的概率为.求敌机被击中的概率为( ); 10. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A -)= ( ) 11. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的 概率依次为,,,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( )。 12. 若事件 A ? B 且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A )=( ); 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容,且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A )= ( ) 14. A、B为两互斥事件,则A B =( S ) 15. A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为 ( ABC ABC ABC ++ ) 16. 若()0.4P A =,()0.2P B =,()P AB =则(|)P AB A B =( ) 17. A、B为两互斥事件,则AB =( S ) 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概 率为( 1 10000 )。 二、选择填空题 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( D )。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( B ) A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。( C ) A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A ) A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本, 下列哪一项是μ的无偏估计( A ) A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为( C ) (A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/8 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为,则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤??=-≤≤????其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求 712P X ??<≤??? ?. 四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为 \012 10.10.20.1 2 0.10.2 Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 (),01,2,12,0,.x x f x x x ≤?=-≤≤??? 其他 求()(),E X D X 一、填空题(每小题3分,共30分) 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件:①三个事件都发生 ____________ ;__②_ A 、B 发生,C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件,则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.) 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件,则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ,事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 , 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件,则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ;_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_(_ABC ,A B C ;A B C ) 6、 A B ___________ ;__ A B ___________ ;__A B ___________ 。_(_ B A , A B , A B ) 7、 设事件 A 、B 、C ,将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示:(1)三个事件都发生表示为: _______ ;_(_ 2)三 个 事件不都发生表示为: ________ ;_(_ 3)三个事件中至少有一个事件发生表示为: _____ 。_(_ ABC , A B C , A B C ) 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件: A 、B 出现、C 不出现 ;至少有一 个 事 件 出 现 ; 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 ( ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ) 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时,事件 ________ 发_生_ 。( A B ) 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 , 乙 种 产 品 滞 销 ”, 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。(甲种产品滞销或乙种产品畅销) 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件,用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”(i 1,2,3) ,试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件: 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B _____ 事_件 A 。(包含) 13、 若 A 为不可能事件,则 P (A )= ;其逆命题成立否 。(0,不成立) 14、 设A、B为两个事件, P (A )=0 .5, P (A -B )=0.2,则 P (A B ) 。(0.7) 15、 设P A 0.4,P A B 0.7,若 A, B 互不相容,则P B ______________ ;_若 A, B 相互独立,则P B _______ 。_(_0.3, 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ;__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件,则这三个事件都发生为 _______________ 。_(__A_BC , ABC , A B C ) ;三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC )。 ;三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。( A B C , ABC , AB BC AC ) 三个元件都正常工作 ;恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。( A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3) 题目答案的红色部分为更正部分,请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1,理2)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( B ) A .14 B . π8 C .12 D . π 4 2.(2017课标3,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图. 根据该折线图,下列结论错误的是( A ) A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D .各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 3.(2017课标2,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则D X = 。 4.(2016年全国I 理14)5(2)x x + 的展开式中,x 3的系数是 10 .(用数字填写答案) 5.(2016年全国I 理14)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) (A )13 (B )12 (C )23 (D )3 4 5.(2016年全国2理10)从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ,…,n x ,1y ,2y ,…,n y ,构成n 个数对()11,x y , ()22,x y ,…,(),n n x y ,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )(A ) 4n m (B )2n m (C )4m n (D )2m n 6.(2016年全国3理4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ,B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.(15年新课标1理10)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是( ). (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式( )成 立. (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数,则对任意b a <,有 X a P <(≤=)b ( ). (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是( ). 作业2(修改2008-10) 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . <概率论>试题 一、填空题 1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生 2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。则P(B )A U = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ~2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80 81 ,则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ,4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 概率统计考试试卷及答案 一、 填空题(每小题4分,共20分) 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立,且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分,共40分) 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒,求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本,求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布,并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠,从长期实践知道,滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个,测得直径为(单位:毫米)14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz ) 概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】 《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、A 、B 任意二事件,则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案:D 2、设袋中有6个球,其中有2个红球,4个白球,随机地等可能地作无放回抽样,连 续抽两次,则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球,第二次抽得红球, 答案:B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ? =≤?≥? ( )。 A 、是某一离散型随机变量的分布函数。 B 、是某一连续型随机变量的分布函数。 C 、既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数。 D 、不可能为某一随机变量的分布函数。 答案:D 4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布,即则下列结论正确的是( )。 