第8讲 抛物线(2)(2014!师。培优竞赛新方法。)
4
①∵该函数图象的开口向下，∴a＜0；又对称轴 x=-������������＜0，∴b＜0； 而该函数图象与 y 轴交于正半轴，故 c＞0，∴abc＞0，正确； ②当 x=-2 时，y＜0，即 4a-2b+c＜0；正确； ③根据题意得，对称轴-1＜x=- ＜0，∴2a-b＜0，正确；
������������ ������
������
2
������ ������
∵CD∥y 轴，∴点 D 的横坐标与点 C 的横坐标相同，为 ������������， 2 ∴y1= ������������ =3a，∴点 D 的坐标为（ ������������，3a）， ∵DE∥AC，∴点 E 的纵坐标为 3a，∴ ������ =3a，∴x=3 ������，∴点 E 的坐标为（3 ������，3a）， ∴DE=3 ������- ������������，DE/AB=(3 ������- ������������)/ ������=3- ������．故答案为：3- ������． ★3、(2014.湖南株洲)如果函数 y=(a-1)x +3x+ 范围是
2
B组 ★★6.(2014.江西抚州) 如图，抛物线 y=ax +2ax（a＜0）位于 x 轴上方的图象记为 F1，它与 x 轴交于 P1、 O 两点，图象 F2 与 F1 关于原点 O 对称，F2 与 x 轴的另一个交点为 P2，将 F1 与 F2 同时沿 x 轴向右平移 P1P2 的长度即可得到 F3 与 F4；再将 F3 与 F4 同时沿 x 轴向右平移 P12P 的长度即可得到 F5 与 F6；…；按这样的方
2
【例 3】(1)(2014.江苏省南京市)已知二次函数 y=ax +bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x …… -1 0 1 2 3 …… y …… 10 5 2 1 2 …… 则当 y<5 时，x 的取值范围是 0<x<4 。 ★(2)(山东省聊城市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线 所的阴影部分的面积为（B） A、2； B、4； C、8； D、16
★4、（2014.浙江杭州）设抛物线 y=ax +bx+c（a≠0）过 A（0，2）B（4，3）C 三点，其中 C 在直线 x=2 上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离为 1，则该抛物线的函数解析式为
由已知可得：抛物线对称轴为 X=1 或 X=3, ∴得方程组： c=2 ①;16a+4b+c=3
2
2
抛物线(2)（解析式）
【知识纵横】 一般地说来,我们称函数 ( a 、b 、c 为常数, a 0 )为 x 的二次函数,其图象为一条抛物 线,与抛物线相关的知识有: 1. a 、 b 、 的符号决定抛物线的大致位置; 2.抛物线关于 对称,抛物线开口方向、 开口大小仅与 a 相关,抛物线在顶点( ,
★★【例 2】(天津市中考)二次函数 y x 2 bx c 的图象如图所示,现有以下结论:①abc>0;②b<a+c;③
4 a 2b c 0 ;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1).其中正确的结论有(
1
C
)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
思路点拨 由抛物线的位置确定 a 、 b 、 c 的符号;解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综 合推理. ①如图，抛物线开口方向向下，则 a＜0．对称轴为 x=-b/2a =1，则 b=-2a＞0， 抛物线与 y 轴交点（0，c）的纵坐标 c＞0，所以，abc＜0．故①错； ②当 x=-1 时，y=a-b+c＜0，所以 b＞a+c，故②错； ③当 x=2 时，y=4a+2b+c＞0，故以③正确； ④因为 a=-1/2 b，又 a-b+c＜0，所以 2c＜3b，④正确； ⑤因为当 m=1 时，有最大值；当 m≠1 时，有 am +bm+c＜a+b+c，所以 a+b＞m（am+b﹚） ，⑤正确． 综上所知③④⑤正确．
������
④∵
������������������−������������ ������������
＞2，a＜0，∴4ac-b ＜8a，即 b +8a＞4ac，正确．故选 D．
2
2
2
8、 （2014.山东泰安）二次函数 y=ax +bx+c 的图象过点（-1，4），且与直线 y=﹣ x+1 相交于 A、B 两点 （如图） ，A 点在 y 轴上，过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C（﹣3，0） ． （1）求二次函数的表达式； （2）点 N 是二次函数图象上一点（点 N 在 AB 上方） ，过 N 作 NP⊥x 轴，垂足为点 P，交 AB 于点 M，求 MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，点 N 在何位置时，BM 与 NC 相互垂直平分？并求出所有满足条件的 N 点的坐标．
4ac b 2 )处 4a
