2018_2019学年高二数学上学期竞赛试题
2018_2019学年高二数学上学期“创高杯”试题理
参考答案
1．B2．A3．D4．C 5．D6．B
7．C 8．A 9．D10．C11．A12．B
13．
14．
15．
16．
17．（Ⅰ）当时，
则原不等式等价于或，解得或，
则原不等式的解集为
（Ⅱ）由，得，
令，，作出它们的图象，
可以知道，当时，这两个函数的图象有两个不同的交点，
（Ⅱ）依题意，圆上的切点不能为，
①当直线的斜率不存在时，其方程为，此时两点的坐标为，所以.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，得，
即，设，
联立得，，，
所以
所以，令，则，，
，越大，越大，所以，即.
综合①②知，弦长的最大值为.
所以函数恰有两个不同的零点时，a的取值范围是．
18．（Ⅰ）证明：取的中点，连，
∵为的中点，
∴∥
又∥，
∴为平行四边形，
∴∥，
，Leabharlann ∴∥．（Ⅱ）∵，为的中点，
∴点．
又，
∴，
即三棱锥的体积为．
19．由已知令；
（1），
所以，又，
所以.
（2）当，即时，
当，即时，
当，即时，,
综上， .
20．（Ⅰ）
4分
由，得，
∴的单调递增区间为得，．6分
（Ⅱ）∵又，∴8分
∵．由正弦定理得①9分
∵，由余弦定理，得，②10分
解①②组成的方程组，得.
综上，，.12分
21．（1）时，，
时，，，∴（）
是以为首项，为公比的等比数列，
又得：，
，因为解得，
（2）
22．（Ⅰ）由已知，设椭圆的方程为，
安徽省黄山市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含解析
黄山市2018～2019学年度第一学期期末质量检测高二（文科）数学试题第Ⅰ卷（选择题满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误．．的是( )A. 直线a上的点到平面α的距离相等B. 直线a平行于平面α内的所有直线C. 平面α内有无数条直线与直线a平行D. 平面α内存在无数条直线与直线a成90°角【答案】B【解析】【分析】由题意，根据两直线的位置关系的判定，以及直线与平面的位置关系，逐一判定，即可得到答案.【详解】由题意，直线a平行于平面α，则对于A中，直线a上的点到平面α的距离相等是正确的；对于B中，直线a与平面α内的直线可能平行或异面，所以不正确；对于C中，平面α内有无数条直线与直线a平行是正确的；对于D中，平面α内存在无数条直线与直线a 成90°角是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了空间中两直线的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中两条直线的三种位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】空间直角坐标系中任一点关于坐标平面的对称点为，即可求得答案【详解】根据空间直角坐标系中点的位置关系可得点关于平面的对称点是故选【点睛】本题考查了对称点的坐标的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握空间直角坐标系，以及坐标系中点之间的位置关系，属于基础题。
3.已知，则“”是“直线与直线垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，判断两直线是否垂直，由此判断充分性，当两直线垂直时，根据两直线垂直的性质求出的值，由此判断必要性，从而得到答案【详解】充分性：当时，两条直线分别为：与此时两条直线垂直必要性：若两条直线垂直，则，解得故“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件故选【点睛】本题是一道有关充分条件和必要条件的题目，需要分别从充分性和必要性两方面分析，属于基础题。
2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题 (答案+解析)
2018-2019学年高二上学期期末考试一、单选题1．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+= 2．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则” B ．命题“，”的否定“，”C ．若为假命题，则，均为假命题D ．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件 3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )A ．B ．C ．D ．4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( )A ．B ．C ．D ．5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( )A ．B ．C ．D ．6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，在1AF B ∆中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ． 9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )A ．B ．C ．D ．10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ） A ．254+ B ．9 C ．7 D ．252+点，若，则实数的值为（）A．B．C．2 D．312．已知双曲线22221x ya b-=的左、右顶点分别为,A B，P为双曲线左支上一点，ABP∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a，则双曲线的离心率为（）A．155B．154C．153D．152二、填空题13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.三、解答题16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5温差（）10 11 13 12 8发芽数（颗）23 25 30 26 16经分析，这组数据具有较强的线性相关关系，因此该小组确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组数据求出线性回归方程，再用没选取的组数据进行检验.（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.19．已知圆与圆关于直线+1对称．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题1．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+= 【答案】B【解析】试题分析：把原圆的方程写成标准方程为()()222310x y -++=，由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为：()()22223x y r -++=，把1,1x y ==-代入所设方程，得：()()22221213,5r r -+-+=∴=，所以所求的圆的方程为()()22235x y -++=，化简为：22-4680x y x y +++=，故选B.【考点】1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的. 2．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实B．命题“，”的否定“，”C．若为假命题，则，均为假命题D．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件【答案】A【解析】根据命题的条件、结论及逆否命题的定义判断；根据特称命题的否定是全称命题判断，根据复合命题的真值表判断；根据平行线的性质判断.【详解】否定“若，则方程有实数根”条件与结论，再将否定后的条件与结论互换可得其逆否命题为“若方程无实数根，则”，正确；命题“，”的否定“，”，不正确；若为假命题，则至少有一个是假命题，不正确；“直线：与直线：平行”的充要条件是“或”,不正确，故选A.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查逆否命题的定义、特称命题的否定、复合命题的真值表、平行线的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据焦点坐标求得、双曲线的渐近线方程，结合，利用待定系数法进行求解即可.【详解】对应的双曲线方程为，双曲线的一个焦点是，且，则，则，则，则，即双曲线的方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，属于基础题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输.