A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案:D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立,且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =,又 12,,, ,n c k k k ,为1n +个任意常数,则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案:C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案:D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数),那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案:B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本, 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ - 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院: 理学院 ,考试时间: 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式:闭卷√、开卷□,允许带 计算器 入场 考生姓名: 学号: 专业: 班级: 1.某人射击时,中靶的概率为4 3 ,若射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为( ). (A) 43412?)( (B) 343)( (C) 41432?)( (D) 34 1)( 2.n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为( ). (A ) a ,2n b (B )a ,n b (C)a ,n b 2 (D )n a ,b 3.若100张奖券中有5张中奖,100个人分别抽取1张,则第100个人能中奖的概率为( ). (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是( ). (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5.已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E ( ). 1、 已知P (A )=0.7. P (B )=0?8,则下列判断正确的是( D )o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X=3的概率为(C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击,设射击的命中率为02独立射击100次,则至少击中9次的概率为(B ) 100 9 C ?工 C ;(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N (0, 1),常数c 为以下何值时,统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。(C ) A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为(A ) 7. X P X 2.X 3为总体的样本,下列哪一项是“的无偏估计(A ) A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数(2为( C ) A.C ;;X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D. 9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平a=0.05下,拒绝假设 H。:“ =,则在显著水平a=0.01下,(B ) A.必接受 B.可能接受,也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受,也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分,共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件,则A, B, C至少有一个事件发生表示为:_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码,设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s),贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0 概率论与数理统计复习题 一、计算题: 1、有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球,两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋,再从乙袋中取出一个球,求取到白球的概率。 2、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布,Y =2X +1,求Y 的概率密度函数。 3、已知二元离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下表所示: Y X 1 1 2 1 2 (1) 试求X 和Y 的边缘分布率 (2) 试求E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y ),及X 与Y 的相关系数XY 4、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验,算出平均使用寿命为1950小时,样本标准差s 为300小时,以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 二、填空题 1. 已知P (A )=, P (B |A )=, 则P (A B )= __________ 2..设随机变量),2(~2 σN X ,若3.0}40{=< 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1.设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r,试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2.若A,B,C相互独立,试证明:A,B,C 亦必相互独立。3.试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之,其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10},事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4.某人有5把钥匙,但忘了开房门的是哪一把,只得逐把试开。问:恰好第三次打开房门锁的概率?三次内打开的概率?如果5把里有2把房门钥匙,则在三次内打开的概率又是多少?5.设有甲、乙两袋,甲袋中装有n个白 球、m个红球,乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中,再从乙袋中任意取一个,问取到白球的概率是多少?6.在时间间隔5分钟内的任何时刻,两信号等可能地进入同一收音机,如果两信号进入收音机的间隔小于30秒,则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率?7.甲、乙两船欲停靠同一码头,它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的,各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率?8.某仓库同时装有甲、乙两种警报系统,每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率:仓库发生意外时能及时发出警报;乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵?9.设A,B为两随机变量,试求解下列问题:已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求:P(A|B); 概率论与数理统计习题 一、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) 1.设)4,5.1(~N X ,且8944.0)25.1(=Φ,9599.0)75.1(=Φ,则P{-2 《概率论与数理统计》试题(1) 一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“√”,错误打“×”) ⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( ) ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( ) 二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生; (2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、(10分)设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差. 六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< , 的样本,试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题: 1.某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为( ) (A )321A A A ++ (B )323121A A A A A A ++ (C )321321321A A A A A A A A A ++ (D )321A A A 2.掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为( ) (A ) 365 (B )364 (C )363 (D )36 2 3.设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则( ) (A ))(1)(B P A P -= (B ))()()(B P A P AB P = (C )1)(=+B A P (D )1)(=AB P 4.随机变量X 的概率密度为???<≥=-00 )(2x x ce x f x ,则=EX ( ) (A )21 (B )1 (C )2 (D )4 1 5.下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是( ) (A )+∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 (B )?????≤>+=0 001)(2 x x x x x F (C )+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 (D ) +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 21 43)(4π 6.已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度 )(y f Y 为( ) (A ))2(2y f X - (B ))2(y f X - (C ))2 (21y f X -- (D ))2 (2 1y f X - 7.已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h ( ) (A )81 (B )8 3 (C )4 1 (D )3 1 8.设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY E ( ) (A )3 (B )6 (C )10 (D )12 9.设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若 EY EX EXY ?=,则下列结论不正确的是( ) (A )X 与Y 相互独立 (B )X 与Y 不相关 (C )0),cov(=Y X (D )DY DX Y X D +=+)( 答案: 1. B 2. A 3.D 4.A 5.B 6. D 7. D 8. C 9. A 1.某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为( C ) (A )321A A A ++ (B )323121A A A A A A ++ 任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷(A 卷) } 分 分 108 求:(1)常数k ,(2)P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解:(1)由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 (2)P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 (4)P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ,)4,0(~2N Y ,且X 与Y 相互独立,设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ,)(Z D ; (2) 求XZ ρ 解:(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f (1) 求X 的数学期望EX 和方差DX (2) 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解:(1)dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π,求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解:10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=-概率论与数理统计复习题带答案
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