取得最值; 3.抛物线的解析式有下列三种形式: ①一般式: y ax2 bx c ; ②顶点式: ; ③交点式: y a( x x1 )( x x 2 ) ,这里 x 1 、 x 2 是方程 的两个实根. 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件,灵活地选用不同方法求出 抛物线的解析式是解与抛物线 相关问题的关键. 注:对称是一种数学美,它展示出整体的和谐与平衡之美,抛物线是轴对称图形,解题中应积极捕捉、创 造对称关系,以便从整体上把握问题,由抛物线捕捉对称信息的方式有: (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息; (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被 x 轴所截得的弦长获得对称信息. 【例题求解】 2 ★★【例 1】 (2014.新疆乌鲁木齐)对于二次函数 y=ax -（2a-1）x+a-1(a≠0),有下列结论： ①其图象与 x 轴一定相交; ②若 a<0，函数在 x>1 时，y 随 x 的增大而减小; ③无论 a 取何值，抛物线的顶点始终在同一直线上; ④无论 a 取何值， 函数图象都经过同一个点。 其中正确的结论是 （填写正确结论的序号） 思路点拨：因解析式中含有参数，故增强了解决问题的探索性，把相关量用参数表示，变形、消参、 转译是解决问题的关键。
★7、(福州市中考)如图所示二次函数 的图象经过点（-1，2），且与 x 轴交点横坐 2 标分别为 x1、x2，其中-2< x1<-1，0< x2<1，下列结论： ①4a-2b+c<0；②2a-b＜0；③a＜-1；④b +8a>4ac. 其中正确结论的有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
9、 （2014.山东德州）如图，抛物线 y=x 在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依 次为 A1，A2，A3…An，…．将抛物线 y=x2 沿直线 L：y=x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： ①抛物线的顶点 M1，M2，M3，…Mn，…都在直线 014 的坐标为（ 4027 ， 4027 ） ．
解：∵点 A（a-2b，2-4ab）在抛物线 y=x2+4x+10 上， ∴（a-2b）2+4× （a-2b）+10=2-4ab，a2-4ab+4b2+4a-8b+10=2-4ab， 2 （a+2） +4(b-1)2=0，解得 a=-2，b=1， ∴a-2b=-2-2× 1=-4，2-4ab=2-4× （-2）× 1=10， ∴点 A 的坐标为（-4，10） ∵对称轴为直线 x=-4/(2× 1)=-2，∴点 A 关于对称轴的对称点的坐标为（0，10） ． 故选 D．
（2）设图象 Fm、Fm+1 的顶点分别为 Tm、Tm+1（m 为正整数），x 轴上一点 Q 的坐标为（12，0）．试探究：当 a 为何值时，以 O、Tm、Tm+1、Q 四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时 m 的值．
分析： （1）①直接把 a=1 代入抛物线的解析式即可得出结论； ②根据该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为 1 和-1 即可得出结论； （2）设 OQ 中点为 O′，则线段 TnTn+1 经过 O′，再根据图形平移的性质即可得出结论． 解： （1）当 a=-1 时，①y=ax2+2ax=-x2-2x=-（x+1）2+1， ∴图象 F1 的顶点坐标为： （-1，1） ； ②∵该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为 1 和-1， ∴点 H（2014，-3） ，不在该“波浪抛物线”上， ∵图象 Fn 的顶点 Tn 的横坐标为 201， 201÷4=50…1，故其图象与 TnTn+1=OQ=12 时，四边形 OTnTn+1Q 为矩形， ∴O′Tn+1=6， ∵F1 对应的解析式为 y=a（x+1）2-a， ∴F1 的顶点坐标为（-1，-a） ， ∴由平移的性质可知，点 Tn+1 的纵坐标为-a， ∴由勾股定理得（-a）2+12=62， ∴a=± 35， ∵a＜0， ∴a=-35 与 F2，F4…形状相同， 则图象 Fn 对应的解析式为：y=（x-201）2-1， 其自变量 x 的取值范围为：200≤x≤202． 故答案为：不在，y=（x-201）2-1，200≤x≤202． （2）设 OQ 中点为 O′，则线段 TmTm+1 经过 O′， 由题意可知 OO′=O′Q，O′Tm=O′Tm+1， ∴当时 m 的值为 4．
3
2
式一直平移下去即可得到一系列图象 F1，F2，…，Fn．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．
（1）当 a=-1 时，①求图象 F1 的顶点坐标； ②点 H（2014，-3） （填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象 Fn 的顶点 Tn 的横坐 ，其自变量 x 的取值范围为 。
初中培优竞赛含详细解析 第8讲 不等式与不等式组
分析：因为 ，所以
解这个不等式得 ，则 .所以由 得
答案： .