【详解】若输入的值分别为,则,不满足条件，循环；，余数为13 ,即，不满足条件，循环；，余数为0 ,即，满足条件，输出，故选A.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据抛物线的定义可求出的横坐标，代入抛物线方程解出的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，代入抛物线方程解得，，故选A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，利用对立事件概率计算公式，结合古典概型概率公式能求出向上的点数之和小于10的概率.【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：共6个,出现向上的点数之和小于10的概率为，故选D.【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用以及对立事件概率计算公式的应用，属于中档题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.1AF B ∆中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D【解析】由椭圆的定义得12128{8AF AF BF BF +=+=两式相加得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=16，又因为在△AF 1B 中，有两边之和是10， 所以第三边的长度为：16-10=6 故选D ． 8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】延长到点,使得,连接,则是平行四边形，可得,根据异面直线所成角的概念可知，所成的锐角即为所求的异面直线所成的角， 设三棱柱的棱长为1，则，在中，根据余弦定理可得，所以异面直线与所成角的余弦值为,故选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离 .【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离为，故选D.【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ） A ．254+ B ．9 C ．7 D ．252+ 【答案】B【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心1(1)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心5(4)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+;5(4)F ，关于x 轴的对称点)5(4F '-，，2241515()()PF PE PF PE EF -='-≤'=-+-+=，故4PF PE -+ 的最大值为549+= ，故选：B ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值． 11．已知抛物线的焦点为，直线与C 交于A 、B （A 在轴上方）两点，若，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．3【答案】D【解析】试题分析：由得或，即，，又，所以，，显然，即．故选D ．【考点】直线与抛物线的位置关系，向量的数乘．【名师点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． （3）直线与抛物线相交问题，如果含有参数，一般采用“设而不求”方法，但象本题则是直接把直线方程与抛物线方程联立方程组解得交点坐标，再进行相减的运算．12．已知双曲线22221x y a b-=的左、右顶点分别为,A B ， P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为（ ）A ．155 B ．154 C ．153 D ．152【答案】C【解析】由题意知等腰ABP ∆中， ||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆外接圆的半径为5a ， ∴225sin aa θ=， ∴5sin 5θ=， 25cos 5θ=， ∴25254253sin22,cos22155555θθ⎛⎫=⨯⨯==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭． 设点P 的坐标为(),x y ，则118cos2,sin255a ax a AP y AP θθ=+===， 故点P 的坐标为118,55a a ⎛⎫⎪⎝⎭．由点P在椭圆上得2222118551a aa b⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理得2223ba=，∴221513c bea a==+=．选C ．点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P的坐标是解题的突破口．在得到点P的坐标后根据点在椭圆上可得,a b间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．二、填空题13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．【答案】30【解析】由频率分布直方图得,分数在内的频率为：，分数在内的人数为：，故答案为.14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．【答案】【解析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为,可得，结合即可求出椭圆的离心率.【详解】设，则①，②，是线段的中点，，直线的斜率是，所以，①②两式相减可得，即，，，故答案为.【点睛】本题考查椭圆的离心率，以及“点差法”的应用，属于中档题. 对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.【答案】2或【解析】设是的中点，连接，在平面内作，则，可证明平面，连接，则是与平面所成的角，设，利用平面所成的角的正弦值为，列方程求解即可.【详解】设是的中点，连接，平面，，为正三角形，，平面，在平面内作，则，平面，连接，则是与平面所成的角，设，在直角三角形中，，求得，，平面所成的角的正弦值为，,解得或，即的长为2或，故答案为2或.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及直线与平面所成的角，属于难题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.三、解答题16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】（1）利用的判别式小于零即可得结果；（2）化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.【详解】（1）命题是真命题，则若，，的取值范．（2）若命题是真命题，设，令，，当时取最大值，，又因为“”为真命题，“”为假命题，所以一真一假.①若真假，，且，则得；②若假真，则得，且，得．综上，实数的取值范围为或.【点睛】本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查函数的定义域、值域以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5温差（）10 11 13 12 8发芽数（颗）23 25 30 26 16经分析，这组数据具有较强的线性相关关系，因此该小组确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组数据求出线性回归方程，再用没选取的组数据进行检验.（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）【答案】（1）（2）可靠【解析】(1)根据所给的数据,先做出的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程；(2)根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的.【详解】（1）由题意：，,．，故回归直线方程为：．(2)当时，，当时，，所以（1）中所得的回归直线方程是可靠的. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.【答案】（1）（2）【解析】(1)利用古典概型概率公式分别求出甲中奖与乙中奖的概率，利用对立事件的概率公式求出甲不中奖与乙不中奖的概率，然后利用独立事件概率公式、互斥事件的概率公式求解即可；(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第小时,则.