高二数学上学期全科竞赛试题

高二数学上学期全科竞赛试题考试时间：120分钟；试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特点,问第100项为（ ） A.10 B.14 C.13 D.1002.已知实数x,y 满足 ,若直线kx ﹣y+1=0经过该可行域,则实数k 的最大值是（ ）A.1B.C.2D.33.设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于（ ） A.0 B.37 C.100 D.﹣374.已知等差数列中,前n 项和为 , 若,则等于（ ）A.12B.33C.66D.11 5.若实数x 、y 满足,则Z=的取值范围为（ ）A.（﹣∞,﹣4]∪[ ,+∞）B.（﹣∞,﹣2]∪[ ,+∞）C.[﹣2, ]D.[﹣4, ]6.等差数列{a n }的前三项依次为a ﹣1,a+1,2a+3,则此数列的第n 项a n =（ ） A.2n ﹣5 B.2n ﹣3 C.2n ﹣1 D.2n+17.若3a+4b=ab,a ＞0且b ＞0,则a+b 的最小值是（ ） A. B. C.D.8.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若3cos 2cos a C c A =,1tan 3A =,则角B 的度数为（ ）A ．120B ．135C ．60D ．459.已知等比数列{}n a 的n 前项积为n T ,若2228log log 2a a +=,则9T 的值为（ ） A. 512± B. 512 C. 1024± D. 102410.在△ABC 中,内角A,B 所对的边分别为a,b,若a cos A ＝b cos B,则△ABC 的形状一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形11.在等比数列{a n }中,a 1＋a n ＝34,a 2a n －1＝64,且前n 项和S n ＝62,则项数n 等于( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12.满足45,6,2A c a ===的ABC ∆的个数记为m ,则m a 的值为（ ）A. 4B. 2C. 1D. 无法确定第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上 13.已知 0<x<1 ,则函数的最小值为 ．14.若不等式22492kx y xy +≥对一切正数,x y 恒成立,则整数k 的最大值为________ 15.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>, 320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为__________．16.设等差数列的前14项和,已知均为正整数,则公差____.三、解答题（本大题共6小题,70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分） 设z=2y ﹣2x+4,式中x,y 满足条件 ,求z 的最大值和最小值．18. （本小题满分12分）设数列{a n }的前n 项和是S n , 若点A n （n, ）在函数f （x ）=﹣x+c 的图象上运动,其中c 是与x 无关的常数,且a 1=3（n∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =aa n ,求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．19. （本小题满分12分）在△ABC 中, （1）已知a=2bsinA,求B ；（2）已知a 2+b 2+ ab=c 2 , 求C ．20.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S , 11a =, ()*11,1n n a S n N λλ+=+∈≠,且1a 、22a 、33a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b n a =⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .21.（本小题满分12分）设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数()()2f x x ax a R =-∈.（1）若2a =,求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[)1,x ∈+∞时, ()22f x x ≥--恒成立,求a 的取值范围.参数答案1.B2.B3.C4.B5.B6.B7.D8.B9.A 10.D 11.B 12.A13.9 14.315.6:5:4 16.-117.解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2y﹣2x+4得y=x+ ,平移直线y=x+ ,由图象可知当直线y=x+ 经过点A（0,2）时,直线y=x+ 的截距最大,此时z最大,z max=2×2+4=8．直线y=x+ 经过点B时,直线y=x+ 的截距最小,此时z最小,由 ,解得 ,即B（1,1）,此时z min=2﹣2+4=4,即z的最大值是8,最小值是4．【解析】17.作出不等式组对应的平面区域,由z=2y﹣2x+4得y=x+ ,利用数形结合即可的得到结论．18.（1）解：∵点A n（n, ）在函数f（x）=﹣x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3（n∈N*）．∴ =﹣n+c,即S n=﹣n2+cn,∴n=1时,a1=S1=﹣1+c=3,解得c=4．当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=﹣n2+4n﹣[﹣（n﹣1）2+4（n﹣1）]=﹣2n+5,n=1时也成立．∴a n=﹣2n+5．（2）解：b n=a =a﹣2n+5=﹣2（﹣2n+5）+5=4n﹣5．∴n=1时,b1=﹣1＜0；n≥2时,b n＞0．因此,当n=1时,数列{b n}的前n项和T n取得最小值﹣1【解析】18.（1）由已知可得： =﹣n+c,即S n=﹣n2+cn,再利用递推关系即可得出．（2）b n=a =a﹣2n+5=4n﹣5．可知：n=1时,b1=﹣1＜0；n≥2时,b n＞0．即可得出．．【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式,掌握数列{a n}的前n项和s n与通项a n的关系；如果数列a n的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．19.（1）解：∵ a=2bsinA,由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA,sinA≠0,化为sinB= ,B∈（0,π）,∴B= 或（2）解：∵a2+b2+ ab=c2,∴cosC= = =﹣ ,又C∈（0,π）,∴C=【解析】19.（1）由正弦定理可得： sinA=2sinBsinA,sinA≠0,化为sinB= ,即可得出；（2）利用余弦定理即可得出．【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义,掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此题．20.（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）()121nn T n =-⋅+【解析】20.试题分析：（Ⅰ）由11n n a S λ+=+可得()112n n a S n λ-=+≥,两式相减,验证1a即可得结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得12n n n b na n -==⋅,利用错位相减法求解即可.试题解析：（Ⅰ）∵11n n a S λ+=+（*n N ∈）,∴()112n n a S n λ-=+≥, ∴1n n n a a a λ+-=,即()11n n a a λ+=+（2n ≥）,10λ+≠, 又11a =, 2111a S λλ=+=+,∴数列{}n a 是以1为首项,公比为1λ+的等比数列,∴()231a λ=+,∴()()241113λλ+=+++,整理得2210λλ-+=,得1λ=,∴12n n a -=．（Ⅱ）12n n n b na n -==⋅,∴1211122322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅,①∴()12121222122n n n T n n -=⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅,②①-②得2112222n nn T n --=+++⋯+-⋅ ()112212nnn ⋅-=-⋅-,整理得()121nn T n =-⋅+．21.（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（II ）ABC ∆ 23+【解析】21.试题分析：（Ⅰ）将已知函数解析式用二倍角公式化简可得()1sin22f x x =-,将整体角2x 分别代入正弦函数的单调增区间和单调减区间内,求得x 的范围即为所求．（Ⅱ）由02A f ⎛⎫=⎪⎝⎭可得sin A 的值,从而可得cos A ．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-,由基本不等式可得bc 的范围,从而可得三角形面积的最大值．试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin21sin21sin2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A = 由题意知A 为锐角,所以cos A =由余弦定理： 2222cos a b c bc A =+- 可得：2212b c bc +=+≥即：2bc ≤+当且仅当b c =时等号成立．因此1sin 2bc A ≤ABC ∆22.（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(],4-∞.【解析】22.试题分析：（1）将a 的值代入函数,解不等式即可；（2）先分离参数,再构造新函数()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,结合函数的性质和恒成立的条件可得a 的取值范围.试题解析：（1）若()2,3a f x =≥ 即()()2230,310x x x x --≥-+≥所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥ （2）()22f x x ≥--即12a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭在[)1,x ∈+∞时恒成立, 令()12h x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立,又()124h x x x ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭,当且仅当1x x =即1x =等号成立,所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(],4-∞.。