技巧：先求参数范围，再解含参数的一元一次不等式.
易错点：解这类含参数的不等式问题时容易忽视参数的取值范围而致错.
三、解答题
7、（3、4）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、不等式、不等式组）
分析：因为 所以 又因为 ，所以 即
答案： .
技巧：比较大小可以用作差法或者作商法——作差法是比较两式的差与0的大小，而作商法是比较两式的商与1的大小（分母的符号必须确定）.
易错点：在应用作商法比较大小的时候容易忽视分母的符号问题而致错.
5、（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
求Байду номын сангаас等式 的解.
分析：含有绝对值的不等式，可以通过分类讨论的办法去掉绝对值再来求解，最后综合.
详解：若 ，且 ，则不等式为 ；若 且 ，则不等式为 ，矛盾.故不等式的解是
技巧：分类讨论是解绝对值不等式的常用方法.
易错点：分类讨论之后容易忘记综合而致错.
8、（4、5）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、解答题、不等式、不等式组）
第8讲不等式与不等式组
一、选择题
1、（2、3）（数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）
元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是()
D.与a和b的大小无关
分析：因为甲买鱼用了3a+2b元，卖给了乙得到 元，则由不等式 成立，可以解得
答案：A .
技巧：根据题意列出不等式，然后化简，是解这类题的一般思路.
《抛物线》_课件详解人教版2
求它的焦点坐标和准线方程.
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,－2),
求它的标准方程．
(1)焦点为(
3 2
,
0)
,准线方程为x
3 2
.
(2)x2＝－8y.
《 抛 物 线 》 优质pp t人教版 2-精品 课件p pt(实用 版)
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2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程 第一课时
复习回顾
1.椭圆和双曲线的统一方程
Ax2＋By2＝1（AB≠0，A≠B） 2.椭圆和双曲线有什么共同的几何特征？
到焦点的距离与到相应准线的距离之比 等于离心率.
探求新知
平面内到一个定点F的距离与到一条定直
线l(不经过点F)的距离之比为常数e的点的轨
探求新知
抛物线y＝ax2(a≠0)，其焦点坐标和准 线方程分别是什么？
焦点为
(
0
,
1 4a
)
，
准线方程为 y
1 4a
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典例讲评
例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2＝6x,
交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点M的轨
迹方程.
y
A
y2＝2(x－1).
M
F
x
OB
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课堂小结
1.椭圆、双曲线、抛物线的定义特征可 统一为：到一个定点的距离与到一条定直线 的距离之比为常数.