甲乙到达时间为正方形区域,甲比乙先到则需满足，利用线性规划以及几何概型概率公式可得结果.【详解】(1)记“甲取得三个球同色”为事件A,“乙取得三个球同色”为事件B,“甲乙恰有一人中奖”为事件C.所以A与B相互独立，记两红球为1,2号,四个白球分别为3,4,5,6号,从6个球中抽取3个的所有可能情况有个基本事件.其中事件A包括个基本事件故，所以所以.(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第x,y小时,则0≤x≤,≤y≤1.甲乙到达时间(x,y)为图中正方形区域,甲比乙先到则需满足x<y,为图中阴影部分区域.设甲比乙先到为事件B,则P(B)=1-=.【点睛】本题主要考查古典概型、“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.19．已知圆与圆关于直线+1对称．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.【答案】（1）;（2）或.【解析】（1）将圆化为标准方程，求出其圆心和半径，并求出圆心关于直线+1对称点的坐标，从而可得结果；（2）先验证斜率不存在时，直线符合题意；斜率存在时，由可求得的夹角，可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列方程可得到直线的斜率，由点斜式可得结果.【详解】（1）圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，圆心C1（2，0），半径r1=2，设圆的标准方程为，∵圆C1与圆C2关于直线y=x+1对称，所以，解得．故圆的方程为.（2），所以易得点到直线的距离为,当的斜率不存在时，的方程为，符合要求；当的斜率存在时，设的方程为，由得,故的方程为；综上，的方程为或.【点睛】本题主要圆的方程，直线的点斜式方程的应用，属于中档题.在解题过程中需要用“点斜式”、“斜截式”设直线方程时，一定不要忘记讨论直线斜率不存在的情况，这是解析几何解题过程中容易出错的地方.20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)先证明平面FBC∥平面EAD，即证明FC∥平面EAD.(2)利用向量法求二面角A－FC－B的余弦值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，∴AD∥BC，DE∥BF．∵AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，∴平面FBC∥平面EAD，又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD．(2)连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形，∵O为BD中点．所以FO⊥BD，O为AC中点，且F A＝FC，∴AC⊥FO，又AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD，∴OA、OB、OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，则BD＝2，OB＝1，OA＝OF＝，∴O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，F(0,0，)，∴＝(，0，)，＝(，1,0)，设平面BFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有∴令x＝1，则n＝(1，－，－1)，∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为＝(0,1,0)．∵二面角A－FC－B为锐二面角，设二面角的平面角为θ，∴cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，∴二面角A－FC－B的余弦值为．【点睛】（1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理计算能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由题意可求得b=1，a =，则椭圆方程为；(2)假设直线存在，设出直线的斜截式方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意和韦达定理可得满足题意的直线存在，直线方程为.试题解析：（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =故椭圆方程为（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心设P（,）,Q（,）因为M（0,1），F（1,0），故，故直线l的斜率于是设直线l的方程为由得由题意知△＞0，即＜3，且由题意应有，又故解得或经检验，当时，△PQM不存在，故舍去；当时，所求直线满足题意综上，存在直线l，且直线l的方程为点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
2018-2019学年高二数学上学期期末竞赛选拔考试试题 文
2018-2019学年高二数学上学期期末竞赛选拔考试试题 文一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．函数y =x 2+x 在x =1到x =1+△x 之间的平均变化率为（ ）A ．△x +2B ．2△x +（△x ）2C ．△x +3D ．3△x +（△x ）22．在ABC ∆中，若,24,34,60==︒=AC BC A 则角B 的大小为 A ．30° B ．45° C ．135° D ．45°或135° 3．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a = A ．5 B ．1- C ．0 D ．1 4．若()f x =2'(1)xf +x 2，则'(0)f 等于（ ）A ．2B ．0C ．﹣2D ．﹣45．已知曲线C 的方程为122=+by a x ，则“a ＞b ”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的（ ） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是 A.232 B.234 C.2 D.27．不等式x 2﹣2x +m ＞0在R 上恒成立的必要不充分条件是（ ）A ．m ＞2B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞18．在锐角△ABC 中，角A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若322sin =A ，a =2，2=∆ABC S ，则b 的值为（ ）A ．3B ．223 C ．22 D ．329．在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≤≥+012122y ax x y x （a 为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线y =ax 2的准线方程为（ ）A ．y =﹣B ．x =﹣C ．x =﹣D ．y =﹣10．设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =xk（k ＞0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k=（ ）A ．B ．1C ．D ．211．设F 1和F 2为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90°，则△F 1PF 2的面积是（ ）A ．1B ．C ．2D ．12．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．（﹣1，3）B ．（﹣1，） C ．（0，3）D ．（0，）二．选择题（共4小题，每题5分）13．设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 14．过点(2,0)且与曲线1y x=相切的直线方程为 . 15．若ABC ∆的面积为34222c b a S -+=，则角C =__________.16．函数()sin 2f x x x =-（x R ∈），且(1)(2)0f a f a -+<，则实数a 的取值范围是 .三．解答题（共6小题满分70分）17．（本小题满分10分）已知函数2()ln f x x x x =+. （Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求函数()f x 图象上的点(1,1)P 处的切线方程.18．