第8讲 抛物线(2)(2014!师。培优竞赛新方法。)

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①∵该函数图象的开口向下，∴a＜0；又对称轴 x=-������������＜0，∴b＜0； 而该函数图象与 y 轴交于正半轴，故 c＞0，∴abc＞0，正确； ②当 x=-2 时，y＜0，即 4a-2b+c＜0；正确； ③根据题意得，对称轴-1＜x=- ＜0，∴2a-b＜0，正确；
������������ ������
������
2
������ ������
∵CD∥y 轴，∴点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，为 ������������， 2 ∴y1= ������������ =3a，∴点 D 的坐标为（ ������������，3a）， ∵DE∥AC，∴点 E 的纵坐标为 3a，∴ ������ =3a，∴x=3 ������，∴点 E 的坐标为（3 ������，3a）， ∴DE=3 ������- ������������，DE/AB=(3 ������- ������������)/ ������=3- ������．故答案为：3- ������． ★3、(2014.湖南株洲)如果函数 y=(a-1)x +3x+ 范围是
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B组 ★★6.(2014.江西抚州) 如图，抛物线 y=ax +2ax（a＜0）位于 x 轴上方的图象记为 F1，它与 x 轴交于 P1、 O 两点，图象 F2 与 F1 关于原点 O 对称，F2 与 x 轴的另一个交点为 P2，将 F1 与 F2 同时沿 x 轴向右平移 P1P2 的长度即可得到 F3 与 F4；再将 F3 与 F4 同时沿 x 轴向右平移 P12P 的长度即可得到 F5 与 F6；…；按这样的方
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【例 3】(1)(2014.江苏省南京市)已知二次函数 y=ax +bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x …… -1 0 1 2 3 …… y …… 10 5 2 1 2 …… 则当 y<5 时，x 的取值范围是 0<x<4 。 ★(2)(山东省聊城市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线 所的阴影部分的面积为（B） A、2； B、4； C、8； D、16
★4、（2014.浙江杭州）设抛物线 y=ax +bx+c（a≠0）过 A（0，2）B（4，3）C 三点，其中 C 在直线 x=2 上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离为 1，则该抛物线的函数解析式为
由已知可得：抛物线对称轴为 X=1 或 X=3, ∴得方程组： c=2 ①;16a+4b+c=3
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抛物线(2)（解析式）
【知识纵横】 一般地说来,我们称函数 ( a 、b 、c 为常数, a 0 )为 x 的二次函数,其图象为一条抛物 线,与抛物线相关的知识有: 1. a 、 b 、 的符号决定抛物线的大致位置; 2.抛物线关于 对称,抛物线开口方向、 开口大小仅与 a 相关,抛物线在顶点( ,
★★【例 2】(天津市中考)二次函数 y x 2 bx c 的图象如图所示,现有以下结论:①abc>0;②b<a+c;③
4 a 2b c 0 ;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1).其中正确的结论有(
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C
)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
思路点拨 由抛物线的位置确定 a 、 b 、 c 的符号;解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综 合推理. ①如图，抛物线开口方向向下，则 a＜0．对称轴为 x=-b/2a =1，则 b=-2a＞0， 抛物线与 y 轴交点（0，c）的纵坐标 c＞0，所以，abc＜0．故①错； ②当 x=-1 时，y=a-b+c＜0，所以 b＞a+c，故②错； ③当 x=2 时，y=4a+2b+c＞0，故以③正确； ④因为 a=-1/2 b，又 a-b+c＜0，所以 2c＜3b，④正确； ⑤因为当 m=1 时，有最大值；当 m≠1 时，有 am +bm+c＜a+b+c，所以 a+b＞m（am+b﹚） ，⑤正确． 综上所知③④⑤正确．
������
④∵
������������������−������������ ������������
＞2，a＜0，∴4ac-b ＜8a，即 b +8a＞4ac，正确．故选 D．
2
2
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8、 （2014.山东泰安）二次函数 y=ax +bx+c 的图象过点（-1，4），且与直线 y=﹣ x+1 相交于 A、B 两点 （如图） ，A 点在 y 轴上，过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C（﹣3，0） ． （1）求二次函数的表达式； （2）点 N 是二次函数图象上一点（点 N 在 AB 上方） ，过 N 作 NP⊥x 轴，垂足为点 P，交 AB 于点 M，求 MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，点 N 在何位置时，BM 与 NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的 N 点的坐标．