数学培优竞赛新方法(九年级)-第8讲 抛物线
第8讲 抛物线知识纵横一般地，我们称函数)0(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，、、为x 的二次函数，其图像为一条抛物线，与抛物线相关的知识有：1、a 、b 、c 的符号决定抛物线的大致位置；2、抛物线关于a b x 2-=对称，抛物线开口方向、开口大小仅与a 相关，抛物线在顶点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22处取得最值；3、抛物线的解析式有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式：k h x a y +-=2)(；③交点式：))((21x x x x a y --=，这里1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个实根。
确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键。
例题求解【例1】已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中自变量x 和函数值y 的部分对应值如下表：则二次函数的解析式为 。
（天津市中考题）思路点拨 从表格中可获取丰富的信息，用不同方法求该二次函数的解析式。
【例2】二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤)1)((≠+>+m b am m b a 。
其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、 3个D 、 4个思路点拨 由抛物线的位置确定a 、b 、c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理。
【例3】已知二次函数1)1(22+-++=m x m x y 。
（1）随着m 的变化，该二次函数图像的顶点p 是否都在某个抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由。
（2）如果直线1+=x y 经过二次函数1)1(22+-++=m x m x y 图像的顶点p ，求此时m 的值。
【九年级】九年级数学竞赛抛物线讲座
【九年级】九年级数学竞赛抛物线讲座九年级数学竞赛抛物线讲座一般来说，我们称函数（，，常数，）为二次函数，其图像为抛物线。
有关抛物线的知识如下：1．、、的符号决定抛物线的大致位置；2.抛物线是对称的，抛物线的开口方向和大小只与长度有关，抛物线在顶点（，）处获得最大值；3．抛物线的解析式有下列三种形式：① 通式：；②顶点式：；③ 求交公式：，这里是方程的两个实根确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的解析式是解与抛物线相关问题的关键．注：对称是一种数学美，它体现了整体的和谐与平衡之美。
抛物线是一种轴对称图形。
在解决问题时，我们应该积极捕捉并创建对称关系，以便从整体上把握问题。
通过抛物线捕捉对称信息的方法如下：(1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息；（2）对称信息由抛物线的对称轴方程和被该轴切割的抛物线的弦长获得【例题求解】【例1】二次函数的图像如图所示，因此当函数值为时，对应的值范围为思路点拨由图象知抛物线顶点坐标为(一1，一4)，可求出，值，先求出时，对应的值．【例2】已知抛物线（<0）通过点（I，1，0）并满足以下结论：①; ②；③；④ . 正确的数字是（）a．1个b．2个c．3个d．4个抛物线的位置大致由条件决定，然后确定、和的符号；从特殊点的坐标中求出等式或不等式；利用根的判别式和根与系数的关系【例3】如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，mn＝4分米，抛物线顶点处到边mn的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形abcd，使矩形顶点b、c落在边mn上，a、d落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?如果建立好直角坐标系，很容易得到M、N和抛物线顶点的坐标，从而得到抛物线的解析公式。
设a（，）并建立包含的方程。
矩形铁皮的周长是否等于8分米，取决于计算值是否在所得抛物线解析式中自变量的值范围内注：把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．[示例4]二次函数的图像在两点a和B处与轴相交（点a位于点B的左侧），在点C处与轴相交，以及∠ ACB=90°(1)求这个二次函数的解析式；（2）设计两种方案：画一条与轴线不重合的直线，并与轴线两侧相交△ ABC，所以切割三角形类似于△ ABC，该地区是△ BOC区域，写出切割三角形三个顶点的坐标（注：设计方案不需要证明）思路点拨(1)a、b、c三点坐标可用m的代数式表示，利用相似三角形性质建立含m的方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案．注：要解决函数与几何结合的综合问题，善于求点的坐标，进而求函数的解析式是解决问题的基础；解决问题的关键是充分发挥形式因素，数与形式相互帮助，论证与计算相结合【例5】已知函数，其中自变量为正整数，也是正整数，求何值时，函数值最小．其思想是修改函数的解析公式以获得匹配方法，其对称轴为，因为，所以函数的最小值只能在取时达到，所以解决这个例子的关键是分类讨论学历训练1.如图所示，如果抛物线和被四条直线包围的正方形之间有一个公共点，，，的值范围为2．抛物线与轴的正半轴交于a，b两点，与轴交于c点，且线段ab的长为1，△abc的面积为1，则的值为．3.如图所示，抛物线的对称轴是一条直线，与a点和B点的轴相交，与C点的轴相交。
抛物线教案初中