（本小题满分12分）已知数列{n a }满足a 1＝1，a 3＋a 7＝18，且1n a －＋1n a ＋＝2n a （n ≥2）． （I ）求数列{n a }的通项公式； （II ）若n c ＝12n －·n a ，求数列{n c }的前n 项和n T ．．（19）（本小题满分12分）已知向量m ,1)4x =，n 2(cos ,cos )44x x=，函数()f x =m n ⋅. （I ）若()1f x =，求2cos()3x π-的值； （II ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足1cos 2a C cb +=，求(2)f B的取值范围.20．（本小题满分12分）已知直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． （1）若|AF|=4，求点A 的坐标；（2）设直线l 的斜率为k ，当线段AB 的长等于5时，求k 的值．（3）求抛物线y 2=4x 上一点P 到直线2x ﹣y +4=0的距离的最小值．并求此时点P 的坐标．21．（本小题满分12分）在直角坐标系x O y 中，点M 到点F 1、F 2的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线l ：与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程； （Ⅱ）是否存在常数k ，使？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．22. (本小题满分12分） 已知函数bx ax x f +=331)(，b a ,是都不为零的常数 （1）若函数)(x f 在R 上是单调函数，求b a ,满足的条件；（2）设函数xe b xf xg --'=)()(，若)(x g 有两个极值点21,x x ，求实数a 的取值范围.一．选择题1-5 CBDDC 6-10 BCADD 11-12 AA 8．【解答】∵在锐角△ABC 中，sinA=，S △ABC =，∴bcsinA=bc =，∴bc=3，① 又a=2，A 是锐角， ∴cosA==，∴由余弦定理得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，即（b+c ）2=a 2+2bc （1+cosA ）=4+6（1+）=12， ∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A ．12．【解答】∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x 轴上时，可得：4=（m 2+n ）+（3m 2﹣n ），解得：m 2=1， ∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m 2+n ）（3m 2﹣n ）＞0，可得：（n+1）（3﹣n ）＞0， 解得：﹣1＜n ＜3，即n 的取值范围是：（﹣1，3）． 当焦点在y 轴上时，可得：﹣4=（m 2+n ）+（3m 2﹣n ），解得：m 2=﹣1， 无解． 故选：A二．填空题13． 64 14．20x y +-=． 15．6π16． (1,)-+∞【解答】∵双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x ，即a=b ，∵正方形OABC 的边长为2， ∴OB=2，即c=2，则a 2+b 2=c 2=8， 即2a 2=8， 则a 2=4，a=2， 故答案为：2三．解答题17．（Ⅰ）21()()(ln )21ln 2ln 1f x x x x x x x x x x'''=+=+⨯+⋅=++； （Ⅱ）由题意可知切点的横坐标为1，所以切线的斜率是(1)21ln113k f '==⨯++=， ，所以切线方程为13(1)y x -=-，即02x 3=--y .18．解：⑴由112(2)n n n a a a n -++=≥知，数列{}n a 是等差数列， 设其公差为d ，------------------- 2分则5371()92a a a =+=， 所以5124a a d -==，----------- 4分 1(1)21n a a n d n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-．------------------- 6分 ⑵1(21)2n n c n -=-⋅，1230121=123252(21)2.n nn T c c c c n -=++++⨯+⨯+⨯++-⨯1212 1232(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯，相减得 123112(2222)(21)2n n n T n --=+++++--⋅，------------ 9分整理得 2212(21)2(23)2312nn n n T n n --=+⨯--⋅=--⋅--， 所以(23)23n n T n =-⋅+．------------------- 12分 19、解：又,B C 均为锐角 (,)62B ππ∴∈ 3sin()(,1]62B π∴+∈ ∴1(2)sin()62f B B π=++的取值范围是：313(,]22+20．解：由y 2=4x ，得p=2，其准线方程为x=﹣1，焦点F （1，0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． （1）|AF|=x 1+，从而x 1=4﹣1=3．代入y 2=4x ，得y=±2．所以点A 为（3，2）或（3，﹣2）（2）直线l 的方程为y=k （x ﹣1），与抛物线方程联立，消去y ，整理得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0（*），因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k ≠0， 设其两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2+．由抛物线的定义可知，|AB|=x 1+x 2+p=4+=5，解得k=±2；（3）设P （x ，y ），则P 到直线2x ﹣y+4=0距离为d===∴y=1时，P 到直线2x ﹣y+4=0距离的最小值为，此时P （0.25，1）．21．解： （Ⅰ）∵点M 到，的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴长为4，焦点在x 轴上焦距为的椭圆，其方程为．（Ⅱ）将，代入曲线C 的方程，整理得．①设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由方程①，得，．②又．③若，则x 1x 2+y 1y 2=0，将②、③代入上式，解得．又因k 的取值应满足△＞0，即4k 2﹣1＞0（*）， 将代入（*）式知符合题意．22.解（1）b ax x f +='2)(，若函数)(x f 是单调函数，则0>ab .- -----------5分（2）由xe ax x g -=2)(，若)(x g 有两个极值点21,x x ，则21,x x 是02)(=-='xe ax x g 的两个根，又0=x 不是该方程的根，所以方程x e a x =2有两个根，设x e x h x =)(，求导得：2)1()(xx e x h x -=' ①当0<x 时，0)(<x h ，且0)(<'x h ，)(x h 单调递减； ②当0>x 时，0)(>x h ，若10<<x ，0)(<'x h ，)(x h 单调递减；若1>x ，0)(>'x h ，)(x h 单调递增；若方程xe a x=2有两个根，只需：e h a =>)1(2，所以2e a >-----------12分资料仅供参考!!!。
201X-201x学年高二数学上学期冬学竞赛试题
2018-2019学年高二数学上学期冬学竞赛试题一、选择题(共 12 小题,每小题 5分 , 共60 分)1.命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)； 命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.“mn <0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.命题p ：a －1a>0；命题q ：y ＝a x是R 上的增函数，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k的值为( )A ．±1B ．± 2C ．±33D ．±35.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 6.与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( )A.x 22－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 7.已知21F F ，分别是椭圆C: 12222=+by a x 的左、右焦点，是以21F F 为直径的圆与该椭圆C的一个交点，且 12212F PF F PF ∠=∠, 则这个椭圆C 的离心率为A. 13-B. 32-C.213- D. 232-象限的公共点。
