高二数学上学期创高杯竞赛试题

高二数学上学期创高杯竞赛试题时量120分钟 总分150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．（5分）若131a 2⎛⎫= ⎪⎝⎭,13b log 2=,12c log 3=,则a,b,c 的大小关系是( )A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<2．（5分）在等比数列{}n a 中,121a a =,369a a =,则24a a =（ ）A ．3B ．3±C D ．3．（5分）设命题1:()p f x x =在定义域上为减函数；命题:()cos()2q g x x π=+为奇函数,则下列命题中真命题是( ) A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝4．（5分）下面命题正确的是 A ．若0x ≠,则12x x+≥B ．命题“0x R ∃∈,2000x x -≤”的否定是“x R ∃∈,20x x ->”C ．若向量a ,b 满足0a b ⋅<,则a 与b 的夹角为钝角D ．“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件5．（5分）在ABC △中, sin 2B =,1AB =,3BC =,则AC =（ ）AB ．C ．3D6．（5分）已知点P 为抛物线24y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是,B A 点坐标为()3,4-,则+PA PB 的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．D ．17．（5分）已知双曲线的一个焦点与圆2260x y x +-=的圆心重合,且其渐近线的方程为y =,则该双曲线方程为（ ）A．2212yx-=B．22136x y-=C．2212xy-=D．22136y x-=8．（5分）如图,某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为（）A3B23C3D．39．（5分）已知α,β是两个不重合的平面,直线aα⊂,:p aβ,:qαβ,则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）若x,y满足20,220,2,x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则3x y+的最小值为（）A．2 B．10 C．4 D．811．（5分）以下命题正确的个数是（）①“1x>”是“12log(2)0x+<”的充分不必要条件②命题“20000,10x x x∃>+-<”的否定是“20,10x x x∀≤+-≥”③如果关于x的不等式|3||4|x x a-+-<的解集不是空集,则a的取值范围是(1,)+∞④命题“在ABC△中,若A B>,则sin sinA B>”的逆命题为假命题A．0 B．1 C．2 D．312．（5分）意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,,即()()()()()121,12F F F n F n F n===-+-()3,n n N*≥∈,此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ,则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672 B ．673C ．1346D ．2019第II 卷（非选择题)二、填空题13．（5分）《九章算术》是我国古代著名的数学典籍,其中有一道数学问题：“今有勾八步,股十五步。

问勾中容圆,径几何？”意思是：在两条直角边分别为八步和十五步的直角三角形中容纳一个圆,请计算该圆直径的最大值为________步. 14．（5分）已知数列{}n a 满足11a =, 11lg lg 2n n a a +=+,则9a =______． 15．（5分）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列,则cos B 的最小值为_____.16．（5分）已知O 为坐标原点,F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点,过点F的直线在第一象限与椭圆C 交与点P ,且POF ∆为正三角形,则椭圆C 的离心率为________.三、解答题17．（10分）计算：（1）220318()1)2-- （2）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23++⋅+．18．（12分）在ABC ∆中,tan 3tan A B =-,cos cos b C c B +=． （1）求角C 的大小；（2）设2()sin()cos ()2x B f x x A +=++,其中5[0,]6x π∈,求()f x 取值范围．19．（12分）设等差数列{}n a 的公差为d,d 为整数,前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q,已知11a b =,22b =,d q =,10100S =,*n N ∈ （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设nnnacb=,求数列{}nc的前n项和为nT.20．（12分）如图,菱形ABCD所在平面与ABE∆所在平面垂直,且5AB BE==,3cos cos5ABC ABE∠=∠=.（1）求证：AB⊥CE（2）求点A到平面CDE的距离.21．（12分）已知抛物线,过点的动直线交抛物线于,两点（1）当恰为的中点时,求直线的方程；（2）抛物线上是否存在一个定点,使得以弦为直径的圆恒过点？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由22．（12分）设函数()222f x x tx=-+,且函数()f x的图象关于直线1x=对称．(1)求函数()f x在区间[]0,4上的最小值；(2)设()()f xh xx=,不等式()220x xh k-⋅≥在[]1,1x∈-上恒成立,求实数k的取值范围参考答案1．D 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7．B 8．A 9．B 10．C 11．C 12．C 13．6 14．10000 15．12161 17．（1）原式220318()1)2-=-4431ππ=-+--+2=（2）原式()()22lg52lg 2lg5lg 21lg 2=++⋅++()2lg2lg5lg2lg5=+⋅++2lg 2lg5=++21=+3=18．（1）因为tan 3tan A B =-,所以sin cos 3sin cos A B B A =-, 所以2222c a b =- ,又因为cos cos b C c B +=,所以a = ,解得3c b a ==,由余弦定理得cos 2C =,因为()0,C π∈,所以6C π=.（2）()31sin 42f x x x =-+ 31cos 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,因为50,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以,66x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 所以()f x取值范围为21,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.19．解：（1）有题意可得：1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩,解得1929ad=⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）或112ad=⎧⎨=⎩,所以n a＝2n﹣1,12nnb-=．（2）∵nnnacb=,1212n nnc--=,∴2313572112222n nnT--=+++++①,2345113579212222222n nnT-=++++++②,①﹣②可得221111212323222222n n n nn nT--+=++++-=-,故12362n nnT-+=-．20．（1）作EO AB⊥,垂足为O,连接CO,由3cos cos5ABC ABE∠=∠=,BE BC=,BO BO=,可得EBO CBO∆≅∆,所以2COB EOBπ∠=∠=,CO AB∴⊥,因为CO EO O=,所以AB⊥平面COE,因为CE⊂平面COE,所以AB CE；（2）由（1）知,OE⊥平面ABCD,所以OE是三棱锥E ACD-的高,且4OE=, 由5AD CD==,3cos cos5ADC ABC∠=∠=,得4in5s ADC∠=,所以ADC∆的面积11sin102S AD DC ADC=⋅∠=,三棱锥E ACD-的体积1114033V OE S=⋅=,由（1）知, AB CE,又//AB CD,所以CD CE⊥,由4OC OE==,OC OE⊥,可得42CE=,因为5CD=,所以CDE∆的面积211022S CD CE=⋅=设点A 到平面CDE 的距离为h ,则三棱锥A CDE -的体积2213V h S =⋅=,由21V V =得4033=,h =因此,点A 到平面CDE 的距离为21．（1）设,两点坐标分别为,,当恰为的中点时, 显然,故,又,故 则直线的方程为（2）假设存在定点,设,当直线斜率存在时,设,,,联立 整理得,,,,由以弦为直径的圆恒过点知, 即 即 故,即 整理得即当时,恒有,故存在定点满足题意； 当直线斜率不存在时,,不妨令,,,也满足 综上所述,存在定点,使得以弦为直径的圆恒过点22．(1)∵()f x 关于直线1x =对称,∴1t =,故()222f x x x =-+= ()211x -+,∴,函数()f x 在[]0,1上单调递减,在[]1,4上单调递增,∴当1x =时,()f x 的最小值为1 ． (2) ()220xxh k -⋅≥可化为22222xxx k +-≥⋅,化为21112222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭,令12x t =,则2221k t t ≤-+,因[]1,1x ∈-故1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,记()2221G t t t =-+,∵1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故()min 12G t =, ∴k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．。