4ac b 2 )处 4a
取得最值; 3.抛物线的解析式有下列三种形式: ①一般式: y ax2 bx c ; ②顶点式: ; ③交点式: y a( x x1 )( x x 2 ) ,这里 x 1 、 x 2 是方程 的两个实根. 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件,灵活地选用不同方法求出 抛物线的解析式是解与抛物线 相关问题的关键. 注:对称是一种数学美,它展示出整体的和谐与平衡之美,抛物线是轴对称图形,解题中应积极捕捉、创 造对称关系,以便从整体上把握问题,由抛物线捕捉对称信息的方式有: (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息; (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被 x 轴所截得的弦长获得对称信息. 【例题求解】 2 ★★【例 1】 (2014.新疆乌鲁木齐)对于二次函数 y=ax -（2a-1）x+a-1(a≠0),有下列结论： ①其图象与 x 轴一定相交; ②若 a<0，函数在 x>1 时，y 随 x 的增大而减小; ③无论 a 取何值，抛物线的顶点始终在同一直线上; ④无论 a 取何值， 函数图象都经过同一个点。 其中正确的结论是 （填写正确结论的序号） 思路点拨：因解析式中含有参数，故增强了解决问题的探索性，把相关量用参数表示，变形、消参、 转译是解决问题的关键。
★7、(福州市中考)如图所示二次函数 的图象经过点（-1，2），且与 x 轴交点横坐 2 标分别为 x1、x2，其中-2< x1<-1，0< x2<1，下列结论： ①4a-2b+c<0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b +8a>4ac. 其中正确结论的有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
9、 （2014.山东德州）如图，抛物线 y=x 在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依 次为 A1，A2，A3…An，…．将抛物线 y=x2 沿直线 L：y=x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： ①抛物线的顶点 M1，M2，M3，…Mn，…都在直线 014 的坐标为（ 4027 ， 4027 ） ．
解：∵点 A（a-2b，2-4ab）在抛物线 y=x2+4x+10 上， ∴（a-2b）2+4× （a-2b）+10=2-4ab，a2-4ab+4b2+4a-8b+10=2-4ab， 2 （a+2） +4(b-1)2=0，解得 a=-2，b=1， ∴a-2b=-2-2× 1=-4，2-4ab=2-4× （-2）× 1=10， ∴点 A 的坐标为（-4，10） ∵对称轴为直线 x=-4/(2× 1)=-2，∴点 A 关于对称轴的对称点的坐标为（0，10） ． 故选 D．
（2）设图象 Fm、Fm+1 的顶点分别为 Tm、Tm+1（m 为正整数），x 轴上一点 Q 的坐标为（12，0）．试探究：当 a 为何值时，以 O、Tm、Tm+1、Q 四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时 m 的值．
分析： （1）①直接把 a=1 代入抛物线的解析式即可得出结论； ②根据该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为 1 和-1 即可得出结论； （2）设 OQ 中点为 O′，则线段 TnTn+1 经过 O′，再根据图形平移的性质即可得出结论． 解： （1）当 a=-1 时，①y=ax2+2ax=-x2-2x=-（x+1）2+1， ∴图象 F1 的顶点坐标为： （-1，1） ； ②∵该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为 1 和-1， ∴点 H（2014，-3） ，不在该“波浪抛物线”上， ∵图象 Fn 的顶点 Tn 的横坐标为 201， 201÷4=50…1，故其图象与 TnTn+1=OQ=12 时，四边形 OTnTn+1Q 为矩形， ∴O′Tn+1=6， ∵F1 对应的解析式为 y=a（x+1）2-a， ∴F1 的顶点坐标为（-1，-a） ， ∴由平移的性质可知，点 Tn+1 的纵坐标为-a， ∴由勾股定理得（-a）2+12=62， ∴a=± 35， ∵a＜0， ∴a=-35 与 F2，F4…形状相同， 则图象 Fn 对应的解析式为：y=（x-201）2-1， 其自变量 x 的取值范围为：200≤x≤202． 故答案为：不在，y=（x-201）2-1，200≤x≤202． （2）设 OQ 中点为 O′，则线段 TmTm+1 经过 O′， 由题意可知 OO′=O′Q，O′Tm=O′Tm+1， ∴当时 m 的值为 4．
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式一直平移下去即可得到一系列图象 F1，F2，…，Fn．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．
（1）当 a=-1 时，①求图象 F1 的顶点坐标； ②点 H（2014，-3） （填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象 Fn 的顶点 Tn 的横坐 ，其自变量 x 的取值范围为 。