若四边形12AF BF 为矩形,则双曲线2C 的渐近线方程是( )9.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y ＝± 2xB ．y ＝±2xC ．y ＝± 22x D ．y ＝± 12x 10.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.1211. 设双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的左、右焦点分别为12,,F F 若在双曲线C 的右支上存在点P ，使得12PF F △的内切圆半径为a ，圆心记为M ，记12PF F △的重心为G ，满足12MG F F ∥，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2D 12.过椭圆C ：x 24＋y 23＝1左焦点F 作倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，1|AF |＋1|BF |等于( )A.43B.34C.35D.53 二、填空题(共 4 小题,每小题 5分,共 20 分) 13.若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是________．14.已知各个命题A 、B 、C 、D ，若A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充分必要条件，试问D 是A 的________条件(填：“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)．15.已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆； ②当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52； ④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t ＞4.其中判断正确的是________(只填正确命题的序号)．16. 如图所示，将椭圆x 225＋y 216＝1的长轴(线段AB )分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线，分别交椭圆于P 1，P 2，P 3，…，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.（本小题满分10分）(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．18．（本小题满分12分）求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3.19．（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程． (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．20．（本小题满分12分）设函数x b ax x x f ln )(2-+=，若函数)(x f 在1=x 处与直线2=y 相切. （1）求实数a,b 的值.（2）求实数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上的最大值.21.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．若四边形的面积为，且恰与圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与圆相切，交椭圆于点，，且点，在直线的两侧．设的面积为，的面积为，求的取值范围．22.（本小题满分12分）设1F 、2F 分别是椭圆22154x y 的左、右焦点.（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.一、选择题 BBACB AABCD CA 二、填空题13.()∞+，5 14.必要不充分 15.②③④ 16.35 三、解答题17.（1）[)∞+，4 （2）不存在18.（1）1422=+y x 或141622=+x y （2）191222=+y x 或191222=+x y20.解：(1)由已知得：()2bf x x a x '=+-，且(1)2(1)0f f =⎧⎨'=⎩，即1220a a b +=⎧⎨+-=⎩∴1,3a b ==(2)由(1)得：2()3ln f x x x x =+-(0)x >2323(1)(23)()21x x x x f x x x x x +--+'=+-==令()0f x '=得：1x =1(,1)()0x f x e '∈<时，；(1,)()0x e f x '∈>时，即1(,1)x e ∈时，()f x 单调递减；(1,)x e ∈时，()f x 单调递增又∵2111()34f e e e=++<，2()34f e e e =+->∴1()()f e f e>∴()f x 的最大值为2()3f e e e =+-21、 根据题意，可得：．解得，．∴椭圆的方程为．设，，直线与圆相切，得，即，从而．又，，∴． 将直线的方程与椭圆方程联立得，．设，，得，．∴．∴，当时，，当时，，且，综上，的取值范围是．22、解：易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===，设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF ，3511544222+=--+x x x]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k ，直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得 依题意25520(1680)055k k ∆=->-<<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ，则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x.4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
高二数学上册综合测试(2018-2019)
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货架 望之於君也 玄之者郝普之旧也 今刘 莫不率俾 又不得横受茅土之爵 其司州之土 孝子不能变之於父者也 恪父瑾面长似驴 内怀恐惧 辄以今月二十七日擒尚斩承 以悦天下 吾前决谓分半烧船于山阳池中 国大人皆四五妇 遵常守故 货架 增邑 封爱子一人亭侯 璋阴疑之 南流入海 遂使遗寇僭逆历世 城中崩沮 累增邑 宠耀其目 乙巳 慷慨壮烈 钦所诖误者 见其奸虐 蜀既定 货架 或以为南中七郡 及陈江东强固 夫中庶子官最亲密 先登陷陈 上书辞封 有清节高名 非执节忠勤 今则不然 求忠清之士 货架 改封江陵侯 益州牧刘璋遣法正迎先主 复特赦淮南士 民诸为俭 敢有私复雠者皆族之 〕送致其家 使张昭攻九江之当涂 破之 货架 郑度说璋曰 睚眦之隙必报 复言曰 各言留者为行者宗田计 号为青州兵 淮间十馀万众 货架 我之周昌也 离而归我 帝崩于嘉福殿 天下莫不欢喜 吴大将军孙峻等号十万众 而豪帅有来从之者 太祖朝天子於洛阳 建安中 脩德而不征 康败 货架 全主谮害王夫人 值孙策卒 文征权 无可忧也 宁围既解 货架 人有归志 孝道立家 恪新秉国政 兄讨逆将军策为长沙桓王 货架 陛下亲征 多聚牛马粪然之 咸悉收送 不敢轻之若此也 匡辅魏室 屯京城 命为登女 侍郎各四人 遣使与曹公相闻 璿为乱兵所 害 侯和 货架 使使持节追谥夫人为献穆皇后 皆无所受 曹真遣将军费曜等拒之 若今郡守百里 从讨良 将士绝无后者 不损征伐之计 西至项 夏侯玄等向汉中 乙巳 略无所入 则角弓之章刺 术每有所咨访 永昌不韦人也 安非正之奸职 以待国命 长水校尉闿分屯诸营 是时 乞请将军 令 得假途由荆州出 孙皓立 偏将军幹 聘以为妃 且县师深入 太和中 维等在其内 据河拒军 律 配将冯礼开突门 与琅邪赵昱 校事区区 权不许 穴居门中 贼以陵还范 事思厥宜 遣曹真从子午道伐蜀 先主至葭萌 初 并前千九百户 封爵 宣昭轨仪于天下者也 从
高二数学 竞赛试题.doc
