高中数学求函数解析式经典精讲精练

求函数解析式常用的方法（一） 待定系数法它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。

其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1：已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。

解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0)，由(0)0,f =得c=0，由(1)()1f x f x x +=++ 得，22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++，整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++得 212211120011()22a ab b a bc c b c c f x x x⎧=⎪+=+⎧⎪⎪⎪++=+⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=⎪⎪⎩∴=+小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。

类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=kx(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设 ①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则b ab x ab b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 （二）换元法用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

例2：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。

1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数()f t ,1t =中，用t 表示x ,将右边化为t 的表达式，问题即可解决。

1t =22201()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥ 小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。

注意：换元后要确定新元t 的取值范围。

(三)配凑法已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

例3：已知1)f x =+求()f x 的解析式。

分析：2x x +可配凑成∴可用配凑法，解：由21))1f x =+=-，令t =，01x t ≥∴≥则2()1f t t =-， 即2()1(1)f x x x =-≥，当然，上例也可直接使用换元法，令t =1t =得222(1)()(1)2(1)1x t f t t t t =-∴=-+-=-，即2()1(1)f x x x =-≥，由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

例4：已知2211(),f x x x x-=+求()f x .解析：由222111()()2f x x x x x x -=+=-+，令2110t x x tx x=-⇒--=，由0∆≥即240t+≥得t R ∈2()2f t t ∴=+即：2()2()f x x x R =+∈实质上，配凑法和换元法一样，最后结果要注明定义域。

例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式解：2)1()1(2-+=+xx x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。

条件中，有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

例5：设()f x 满足1()2(),f x f x x -=求()f x 的解析式。

分析：要求()f x 可消去1()f x ,为此，可根据题中的条件再找一个关于()f x 与1()f x的等式，通过解方程组达到消元的目的。

解析：1()2()f x f x x-=①，显然，0x ≠,将x 换成1x 得11()2()f f x x x -=②由1()2()11()2()f x f x x f f x xx ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 消去1()f x ，得12()33f x x x=-- 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴，又11)()(-=+x x g x f ① ，用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f ，即11)()(+-=-x x g x f ② ，解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ，x x x g -=21)( 小结：消元法适用于自变量的对称规律。

互为倒数，如f(x)、1()f x；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

（五）赋值法其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。

例5：已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。

解析：令0,a =则2()(0)(1)1f b f b b b b -=--=-+ 令b x -=则2()1f x x x =++小结：①所给函数方程含有2个变量时，可对这2个变量交替用特殊值代入，或使这2个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定。

②通过取某些特殊值代入题设中等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式。

六、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y xx ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上，x x y '+'='∴2，把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得： )4()4(62--+--=-x x y ，整理得672---=x x y ，∴67)(2---=x x x g七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ①分别令①式中的1,21x n =- 得：(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),f f f f f n f n n -=-=--=，将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(， 2)1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2121)(2五、待定系数法例5. 已知二次函数)x (f 的二次项系数为a ，且不等式x 2)x (f ->的解集为（1，3），方程0a 6)x (f =+有两个相等的实根，求)x (f 的解析式。

解：因为的0x 2)x (f >+解集为（1，3），设0a ),3x )(1x (a x 2)x (f <--=+且，所以x 2)3x )(1x (a )x (f ---=a 3x )a 42(ax 2++-= ①，由方程0a 6)x (f =+，得0a 9x )a 42(ax 2=++- ②，因为方程②有两个相等的实根，所以0a 9a 4)]a 42([2=⋅-+-=∆，即,01a 4a 52=--解得51a 1a -==或，又51a ,0a -=<所以，将51a -=①得53x 56x 51)x (f 2---=。

六、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。

例6. 已知函数)x (f y =是R 上的奇函数，当)x (f ,13)x (f ,0x x求时-=≥的解析式。

解析：因为)x (f 是R 上的奇函数，所以)x (f )x (f ),x (f )x (f --=-=-即，当0x ,0x >-<时，13)13()x (f )x (f xx +-=--=--=--，所以⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=-0x ,130x ,13)x (f xx七、反函数法利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。

例7. 已知函数)0x (1x ln y >+=，求它的反函数。

解：因为0x >，1y ex ,1y x ln ,1x ln y R1x ln y -=-=+=∈+=∴所以得由∴反函数为)R x (ey 1x ∈=-八、“即时定义”法给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。

例8. 对定义域分别是g f D D 、的函数)x (g y ),x (f y ==，规定：函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∉∉∈∈∈⋅=g f g f g f d x D x ),x (g ,D x D x ),x (f D x D x ),x (g )x (f )x (h 且当且当且当若2x )x (g ,1x 1)x (f =-=，写出函数)x (h 的解析式。