辽宁省大连市普兰店区2017_2018学年高二数学上学期竞赛期中试题文

2017-2018学年上学期竞赛试卷高二数学(文科)试卷总分：150分 时间：120分钟 一.选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合{}022<--=x x x A ，{}5.0log 2<=x x B ，则（ ） A.Φ=⋂B A B.BB A =⋂ C.RB A =⋃ D.Φ=⋂B A C U2．下列函数中，既是偶函数又是()0,+∞上的增函数的是A. 3y x =B. 2xy = C. 2y x =- D. ()3log y x =-3．若1sin 45x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则5cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭则的值等于 （ ）A. 5-B. 15-C. 15D. 54．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为 A.54钱 B.43钱 C.32钱 D.53钱 5．若ABC ∆的内角,,A B C 满足643sinA sinB sinC ==，则cos B =（ ）34D. 11166．已知实数c b a c b a ,,,23tan 123tan 2,25sin 21,24sin 24cos 2222则︒-︒=︒-=︒-︒=的大小关系为（ ）A.c a b >>B.b a c >>C.c b a >>D.a b c >> 7．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和， 425S S =，则3825a a a ⋅ 的值为（ ）A. 2-B. 2C. 2-或2D. 21 8．若把函数)32sin(3)(π+=x x f 的图象向右平移)0(>θθ个单位后所得图象关于坐标原点对称，则θ的最小值为（ ） A. 6π B. 12π C. 3π D. 4π9．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如下图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．32π B ．36π C ．128π D ．144π10．下列命题中,正确命题的个数为（ ） ①若,则或”的逆否命题为“若且,则；②函数的零点所在区间是；③是的必要不充分条件A ．0B ．1C ．2 D. 311．若圆()()22235x y r -++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A. )6,4(B. []6,4C. )5,4(D. (]5,412． 已知平面⊥α平面β，l =⋂βα，点l A A ∉∈,α，直线l AB //，直线l AC ⊥，直线βα//,//m m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A. β⊥AB B. m AC ⊥ C. β//AB D. m AB // 二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）dc b a +++则13．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧<-->+->++02306203y x y x y x 则z x y =-的最小值为_______14．若关于x 的不等式062≥--m x x 对任意[]1,0∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是_________15．已知实数c b a ,,成等差数列，且公差为1；d c b ,,成等比数列，且,0>b的最小值为16．在ABC ∆中，已知 60,2,1=∠==A AC AB ，若点P 满足AC AB AP λ+=，且1=⋅，则实数λ的值为______________三、解答题（本题共6题，共70分） 17．（本小题10分）已知函数()sin 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．18．（本小题12分）已知函数1232)(-++=x x x f ． （1）求不等式8)(<x f 的解集；（2）若关于x 的不等式13)(+≤m x f 有解，求实数m 的取值范围．19．（本小题12分）如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥平面ABCD ，E 为PB 上任意一点．（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）试确定点E 的位置，使得四棱锥P ABCD -的体积等于三棱锥P ACE -体积的4倍． 20．（本小题12分）数列{}n a 满足111,23n n a a a +=-+=.（1）证明{}1n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)sgn(x x x x 设)sgn(n n n a a b ⋅=，求数列{}n b 的前100项和.21．（本小题12分）漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少5.0立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元. （1）求该博物馆支付总费用y 与保护罩容积x 之间的函数关系式； （2）求该博物馆支付总费用的最小值.22．（本小题12分）已知圆22:2430C x y x y ++-+=．（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程．（2）从圆C 外一点()11,P x y 向该圆引一条切线，切点为M ， O 为坐标原点，且有PM PO =，求使得PM 取得最小值的点P 的坐标．答案：1.B2.B3.C4.B5.D6.B7.C8.A9．A10.C11．A12.A 13.-5；14.5-≤m ；15.6；16.1或41-17. （Ⅰ）因为 sin 1442f πππ⎛⎫=-⎪⎝⎭11=- 1=（Ⅱ）()sin 14f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+122x x x ⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos 2cos 1x x x =+-sin2cos2x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为02x π≤≤， 所以52444x πππ≤+≤所以 sin 2124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 故 124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭当2,42x ππ+=即8x π=时， ()f x 当52,44x ππ+=即2x π=时， ()f x 有最小值1- 18. 解：（Ⅰ）不等式f （x ）＜8，即|2x+3|+|2x ﹣1|＜8，可化为①或②或③，…解①得﹣＜x ＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x ＜，综合得原不等式的解集为{x|-}．（Ⅱ）因为∵f（x ）=|2x+3|+|2x ﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x ﹣1）|=4， 当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f （x ）min =4，…又不等式f （x ）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1． 19. （Ⅰ）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，∴PD AC ⊥， 又∵底面ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，PD BD D = ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBD ．（Ⅱ）若四棱锥的体积被平面EAC 分成3:1两部分，则三棱锥E ABC -的体积是整个四棱锥体积的14， 设三棱锥E ABC -的高为h ，底面ABCD 的面积为S ， 则11113243S h S PD ⋅⋅⋅=⋅⋅，由此得12h PD =，故此时E 为PB 的中点． 20 （Ⅰ）因为123n n a a +=-+， 所以1122211n n n n a a a a +--+==---，所以数列{}1n a -是公比为2-，首项为2-的等比数列. 故()12nn a -=-，即()21nn a =-+.（Ⅱ）()()()21,sgn {21,n n n n n n b a a n +=⋅=-为偶数为奇数数列的{}n b 前100项和 ()()()()()23991001002121212121S =-+++-+⋯+-++23100101222222=+++⋯+=-.21. 解：（Ⅰ）由题意设支付的保险费用1ky x=，把2x =， 14000y =代入，得8000k =. 则有支付的保险费用18000y x =（0.5x >） 故总费用()800080005000.5500250y x x x x=-+=+-，（ 0.5x >） （Ⅱ）因为8000500250y x x ≥=+-2503750= 当且仅当8000500x x=且0.5x >， 即4x =立方米时不等式取等号，所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元.22. 解：（1）圆()()22:122C x y ++-=，所以圆心()1,2C -．①切线过原点，由题知，此时切线斜率必定存在，设y kx ==2k =2过原点，设x y a +=，则=，解得1a =-或3．综上所述：切线方程为(2y x =或10x y ++=或30x y +-=．（2）因为PM PO ==，且222||r PM CP +=，即()()22221111122x r x y +=++--，整理得112430x r -+=，则11322x y =-，所以222222211111339||252520PM PO x y y y y ⎛⎫⎛⎫==+=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当135y =时，2min 9||20PM =，此时1310x =-．综上所述P 为33,105⎛⎫- ⎪⎝⎭时， PM 最小，．。