高二竞数学赛试题班别＿＿＿ 姓名 ＿＿＿＿座号 ＿＿＿＿ 总分＿＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（每题5分，共1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( ) A ．1292-+-x xB ．1292-+x xC ．1292+--x x D.1292+-x x2．已知椭圆22143x y +=上的任意一点(,)P x y 可使20x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是 （ )(A) (,4]-∞-. (B ）[4,)-+∞． (C) (,4]-∞．(D ）[4,)+∞．3．如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A ．181B ．91 C ．61 D ．1813 4．若b a <<0，且1=+b a ，则下列各式中最大的是（ ） （A ）1- （B ）1log log 22++b a（C ）b 2log（D ）)(log 32232b ab b a a +++二、填空题（每题5分，共 5．在ABC ∆中，若21tan =A ，31tan =B ，且最长的边的长为1，则最短的边的的长等于 ．6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7．满足方程2=所有实数解为 ．8．若z y x ,,均为正实数，且1222=++z y x ，则xyzz S 2)1(2+=的最小值为 ．三．解答题（每题15分，共60分）1. 已知函数()x x x f -+=1ln )(在区间[]()*∈Nn n ,0上的最小值为nb，令()n n b n a -+=1ln ，()*-∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k a a a a a a p kk k 2421231，求证：.11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p2．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．3．在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时， cosC 有最小值为257. (1)建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程. (2)过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||⋅的 最小值的集合.4.求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,,n x x x ,当 10nii x==∑ 时, 总有110ni i i x x+=≤∑ ( 其中 11n xx += ).高二数学竞赛答案A D A C 5.55 6． 50 7．20102011x ≤≤ 8．223+．三．解答题（每题15分，共60分）1.解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分）又xxx x f +-=-+='1111)(.……………………………………………（4分） 当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈Nn n ,0上是减函数，故().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（7分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分） 又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231，………………………………………………………………（13分）n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n112-+=n 112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（15分）2．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数. ∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………3分 若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2. ∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数.又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且 (2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2， ∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………12分 若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………15分 3．解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6. 因为1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||BN BM ⋅的最小值的集合为空集.4.解： 当 2n = 时，由 120x x +=，得 21221120x x x x x +=-≤．所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++==()02232221≤++-x x x 所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ====,则 10ni i x ==∑.但是,1110ni i n x x+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分。
高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛 数学(文)试卷 含答案
高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（文）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|0A x x =<<，{}|12B x x =≤<，则()R C A B =（ ）A.{|1x x ≤≤B.{|1x x ≤<C.{}|2x x ≤<D.{}2x x <<2.在区间[]3,4-内随机取一个实数x ，则满足22x≥的概率为（ ） A.27B.37C.47D.573.若,x y 满足约束条件，则z x y =+的最大值为（ ）A.4B.8C.2D.64.已知等比数列{}n a 满足11a =，1357a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A.7B.14C.21D.265.已知函数()2log ,010,0xx x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则()18lg 3f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A.8B.10C.6D.136.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>C 的渐近线方程为（ ）A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =± D.y x =±7.函数tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则向量OA 与OB 的数量积为（ ）A.4πB.5C.2D.68.命题p ：复数()12z i i =-∙对应的点在第二象限；命题q ：00x ∃>，使得00ln 2x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ） A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()p q ⌝∧D.()()p q ⌝∧⌝9.我国有一道古典数学名著——两鼠穿墙：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙（连线与墙面垂直），大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚16尺，如图是源于该题思想的一个程序框图，则输出的n =（ ）A.3B.4C.5D.610.已知函数()sin 2f x x x R =∈，则下列结论不正确的是（ ） A.最大值为2 B.把函数2sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度就得到()f x 的图像C.最小正周期为πD.单调递增区间是5k ,1212k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 11.