抛物线教案初中一、教学目标1. 理解抛物线的定义和几何性质；2. 掌握抛物线的标准方程及其求法；3. 能够运用抛物线的性质解决实际问题。
二、教学内容1. 抛物线的定义和几何性质；2. 抛物线的标准方程及其求法；3. 抛物线在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 抛物线的定义和几何性质的理解；2. 抛物线标准方程的求法；3. 抛物线在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过复习二次函数的图象，引导学生思考抛物线的定义和特点。
2. 新课讲解：（1）讲解抛物线的定义：抛物线是平面内与定点（焦点）的距离等于到定直线（准线）的距离的点的轨迹。
（2）介绍抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、焦点、准线等。
（3）讲解抛物线的标准方程：y^2 = 4px（p>0）和x^2 = 4py（p>0）。
3. 例题解析：通过例题讲解，让学生理解并掌握抛物线标准方程的求法。
4. 练习与讨论：让学生分组练习，互相讨论，巩固抛物线的基本概念和求解方法。
5. 应用拓展：通过实际问题，让学生运用抛物线的性质解决问题。
五、教学方法1. 采用直观演示法，通过图形和实例让学生直观地理解抛物线的定义和几何性质。
2. 采用讲解法，详细讲解抛物线的标准方程及其求法。
3. 采用练习法，让学生通过练习和讨论，巩固所学知识。
4. 采用应用拓展法，引导学生将抛物线知识应用于实际问题中。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对抛物线定义、几何性质和标准方程的理解程度。
2. 练习与讨论：评价学生在练习中解决问题的能力和团队合作精神。
3. 应用拓展：评价学生将抛物线知识应用于实际问题的能力。
七、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对抛物线知识的理解和应用能力。
八、教学资源1. 教学课件：用于展示抛物线的定义、几何性质和标准方程。
2. 练习题库：用于巩固学生的抛物线知识。
3. 实际问题案例：用于引导学生将抛物线知识应用于实际问题中。
中学数学抛物线性质教案
中学数学抛物线性质教案一、教学目标1.了解抛物线的定义和基本性质。
2.掌握抛物线的顶点坐标、对称轴和焦点坐标的计算方法。
3.运用抛物线的性质解决相关问题。
4.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学重点1.抛物线的定义和性质。
2.抛物线的顶点坐标、对称轴和焦点坐标的计算方法。
三、教学内容1.抛物线的定义和性质的介绍抛物线是指平面上一点的轨迹，使得该点到已知点（焦点）的距离与该点到已知直线（准线）的距离相等。
具体公式为：y = a*x^2 + b*x + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
2.抛物线的顶点坐标的计算方法抛物线的顶点坐标可以通过求导数或应用平移变换的方法计算得到。
设抛物线为y = ax^2 + bx + c，其中a≠0，顶点坐标为（h，k）。
（1）求导数法：对抛物线求导，令导数为0得到x = -b/2a，带入原方程得到y坐标，即为顶点坐标。
（2）平移变换法：将原抛物线平移至新坐标系（h，k）的坐标轴位置，可得到新的抛物线方程为y = a(x-h)^2 + k，顶点即为（h，k）。
3.抛物线的对称轴的计算方法抛物线的对称轴是指通过抛物线顶点，并且与抛物线平行的直线。
设抛物线为y = ax^2 + bx + c，其中a≠0，对称轴为x = p。
对称轴的坐标x = p可以通过使用求导数法求得顶点坐标后代入抛物线方程解得。
4.抛物线的焦点坐标的计算方法抛物线的焦点是指到抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等的点。
设抛物线为y = ax^2 + bx + c，其中a≠0，焦点坐标为（p，q）。
焦点的坐标（p，q）可以通过使用求导数法求得顶点坐标后代入抛物线方程解得。
四、教学方法1.讲授抛物线的定义和性质，并通过练习和例题巩固。
2.引导学生通过求导数法和平移变换法计算抛物线的顶点坐标，并进行练习和解答相关问题。
3.指导学生通过求导数法计算抛物线的对称轴，并进行练习和解答相关问题。
4.指导学生通过求导数法计算抛物线的焦点坐标，并进行练习和解答相关问题。
抛物线课件及练习题含详解
为 y k(x p).
2
又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则
y k(x y2 2px
p ), 2
x2
(
2p k2
p)x
p2 4
0,
所以x1·x2=p2 .
4
由|AF|·|BF|=
x1
x2
p 2
x1
x
2
p2 4
1. 3
得 p2 p (4 p) 1 ,
2 23
3
即 2p 所1 ,以 p 1 ,
2p y21p2y1y1y1 y2
x
x1
,
= 2p x y1y2 2p (x y1y2 ),
y1 y2 y1 y2 y1 y2
2p
将y1·y2=-4p2代入上式得y 2p x 2p,
y1 y2
故直线AB恒过定点(2p,0).
【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.
|AF|=1，|BF|= 1，求抛物线及直线AB的方程.
3
【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表
示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达
式，表示出|AF|·|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得.
再由|AB|=
2p sin 2
得4， sin2θ=
(2)y2=2px(p＞0)的焦点为( p，0)，由题意得
2
( p 2)2 解9 得 5p，=4或p=-12(舍去).