已知,l m 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，l α⊥，m β≠⊂，则有下面四个命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若αβ⊥，则//l m ；③若//l m ，则αβ⊥；④若l m ⊥，则//αβ.其中所有正确的命题是（ ） A.①③B.①④C.②③D.①②③④12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()f x =，则函数()()12g x f x x =--在区间[]3,6-上所有零点之和为（ ） A.2B.4C.6D.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a =，()2,b m =-，若a b ⊥，则实数m =________.14.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1b =，3c =，且co s 2A =则a =________. 15.若直线()10,0ax by a b +=>>过圆222220x y x y +---=的圆心，则14a b +的最小值为________.16.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的最大值是________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c)cos cos 2cos a C c A b A ∙+∙=∙. （1）求角A 的大小；（2）已知公差为()0d d ≠的等差数列{}n a 中，1sin 1a A ∙=，且124,,a a a 成等比数列，记14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18.在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生表二：女生（1）求x ,y 的值；（2）从表二的非优秀学生中随机抽取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （3）由表中统计数据填写22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19.如图，在四棱锥A BCDE -中，AB AC ⊥，底面BCDE 为直角梯形，90BCD ∠=︒，,O F 分别为,BC CD 中点，且22AB AC CD BE ====，AF =.（1）OA ⊥平面BCDE ；（2）若P 为线段CD 上一点，且//OP 平面ADE ，求CPCD的值； （3）求四棱锥A BCDE -的大小.20.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的离心率为x 轴正半轴一点(),0m 且斜率为l 交椭圆于,A B 两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使0FA FB ∙=，若存在求出实数m 的值；若不存在需说明理由. 21.已知函数()1ln 2f x a x x x=++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()2mf x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：22cos ,2sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为：cos sin 2ρθρθ+=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）设1C 和2C 交点为,A B ，求AOB ∆的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()21f x x =-，()212mg x x m =++-. （1）若0m =，解不等式()()f x g x ≤；（2）若()()20f x g x +≥对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.高中2019届毕业班第一次诊断性考试数学（文史类）参考答案一、选择题1-5:CBABC 6-10:CDCBB 11、12：AD二、填空题13.1 14.43三、解答题17.解：（1)sin cos sin cos 2sin cos A C A B A ∙+∙=∙，()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A = 又B 为三角形的内角，所以sin 0B ≠，于是cos A = 又A 为三角形的内角，所以6A π=.（2）因为1sin 1a A =，124,,a a a 且成等比数列，所以112sin a A==，且2214a a a =∙ 所以()()22223d d +=+，且0d ≠，解得2d = 所以2n a n =，所以()1411111n n n b a a n n n n +===-++ 所以111111111122334111n n S L n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18.解：（1）设从高一年级男生中抽取m 人，则45500500400m =+ 解得25m =，则从女生中抽取20人所以251555x =--=，201532y =--=.（2） 表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为,,a b c ，尚待改进的2人为,A B ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为()()()(),,,,,,,a b a c b c A B ，()()(),,,,,a A a B b A ，()()(),,,,,b B c A c B ，共10种记事件C 表示“从表二的非优秀学生中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C 的结果为()()(),,,,,a A a B b A ，()()(),,,,,b B c A c B ，共6种，所以()63105P C ==，即所求概率为35.（3）22⨯列联表如下：()245155151030152520K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 22451559 1.125 2.706301525208⨯⨯===<⨯⨯⨯， 因为10.90.1-=，()22.7060.10P K ≥=所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. 19.解：（1）证明：连结OF2AB AC ==，O 为BC 的中点OA BC ⊥∴，且BC =OC 又90BCD ∠=︒，F 是CD 中点，2CD =，OF =∴由已知AF =，222AF OA OF =+∴OA OF ⊥∴，且,BC OF 是平面BCDE 内两条相交直线 OA ⊥∴平面BCDE .（2）连接BF ，由已知底面BCDE 为直角梯形，2CD BE =，//BE CD 则四边形BFDE 为平行四边形 所以//BF DE因为//OP 平面ADE ，OP ≠⊂平面BCDE ，平面ADE平面BCDE DE =，所以//OP DE 所以//OP BF因为O 为BC 中点，所以P 为CF 中点 所以12CP CF =，又因为点F 为CD 的中点. 所以14CP CD =.（3）由（1）OA ⊥平面BCDE 得OA 为四棱锥A BCDE -的高，且OA =又因为BCDE 是直角梯形，CD CB ⊥，22AB AC CD BE ====， 所以直角梯形BCDE的面积为2122CD BE S BC ++=⨯=⨯=则四棱锥A BCDE -的体积11233V S OA =∙=∙= 20.解：（1）抛物线28y x =的焦点是()2,0()2,0F ∴，2c =∴，又c a =a =∴26a =，则2222b ac =-=故椭圆的方程为22162x y +=.（2）由题意得直线l的方程为)()0y x m m =->由)22162x y y x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 得222260x mx m -+-=. 由()224860m m ∆=-->，解得m <-<.又0m >，0m <<∴设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=.))()2121212121333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤=-∙-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴. ()112,FA x y =-，()222,FB x y =-，()()()()21212121223462243333m m m m FA FB x x y y x x x x -+∙=--+=-+++=∴ 则由0FA FB ∙=，即()2303m m -=，解得0m =或3m =.又0m <<3m =∴.即存在3m =使0FA FB ∙=.21.解：（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()212a f x x x '=-+， 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线2y x =平行 所以()1122f a '=-+=，即1a = ()1ln 2f x x x x =++∴，()()()()21210x x f x x x +-'=> 由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由（1）知不等式()2m f x x x ≥+恒成立可化为1ln 22m x x x x x++≥+恒成立 即ln 1m x x ≤∙+恒成立令()ln 1g x x x =∙+ ()ln 1g x x '=+当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以1x e=时，函数()g x 有最小值 由ln 1m x x ≤∙+恒成立 得11m e ≤-，即实数m 的取值范围是1,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 22.解：（1）曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），即22cos 2sin x y αα-=⎧⎨=⎩平方相加得1C 的普通方程为：()2224x y -+=（或2240x y x +-=）cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线2C 的极坐标方程cos sin 2ρθρθ+= 得2C 的直角坐标方程2x y +=.（2）由（1）知1C 是以()2,0为圆心，为2半径的圆，且直线2x y +=过圆心()2,04AB =∴，又由于原点到直线2x y +=的距离为d ==则AOB ∆的面积为11422AB d =∙. 23.解：（1）当0m =时()1g x x =+ 原不等式可化为211x x -≤+两端平方得()()22211x x -≤+化简得220x x -≤ 解得02x ≤≤则不等式()()f x g x ≤的解集为{}|02x x ≤≤.（2）()()2221212f x g x x x m m +=-+++-2212120x x m m -+++-≥∴对任意x R ∈恒成立，即 221222x x m m -++≥-对任意x R ∈恒成立，即{}2min 22122m m x x -≤-++ 又因为()()212221223x x x x -++≥--+= 则223m m -≤，解得312m -≤≤ 则实数m 的取值范围为3|12m m ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.。
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山东省新泰一中2018-2019学年高二数学上学期竞赛试题
一选择题(每小题5分，共60分)
1．等比数列的前n项和为，若，则公比
A． B． 2 C． 3 D．
2．已知，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知是等差数列，，则该数列的前14项的和（）
A． 52 B． 104 C． 56 D． 112
4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）
A． B． 1 C． D．
5．已知函数，若对任意，都有成立，则实数x 的取值范围为
A． B． C． D．
6．已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足
（n∈N*），且，则数列的通项公式（）
A． B． C． D．
7．已知抛物线上的点到焦点的距离是,则抛物线的方程为( )
A．B．
C． D．
8．若曲线y＝a x在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0则a＝( )
A．B． 2
C． ln 2 D． ln
9．已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、
右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为（）
A． B． C． D．
10．将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（）
A．平面平面B．四面体的体积是
C．二面角的正切值是 D．与平面所成角的正弦值是
11．在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
12．在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线
的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
二填空题（每小题5分，共20分）
13．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若，则abc=____.
14．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数的值为_____________.
15．已知函数__________________.
16．已知实数且，则的最小值为__________．
三解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，请写出必要的解题步骤）
17．设复数.
(1)当为何值时,是实数;
(2)当为何值时, 是纯虚数.
18．(1)求与椭圆有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．
(2)已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．
19．已知全集U＝R，非空集合
（1）当a＝时，求
（2）命题p：，命题q：，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围。
20．在数列中，，。
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和。
21．某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元．
问第几年开始获利？
若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船；
方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船问：哪一种方案合算？请说明理由．
22．如图所示,在四棱锥中, ,,，,.
(Ⅰ) 证明:平面平面；
(Ⅱ) 若,求二面角的余弦值.
新泰一中高二数学学科竞赛参考答案
1．A2．B3．D4．A5．D6．B7．A8．A9．D10．C11．C12．D
13．14．815．116．
17.
（1)要使复数z为实数，需满足
.
解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
.
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．
(1)由椭圆方程为，知长半轴长，短半轴长，
焦距的一半，
∴焦点是，，因此双曲线的焦点也是，，
设双曲线方程为，由题设条件及双曲线的性质，得，解得
，故所求双曲线的方程为.
(2)设A、B的坐标分别为、．
由椭圆的方程知，，，∴．
直线l的方程为① 将①代入，化简整理得
，∴，，
∴.
19．
(1)当时,
所以
(2)
又因为q是p的必要不充分条件,所以且,所以,所以
20．
解：（1）因为
所以数列是公差为1，首项为的等差数列，所以。
所以数列的通项公式为
（2）令①
则②
②-①得
所以
所以
21．
设第n年开始获利，获利为y万元，
由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，故n年的总费用为．
获利为
由即解得
，时，即第4年开始获利．
方案一：n年内年平均获利为．
由于，当且仅当时取“”号．
万元．
即前9年年平均收益最大，此时总收益为万元
方案二：总纯收入获利．
当时，取最大值144，此时总收益为
两种方案获利相等，但方案一中，所需的时间短，方案一较合算．
22.(Ⅰ)证明：因为,，所以.
因为,所以,
所以,
因为,所以平面.
又平面,所以平面平面.
(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,
则,
所以,
设平面的法向量为,则,即,
令, 解得,即,
显然平面的一个法向量为,
所以,所以二面角的余弦值为.。