2
抛物线的定义课件
工程技术中的应用
抛物线型弹道
在军事和民用领域，抛物线型弹 道是一种常见的弹道形式。通过 计算和调整弹丸的初速度和发射 角度，可以实现精确打击和有效
射程。
抛物ห้องสมุดไป่ตู้型天线
在通信和广播领域，抛物线型天 线是一种常见的天线形式。它具 有定向性好、增益高等优点，被 广泛应用于卫星通信、微波通信
等领域。
抛物线型喷嘴
对称性表现
抛物线关于其对称轴对称，即对于任意一点P(x,y)在抛物线上，其关于对称轴的 对称点P'也在抛物线上。
顶点位置
1 2
顶点坐标
对于一般的抛物线y=ax^2+bx+c，其顶点坐标 为(-b/2a, (4ac-b^2)/4a)。对于标准形式的抛物 线y=ax^2（a≠0），其顶点为原点(0,0)。
02
抛物线图像特点
开口方向与宽度
开口方向
抛物线开口方向由二次项系数a决定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
宽度
抛物线的宽度与二次项系数的绝对值|a|有关。|a|越大，抛物线越窄；|a|越小， 抛物线越宽。
对称性
对称轴
对于一般的抛物线y=ax^2+bx+c，其对称轴为x=-b/2a。对于标准形式的抛物 线y=ax^2（a≠0），其对称轴为y轴。
根据题目条件，设定一个 包含待定系数的抛物线方 程。
代入已知条件
将题目中给出的已知条件 代入设定的抛物线方程， 解出待定系数。
求解问题
利用解出的待定系数，进 一步求解与抛物线相关的 问题。
数形结合法
绘制图形
根据题目条件，绘制出抛 物线的图形，标注出关键 点和线。
初中培优竞赛 第8讲 不等式与不等式组
二、填空题
4、（2、3）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P，若 ，则M与P的大小关系是_____________。
解析：因为 所以 又因为 ，所以 即
答案： .
第8讲不等式与不等式组
一、选择题
1、（2、3）（数学、初中数学竞赛、选择题、不等式、不等式组）
元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是()
D.与a和b的大小无关
解析：因为甲买鱼用了3a+2b元，卖给了乙得到 元，则由不等式 成立，可以解得
答案：A .
路。
解析：因为 故 ，所以 .又 ，故 ，故
答案： .
技巧：由于 ，故有 对于任意的实数a,b都成立（当且仅当a=b时取等号）。这个结论在不等式问题中的应用非常广泛。
易错点：在求范围时容易忽视等号是否能取得的问题而使得范围扩大。
6、（3、4）（数学、初中数学竞赛、填空题、不等式、不等式组）
若实数a满足 ，则不等式 的解为______________。
详解：若 ，且 ，则不等式为 ；若 且 ，则不等式为 ，矛盾.故不等式的解是
技巧：分类讨论是解绝对值不等式的常用方法。
易错点：分类讨论之后容易忘记综合而致错。
8、（4、5）（数学、初中数学竞赛、解答题、不等式、不等式组）
设 为自然数，且 又 ，求 的最大值.
分析：假如 取得最大值，则 只能是 后的连续自然数，依次可以求出 的最大值。同理可以求得 的最大值。
详解： 解得 ，故自然数x1的最大值为19.同理，x2，x3的最大值分别为20，22.所以 的最大值为61.
抛物线专题讲义
抛物线专题讲义一、知识讲义1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下注意：1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F )0,2(的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为)0,4(a ，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是)0,4(a ，准线方程是x ＝－a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F )0,2(p 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( )(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( )(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( ) 题组二：教材改编2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．63．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________． 题组三：易错自纠4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．125．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x6．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．三、典型例题题型一：抛物线的定义及应用典例 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 引申探究1．若将本例中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．思维升华：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练：P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．题型二：抛物线的标准方程和几何性质 命题点1：求抛物线的标准方程典例如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝9xC ．y 2＝92xD ．y 2＝3x命题点2：抛物线的几何性质典例 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华：(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练 (1)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 (2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53 B.75 C.97D ．2题型三：直线与抛物线的综合问题 命题点1：直线与抛物线的交点问题典例 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________.命题点2：与抛物线弦的中点有关的问题典例 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．思维升华：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练：已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 注意：直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．四、反馈练习1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C ．y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 22．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( )A ．3B ．4C ．6D ．73．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y4．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且△OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线的斜率为1，则|AF |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x7．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．9．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.10．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．12．已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点)210(，作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点． (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．。